Tiempo completo Tiempo parcial Total Mujeres Hombres Total

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1 ASIGNACION DE ROBABILIDAD A manera de introducción al tema analicemos las diferencias entre eventos mutuamente excluyentes, no mutuamente excluyentes, dependientes e independientes. Ejemplo : En un grupo de 200 estudiantes, 40 (80 mujeres y 60 hombres) son estudiantes de tiempo completo y 60 (40 mujeres y 20 hombres) son de medio tiempo: Tiempo completo Tiempo parcial Total Mujeres Hombres Total Considera A como el evento el estudiante es de tiempo completo y B como el evento el estudiante es de tiempo parcial y además hombre. Observamos que ningún estudiante es de tiempo completo y de tiempo parcial, simultáneamente, entonces los eventos A y B son mutuamente excluyentes. La siguiente figura plantea desde el punto de vista de conjuntos, el ejemplo de elegir aleatoriamente de entre 200 estudiantes, un estudiante con base a los eventos A y B. A B U 80 mujeres 60 hombres 40 mujeres 20 hombres Las probabilidades de estos eventos con base a la expresión algebraica de la probabilidad son: ( A) = = = 0.70 = 70% ( B) = = = 0.30 = 30%

2 Cuando los eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ambos ocurran al mismo tiempo es igual a 0, lo que nos permite concluir que eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo es decir, si alguno de ellos sucede, los restantes no pueden suceder. Ejemplo 2: Consideremos el experimento de tirar dos dados y precisamos los siguientes eventos: (,) (,2) (,3) (,4) (,5) (,6) (2,) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Cuál es la probabilidad de obtener un 5 o un cuando se lanza un par de dados? Sea A el evento de que ocurra 5 y B de que suceda el ; el 5 resulta en 4 de los 36 puntos muéstrales (4, 23, 32, 4), y el resulta en 4 de los 36 resultados (36, 45, 54, 63). Dado que todos los puntos muéstrales son igualmente posibles, tenemos que (A) = / y (B) = /. Los eventos son mutuamente excluyentes dado que 5 y no pueden presentarse en un mismo lanzamiento, por tanto: 2 ( A B) = + = = 0.22 = 22% Si A y B son eventos no mutuamente excluyentes (eventos que si tienen elementos comunes), la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B o ambas es igual a la probabilidad de que ocurra el evento A más la probabilidad de que ocurra el evento B menos la probabilidad de que ambos eventos A y B ocurran. Ejemplo 2. Si la probabilidad de que el Equipo de Fútbol Soccer América gane su primer juego en el torneo clausura 2004 es de /2, y la probabilidad de que gane su segundo juego es /3; Cual es la probabilidad de que al menos gane uno de sus dos primeros juegos, si la probabilidad de que gane ambos es de /6? Si llamamos A al evento gane su primer juego. (A) = / 2 B al evento gane su segundo juego. (B) = / 3 or lo tanto el evento gane los dos primeros juegos será: ( A B ) = / 6 Entonces la probabilidad de que el equipo América gane por lo menos uno de sus dos primeros juegos será:

3 (A o B) = (A) + (B) (A B) = /2 + /3 /6 = 3/6 + 2/6 /6 = = 4 / 6 = = 66.7% Se dice que dos sucesos A y B son dependientes, si el hecho de que ocurra o no uno de ellos, influye en que suceda el otro. or ejemplo al lanzar un dado, el suceso "salir impar" y el suceso "salir 5" son dependientes, ya que el hecho de que salga 5 nos asegura que ocurre el otro suceso. Dos eventos son independientes, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta a la ocurrencia del otro. or ejemplo: Consideremos el experimento de lanzar dos monedas, cuál es la probabilidad de que en la primera moneda aparezca águila y de que en la segunda moneda aparezca sol? Si A es el evento aparece águila en la primera moneda y si B es el evento aparece sol en la segunda moneda, entonces: U = {(SS), (SA), (AS), (AA) }. [( AS )( AA )] ( ) A = A B [( SS )( AS )] ( ) = B = = 2 = = 4 2 Como A y B son eventos independientes, porque la ocurrencia de A no afecta a la concurrencia de B y viceversa, entonces: ( AoB) = ( A) ( B) Si dos sucesos A y B son independientes, es evidente que: A = B B A ( A ) = ( B ) Consideremos la experiencia compuesta de lanzar un dado y sacar una carta de una baraja española. Consideremos los sucesos A = "salir un 6 en el dado" y B = "sacar una carta de oros". Evidentemente, se trata de dos sucesos independientes, ya que el hecho de que ocurra un suceso no influye en que suceda el otro, pues la probabilidad de A Ç B es: ( A B ) = = = 0. 04

4 La posibilidad de que se presente un evento de un experimento aleatorio, cuyo espacio muestral contiene un numero finito de elementos, se evalúa por medio de un conjunto de números reales llamados pesos o probabilidades los cuales caen en el rango de 0 a. A cada punto en el espacio muestral se le asigna una probabilidad tal que la suma de todas las probabilidades es. Existen tres tipos de probabilidades que se presentan bajo condiciones ya sea de dependencia o de independencia estadística: MARGINAL ROBABILIDAD CONJUNTA CONDICIONAL Una probabilidad marginal es la probabilidad simple de presentación de un evento. ara su calculo se pueden utilizar cualquiera de los enfoque de probabilidad vistos con anterioridad, ya sea el clásico o el de frecuencia relativa, mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos en los que se presenta el evento sencillo. or ejemplo si en el juego de DOMINO mezclamos las fichas de acuerdo con las normas convencionales, la probabilidad de extraer cualquier ficha en el primer intento es = / 28; si no se reintegra, la probabilidad de extraer alguna de las restantes en el segundo intento es = / 27, si no se reintegra en el tercer intento será de /26 y así consecutivamente. La probabilidad de dos o más eventos independientes que se presentan juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales: (A y B) = (A) (B) Ejemplo : Una caja de fusibles contiene 20 piezas de las cuales 5 están defectuosas. Si se seleccionan al azar 2 y se sacan de la caja en sucesión sin reemplazo del primero Cual es la probabilidad de que ambos fusibles resulten defectuosos? Sea A el evento de que el primer fusible este defectuoso y B el que el segundo fusible también; entonces se interpreta A y B como el evento de que A ocurre y a continuación lo hace B.

5 La probabilidad de sacar primero un fusible defectuoso es 5/20 o sea /4; la probabilidad de extraer un segundo fusible defectuoso de los restantes 4 es igual a 4/. or lo tanto: (A y B) = (/4) (4 /) = / = 0.05 = 5 %. Bajo condiciones de dependencia estadística los modelos cambian a los siguientes: (A y B) = (A) (B/A) o (B y A) = (B) (A/B) Ejemplo: un jurado consiste en personas nacidas en el país y tres personas nacidas en el extranjero. Si seleccionamos para una entrevista a 2 miembros del jurado, Cual es la probabilidad de que ambos sean extranjeros? Si designamos E al evento que el primer jurado elegido sea extranjero y como B que el segundo jurado elegido sea extranjero, y suponemos probabilidades iguales para cada alternativa, la probabilidad de que el primer jurado seleccionado sea extranjero es (E) = 3/2. De acuerdo a esto si el primer jurado seleccionado es extranjero la probabilidad de que el segundo jurado también sea extranjero es (B/E) = 2 /. or lo tanto la probabilidad de tener dos jurados nacidos en el extranjero es: (E y B) = (E) (B/E) = (3/2) ( 2/) = /22 = = 4.5%