LA FÓRMULA DE ERLANG Y EL ANÁLISIS DE REDES DE COMUNICACIONES

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1 La fórmula de Erlang y el análisis de redes de comunicaciones LA FÓRMULA DE ERLANG Y EL ANÁLISIS DE REDES DE COMUNICACIONES 1. INTRODUCCIÓN (*) Desde su descubrimiento, la fórmula de pérdidas de Erlang ha tenido un profundo impacto en el diseño de las redes de telecomunicaciones. Hasta los años ochenta, cuando los computadores personales se convirtieron en herramienta de cálculo disponible para los ingenieros, las tablas de pérdidas de Erlang se encontraban en la mesa de trabajo de los ingenieros que diseñaban las redes telefónicas. Hoy en día, se utilizan aplicaciones para realizar los cálculos mediante computadores. La teoría de la probabilidad, donde se define la fórmula de Erlang, es una herramienta ideal para analizar el rendimiento de una red de telecomunicaciones, teniendo en cuenta el carácter aleatorio de las llamadas telefónicas, tanto en su duración como en el instante en que se producen, de forma que, teniendo en cuenta el tamaño de las redes telefónicas y el número masivo de conexiones que se establecen, pronto se vio la idoneidad del análisis estadístico para el diseño de las redes telefónicas conmutadas. Antes de la introducción de la moderna tecnología de redes de alta velocidad o banda ancha, la red telefónica conmutada acomodaba las llamadas telefónicas en circuitos físicos, de forma que para una conexión entre dos puntos unidos por una secuencia de líneas telefónicas se disponía en cada línea de un número de circuitos C que fijaba el máximo de conexiones telefónicas para una determinada línea de la red, de forma que si estos circuitos estaban ocupados, sería rechazada una llamada que intentara establecer una conexión que usara esta línea. La fórmula de Erlang nos proporciona la probabilidad B de que al intentar establecer una llamada telefónica, ésta sea rechazada por estar ocupados todos los circuitos existentes en la línea que ha de utilizar esta llamada. La probabilidad B en cada línea de una red telefónica es un parámetro de rendimiento básico de la red. Si en una red de comunicaciones fijamos un valor máximo B m para este parámetro, estamos definiendo un parámetro básico de la calidad de servicio que ofrece la red. Partiendo del conjunto de usuarios potenciales de una red de comunicaciones y del uso que necesitan hacer de la red, el parámetro B m determinará la capacidad de las líneas de la red de telecomunicaciones y por tanto será un criterio fundamental al diseñar la red; así mismo, un aumento en la capacidad de las líneas de la red conducirá a una disminución de la probabilidad de pérdida o bloqueo de las llamadas que los usuarios quieran realizar. Por otra parte, la fórmula de Erlang no sólo se usa en el diseño de una red de comunicaciones sino también en los complejos algoritmos que realizan el encaminamiento dinámico de conexiones en una determinada red con la finalidad de equilibrar la calidad de servicio en el conjunto del sistema. También señalaremos que, además de la formulación simple de la fórmula de pérdidas que presentaremos, el desarrollo teórico permite obtener modelos realmente complejos para el análisis estadístico de redes y sistemas con pérdidas. (*) Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea. Informatika Fakultatea, P.K. 649, Donostia-San Sebastián. ccpalirx@si.ehu.es 166 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

2 Erlang-en formula eta komunikazio sareen analisia 1. SARRERA ERLANG-EN FORMULA ETA KOMUNIKAZIO SAREEN ANALISIA (*) Erlang-en galera formulak, garatua izan zenetik, eragin sakona izan du telekomunikazio sareen diseinuan. Laurogeiko hamarraldian konputagailu pertsonalak ingeniarien euskuetan kalkulu tresna bihurtu aurretik, telefono sareak diseinatzen zituzten ingeniarien lan mahaietan aurkitzen ziren Erlangen galera taulak. Gaur egun, aplikazio bereziak erabiltzen dira konputagailuen bidez egiteko formula honi dagozkion kalkuluak. Erlang-en formula probabilitate teorian oinarritzen da, teoria hau guztiz egokia izanik telekomunikazio sareen errendimendua analizatzeko. Kontuan hartzen badugu telefonozko deiaren izaera aleatorioa, bai deiaren iraupenari eta bai deia gertzen den uneari dagokionez, eta bestalde kontuan izanik telefono sareen tamaina eta ezartzen diren konexioen konpuru handia, laster ikusi zen analisi estatistikoaren egokitasuna telefono sare konmutatuen diseinurako. Abiadura handiko edo banda zabaleko sareen teknologia modernoa hedatu aurretik, telefono sare konmutatuak zirkuitu fisikoetara egokiarazten zituen telefonozko deiak. Honela, sareko bi punturen artean konexioa ezarri nahi zenean, bi puntu hauek telefono linea batzuen sekuentziak lotzen zituelarik, linea bakoitzak C zirkuitu kopuru zehatz bat zuen eta kopuru honek mugatzen zuen sareko linea horretan ezar zitezkeen telefono konexioen kopuru handiena. Ondorioz linea bateko zirkuitu denak hartuta bazeuden, telefonozko dei batek linea hau erabili beharko zuen konexioa ezartzen saiatuz gero, dei hori ez zuen onartuko telefono sareak. Erlang-en formulak probabilitate hau kalkulatzen digu: telefonozko deia ezartzen saiatzen garenean, dei honek erabili behar duen lineako zirkuitu denak hartuta egoteagatik, deia ez onartzeko B probabilitatea. Telefono sareko linea bakoitzari dagokion B probabilitatea, sarearen errendimendua aztertzeko oinarrizko parametroa da. Komunikazio sare batean parametro honek har lezakeen B m balio handiena finkatzen badugu, sareak eskaintzen duen zerbitzuaren kalitaterako oinarrizkoa den parametroa definitzen dugu. Ezaguna bada komunikazio sarean izan ditzakegun erabiltzaileen kopurua eta baita hauek behar duten sarearen erabilera ere, B m parametroak mugatuko du telekomunikazio sareko lineen ahalmena eta ondorioz funtsezko irizpidea izango da sarea diseinatzerakoan; oro har, sareko lineen ahalmena gehitzen badugu, erabiltzaileek egin nahi dituzten deiak galdu edo ez onartzeko probabilitatea gutxitu egingo da. Bestalde, Erlang-en formula ez da erabiltzen komunikazio sareen diseinuan soilik, baita sare batean konexioen bideratze dinamikoa egiten duten algoritmo konplexuetan ere, honen helburua izanik sistema osoaren zerbitzu kalitatea orekatzea. Lan honetan aurkeztuko dugun Erlang-en galera formularen adierazpen sinpleaz gain, azpimarratuko dugu garapen teorikoak oso eredu konplexuak ematen dizkigula galeradun sare eta sistemen analisi estatistikoa egiteko. (*) Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea. Informatika Fakultatea, P.K. 649, Donostia-San Sebastián. ccpalirx@si.ehu.es Noviembre ko Azaroa 167

3 La fórmula de Erlang y el análisis de redes de comunicaciones Comenzaremos con una reseña biográfica de Agner K. Erlang, nacido en 1878 en Lonborg, en la región danesa de Jutlandia, y fallecido en 1929 en Copenhague. Era descendiente, por parte materna, de Thomas Fincke, matemático que vivió entre los siglos XVI y XVII. Su padre era maestro de escuela y la educación del joven Erlang transcurrió en la escuela de su padre. Revalidó sus estudios escolares examinándose en Copenhague a la edad de catorce años, después de obtener una autorización expresa pues no tenía la edad mínima exigida. Superó las pruebas con una distinción especial. Volvió a Lonborg donde enseñó en la escuela de su padre durante dos años. En 1896 superó el examen de acceso en la Universidad de Copenhague, con mención especial, y como su familia era pobre, se le concedió alimentación y alojamiento gratuito en un colegio de la Universidad de Copenhague. Sus estudios universitarios se centraron en las matemáticas, que complementó con la física, la química y la astronomía. Asistió a las clases de los matemáticos Zeuthen y Juel, con los que se interesó en los problemas geométricos, interés que perduró a lo largo de su vida. Se graduó en 1901 y durante varios años ejerció la docencia en escuelas. En este tiempo continuó su estudio de las matemáticas y recibió un premio por un escrito sobre la solución de Huygens para problemas infinitesimales. Su interés se dirigió hacia la teoría de la probabilidad y su afición por la matemáticas le condujo a ingresar en la Asociación Matemática. En la Asociación Matemática se encontró con Jensen, que entonces era el ingeniero jefe en la Compañía Telefónica de Copenhague y que persuadió a Erlang para que aplicara sus conocimientos al estudio del problema de los tiempos de espera en las llamadas telefónicas. En 1908 Erlang entró en la Compañía Telefónica de Copenhague y empezó a aplicar la teoría de la probabilidad a los diversos problemas que se plantean en el contexto de las llamadas telefónicas. Publicó su primer artículo sobre estos problemas, La teoría de la probabilidad y las conversaciones telefónicas, en 1909 y proporcionó en 1917 una fórmula para pérdidas y tiempos de espera que pronto fue utilizada por las compañías telefónicas de numerosos países, entre ellas la British Post Office. Continuaremos nuestro artículo exponiendo en primer lugar algunos elementos fundamentales de la teoría de la probabilidad, en particular de la teoría de la renovación, que nos permitirán deducir seguidamente la fórmula de pérdidas de Erlang. Finalmente trataremos de mostrar la vigencia de la teoría iniciada por Erlang en el análisis de las modernas redes de telecomunicaciones. Las redes telefónicas de circuitos conmutados han dado paso a las nuevas tecnologías que provienen de las redes telemáticas diseñadas para las comunicaciones entre computadores. En la evaluación del rendimiento de las nuevas redes de comunicaciones, denominadas 168 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

4 Erlang-en formula eta komunikazio sareen analisia Agner K. Erlang-en biografia labur bat azalduz hasiko gara. Lonborg-en, Danimarkako Jutlandia lurraldean, jaio zen 1878an, eta Kopenhagen zendu zen 1929an. Amaren aldetik, XVI eta XVII. mendeen artean bizi izan zen Thomas Fincke matematikariaren ondorengoa zen. Bere aita eskolako maisua zen eta Erlang gaztearen hezkuntza aitaren eskolan igaro zen. Eskolako ikasketak Kopenhagen baliotu zituen, azterketak hamalau urterekin eginez, baimen berezia lortu ondoren, eskatzen zen gutxieneko adina ez baitzuen. Saioak aipamen bereziarekin gainditu zituen. Lonborg-era itzuli zen non aitaren eskolan irakatsi zuen bi urtean. Kopenhageko Unibertsitaterako sarrera azterketa 1896an gainditu zuen, aipamen bereziarekin, eta bere familia behartsua izanik, doako mantenu eta bizilekua eskaini zitzaion Kopenhageko Unibertsitateko ikastetxe batean. Unibertsitateko ikasketak matematikan egin zituen, eta osagarri bezala fisika, kimika eta astronomia ikasi zituen. Zeuthen eta Juel matematikarien eskoletara joan zen, problema geometrikoak aztertuz, eta gai hauekiko interesa bere bizitzan zehar iraun zuen. 1901an lortu zuen gradua eta urte batzuetan irakaskuntzan aritu zen eskolatan. Garai honetan matematika ikasten jarraitu zuen eta saria eman zioten problema infinitesimaletarako Huygens-en soluzioari buruzko idazlan batengatik. Ondoren probabilitate teoriarantz zuzendu zuen bere interesa eta matematikarako zaletasunari jarraituz Matematika Elkargoaren kide egin zen. Matematika Elkargoan Jensen ezagutu zuen, garai hartan Kopenhageko Telefono Konpainiako ingeniari nagusia zena, eta honek Erlang erakarri zuen bere matematika jakinduria aplika zezan telefonozko deietako itxarote denboren problema aztertzeko. Erlang Kopenhageko Telefono Konpainian sartu zen 1908an eta probabilitate teoria aplikatzen hasi zen telefonozko deien inguruan sortzen diren hainbat problema aztertuz. 1909an argitaratu zuen problema hauei buruzko bere lehenengo artikulua, Probabilitate teoria eta telefonozko elkarrizketak izenekoa, eta 1917an galera eta itxarote denboretarako formula lortu zuen. Herrialde askotako telefono konpainiek laster erabili zuten formula hau, horien artean British Post Office konpainia. Gure artikuluaren edukiari dagokionez, probabilitate teorian funtsezkoak diren elementu batzuk azalduko ditugu lehenik, zehazki berritze teoriako emaitza batzuk, honela Erlangen galera formula deduzitu ahal izango baitugu jarraian. Ondoren saiatuko gara adierazten Erlang-ek abiarazi zuen teoriak baliozkoa izaten jarraitzen duela telekomunikazio sare modernoen analisian. Teknologia berriek ordezkatu dituzte zirkuitu konmutatuzko telefono sareak. Konputagailuak komunikatzeko diseinatutako sare telematikoetan oinarritzen dira teknologia modernoak, banda zabaleko edo abiadura handiko sareak izenarekin ezagutzen direnak. Komunikazio sare Noviembre ko Azaroa 169

5 La fórmula de Erlang y el análisis de redes de comunicaciones redes de banda ancha o alta velocidad, siguen siendo válidas las nociones probabilísticas que hace casi un siglo formuló Agner Erlang. Concluimos el artículo con una extensión del modelo de pérdidas de Erlang, denominada la mochila estocástica, que constituye una generalización útil para las redes de alta velocidad. 2. ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE LA RENOVACIÓN Vamos a introducir las nociones básicas de la teoría de la probabilidad y los resultados de la teoría de la renovación que necesitamos para deducir la fórmula de pérdidas de Erlang. Los procesos estocásticos constituyen el modelo probabilístico que estudiaremos. Formalmente, un proceso estocástico en tiempo continuo es una familia de variables {X (t), t 0} donde t es un índice temporal y para cada instante tenemos definida la variable aleatoria X (t) que interpretamos como el estado del sistema. El conjunto de estados en los que puede estar el sistema será numerable. El concepto de proceso estocástico surge cuando queremos definir un modelo matemático de un sistema que evoluciona a lo largo del tiempo de manera probabilística. El sistema a modelar puede ser de naturaleza muy diversa, se utilizan procesos estocásticos en variedad de campos como la física-química, biología, economía. En cada instante está definido el estado del sistema, estado que también se definiría de forma variada, pero con el requisito de que trabajamos con un conjunto de estados discreto. El sistema evoluciona a lo largo del tiempo realizando transiciones de un estado a otro. Tenemos un proceso estocástico cuando estas transiciones se realizan de manera aleatoria de forma que necesitamos definir un modelo probabilístico para analizar la evolución del sistema. Una cuestión básica que nos interesa en un proceso estocástico es la existencia de probabilidades límite para los estados y también la existencia del límite para los promedios temporales de magnitudes que nos interesan. Vamos a estudiar las condiciones bajo las que podemos asegurar la existencia de estos límites y el procedimiento para calcularlos. El requisito para que en un proceso estocástico podamos definir una distribución límite para los estados es que dicho proceso sea regenerativo, es decir, que el proceso llegue siempre al estado inicial y se renueve probabilísticamente. Intuitivamente podemos pensar que bajo esta condición los límites que buscamos estarán definidos. Antes de seguir formalmente con los procesos regenerativos introduciremos los procesos de renovación, que son conceptualmente más simples. En un proceso de renovación prescindimos del sistema que evoluciona transitando entre distintos estados y nos quedamos sólo con los instantes de renovación. Formalmente un proceso de renovación es una secuencia de variables aleatorias X 1, X 2,... independientes y con igual distribución, con una esperanza m finita. Cada variable X i nos da el tiempo transcurrido entre dos renovaciones sucesivas. Recordaremos que en un proceso de renovación existe, con probabilidad uno, el siguiente límite: lim t N (t) /t = 1/m, donde N (t) es el número de renovaciones que han ocurrido hasta el instante t. Por tanto, la inversa de la esperanza del tiempo entre renovaciones, 1/m, nos proporciona la tasa de renovación del proceso, tasa definida como límite del promedio temporal de renovaciones. Como ejemplo de proceso de renovación podemos considerar las llegadas que se producen a un determinado sistema: clientes que llegan a una tienda, llamadas que se reciben en una central telefónica, nacimientos en un territorio. Si asumimos la independencia e igual distribución de los tiempos entre renovaciones, en este caso llegadas, el modelo matemático correspondiente es un proceso de renovación caracterizado por su tasa de llegadas. Seguimos ahora con los procesos estocásticos regenerativos, que tienen un proceso de renovación asociado, de forma que cuando ocurre una renovación el proceso parte de nuevo 170 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

6 Erlang-en formula eta komunikazio sareen analisia berrietan ere errendimendua ebaluatzeko baliozkoak dira Agner Erlang-ek formulatu zituen probabilitate oinarriak orain dela ia mende bat. Artikulua amaituko dugu Erlang-en galera ereduaren hedapen batekin, zorro estokastikoa izeneko eredu honen egokitasuna ikusiko dugu abiadura handiko sareak aztertzeko. 2. BERRITZE TEORIAKO ELEMENTUAK Probabilitate teoriako oinarrizko kontzeptu batzuk azalduko ditugu, baita berritze teoriako zenbait emaitza ere, Erlang-en galera formula deduzitzeko erabiliko ditugunak. Prozesu estokastikoak dira garatuko dugun teoriaren abiaburuko probabilitate ereduak. Formalki, denbora jarraituko prozesu estokastikoa aldagai familia bat da, {X (t), t 0}, non t denbora indizea den, eta une bakoitzean X (t) aldagai aleatorioa definituta dugu, sistema baten egoera bezala interpretatzen duguna. Sistemak har ditzakeen egoera desberdinen kopurua zenbakigarria izango da. Prozesu estokastikoaren kontzeptua sortzen da sistema baten bilakaera definitu nahi denean eredu matematiko baten bidez, sistemaren bilakaera denboran zehar era probabilistikoan gertatzen denean. Eredua definitzen den sistemaren natura era askotakoa izan daiteke, prozesu estokastikoak hainbat eremutan erabiltzen dira, adibidez fisika eta kimikan, biologian, ekonomian eta abar. Une bakoitzean sistemaren egoerak definituta egon behar du, egoera hau era ezberdinetan defini dezakegu sistemaren arabera, eskatzen den baldintza da egoera multzoa diskretua izatea. Sistemaren bilakaeran denboran zehar trantsizioak gertatzen dira egoera batetik bestera. Prozesu estokastikoa dugu trantsizio hauek era aleatorioan gertatzen badira, honela bada eredu probabilistikoa definitu behar dugu sistemaren bilakaera analizatzeko. Prozesu estokastiko bat aztertzen dugunean oinarrizko galdekizuna da egoeren limiteko probabilitateen existentzia, eta oro har gure interesa duten magnitudeen denboran zeharreko batez bestekoen limiteen existentzia. Limite hauen existentzia ziurtatzen duten baldintzak aztertuko ditugu, baita limite hauek kalkulatzeko prozedura ere. Prozesu estokastiko bat emanik, egoeren limiteko banaketa definitu ahal izateko baldintza, prozesu hau birsortzailea izatea da, honek esan nahi du prozesua beti itzuliko dela hasierako egoerara eta probabilistikoki berrituko dela. Intuizioz ikus dezakegu baldintza hau betetzen denean lortu nahi ditugun limiteak definituta daudela. Prozesu birsortzaileekin formalki jarraitu aurretik, berritze prozesuak aipatuko ditugu, kontzeptu sinpleagoari dagozkion ereduak. Egoera batetik besterako trantsizioen bidez bilakatzen den sistema alde batera utziko dugu berritze prozesuan eta berritze uneak soilik kontsideratuko ditugu. Formalki, berritze prozesua X 1, X 2,... aldagai aleatorioen sekuentzia da, non aldagaiak independenteak diren eta banaketa berdina duten, m izanik hauen itxarotako balio finitua. X i aldagai bakoitzak ematen digu segidako bi berritzeren artean igarotako denbora. Gogoratuko dugu berritze prozesu batean existitzen dela, bat probabilitatearekin, limite hau: lim t N (t) /t = 1/m, non N (t) den t unea bitartean gertatu diren berritzeen kopurua. Ondorioz, berritze arteko denboraren itxarotako balioaren alderantzizkoak, 1/m balioak, prozesuaren berritze tasa ematen digu, tasa hau definitzen dugularik berritze kopuruaren denboran zeharreko batez bestekoaren limite bezala. Berritze prozesuen adibide bezala aipatuko dugu sistema batera iristen diren etorrerak: denda batera iristen diren bezeroak, telefono zentral batean jasotzen diren deiak, herrialde bateko jaiotzak. Etorrerak lirateke orain berritzeak. Etorrera arteko denborak independenteak direla eta banaketa berdina dutelako hipotesia egiten badugu, dagokion eredu matematikoa berritze prozesu bat da, etorrera tasa jakin batekoa. Jarrai dezagun prozesu birsortzaileekin. Hauek berritze prozesua dute elkartuta, berritzea gertatzen denean prozesua hasierako egoeratik abiatzen da, hasierako egitura probabilistiko Noviembre ko Azaroa 171

7 La fórmula de Erlang y el análisis de redes de comunicaciones del estado inicial y con la misma estructura probabilística inicial. Si se cumple el requisito adicional de que los tiempos entre renovaciones sean variables aleatorias continuas, entonces existen los límites en el tiempo de las probabilidades para los distintos estados j: P j = lim P { X (t) = j } Conviene interpretar estas probabilidades en el límite como límites de promedios temporales, es decir, si designamos como T (j) el tiempo que el proceso permanece en j en un intervalo de longitud T, se demuestra que los límites anteriores coinciden con los límites de los promedios temporales lim T T (j) /T. Las ecuaciones de balanza permiten calcular las probabilidades límite de los estados en un proceso regenerativo: para todo estado j, tasa de visitas a j = = i tasa de transiciones de i a j La tasa de transiciones de un estado a otro es el límite del promedio temporal de dichas transiciones, y en la tasa de visitas a un estado se consideran las transiciones a este estado desde distintos estados. Estas ecuaciones permiten efectivamente obtener las probabilidades límite como veremos más adelante. Junto con los resultados que hemos recogido de la teoría de la renovación, para realizar el análisis que nos conduzca a la fórmula de Erlang necesitamos el concepto básico e importante de sistema exponencial o sin memoria. Recordamos que la variable aleatoria exponencial, que es no negativa, tiene una función de distribución exponencial caracterizada por su parámetro µ, siendo la esperanza de la variable 1 / µ. Una variable aleatoria exponencial X tiene la propiedad de carecer de memoria, expresamos formalmente esta propiedad escribiendo que para cualquier s, t se cumple la igualdad P {X > s + t X > s} = P {X > t}. Por otra parte, la variable aleatoria que se define como mínimo de dos variables aleatorias exponenciales independientes también tiene una disribución exponencial, siendo su parámetro la suma de parámetros. Esto permite considerar un sistema exponencial como un sistema en que se desarrollan en el tiempo múltiples procesos independientes definidos por eventos discretos que ocurren en tiempos exponenciales: el sistema evolucionará de forma aleatoria entre distintos estados globales realizando transiciones de un estado a otro de forma que el tiempo entre transiciones sucesivas tendrá una distribución exponencial. Denominaremos a estos sistemas probabilísticos como sistemas exponenciales o sin memoria. El estudio de un proceso estocástico que corresponde a un sistema exponencial se simplifica notablemente puesto que recurriremos en el análisis a la falta de memoria del proceso. La hipótesis de que el sistema es exponencial, es decir sin memoria, nos facilita por tanto el estudio matemático. Este modelo probabilístico también se caracteriza como una cadena de Markov en tiempo continuo, es decir, un proceso estocástico donde conocido el estado en un instante determinado la evolución posterior del sistema es independiente del pasado. El proceso de Poisson es un modelo exponencial simple definido como un proceso de llegadas que sigue un proceso de renovación y donde los tiempos entre llegadas tienen una distribución exponencial. Podemos considerar el proceso de recuento N (t) asociado, proceso estocástico que define un sistema exponencial o sin memoria. Finalmente vamos a considerar un sistema más complejo, donde se producen llegadas externas que siguen un proceso de Poisson, diremos que llegan clientes al sistema. El teorema de 172 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

8 Erlang-en formula eta komunikazio sareen analisia berarekin. Baldintza gehigarri hau betetzen bada, berritze arteko denborak aldagai aleatorio jarraituak izatea, orduan existitzen dira j egoera ezberdinetarako probabilitateen denborarekiko limiteak: P j = lim P { X (t) = j } Limiteko probabilitate hauek interpreta ditzakegu denboran zeharreko batez bestekoen limiteak bezala. Hau da, izan bedi T (j) prozesuak j egoeran igarotzen duen denbora T luzerako denbora tartean, froga daiteke aurreko limitea eta lim T T (j) /T denboran zeharreko batez bestekoaren limitea berdinak direla. Prozesu birsortzailean balantza ekuazioen bidez kalkulatuko ditugu limiteko probabilitateak: edozein egoera j-rako, j-rako bisita tasa = = i i-tik j-rako trantsizio tasa Egoera batetik besterako trantsizio tasa, trantsizio hauen denboran zeharreko batez bestekoaren limitea da, eta egoera baten bisita tasarako egoera ezberdinetatik egoera honetarako trantsizioak hartuko ditugu. Aurrerago ikusiko dugunez, ekuazio hauetatik limiteko probabilitateak lortu ahal izango ditugu. Berritze teoriatik jaso ditugun emaitza hauekin batera, Erlang-en galera formula deduzitzeko egingo dugun analisian behar izango dugu sistema esponentzial edo oroimen gabearen kontzeptu garrantzitsua. Gogoratuko dugu aldagai aleatorio esponentziala, ez negatiboa, zeinen banaketa funtzioa µ parametroko funtzio esponentziala den, aldagaiaren itxarotako balioa 1/ µ izanik. X aldagai aleatorio esponentzialak duen propietatea, oroimenik ez izatea da; formalki honela adieraziko dugu propietate hau: edozein s, t-rako, P {X > s + t X > s} = P {X > t}. Bestalde, aipatuko dugu bi aldagai aleatorio esponentzial independenteren minimo bezala definitzen den aldagai aleatorioak ere banaketa esponentziala duela, honen parametroa izanik hasierako bi aldagaien parametroen batura. Oro har, sistema bati esponentziala deituko diogu baldin sisteman hainbat prozesu independente garatzen badira denboran zehar, denbora esponentzialeko gertaera diskretuen bidez definituak: sistema era aleatorioan bilakatuko da egoera ezberdinen artean, trantsizioak eginez egoera batetik bestera, segidako trantsizioen arteko denborak banaketa esponentziala izango duelarik. Honelako sistema batek definitzen duen eredu probabilistikoari, sistema esponentziala edo oroimen gabea deituko diogu. Sistema esponentzial bati dagokion prozesu estokastikoaren analisia nabarmenki sinpleagoa da, prozesuaren oroimenik eza erabiltzen baitugu analisian. Sistema oroimen gabea izateak, hau da, sistema esponentziala delako hipotesiak, azterketa matematikoa errazten digu ondorioz. Eredu probabilistiko hau, denbora jarraituko Markov kate bat bezala defini dezakegu, hau da, prozesu estokastiko bat non une jakin bateko egoera ezaguna bada orduan sistemak jarraituko duen bilakaera independentea den iraganarekiko. Definizio hauen baliokidetasuna, sistema oroimen gabea izatetik dator. Eredu esponentzial sinple bat Poisson prozesua da: berritze prozesu bat jarraitzen duen etorrera prozesua, non etorrera arteko denborek banaketa esponentziala duten. Poisson prozesuari N (t) kontaketa prozesua elkartzen zaio eta honek definitzen duen prozesu estokastikoa sistema esponentziala edo oroimen gabea da. Azkenik sistema konplexuagoa kontsideratuko dugu, non kanpotik etorrerak gertatzen diren Poisson prozesua jarraituz: esango dugu bezeroak datozela sistemara. Etorrera teoremak ondorengoa esaten du. Kontsideratu dugun sistemak {X (t), t 0} prozesu birsortzailea jarraitzen badu, non etorrera arteko denborak jarraituak diren, orduan j egoera bakoitzerako berdinak Noviembre ko Azaroa 173

9 La fórmula de Erlang y el análisis de redes de comunicaciones llegadas dice lo siguiente. En caso de que el sistema que consideramos siga un proceso regenerativo {X (t), t 0} con tiempos entre renovaciones continuos, entonces para cada estado j son iguales la probabilidad límite Pj = lim t P {X (t) = j}, y la probabilidad A j de que un cliente que llega al sistema observe que el sistema está en el estado j justo antes de entrar al sistema. La comprensión precisa de las condiciones que involucra este teorema requeriría un poco de reflexión. Haremos uso de este resultado técnico al derivar la fórmula de Erlang. 3. LA FÓRMULA DE PÉRDIDAS DE ERLANG Vamos a analizar un sistema a donde llegan clientes de acuerdo con un proceso de Poisson cuya tasa de llegadas es. Cada cliente permanece en el sistema un tiempo aleatorio exponencial de parámetro µ tras el cual sale del sistema. El sistema tiene una capacidad finita de forma que el número máximo de clientes en el sistema es C. Aquellos clientes que llegan al sistema cuando éste está lleno no entran al sistema, diremos que estos clientes se pierden, se trata por tanto de un sistema con pérdidas. Este modelo probabilístico corresponde al sistema de pérdidas que Agner Erlang aplicó para analizar las redes telefónicas. Una línea telefónica entre dos centrales conmutadoras puede establecer un número determinado de circuitos eléctricos, que es el número máximo de llamadas que puede transportar esta línea de manera simultánea. Si se trata de establecer una llamada adicional que haga uso de esta línea, esta llamada sería rechazada. Siguiendo la terminología que hemos introducido anteriormente, las llamadas telefónicas se corresponderían con los clientes que tratan de entrar al sistema. El número máximo de llamadas que se pueden establecer por la línea telefónica sería C. La tasa de llegadas correspondería a los intentos de establecer una llamada telefónica por esta línea. Cuando en la línea hay C llamadas en curso, se rechazaría el intento de establecer una llamada adicional. Una vez que se acepta establecer una determinada llamada, la duración de ésta sería exponencial con parámetro µ. El sistema de pérdidas que hemos descrito es una cadena de Markov en tiempo continuo, es por tanto un sistema exponencial o sin memoria. Concretamente es un proceso de nacimiento y muerte pues si X (t) = n es el número de llamadas en curso en el instante t a lo largo de la línea telefónica, seguidamente sólo puede haber una transición al estado n + 1 o al estado n 1. Ilustramos con una figura los estados y transiciones de este proceso de nacimiento y muerte. Además se trata de un proceso regenerativo.efectivamente, si partimos de un estado cualquiera, por ejemplo un sistema vacío, teniendo en cuenta que tenemos un número finito de estados y que dado un intervalo de tiempo determinado la probabilidad de pasar de un estado a otro es positiva, el proceso retornará al estado inicial en un tiempo finito con probabilidad uno, y proseguirá el proceso con la misma estructura probabilística inicial al ser un sistema sin memoria. Utilizaremos los resultados de la teoría de la renovación. Obtenemos las probabilidades límite del sistema de pérdidas de Erlang a partir de las ecuaciones de balanza. Para calcular la tasa de visitas de un estado n, es decir cuando tenemos n llamadas en curso, observamos que el tiempo para que alguna llamada finalice es exponencial con parámetro nµ y que el tiempo hasta producirse una nueva llamada es exponencial con parámetro, luego la esperanza del 174 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

10 Erlang-en formula eta komunikazio sareen analisia dira Pj = lim t P {X (t) = j} limiteko probabilitatea, eta sistemara etortzen den bezero batek sistema, zehazki bezeroa sisteman sartu aurretik, j egoeran dagoela ikusteko Aj probabilitatea. Pentsaketa txiki bat eskatzen digu teorema honetako baldintza eta ondorioen arteko erlazioa ulertzeak. Erlang-en formula eratortzeko erabiliko dugu emaitza tekniko hau. 3. ERLANG-EN GALERA FORMULA Eman dezagun sistema batera bezeroak datozela Poisson prozesua jarraituz, etorrera tasarekin. Bezero bakoitza sisteman egoten da denbora aleatorio batean, µ parametroko denbora esponentzialean, eta ondoren sistematik irteten da. Sistemak edukiera finitua du, C izango da sisteman batera egon daitezkeen bezeroen kopuru handiena. Sistema beteta dagoenean iristen diren bezeroak ez dira sartzen sisteman, esango dugu bezero hauek galdu egiten direla, galeradun sistema dela esango dugu beraz. Deskribatu dugun eredu probabilistiko hau dagokio Agner Erlang-ek telefono sareak analizatzeko aplikatu zuen galera sistemari. Bi zentral konmutatzaileren arteko telefono linea batean ezar daitezkeen zirkuitu elektrikoen kopurua mugatua da, kopuru hau da linea honetan aldi berean indarrean izan ditzakegun telefonozko deien kopuru handiena. Linea hau erabili behar duen dei gehigarri bat ezartzen saiatuz gero, dei hau ez da onartua izango. Lehenago erabili dugun terminologiari jarraituz, telefonozko deiak izango lirateke sisteman sartzen saiatzen diren bezeroak. Telefono linean zehar ezar daitezkeen deien kopuru handiena C litzateke. Linea honetatik telefonozko deiak ezartzeko saioei dagokie etorrera tasa. Linean C dei badaude indarrean, dei berri bat ezartzeko saioa ez litzateke onartuko, telefonozko dei hori galdu egingo litzateke. Telefonozko dei bat ezartzea onartuz gero, dei honen iraupena aleatorioa litzateke, µ parametroko denbora esponentziala. Sistema esponentziala edo oroimen gabea da deskribatu dugun galera sistema, hau da, denbora jarraituko Markov katea da, gorago eman dugun definizioaren arabera. Zehazki, jaiotza eta heriotza prozesu bat da, prozesua honela bilakatzen baita: t unean X (t) = n dei badaude indarrean telefono linean zehar, hau da, n egoeran bagaude, ondoren gertatuko den trantsizioa n + 1 egoerara edo n 1 egoerara izango da, eta ez beste egoera batera. Irudi baten bidez erakusten ditugu jaiotza eta heriotza prozesu honetako egoerak eta trantsizioak. Bestalde galera sistema honek prozesu birsortzailea definitzen du: egoera ezberdinetako batetik abiatzen bagara, adibidez sistema hutsa dagoeneko egoeratik, kontuan hartzen badugu egoera kopurua finitua dela eta, denbora tarte bat emanik, egoera batetik bestera igarotzeko probabilitatea positiboa dela, prozesua hasierako egoerara itzuliko da bat probabilitatearekin, eta ondoren prozesuak jarraituko du hasierako egitura probabilistiko berarekin oroimen gabeko sistema denez. Berritze teoriako emaitzak erabil ditzakegu beraz jaiotza eta heriotza prozesu hau aztertzeko. Balantza ekuazioetatik lortuko ditugu Erlang-en galera sistemaren limiteko probabilitateak. Hasteko egoera bakoitzaren bisita tasa kalkulatuko dugu. Eman dezagun n telefonozko dei daudela indarrean, hau da, n egoeran gaudela. Dakigunez, dei hauetako bat amaitu bitarteko denbora n µ parametroko aldagai esponentziala da, eta bestalde, dei berri bat egiteko saioa Noviembre ko Azaroa 175

11 La fórmula de Erlang y el análisis de redes de comunicaciones tiempo transcurrido hasta la siguiente transición es 1/ (nµ + ). De aquí deducimos que la tasa de visitas para el estado n es (nµ + ) P n, donde P n es la probabiliad límite del estado n. Con un razonamiento similar calcularemos la tasa de transiciones al estado n desde los estados n 1 y n + 1. Escribimos de esta manera las ecuaciones de balanza: P 0 = µ P 1 (µ + ) P 1 = P µ P 2... (n µ + ) P n = P n 1 + (n + 1) µ P n+1... ((C 1) µ + ) P C 1 = P C 2 + C µ P C C µ P C = P C 1 Podemos calcular una solución de este sistema de ecuaciones lineales homogéneo partiendo de P 0 = 1, de aquí P 1 = / µ y sucesivamente, para n = 2, 3,..., P n = ( / µ) n / n!. Obtenemos la distribución límite normalizando esta solución. Si escribimos = / µ, tenemos para n = 0, 1, 2,... las probabilidades límite: P n = n / n! C n = 0 n / n! La fórmula de Erlang se obtiene al considerar la probabilidad B de que una llamada no sea aceptada por no haber ningún circuito disponible en la línea telefónica. Esto ocurrirá cuando el intento de establecer la llamada se produzca encontrándose el sistema en el estado C. Por otra parte el teorema de llegadas nos dice que en los intentos de establecer llamadas telefónicas, la probabilidad de que el sistema se encuentre en uno u otro estado viene dada por las probabilidades límite del proceso regenerativo, que hemos calculado, luego tenemos que B = P C. Llegamos finalmente a otener la fórmula de Erlang, la probabilidad de que una llamada sea bloqueada: B = C / C! C n = 0 n / n! Esta fórmula nos proporciona un parámetro básico de la calidad de servicio que ofrece una red telefónica. Conociendo estadísticas de los usuarios del servicio, la determinación del valor máximo aceptable de este parámetro nos indica cómo dimensionar la red de comunicaciones. Señalaremos que la complejidad del cálculo de las probabilidades de bloqueo se reduce drásticamente si observamos la siguiente relación recursiva: B (C) 1 = B (C 1) 1 C /, donde escribimos la probabilidad B como función de la capacidad C de la línea. 4. UNA APLICACIÓN A LAS REDES DE ALTA VELOCIDAD Vamos a ilustrar la aplicación de la fórmula de Erlang considerando las actuales redes de alta velocidad, cuya tecnología nace de las redes de comunicación de computadores. El tráfico que transportaban estas redes telemáticas era básicamente archivos de distinto tipo y no se establecía una conexión entre el origen y el destino, sino que los nodos de la red decidían el camino a seguir, y tampoco había una transmisión en tiempo real sino que el tiempo de 176 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

12 Erlang-en formula eta komunikazio sareen analisia gertatu bitarteko denbora parametroko aldagai esponentziala da. Beraz hurrengo trantsizioa bitartean igaroko den denboraren itxarotako balioa 1/ (nµ + ) da. Honela deduzitu dugu n egoeraren bisita tasa (nµ + ) P n dela, non n egoeraren limiteko probabilitatea den P n. Antzeko arrazoiketa baten bidez kalkulatuko genituzke n 1 eta n + 1 egoeretatik n egoerarako trantsizioen tasak. Honela idazten dira balantza ekuazioak: P 0 = µ P 1 (µ + ) P 1 = P µ P 2... (n µ + ) P n = P n 1 + (n + 1) µ P n+1... ((C 1) µ + ) P C 1 = P C 2 + C µ P C C µ P C = P C 1 Ekuazio linealezko sistema homogeneo honen soluzio bat kalkula dezakegu P 0 = 1-etik abiatuz, hemendik P 1 = / µ dugu eta hurrenez hurren, n = 2, 3,... egoeretarako, P n = ( / µ) n / n!. Limiteko banaketa lortuko dugu soluzio hau normalizatuz. Beraz, = / µ idatziz, n = 0, 1, 2,... egoeren limiteko probabilitateak ditugu: P n = n / n! C n = 0 n / n! Erlang-en galera formulak ematen digu telefonozko dei bat onartua ez izateko B probabilitatea telefono linean zirkuitu erabilgarririk ez egoteagatik. Deia ez da izango onartua sistema C egoeran dagoela gertatzen bada deia ezartzeko saioa. Bestalde, gorago azaldu dugun etorrera teoremak esaten digu telefonozko deia ezartzeko saio bat gertatzen denean, sistema egoera batean edo bestean izateko probabilitateak, kalkulatu ditugun prozesu birsortzailearen limiteko probabilitateen berdinak direla, ondorioz B = P C dugu. Lortu dugu beraz Erlang-en formula, telefonozko dei bat blokeatua izateko probabilitatea: B = C / C! C n = 0 n / n! Telefono sare batek eskaintzen duen zerbitzu kalitatearen oinarrizko parametroa ematen digu formula honek. Zerbitzuaren erabiltzaileei buruzko estatistikak ezagutzen badira, parametro honetarako onar daitekeen balio handiena finkatuz komunikazio sarearen dimentsioak kalkula ditzakegu. Aipatuko dugu telefonozko deia blokeatzeko probabilitatearen kalkuluak duen konplexutasuna guztiz murrizten dela erlazio errepikari hau erabiltzen badugu: B (C) 1 = B (C 1) 1 C /, non linearen C edukieraren funtzio bezala idazten dugun B probabilitatea. 4. ABIADURA HANDIKO SAREETARAKO APLIKAZIOA Erlang-en formula aplika dezakegu gaur egungo abiadura handiko sareetan, konputagailuen komunikaziorako teknologian oinarritu diren sareetan. Sare telematiko hauek garraiatzen zuten trafikoa mota ezberdinetako artxiboek osatzen zuten oinarrian, eta ez zen konexiorik ezartzen jatorria eta helmugaren artean, sareko guneek erabakitzen baitzuten jarraitu beharreko bidea, Noviembre ko Azaroa 177

13 La fórmula de Erlang y el análisis de redes de comunicaciones transmisión dependía del estado de la red. Hoy en día la tecnología trata de integrar características de las redes telefónicas en la redes de alta velocidad, de forma que pueda haber tráfico de distintas características, en particular, tráfico de datos en tiempo no real y tráfico en tiempo real como voz y vídeo. Un ejemplo importante de tráfico en tiempo real sería una video-conferencia, donde no es aceptable un retraso mayor que una fracción de segundo.este tipo de tráfico exige desarrollar tecnologías que garanticen una calidad de servicio mediante conexiones virtuales que proporcionan un determinado ancho de banda. El ancho de banda que requiere un tráfico en tiempo real, por ejemplo vídeo, es variable según la calidad de la imagen que se requiera. En la sección siguiente consideraremos un modelo general donde las conexiones tienen distintos anchos de banda. Ahora vamos a simplificar el modelo de forma que vamos a considerar que las conexiones corresponden a video-conferencias con un ancho de banda común. Utilizaremos para los cálculos la red troncal de comunicaciones para centros académicos e investigadores del estado que se muestra en la figura. Hacemos la hipótesis de que se reserva la mitad de la capacidad de las líneas de transmisión para las conexiones de video-conferencia, de forma que si elegimos un ancho de banda de Kbps (kilobits por segundo) para una conexión individual, obtenemos capacidades para C = 500, 2000, 8000 conexiones para las líneas, cuyas tasas de transmisión corresponden a los estándares ópticos STM-1, STM-4 y STM-16 que detallamos más adelante. En la figura mostramos la probabilidad de bloqueo de una conexión como función de la carga. La carga viene definida por = / µ y en la figura está normalizada respecto de C. Por ejemplo, si hay = 500 intentos por hora de establecer una conexión y cada conexión tiene una duración media de 1 / µ = 1 hora, tendríamos una carga igual a la capacidad C = 500. Dada la naturaleza aleatoria de los intentos de establecer una conexión, así como de la duración de las conexiones, la probabilidad de bloqueo no es nula cuando /C = 1. Las tres curvas de la figura corresponden a las tres capacidades que estamos considerando, y se añade una asíntota que corresponde a una utilización óptima de la línea de transmisión, utilización óptima que no se puede alcanzar debido al carácter aleatorio de las conexiones. Observamos que a medida que aumenta la capacidad de la línea de transmisión, la curva de probabilidad de bloqueo se aproxima a la asíntota de utilización óptima. 178 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

14 Erlang-en formula eta komunikazio sareen analisia gainera garraioa ez zen denbora errealean burutzen, transmisio denbora sarearen egoeraren menpekoa zen. Gaur egungo teknologia saiatzen da telefono sareen ezaugarri batzuk abiadura handiko sareetara zabaltzen, ezaugarri ezberdineko trafikoa garraiatzeko helburuarekin, zehazki datu trafikoa denbora ez errealean eta bideoa edo ahotsa bezalako trafikoa denbora errealean. Denbora errealeko trafikoaren adibide garrantzitsua da bideokonferentzia, non onartezina den segundo zatikia baino atzerapen handiagoa. Mota honetako trafikoak eskatzen du dagokion zerbitzu kalitatea bermatuko duen teknologia garatzea, banda zabalera jakin bat eskainiko duten konexio birtualak ezartzeko gaitasuna izango duen teknologia. Denbora errealeko trafikoak, bideoak adibidez, behar duen banda zabalera aldakorra da, eskatzen den imajina kalitatearen arabera. Hurrengo atalean kontsideratuko dugu eredu orokorra, non konexioak banda zabalera ezberdinekoak izan daitezkeen. Orain aztertuko dugun eredua sinpleagoa da, banda zabalera komuneko bideokonferentziei dagozkien konexioak ditugula suposatuko baitugu. Kalkuluak egiteko irudian daukagun sarea erabiliko dugu, estatuko akademia eta ikerkuntza zentroetarako enborreko komunikazio sarea. Sareko lineen transmisio ahalmenaren erdia bideokonferentzia konexioetarako gordetzen delako hipotesia egingo dugu. Honela, konexio bakarrerako Kbps (kilobit segundoko) banda zabalera aukeratzen badugu, linea ezberdinetarako lortzen ditugun konexio edukierak C = 500, 2000, 8000 dira. Aipatuko dugu linea hauen transmisio tasak aurrerago deskribatuko ditugun STM-1, STM-4 eta STM-16 estandar optikoei dagozkiela. Hurrengo irudian adierazten dugu konexio bat blokeatzeko probabilitatea lineako kargaren funtzio bezala. Lineako karga = / µ bezala definitzen dugu eta irudian C-rekin normalizatuta dago. Adibidez, konexioak ezartzeko orduko = 500 saio gertatzen badira eta konexio bakoitzak 1/ µ = 1 orduko iraupena badu batez bestean, orduan karga C = 500 edukieraren berdina litzateke. Konexioak ezartzeko saioak denboran zehar aleatorioki gertatzen direnez, eta konexioen iraupena ere aleatorioa denez, blokeatzeko probabilitatea ez da hutsa /C = 1 kargarako. Kontsideratu ditugun hiru edukierei dagozkie irudiko hiru kurbak; asintota bat gehitu dugu, transmisio linearen erabilera optimoari dagokiona, baina konexioen izaera aleatorioagatik erabilera optimora ezin gaitezke hel. Irudian ikusten dugunez, linearen transmisio ahalmena handitzen den heinean, blokeatzeko probabilitatearen kurba hurbildu egiten da erabilera optimoaren asintotara. Noviembre ko Azaroa 179

15 La fórmula de Erlang y el análisis de redes de comunicaciones También podemos plantear los cálculos de la siguiente forma. Partiendo de una estimación de la carga, se determinará el ancho de banda de la línea de acuerdo con la probabilidad de bloqueo que se requiera. En la siguiente figura se representa la probabilidad de bloqueo de una conexión en función de la capacidad de la línea para una carga = La probabilidad se expresa como porcentaje. El ancho de banda se expresa en unidades OC-1, estándar que mide un tercio de una línea STM-1. También suponemos que para las conexiones de videoconferencia se reserva la mitad de la capacidad de la línea. 5. EXTENSIÓN DEL MODELO Describiremos una generalización del sistema de pérdidas de Erlang útil en el análisis de redes de banda ancha. En la red telefónica conmutada tradicional se establece una conexión a través de un circuito eléctrico y para una línea telefónica tenemos C circuitos. En una línea de alta velocidad las conexiones no se corresponden con circuitos físicos sino con circuitos virtuales cuyo ancho de banda puede ser variable. Si fijamos una unidad de ancho de banda, de forma que suponemos que a cada conexión le corresponde un múltiplo de esta unidad, el número entero C designará el ancho de banda total de la línea de alta velocidad expresada en dicha unidad. Entre los varios estándares de las redes ópticas, una línea STM-1 tiene un ancho de banda de Mbps (megabits por segundo), que es el triple del estándar OC-1, y para una línea STM-N el ancho de banda es N veces el de una línea STM-1. Se podría considerar una unidad de ancho de banda de Kbps, de forma que para establecer una video-conferencia se necesitaría una conexión de dos o tres unidades de ancho de banda. Si disponemos de una línea óptica STM-1, la capacidad de transmisión sería C = unidades. Vamos a suponer que se aceptan conexiones de distintas clases, de forma que una clase k está caracterizada por el ancho de banda de las conexiones que será un número entero b k de unidades. 180 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

16 Erlang-en formula eta komunikazio sareen analisia Kalkuluak beste era batera ere antola ditzakegu. Abiaburutzat hartzen dugu linearako aurreikusten den karga eta ondoren lineak izango duen banda zabalera erabakiko dugu onargarria den blokeatzeko probabilitatearen arabera. Hurrengo irudian dugu konexio bat blokeatzeko probabilitatea linearen edukieraren funtzio bezala, = 1000 karga aurreikusten badugu. Probabilitatea ehunekotan adierazten dugu. Banda zabalera adierazteko OC-1 unitatea erabiltzen dugu, estandar honen neurria izanik STM-1 linearen herena. Orain ere suposatzen dugu bideokonferentzien konexioetarako linearen transmisio ahalmenaren erdia gordetzen dela. 5. EREDUAREN ZABALTZEA Erlang-en galera sistemaren orokortze bat deskribatuko dugu, banda zabaleko sareen analisian erabilgarria izango den eredua definituz. Telefono sare konmutatu tradizionalean konexioa ezartzen da zirkuitu elektriko batean zehar eta telefono linea baterako C zirkuitu ditugu. Abiadura handiko linea batean konexio bati ez dagokio zirkuitu elektriko bat baizik zirkuitu birtual bat, eta honen banda zabalera aldakorra da. Eredua zehaztuz, banda zabalera neurtzeko unitate bat finkatuko genuke, honela konexio bakoitzaren banda zabalera unitate horren multiplo bat litzateke, eta C osokoak adieraziko luke abiadura handiko linearen banda zabalera osoa aipatutako unitatearekin. Sare optikoetan transmisio ahalmena neurtzeko erabiltzen diren estandarrak hartuz, STM-1 linearen banda zabalera Mbps (megabit segundoko) da, OC-1 estandarraren hirukoitza, eta STM-N linearen banda zabalera N aldiz STM-1 linearen banda zabalera da. Adibidez, banda zabalera neurtzeko unitate bezala Kbps har dezakegu, honela bideokonferentzia ezartzeko konexioaren banda zabalerak bi edo hiru unitatekoa izan beharko luke. STM-1 linea optiko bat badaukagu, transmisio ahalmena C = unitatekoa litzateke. Mota ezberdineko konexioak onartzen direla suposatuko dugu, k motaren ezaugarria izango delarik honelako konexioen banda zabalera, b k osokoa, definitu den unitatarekiko neurria. Noviembre ko Azaroa 181

17 La fórmula de Erlang y el análisis de redes de comunicaciones El modelo general que describiremos se denomina la mochila estocástica. Tenemos un sistema que tiene una capacidad de C unidades y donde llegan clientes que pertenecen a K clases distintas, de forma que un cliente de la clase k ocupa b k unidades del sistema. Si en un instante dado los clientes que se encuentran en el sistema ocupan un total de c unidades y llega un nuevo cliente de la clase k, éste será rechazado si c + b k > C. Los clientes de clase k llegan al sistema siguiendo un proceso de Poisson de tasa k. Un cliente de la clase k permanece en el sistema un tiempo aleatorio de esperanza 1/µ k. Ahora establecemos la analogía de forma que los clientes de la clase k se corresponden con los intentos de establecer una conexión de ancho de banda b k. Asimismo para cada clase de conexiones tenemos su tasa k de llegadas y el parámetro µ k del tiempo que dura la conexión. Aunque no escribiremos el análisis completo, el procedimiento es similar al modelo inicial. Se escriben las ecuaciones de balanza del proceso de Marcov regenerativo y se obtienen las probabilidades límite: P (n 1, n 2,..., n K ) = 1 G K k = 1 k nk n K! donde el vector (n 1, n 2,..., n K ) nos indica el número de conexiones por clase en curso. Como antes k = k / µ k. Y tenemos la constante de normalización: G = n 1 n 2... n K K k = 1 k nk n K! donde el sumatorio se extiende al espacio S de todos los posibles estados del sistema, en los que el ancho de banda total no puede sobrepasar C: S = {(n 1, n 2,..., n K ) K k = 1 b k n k C} Para calcular la probabilidad B k de que un intento de establecer una conexión de clase k sea rechazada tenemos que considerar el espacio S k de estados en los que el ancho de banda total no supera C b k. La suma de P (n 1, n 2,..., n k ) para todos los estados de S k nos proporciona 1 B k, la probabilidad de que una conexión de clase k sea aceptada. Observamos que aun para valores moderados de C y K el cálculo es impracticable por el tamaño exponencial de S y S k. Sin embargo se pueden definir algoritmos recursivos que calculan las probabilidades de bloqueo de forma eficiente, concretamente en O (CK) operaciones. Concluimos subrayando la aportación de Agner Erlang a los fundamentos matemáticos de la ingeniería de telecomunicaciones. Con su aplicación de la teoría de la probabilidad al análisis de redes de comunicaciones comenzó un área científica que se ha desarrollado durante el siglo pasado y que nos proporciona herramientas matemáticas para el estudio de redes y sistemas informáticos. La aplicación de esta teoría sigue siendo útil para las nuevas tecnologías de comunicaciones. La teoría de la renovación y los sistemas markovianos nos proporcionan la base para realizar el análisis probabilístico de estos sistemas. 182 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

18 Erlang-en formula eta komunikazio sareen analisia Deskribatuko dugun eredu orokorrari zaku estokastikoa deitzen zaio. Sistema bat daukagu C unitateko edukiera duena. Sistemara bezeroak iristen dira, K mota ezberdinetako bezeroak, k motako bezeroak sisteman b k unitate okupatzen dituelarik. Une batean sisteman dauden bezeroek guztira c unitate okupatzen badituzte eta k motako bezero berri bat etortzen bada, hau ez da onartua izango baldin c + b k > C. Sistemara iristen diren k motako bezeroek k tasako Poisson prozesua jarraituz etortzen dira. Bezeroa sisteman egoten den denbora aleatorioa da, itxarotako balioa 1/ µ k izanik, non k bezeroaren mota den. Abiadura handiko sareko linea batekiko analogia honela litzateke: k motako bezeroak, b k banda zabalerako konexioak ezartzeko saioak dira. Beraz konexio mota bakoitzerako k etorrera tasa dugu eta konexioak irauten duen denboraren parametroa µ k da. Ez dugu idatziko eredu orokor honetarako analisia baina prozedura hasierako eredu sinplearenaren antzekoa da. Markov prozesu birsortzailearen balantza ekuazioak idatziz limiteko probabilitateak lortzen dira: P (n 1, n 2,..., n K ) = 1 G non (n 1, n 2,..., n K ) bektoreak adierazten digun mota bakoitzerako zenbat konexio dauden indarrean. Lehen bezala k = k / µ k dugu. Eta normalizazio konstantea hau da: K k = 1 k nk n K! G = n 1 n 2... n K K k = 1 k nk n K! non batukaria S espaziora zabaltzen den, banda zabalera osoak C gainditzen ez duen sistemako egoera posible guztien espaziora: S = {(n 1, n 2,..., n K ) K k = 1 b k n k C} Mota bateko, k motako, konexioa ezartzeko saioa ez onartzeko B k probabilitatea kalkulatzeko, S k espazioa kontsideratu behar dugu, banda zabalera osoak C b k gainditzen ez duen sistemako egoeren espazioa. S k espazioko egoeren P (n 1, n 2,..., n k ) probabilitateen baturak 1 B k ematen digu, k motako konexio bat onartua izateko probabilitatea. Kontuan izan behar dugu kalkuluak ezinezkoak direla praktikan S eta S k multzoen tamaina esponentzialagatik, C eta K balioak oso handiak ez diren kasuan ere. Alabaina, defini daitezke algoritmo errepikariak blokeatze probabilitateak era eraginkorrean kalkulatzeko, zehazki kalkuluak O (CK) eragiketa kopuruarekin egiteko. Lan hau amaituko dugu azpimarratuz Agner Erlang-en ekarpena komunikazio ingeniaritzaren oinarri matematikoak finkatzeko lanean. Komunikazio sareen analisian probabilitate teoria aplikatuz, aurreko mendean garatu den arlo zientifikoa abiarazi zuen Erlang-ek, sare eta sistema informatikoak aztertzeko tresna matematikoak ematen dizkigun arloa. Komunikazio teknologia berrietan erabilgarria izaten jarraitzen du teoria honen aplikazioak. Berritze teoriak eta Markov sistemen teoriak eskaintzen digute sistema hauen analisi probabilistikoa egiteko oinarria. Noviembre ko Azaroa 183

19 La fórmula de Erlang y el análisis de redes de comunicaciones BIBLIOGRAFÍA Brockmeyer E., Halstrom H.L. et Jensen A., 1960: The life and works of A K Erlang. Acta Polytechnica Scandinavica, vol Kant K., 1992: Introduction to Computer System Performance Evaluation. McGraw-Hill, New York. McDysan D., 2000: QoS & Traffic Management in IP & ATM Networks. McGraw-Hill, New York. Jha S., Hassan M., 2002: Engineering Internet QoS. Artech House, Norwood. Ross K.W., 1995: Multiservice Loss Models for Broadband Telecommunication Networks. Srpinger-Verlag, London. Ross S.M., 2003: Introduction to Probability Models, eighth edition. Academic Press, San Diego. Stallings W., 2002: High-Speed Networks and Internets: Performance and Quality of Service, second edition. Prentice Hall, New Jersey. Syski R., 1960: Introduction to Congestion Theory in Telephone Systems. Oliver and Boyd, Edinburgh. Tijms H.C., 1994: Stochastic Models: an Algorithmic Approach. John Wiley and Sons, Chichester. Red IRIS, Red Española de I+D SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

20 Erlang-en formula eta komunikazio sareen analisia BIBLIOGRAFÍA Brockmeyer E., Halstrom H.L. et Jensen A., 1960: The life and works of A K Erlang. Acta Polytechnica Scandinavica, vol Kant K., 1992: Introduction to Computer System Performance Evaluation. McGraw-Hill, New York. McDysan D., 2000: QoS & Traffic Management in IP & ATM Networks. McGraw-Hill, New York. Jha S., Hassan M., 2002: Engineering Internet QoS. Artech House, Norwood. Ross K.W., 1995: Multiservice Loss Models for Broadband Telecommunication Networks. Srpinger-Verlag, London. Ross S.M., 2003: Introduction to Probability Models, eighth edition. Academic Press, San Diego. Stallings W., 2002: High-Speed Networks and Internets: Performance and Quality of Service, second edition. Prentice Hall, New Jersey. Syski R., 1960: Introduction to Congestion Theory in Telephone Systems. Oliver and Boyd, Edinburgh. Tijms H.C., 1994: Stochastic Models: an Algorithmic Approach. John Wiley and Sons, Chichester. Red IRIS, Red Española de I+D. Noviembre ko Azaroa 185