y esto para qué sirve?

Transcripción

1 Análisis de datos y gestión veterinaria Probabilidad Departamento de Producción Animal Facultad de Veterinaria Universidad de Córdoba Córdoba, 2 de Noviembre de 2011 y esto para qué sirve? 100% clínicas Hipótesis el servicio de radiología incrementa los ingresos un 30% Muestreo 10% de las clínicas veterinarias Contraste de la hipótesis - Sin radiología: Con radiología

2 Incertidumbre. No es posible deducir afirmaciones precisas y esto para sobrequé la población sirve? basadas en una muestra. 100% clínicas Entonces la población, en el la servicio población, de el radiología servicio incrementa de radiología los también ingresos unincrementa 30%, con una los ingresos probabilidad un 30%? del 95% Inferencia en la muestra, el servicio de radiología incrementa los ingresos un 30% Experimentos aleatorios, resultados, sucesos Experimento aleatorio. Proceso que puede concretarse en al menos dos resultados posibles, con incertidumbre en cuanto a cuál de ellos tendrá lugar. 2

3 Experimentos aleatorios, resultados, sucesos S = [cruz, cara] Los resultados posibles de un experimento aleatorio se denominan resultados básicos, y el conjunto de resultados básicos es el espacio muestral. Experimentos aleatorios, resultados, sucesos el resultado será un número par Un suceso es un conjunto de resultados básicos de un espacio muestral, que ocurre si el experimento aleatorio da lugar a uno de los resultados básicos que lo constituyen. 3

4 Experimentos aleatorios, resultados, sucesos El lanzamiento de una moneda El lanzamiento de un dado Preferencia por una marca de refresco El examen de Análisis de Datos Analizar un alimento para determinar si contiene tóxicos Experimentos aleatorios, resultados, sucesos A: el resultado será un número par B: el resultado será como máximo

5 A B. Intersección de sucesos. Ocurre si Experimentos aleatorios, resultados, sucesos tanto A como B ocurren. A: el resultado será un número par B: el resultado será como máximo A U B. Unión de sucesos. Ocurre si A y/o Experimentos B ocurren. ( al aleatorios, menos ) resultados, sucesos A: el resultado será un número par B: el resultado será como máximo

6 Sucesos mutuamente excluyentes. A y Experimentos B no tienen en aleatorios, común resultados resultados, básicos. sucesos A B = conjunto vacío, no puede ocurrir. A: el resultado será mayor que 4 B: el resultado será como máximo Suceso complementario. Conjunto de Experimentos resultados básicos aleatorios, que no resultados, pertenecesucesos al suceso en cuestión (Ᾱ). A: el resultado será mayor que

7 Experimentos aleatorios, resultados, sucesos A B. Intersección de sucesos. Ocurre si tanto A como B ocurren. A U B. Unión de sucesos. Ocurre si A y/o B ocurren. ( al menos ) Sucesos mutuamente excluyentes. A y B no tienen en común resultados básicos. A B = conjunto vacío, no puede ocurrir. Suceso complementario. Conjunto de resultados básicos que no pertenece al suceso en cuestión (Ᾱ). Probabilidad A: el resultado será 3 A = [3] N A 1 P(A) = = N 6 Medida numérica de la verosimilitud de ocurrencia de un suceso. Escala de 0 a 1: 0 = imposible (seguro que no ocurrirá) 1 = el suceso ocurrirá con seguridad 7

8 Postulados de probabilidad A: el resultado será 3 1. Si A es un suceso cualquiera en el espacio muestral S: 0 P( A) 1 2. Sea A un suceso en S y Oi los resultados básicos: P( A) = PO ( ) A i 3. P( S) = 1 Consecuencias de los postulados a. Si el espacio muestral S está constituido por n resultados básicos igualmente probables, O 1, O 2,, O n, entonces cada uno de ellos tiene una probabilidad 1/n, 1 PO ( i ) = ( i= 1,2,..., n) n P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6 8

9 Consecuencias de los postulados b. Si el espacio muestral S está constituido por n resultados básicos igualmente probables, y el suceso A está formado por n A de estos resultados, entonces, na P( A) = n A: el resultado será menor de 3 P(A) = 1/6 + 1/6 = 1/3 Consecuencias de los postulados c. Si E 1, E 2,, E k son sucesos mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión es P(E 1 U E 2 U U E k ) = 1 A: el resultado será menor de 3 B: el resultado será mayor de 3 C: el resultado será 3 P(A U B U C) = 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6= 1 9

10 Consecuencias de los postulados d. Sean A y B dos sucesos mutuamente excluyentes. Entonces la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades individuales, es decir, P(A U B) = P(A) + P(B) PO ( ) = PO ( ) + PO ( ) i i i AUB A B A: el resultado será menor de 3 B: el resultado será mayor de 5 P(A U B) = 1/6 + 1/6 + 1/6= 1/2 Permutaciones y combinaciones ABC BCA A B C CBA ACB BAC CAB el número de posibles ordenaciones de x objetos es: x(x-1)(x-2) 21 = x! 10

11 Permutaciones y combinaciones El número de permutaciones de n objetos tomados de x en x: n! npx = ( n x)! Posibles ordenaciones de A, B, C, D, E, tomadas de 2 en AB AC AD AE BC BA CA DA EA CB BD BE CD CE DE DB EB DC EC ED 5! P = = = = 20 (5 2)! Permutaciones y combinaciones AB BC A B C D AC AD BD CD el número de selecciones posibles se denomina combinaciones, n objetos han de ser escogidos entre x 11

12 Permutaciones y combinaciones El número de combinaciones de n objetos tomados de x en x: n! ncx = x!( n x)! Posibles combinaciones de A, B, C, D, E, tomados de 2 en 2 AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE 5! C = = = = 10 2!(5 2)! Permutaciones y combinaciones Se le pide a una persona que escoja entre 5 marcas de refresco. Cuál es la probabilidad que las tres primeras sean escogidas en un orden determinado? 5! P = = = = 60 (5 3)! Se le pide a una persona que escoja entre 5 marcas de refresco. Cuál es la probabilidad que escoja 3 de ellas, sin importar el orden? 5! C = = = = 10 3!(5 3)!

13 Permutaciones y combinaciones Un gerente tiene 8 candidatos para cubrir 4 puestos. De estos, 5 son hombres y 3 mujeres. Si todos tienen la misma probabilidad de ser contratados. Cuál es la probabilidad de que ninguna mujer sea contratada? 1. Cuáles son las posibles combinaciones? 8C 4 = 8!/4!4! = Si ninguna mujer es contratada, los candidatos seleccionados deben ser 4 de 5 hombres 5C 4 = 5!/4!1! = combinaciones favorables sobre 70 combinaciones totales: P(ninguna mujer) = 5/70 = 1/14 Reglas de probabilidad Sea A un suceso y Ᾱ su complementario. Entonces, P(Ᾱ) = 1-P(A) Un gerente tiene 8 candidatos para cubrir 4 puestos. De estos, 5 son hombres y 3 mujeres. Si todos tienen la misma probabilidad de ser contratados. Cuál es la probabilidad de que ninguna mujer sea contratada? P(ninguna mujer) = 5/70 = 1/14 Cuál es la probabilidad de que al menos una mujer sea contratada? Suceso A. ninguna mujer sea contratada: P(A) = 1/14 Suceso Ᾱ. = al menos una mujer: P(Ᾱ) = 1 1/14 = 13/14 13

14 Consecuencias de los postulados d. Sean A y B dos sucesos mutuamente excluyentes. Entonces la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades individuales, es decir, P(A U B) = P(A) + P(B) PO ( ) = PO ( ) + PO ( ) i i i AUB A B A: el resultado será menor de 3 B: el resultado será mayor de 5 P(A U B) = 1/6 + 1/6 + 1/6= 1/2 Reglas de probabilidad Suma de probabilidades. Sean A y B dos sucesos. La probabilidad de la unión es: P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) A B A B 14

15 Reglas de probabilidad Probabilidad condicional. Sean A y B dos sucesos. La probabilidad condicional del suceso A, dado el suceso B, denominada P(A B), se define como: P( AB) = P( A B) P( B) El 75% de los clientes de una clínica vacuna regularmente a sus animales, el 80% los desparasita, y el 65% hace ambas cosas. Cuál es la probabilidad de que un cliente que desparasita, también vacune? Suceso A = vacuna. Suceso B = desparasita P(vacuna desparasita) = 0,65/0,80 = 0,8125 Reglas de probabilidad Producto de probabilidades. Sean A y B dos sucesos. La probabilidad de la intersección es: P( A B) = P( AB) P( B) Producto de probabilidades. Sean A y B dos sucesos independientes. La probabilidad de la intersección es: P( A B= P( AP ) ( B) 15

16 Reglas de probabilidad El 90% de los microscopios de una marca determinada funcionan 5 años antes de ser reparados. Un veterinario compra 3 microscopios. Cuál es la probabilidad de que los tres microscopios funcionen 5 años antes de ser reparados? los sucesos son independientes? P(A B C) = P(A)P(B)P(C) = (0,9) 3 = 0,729 Probabilidades bivariantes Sucesos A. Consumo de alimentos ecológicos A1. Regularmente Consume ecológicos regularmente A2. Ocasionalmente A3. Nunca Ingresos altos Ingresos medios Ingresos bajos Sucesos B. Nivel de ingresos B1. Altos B2. Medios B3. Bajos Población total Consume ecológicos ocasionalmente Nunca consume ecológicos Ingresos altos Ingresos medios Ingresos bajos Los sucesos A (A1, A2, A3) son mutuamente Ingresos excluyentes altos y colectivamente exhaustivos. Ingresos medios Los sucesos B (B1, B2, B3) son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Ingresos bajos 16

17 Probabilidades bivariantes Población total Consume ecológicos regularmente Consume ecológicos ocasionalmente Nunca consume ecológicos Intersección. P(Consumo ecológico Nivel de ingresos) Ingresos altos Ingresos medios Ingresos bajos Ingresos altos Ingresos medios Ingresos bajos Ingresos altos Ingresos medios Ingresos bajos P P P P P P P P P Probabilidades bivariantes Frecuencia de consumo alimentos ecológicos Regular Ocasional Nunca Total Ingresos Altos Medios Bajos Total 0,04 0,13 0,04 0,21 0,10 0,11 0,06 0,27 0,13 0,17 0,22 0,52 0,27 0,41 0,32 1,00 Probabilidades conjuntas. P(Consumo ecológico Nivel de ingresos) Intersección. P(Consumo ecológico Nivel de ingresos) Probabilidades marginales. P(Consumo ecológico) P(Nivel de ingresos) 17

18 Probabilidades bivariantes Frecuencia de consumo alimentos ecológicos Regular Ocasional Nunca Total Ingresos Altos Medios Bajos Total 0,04 0,13 0,04 0,21 0,10 0,11 0,06 0,27 0,13 0,17 0,22 0,52 0,27 0,41 0,32 1,00 P(A1)=P(A1 B1)+P(A2 B2)+P(A3 B3) P(consumo regular ecológico)=0,04+0,13+0,04=0,21 Probabilidades bivariantes Frecuencia de consumo alimentos ecológicos Regular Ocasional Nunca Total Ingresos Altos Medios Bajos Total 0,04 0,13 0,04 0,21 0,10 0,11 0,06 0,27 0,13 0,17 0,22 0,52 0,27 0,41 0,32 1,00 P(B1)=P(B1 A1)+P(B2 A1)+P(B3 A3) P(ingreso alto)=0,04+0,10+0,03=0,27 18

19 Probabilidades bivariantes Cuál es la probabilidad de tener ingresos altos, si se sabe que consume regularmente alimentos ecológicos? Ingresos altos P=0,04 Consume ecológicos regularmente Ingresos medios P=0,13 P=0,21 Ingresos bajos Ingresos altos P=0,04 P=0,10 Población total Consume ecológicos ocasionalmente P=0,27 Ingresos medios P=0,11 Ingresos bajos P=0,06 Ingresos altos P=0,13 Nunca consume ecológicos Ingresos medios P=0,17 P=0,52 Ingresos bajos P=0,22 Probabilidades bivariantes Frecuencia de consumo alimentos ecológicos Regular Ocasional Nunca Total Ingresos Altos Medios Bajos Total 0,04 0,13 0,04 0,21 0,10 0,11 0,06 0,27 0,13 0,17 0,22 0,52 0,27 0,41 0,32 1,00 Probabilidades condicionales. P( A B) P( AB) = P( B) P(ing altos con regular) = 0,04/0,21 = 0,19 19

20 Probabilidades bivariantes Frecuencia de consumo alimentos ecológicos Regular Ocasional Nunca Total Ingresos Altos Medios Bajos Total 0,04 0,13 0,04 0,21 0,10 0,11 0,06 0,27 0,13 0,17 0,22 0,52 0,27 0,41 0,32 1,00 Independencia. Dos sucesos, A1, B1, son independientes si: P(A1 B1)=P(A1)P(B1) Tener ingresos altos y consumir ocasionalmente alimentos ecológicos son independientes? P(ing altos consumo ocasional) = 0,10 P(ing altos)p(consumo ocasional) = 0,27 0,27 = 0,07 Teorema de Bayes Sean A y B dos sucesos con probabilidades P(A) y P(B) Regla del producto. P( A B) = P( AB) P( B) P( B A) = P( B AP ) ( A) Despejando y suponiendo que P(A) no es cero: P( AB) P( B) = P( B AP ) ( A) P( AB) P( B) P( B A) = P( A) 20

21 Teorema de Bayes Un inspector de alimentos examina los registros antiguos de un supermercado y descubre un 15% de errores. Además, el 60% de los registros incorrectos fueron considerados inusuales. El 20% de todos los registros fueron considerados inusuales. El inspector vuelve al supermercado y examina un registro que es inusual. Qué probabilidad hay de que el registro sea incorrecto? P(error) = 0,15 P(inusual) = 0,2 P(inusual error) = 0,6 Usando el teorema de Bayes: Pinusualerror ( ) Perror ( ) P( error inusual) = P( AB) P( B) Pinusual ( ) P( B A) = P( A) 0, 60 0,15 P( error inusual) = = 0,45 0,20 Teorema de Bayes Sean A y B dos sucesos con probabilidades P(A) y P(B) P( B A) = P( AB) P( B) P( A) Si B es un suceso excluyente y mutuamente exhaustivo con C y D: P( AB) P( B) P( B A) = P( AB) P( B) + P( AC) PC ( ) + P( AD) P( D) De modo genérico, si E1, E2,..., En son sucesos exluyentes y mutuamente exhaustivos: P( AE1 ) P( E1 ) P( E1 A) = P( AE ) P( E ) + P( AE ) P( E ) P( AE ) P( E ) n n 21

22 Teorema de Bayes Un veterinario examina las perspectivas de la cirugía de un caballo. El 25% de los caballos con la misma patología que fueron operados tuvieron una recuperación óptima. El 25% murieron en la cirugía y el 50% tuvieron una recuperación difícil. El 40% de los caballos que tuvieron una recuperación óptima fueron pronosticados como bueno. El 20% de los que tuvieron una recuperación difícil también fueron pronosticados como bueno, al igual que el 10% que murieron en la cirugía. Cuál es la probabilidad de que el caballo tenga una recuperación óptima si ha sido pronosticado como bueno? Se definen los sucesos y sus probabilidades: A: el pronóstico es bueno P(A)=? E1: recuperación óptima P(E1)=0,25 E2: recuperación difícil P(E2)=0,50 E3: no se recupera P(E3)=0,25 P(A E1)=0,4 P(A E2)=0,2 P(A E3)=0,1 Teorema de Bayes Un veterinario examina las perspectivas de la cirugía de un caballo. El 25% de los caballos con la misma patología que fueron operados tuvieron una recuperación P( óptima. AE El 25% murieron en 1) P( E ) 1 la cirugía P ( yeel 1 A50% ) = tuvieron una recuperación difícil. El 40% de los = caballos que tuvieron P( AE1 ) P( una E ) + Precuperación ( AE2 ) P( E ) + óptima P( AE3) Pfueron ( E ) pronosticados como bueno. El 20% de los que tuvieron una recuperación difícil también fueron pronosticados como bueno, al 0, 4 0, 25 igual que = el 10% que murieron = en0, 444 la cirugía. Cuál es la probabilidad 0, 4 0, de25 que + 0, el 2 0,5 caballo + 0,1 0, tenga 25 una recuperación óptima si ha sido pronosticado como bueno? Se definen los sucesos y sus probabilidades: A: el pronóstico es bueno P(A)=? E1: recuperación óptima P(E1)=0,25 E2: recuperación difícil P(E2)=0,50 E3: no se recupera P(E3)=0,25 P(A E1)=0,4 P(A E2)=0,2 P(A E3)=0,1 22