y = x x 0, 4 π 2 π π

Transcripción

1 UCV FIUCV CÁLCULO III (053) PRIMER PARCIAL (3333%) SECCIONES 01 Y 03 7/03/09 1 Una curva C está definida por y cos(x) x, y x x 0, x + y y,0 16 a Parametrice la curva C en sentido antihorario ( puntos) b Usando la función vectorial r(t) del apartado anterior, construya la función r' (t) r'' (t) ( puntos) Sea la curva t t r(t), 1 t t 1 a Indique el cuadrante donde se encuentra la curva t D( r) y determine si presenta algún tipo de simetría ( puntos) b Encuentre la ecuación de su asíntota oblicua ( puntos) 3 Sea la curva r(t) (3 cos(t), cos(t),5sen(t)) a Demuestre que r(t) es una curva plana y encuentre la ecuación del plano que la contiene ( puntos) b Encuentre la componente tangencial de r'(t) y la componente binormal de r''(t) ( puntos) Sean las ecuaciones en coordenadas polares r 6 + cos( θ ) y r 1 cos( θ ) a Identifique y grafique cada curva en un mismo sistema ( puntos) b Calcule los puntos de intersección entre estas curvas ( puntos) 5 Determine y grafique la función φ( α ) > 0 tal que la curva t t t r(t) φ( α)sen( α)d α, φ( α)cos( α)d α, φ( α)tan( α)dα < t <, tenga curvatura κ (t) 1 + cos (t) ( puntos)

2 UCV FIUCV CÁLCULO III (053) PRIMER PARCIAL (3333%) SECCIONES 01 Y 03 7/03/09 PREGUNTA 1 ( puntos) Una curva C está definida por y cos(x) x, y x x 0, x + y y,0 16 a Parametrice la curva C en sentido antihorario ( puntos) Proceso de parametrización en el sentido indicado: (( ) puntos) C : y cos(x), x r (t) ( t,cos(t)), t 1 1 r C : y x, 0 x (u) ( u, u), 0 u 1 r (t) ( (t + ), (t + )), t 1 u 1 t u 3 + r C :(x ) y, y 0 (s) ( cos(s), sen(s)), 3 r (t) ( + cos(t 1 + ), sen(t 1 + )), 1 t s 1 s t s + 1 Una parametrización de la curva frontera de la región R en sentido antihorario es: ( t,cos(t)) t r(t) ( (t + ), (t + )) t ( + cos(t 1 + ), sen(t 1 + )) 1 t 1 + Al graficar la región R se tiene (ver figura 1): Figura 1 Representación gráfica de la curva de la pregunta 1

3 UCV FIUCV CÁLCULO III (053) PRIMER PARCIAL (3333%) SECCIONES 01 Y 03 7/03/09 b Usando la función vectorial r(t) del apartado anterior, construya la función r' (t) r'' (t) Paso 1 Cálculo de r'(t) ( 1, sen(t)) t r' (t) (, ) < t 1 ( sen(t 1 + ), cos(t 1 + )) 1 < t 1 + Paso Cálculo de r''(t) ( puntos) (0, cos(t)) t r'' (t) (0,0) < t ( cos(t 1 ), sen(t 1 )) 1 t < + Paso 3 Cálculo de r' (t) r'' (t) sen(t) cos(t) t r' (t) r'' (t) 0 t t PREGUNTA ( puntos) Sea la curva t t r(t), 1 t t 1 a Indique el cuadrante donde se encuentra la curva t D( r) y determine si presenta algún tipo de simetría ( puntos) Paso 1 Dominio R { 1,1} Paso Corte con los ejes Eje x: y(t) 0 t 0 Eje y: x(t) 0 t 0 La curva pasa por el origen Paso 3 Signo t x y (15 puntos) Cuadrante IV I IV II Cuadrante I t ( 1, 0] Cuadrante II t (1, ) Cuadrante IV t (, 1) [0,1) Paso Simetrías La curva no presenta ningún tipo de simetría b Encuentre la ecuación de su asíntota oblicua ( t) ( t) t t r( t),, 1 ( t) 1 t ( t) 1 + t 1 ( puntos)

4 UCV FIUCV CÁLCULO III (053) PRIMER PARCIAL (3333%) SECCIONES 01 Y 03 7/03/09 t t t t lím lím lím lím 1 t + t 1 1 t t 1 + t 1 t 1 t 1 + t 1 + t t 1 t 1 t t 1 t (t 1) t 1 1 t t(1 t) 1 1 m lím lím lím t(1 + t) (075 puntos) t t t t (1 t) t t t t(t t ) b lí m + lí m lí m lí m t 1 (1 t) t 1 t 1 t 1 t 1 (t 1) (t 1) (t 1) (075 puntos) t(t + )(t 1) t(t + ) 3 lí m lí m t 1 (t + 1)(t 1) t 1 (t + 1) Por lo tanto 1 3 y x + es una asíntota oblicua de la curva PREGUNTA 3 Sea la curva r(t) (3 cos(t), cos(t), 5sen(t)) ( puntos) a Demuestre que r(t) es una curva plana y encuentre la ecuación del plano que la contiene Paso 1 Cálculo de r'(t) y r''(t) r'(t) ( 3sen(t), sen(t),5cos(t)), r''(t) ( 3cos(t), cos(t), 5sen(t)) Paso Cálculo de B(t) ( puntos) r'(t) r ''(t) ( 3sen(t), sen(t),5cos(t)) ( 3cos(t), cos(t), 5sen(t)) B(t) r'(t) r ''(t) ( 3sen(t), sen(t),5cos(t)) ( 3cos(t), cos(t), 5sen(t)) (0, 15, 0) (0, 15, 0) 3,, Como B(t) es un vector constante, entonces la curva r(t) es plana Paso 3 Cálculo de la ecuación del plano osculador Se busca un punto arbitrario de la curva, por ejemplo para t 0, r(0) (3,,0) La ecuación del plano osculador viene dada por B(t) ((x,y,z) r(0)) 0, de modo que 3 3,,0 ((x,y,z) (3,,0)) 0,,0 (x 3,y,z) 0 3 (x 3) (y ) 0 (x 3) 3(y ) 0 x 1 3y x 3y 0 b Encuentre la componente tangencial de r'(t) y la componente binormal de r''(t) Paso 1 Cálculo de T(t) ( puntos) r'(t) ( 3sen(t), sen(t),5 cos(t)) 3sen(t) sen(t) T(t),,cos(t) r'(t) 9sen (t) 16sen (t) 5 cos (t) + + Paso Cálculo de la componente tangencial de r'(t) 3sen(t) sen(t) r' (t) T(t) ( 3sen(t), sen(t),5cos(t)),,cos(t) 5sen (t) + 5cos (t) 5 (075 puntos)

5 UCV FIUCV CÁLCULO III (053) PRIMER PARCIAL (3333%) SECCIONES 01 Y 03 7/03/09 Paso 3 Cálculo de la componente binormal de r''(t) 3 r'' (t) B(t) ( 3cos(t), cos(t), 5sen(t)),,0 0 (075 puntos) PREGUNTA ( puntos) Sean las ecuaciones en coordenadas polares r 6 + cos( θ ) y r 1 cos( θ ) a Identifique y grafique cada curva en un mismo sistema ( puntos) Paso 1 Identificación de la primera curva r 6 + cos( θ ) Como a / b 15, entonces se trata de un caracol con hendidura Paso Identificación de la segunda curva r 1 cos( θ ) 1 + cos( θ ) Se tiene que la excentricidad es igual a 1, por lo tanto se trata de una parábola y con ángulo de rotación igual a radianes Paso 3 Gráfico de las curvas en un mismo sistema (Ver figura ) Figura Representación gráfica de las curvas en polares de la pregunta b Calcule los puntos de intersección entre estas curvas ( puntos) Paso 1 Determinación de las representaciones de cada curva Para el caracol se tienen dos representaciones: r 6 + cos( θ ), r 6 + cos( θ ) Para la parábola se tienen dos representaciones: r, r 1 + cos( θ ) 1 cos( θ )

6 UCV FIUCV CÁLCULO III (053) PRIMER PARCIAL (3333%) SECCIONES 01 Y 03 7/03/09 Paso Búsqueda de los puntos de intersección Sistemas a resolver de acuerdo a las representaciones establecidas: r 6 + cos( θ) r 6 + cos( θ) r 6 + cos( θ), r,, r 1 + cos( θ ) r 1 + cos( θ ) 1 cos( θ ) (15 puntos) r 6 + cos( θ) r 1 cos( θ ) Del primer sistema se tiene que: 6 + cos( θ ) (6 + cos( θ ))(1 + cos( θ )) (6 + cos( θ))(1 cos( θ )) 1 + cos( θ ) 6 6cos( θ ) + cos( θ) cos ( θ ) cos( θ) cos ( θ ) 0 cos ( θ ) + cos( θ) ± ± 3 cos( θ ) De modo que se derivan dos situaciones: 1 5 cos( θ ) 1 θ + k (k Z), cos( θ ) θ + k (k Z) y θ + k (k Z) 3 3 Si se toma θ 0,, entonces se tienen los ángulos 5,, 5 Las coordenadas polares de los puntos de intersección serían (, ), (8, ), (8, ) De acuerdo al gráfico del inciso anterior, ya se encontraron todos los puntos de intersección, por tanto, no hace falta resolver los demás sistemas Paso 3 Verificación del polo como punto de intersección De acuerdo al gráfico, el polo no es un punto de intersección PREGUNTA 5 Determine y grafique la función ( ) 0 tenga curvatura φ α > tal que la curva, t t t r(t) φ( α)sen( α)d α, φ( α)cos( α)d α, φ( α)tan( α)dα κ (t) 1 + cos (t) 0 < t < ( puntos) Paso 1 Cálculo de r' (t), r' (t) y r'' (t) r'(t) ( φ(t)sen(t), φ(t)cos(t), φ (t)tan(t)) φ (t)(sen(t),cos(t),tan(t)) r' (t) φ (t) sen (t) + cos (t) + tan (t) φ (t) 1 + tan (t) φ (t) sec(t) r'' (t) φ(t)(cos(t), sen(t),sec (t)) + φ '(t)(sen(t),cos(t),tan(t)) Paso Cálculo de r' (t) r'' (t), r' (t) r'' (t) y r' (t) r' (t) r'' (t) φ (t)(sen(t),cos(t),tan(t)) φ(t)(cos(t), sen(t),sec (t)) + φ'(t)(sen(t),cos(t),tan(t)) ( φ (t)) (sen(t),cos(t),tan(t)) (cos(t), sen(t),sec (t)) φ(t) φ'(t) (sen(t),cos(t),t an(t)) (sen(t),cos(t),tan(t)) i j k i j k i j k ( φ (t)) sen(t) cos(t) tan(t) + φ(t) φ '(t) sen(t) cos(t) tan(t) ( φ (t)) sen(t) cos(t) tan(t) + φ(t) φ'(t) 0 sen(t) cos(t) tan(t) cos(t) sen(t) sec (t) cos(t) sen(t) sec (t) i j k 1 sen (t) sen(t) ( φ (t)) sen(t) cos(t) tan(t) ( φ (t)) +, sen(t), sen (t) cos (t) cos(t) cos(t) cos (t) cos(t) sen(t) sec (t) sen (t) sen (t) ( φ(t)),, 1 cos(t) cos (t) 3

7 UCV FIUCV CÁLCULO III (053) PRIMER PARCIAL (3333%) SECCIONES 01 Y 03 7/03/09 6 (1 + sen (t)) sen (t) r' (t) r'' (t) ( φ (t)) + + 1, r' (t) cos (t) cos (t) Paso 3 Cálculo de κ (t) ( φ (t)) sec (t) (1+ sen (t)) sen 6 (t) (1 + sen (t)) sen 6 (t) ( φ (t)) cos (t) r' (t) r'' (t) cos (t) cos (t) cos (t) cos (t) κ (t) r' (t) ( φ(t)) sec (t) cos (t)(1 + sen (t)) + sen (t) + cos (t) cos (t)( cos (t)) + (1 cos (t)) + cos (t) cos (t)( cos (t) + cos (t)) + 1 3cos (t) + 3cos (t) cos (t) + cos (t) cos (t) cos (t) + cos (t) + 1 3cos (t) + 3cos (t) cos (t) + cos (t) 1 + cos (t) Paso Búsqueda y gráfico de φ (t) Igualando de acuerdo a lo especificado: Se muestra la gráfica de 1 + cos (t) κ (t) 1 + cos (t) 1 + cos (t) φ (t) cos(t) φ (t) cos(t), 0 t < (ver figura ) Figura Gráfica de φ (t) cos(t), 0 t <