TEC Tecnológico. de Costa Rica TEC. Teoría de conjuntos y probabilidad. Jornada de capacitación CIEMAC: Alajuela 2016

Transcripción

1 TEC Tecnológico de Costa Rica Jornada de capacitación CIEMAC: Alajuela 2016 Teoría de conjuntos y probabilidad

2 Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Página 2 de 13 Conocimientos: Eventos Relaciones entre eventos: Unión, Intersección, Complemento A c. Eventos mutuamente excluyentes. Probabilidades Reglas básicas de las probabilidades: P (A B) = P (A) + P (B), para eventos A y B mutuamente excluyentes. 0 P (A) 1, para todo evento A Probabilidad del evento seguro es 1 y del evento imposible es 0. Habilidades específicas 1. Describir relaciones entre dos o más eventos de acuerdo con sus puntos muestrales, utilizando para ello las operaciones: unión, intersección complemento A c e interpretar el significado dentro de una situación o experimento aleatorio. 2 Otras propiedades: Probabilidad de la unión: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Probabilidad del complemento: P (A c ) = 1 P (A) 5. Deducir las propiedades relacionadas con la probabilidad de la unión y del complemento. 6. Resolver problemas del contexto estudiantil que involucren el análisis de las medidas de variabilidad*. 2. Representar mediante diagramas de Venn las operaciones entre eventos 3. Reconocer eventos mutuamente excluyentes en situaciones aleatorias particulares. 4. Deducir mediante situaciones concretas las reglas básicas (axiomas) de las probabilidades. Habilidades específicas 7. Utilizar probabilidades para favorecer la toma de decisiones en problemas vinculados con fenómenos aleatorios. 8. Aplicar los axiomas y propiedades básicas de probabilidades en la resolución de problemas e interpretar los resultados generados. Cantidad

3 Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Página 3 de 13 Teoría de conjuntos: Fundamentos históricos En el siglo XIX G. Cantor propuso una fundamentación lógica de la aritmética, creando así la teoría de conjuntos. Él definió un conjunto como cualquier colección C de objetos determinados y bien distintos x de nuestra percepción o nuestro pensamiento (que se denominan elementos de C), reunidos en un todo. Esta definición es bastante sencilla y muy intuitiva, pero es correcta? Paradoja de Russell En un lejano poblado el rey de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias: En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, pero yo soy el único barbero de allí! El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Con base a este problema comente las siguientes preguntas: Por qué ocurre este conflicto? Cómo se soluciona el problema del barbero? En términos generales es posible que un conjunto pertenezca a el mismo? Este ejemplo nos permite ver que el concepto de conjunto no es tan sencillo y que debe definirse de manera cuidadosa. Muchos matemáticos trabajaron sobre este problema (Russell, Zermelo, Fraenkel y otro más) hasta que se llegó a construir la teoría de conjuntos que conocemos actualmente. Teoría de conjuntos: Definición formal En general diremos que un conjunto es una colección C objetos donde se cumple que: La colección de objetos debe estar bien definida. Se debe saber con certeza cuándo un objeto pertenece al conjunto y cuándo no. Ningún objeto puede aparecer más de una vez; en general, los elementos deben ser distintos.

4 Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Página 4 de 13 El orden en el que se enumeran los objetos no tiene importancia. Los objetos que pertenecen a un conjunto se les llama elementos del conjunto. En general, a los conjuntos se les denotará por medio de una letra mayúscula, mientras que a los elementos con una letra minúscula. Existen dos formas fundamentales para especificar un conjunto: 1. Extensión: que consiste en listar todos los elementos que constituyen el conjunto, separados por comas y encerrados entre llaves. Por ejemplo: A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} 2. Comprensión: consiste en indicar dentro de las llaves las propiedades que sirvan para describir los elementos del conjunto. Por ejemplo: Definiciones Sean A y B conjuntos se tiene: A = {x x N, x = 2n, 0 n 4} Universo: es un conjunto formado por todos los elementos de estudio en un contexto dado. Subconjunto: Si todo elemento de A es también elemento de B, se dice que A es un subconjunto de B. Formalmente tenemos: A B := x(x A x B) Unión: Es el conjunto formado por todos los elementos que están en A o en B. Formalmente tenemos: A B = {x x A x B} Intersección: Es el conjunto formado por todos los elementos que están en A y en B. Formalmente tenemos: A B = {x x A x B} Diferencia: Es el conjunto formado por todos los elementos que están en A y no están en B. Formalmente tenemos: A B = {x x A (x B)}

5 Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Página 5 de 13 Complemento: Es el conjunto formado por todos los elementos que están en el universo Ω y no están en A. Formalmente tenemos: A c = Ω A = {x Ω x A} Cardinalidad: Corresponde al número de elementos que tiene un conjunto. Lo notaremos con A. Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos que no comparten ningún elemento, osea A B =. Teoría de conjuntos: Actividades 1. Sea B el conjunto de todos los números naturales menores a 31 que son múltiplos de 3 y C el conjunto de todos los números enteros mayores que -10 y menores que 16 que son múltiplos de 4. Con base a esta información: Escriba los conjuntos B y C por extensión y por comprensión. Determine los siguientes conjuntos B C B C B C Los siguientes son ejercicios tomados de las pruebas de Bachillerato del MEP. 1. Considere el experimento de escoger un número natural del 1 al 12. Si el evento A es: que el número escogido sea par y el evento B es: que el número escogido sea múltiplo de tres entonces con certeza: a) A B = {6, 12} b) A B = {3, 6, 9, 12} c) A B = {3, 6, 9, 12} d) A B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

6 Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Página 6 de 13 Eventos Definiciones Experimento aleatorio: es una situación que puede dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento. Espacio muestral o espacio de muestra: consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Evento: un evento o suceso aleatorio, probabilístico o estadístico es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir. Eventos: Actividades Determine si los siguientes experimentos son aleatorios o no, en caso de que lo sean, determine el espacio muestral e indique (si lo hubiere) un evento alternativo que sea mutuamente excluyente al realizado. 1. Lance una moneda cuatro veces y anote el resultado obtenido. Repita este experimento 10 veces más. 2. Lace dos dados y sume los valores de sus caras. Repita este experimento 10 veces más.

7 Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Página 7 de Encienda su celular. Repita este experimento 10 veces más. 4. Mezcle dos colores primarios. Repita este experimento 5 veces más cambiando los colores base. Los siguientes son ejercicios tomados de las pruebas de Bachillerato del MEP. 1. Considere el experimento de sacar dos bolas de una caja que contiene bolas blancas (B), azules (A) y rojas (R). Si las bolas poseen la misma forma y tamaño, y el evento M es: que las bolas sean del mismo color, entonces con certeza el complemento M c de M es: a) {AA, RR, BB} b) {BR, RB, BA, AB} c) {AA, BB, RR, BA, RA} d) {AB, AR, BA, BR, RA, RB}

8 Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Página 8 de Considere la siguiente información En el experimento de lanzar un dado legal y registrar el número que sale en la cara superior, interesan dos eventos: Que el número sea impar Que el número sea un 4 con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. El evento A es el complemento del evento B. II. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes. Cuáles de ellas son verdaderas? a) Ambas b) Ninguna c) Solo la I d) Solo la II Probabilidad Regla de Laplace: Cuando un experimento aleatorio es equiprobable, es decir que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir, para calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer el cociente entre el número de sucesos elementales que componen A (casos favorables) y el número de sucesos elementales del espacio muestra (casos posibles). Probabilidad del complemento de un evento: Probabilidad de que ocurran dos eventos mutuamentes excluyentes: Probabilidad de que ocurran dos eventos cualesquiera:

9 Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Página 9 de 13 Tomaremos como base el siguiente ejemplo para poder deducir la probabilidad de que ocurran dos eventos mutuamente excluyentes y la probabilidad del complemento. Suponga que se lanza una moneda cuatro veces, determine el espacio muestral general y responda las siguientes preguntas: 1. Cuál es la probabilidad de sacar dos caras y dos cruces en cualquier orden? 2. Cuál es la probabilidad de NO sacar dos caras y dos cruces en cualquier orden? 3. Qué puede decirse de los eventos anteriores? Cuál es la relación entre sus probabilidades? 4. Cuál es la probabilidad de sacar tres caras en cualquier orden? 5. Cuál es la probabilidad de sacar sólo UNA cruces en cualquier orden? 6. Qué puede decirse de los eventos anteriores? Cuál es la relación entre sus probabilidades?

10 Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Página 10 de Cuál es la probabilidad de sacar cuatro caras? 8. Cuál es la probabilidad de sacar dos caras y dos cruces en cualquier orden? 9. Cuál es la probabilidad de sacar dos caras y dos cruces en cualquier orden ó de sacar cuatro caras? 10. Qué puede decirse de los eventos anteriores? Cuál es la relación entre sus probabilidades? 11. Cuál es la probabilidad de sacar SOLAMENTE UNA cara en cualquier orden? 12. Cuál es la probabilidad de sacar exactamente TRES caras en cualquier orden? 13. Cuál es la probabilidad de sacar SOLAMENTE una cara o EXACTAMENTE tres caras? 14. Qué puede decirse de los eventos anteriores? Cuál es la relación entre sus probabilidades?

11 Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Página 11 de Cuál es la probabilidad de sacar al menos dos caras en cualquier orden? 16. Cuál es la probabilidad de sacar al menos dos cruces en cualquier orden? 17. Cuál es la probabilidad de sacar dos caras y dos cruces en cualquier orden? 18. Cuál es la probabilidad de sacar al menos dos caras o al menos dos cruces en cualquier orden? 19. Qué puede decirse de los eventos anteriores? Cuál es la relación entre sus probabilidades? Probabilidad: Actividades 1. Se va a realizar una feria con el fin de recaudar fondos para pintar y reparar los pupitres de su clase. La profesora guía le ha asignado que se encarguen de organizar un juego de azar el cuál consiste en tirar dos dados, y de acuerdo a la suma de las caras, se debe premiar con alguna de las siguientes opciones: Gana el doble de lo invertido. Recupera lo invertido. Recupera la mitad de lo invertido. Pierde lo invertido. Qué distribución realizaría para que le juego sea atractivo para la gente, pero para que la casa siempre gane?

12 Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Página 12 de Suponga que en una bolsa negra no transparente se depositan 4 bolas rojas y 7 bolas blancas. Responda las siguientes preguntas: a) Cuál es la probabilidad de sacar uno bola roja el primer intento? b) Si se sacan bolas sin sustitución (o sea una vez que se saca una no se vuelve a meter en la bolsa) Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas rojas seguidas en el primer intento? c) Si se sacan bolas sin sustitución Qué es más probable: sacar cinco bolas blancas seguidas o sacar 3 bolas rojas seguidas? 3. Se tiene una baraja de naipes completa (52 cartas distribuidas en cuatro palos: corazones, diamantes, tréboles y bastos), con esta se juega la Carta Mayor, en la cual gana la persona que saque la carta con la mayor numeración (la carta As tiene un valor de 1, las cartas J, Q, K tiene un valor de 10, 11 y 12 respectivamente) sin reponer las cartas que ya se hayan sacado. Si cuatro amigos juegan: a) Cuál es la probabilidad de cada uno de ellos antes de sacar la primera carta? b) Si Mario sacó su carta y obtuvo un 7, Flor una J y Patricia un 4 Cuál es la probabilidad de que José gane al momento de sacar la carta? c) Para el caso anterior Cuál es la probabilidad de que Flor gane antes de que José saque su carta?

13 Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Página 13 de 13 Los siguientes son ejercicios tomados de las pruebas de Bachillerato del MEP. 1. Un grupo de octavo de un colegio con orientación tecnológica está conformado por 10 mujeres y 16 varones. Como asignatura de taller exploratorio, tienen dos opciones para escoger: artes o educación ambiental. La selección del taller exploratorio se muestra en la siguiente tabla: Estudiantes Artes Educación ambiental Total Mujeres Hombres Total De acuerdo con el contexto anterior El taller exploratorio, cuál es aproximadamente la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre o haya seleccionado Artes? a) 0.40 b) 0.46 c) 0.71 d) 0.81 Cuál es la probabilidad de que si se elige una persona al azar y resulta ser hombre, este sea estudiante del grupo de educación ambiental? R./ Se lanzan dos dados legales y se registra la suma de los puntos de las caras superiores. Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 5? a) 0.11 b) 0.28 c) 0.36 d) 0.72 Se lanzan dos dados legales y se registra la suma de los puntos de las caras superiores. Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 5? a) 0.11 b) 0.28 c) 0.36 d) 0.72