Conceptos generales de inferencia estadística. Estimación de parámetros. Intervalos de confianza.

Transcripción

1 FCEyN - Estadística para Química do. cuat Marta García Be Coceptos geerales de iferecia estadística. Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza. Iferecia estadística: Dijimos e la primera clase que iferecia estadística es el estudio de técicas que permite, a partir de los datos de ua muestra, obteer algua iformació sobre la població (de la que se extrajo la muestra). Veamos alguos ejemplos de problemas e los que se puede aplicar técicas de iferecia estadística: Ejemplo 1: Quiero coocer la media de las estaturas de los iños de 8 años varoes que vive e la ciudad de Bueos Aires. Para ello elijo 00 iños al azar y les mido su estatura. Ejemplo : Quiero coocer el coteido de hierro de ua muestra de cierto mieral. Hago 10 determiacioes. Ejemplo 3: Quiero coocer la proporció de persoas que está de acuerdo co cierta medida del gobiero etre las persoas mayores de 18 años que vive e la ciudad de Bueos Aires. Para ello elijo 400 persoas al azar y le preguto a cada ua si está o o de acuerdo. Modelos probabilísticos que puedo usar para estos problemas: Para el ejemplo 1: Llamo X i a la estatura del i-ésimo iño seleccioado al azar, etoces supogo: X 1, X,..., X 00 vs. as. i.i.d N(µ,σ ) Dode o coozco i µ i σ µ represeta la media poblacioal de las estaturas y σ la variaza poblacioal. Para el ejemplo : se suele usar u modelo similar: X 1, X,..., X 10 vs. as. i.i.d N(µ,σ ) Que represeta X i, µ y σ e este ejemplo? Para el ejemplo 3: 1er modelo: Si llamo X=ro de persoas que respode que está a favor, etoces X Bi(=400, p) dode p es descoocido Que represeta p e este ejemplo? Otro modelo: Si llamo X i a la variable que vale 1 si la i-ésima persoa ecuestada respode que está a favor y 0 e caso cotrario, etoces X 1, X,..., X 400 vs. as. i.i.d Bi(1,p) (o Beroulli(p) que es lo mismo). Como puede apreciarse e estos ejemplos e iferecia estadística plateamos primero modelos probabilísticos que cosideramos adecuados para el problema que queremos resolver. E estos tres ejemplos y e muchos otros los modelos so de este tipo: X 1, X,..., X vs. as. i.i.d., cada ua co ua distribució de la forma F(x,θ,λ,...) dode la fució F es coocida, pero los parámetros θ, λ, etc. so descoocidos. 66

2 FCEyN - Estadística para Química do. cuat Marta García Be Estimació de parámetros E el ejemplo 1 queremos estimar (coocer aproximadamete) la media µ. U estimador ituitivamete razoable es la media muestral X i i X = =1 E el ejemplo 3, u estimador ituitivamete razoable de la proporció poblacioal p de X persoas que está de acuerdo co el gobiero es la proporció muestral pˆ = si plateamos X i i el primer modelo o la proporció muestra pˆ = = 1 si plateamos el segudo. E geeral si X 1, X,..., X so vs. as. cuya distribució depede de u parámetro descoocido θ u estimador de θ es ua fució de X 1, X,..., X "coveietemete" elegida, de modo de que el error de estimació sea "pequeño". U criterio para medir la bodad de u estimador: Error cuadrático Medio. Sea X 1, X,..., X vs. as. cuya distribució depede de u parámetro descoocido θ y sea θˆ = g(x1, X,..., X ) u estimador θ. Se defie error cuadrático medio del estimador θˆ ECM de θˆ = E( θˆ - θ ) Buscaremos estimadores que tega ECM "pequeño". Ejemplo: Sea X 1, X,..., X vs.as. i.i.d. co cualquier distribució co E(X i )=µ y Var(X i )= σ. Hallar el ECM de X como estimador de µ. Ua propiedad de u estimador: estimadores isesgados. Defiició: Sea X 1, X,..., X vs. as. cuya distribució depede de u parámetro descoocido θ y sea θˆ = g(x1, X,..., X ) u estimador θ. Se dice que θˆ es u estimador isesgado de θ si E( θˆ ) = θ Ejemplo:Sea X 1, X,..., X vs.as. i.i.d. co cualquier distribució co E(Xi)=µ y Var(Xi) = σ. a) Es X u estimador isesgado de µ? b) Ecotrar u estimador isesgado de σ Sesgo de u estimador Sea θˆ u estimador θ. Se defie sesgo de θˆ : sesgo de θˆ = E( θˆ ) - θ 67

3 FCEyN - Estadística para Química do. cuat Marta García Be Relació etre ECM, variaza y sesgo: Se puede demostrar facilmete que ECM de θˆ = Var( θˆ ) + (sesgo de θˆ ) por lo que buscamos estimadores que tega "poca" variaza y "poco" sesgo. Muchas veces se busca estimadores isesgados (o sea co sesgo cero) pero esta propiedad o es imprescidible. Ua propiedad de u estimador para muestras grades: estimadores cosistetes. Defiició: Sea X 1, X,..., X vs. as. cuya distribució depede de u parámetro descoocido θ y sea = g(x 1, X,..., X ) ua sucesió de estimadores de θ. Se dice que θˆ es cosistete si θˆ lim θˆ = θ Itervalo de cofiaza para u parámetro Ates de dar la defiició de itervalo de cofiaza, vamos a ecotrarlo para u ejemplo. Supogamos que se cooce por la experiecia previa que u método de medició del porcetaje de hierro e u mieral tiee ua desviació stadard de 0.1. Tambié se sabe por experiecia que si hacemos muchas determiacioes de la misma muestra la distribució de las medicioes es aproximadamete ormal (el histograma de las medicioes hechas e ua misma muestra se parece a la curva de Gauss co σ=0.1). Hacemos 4 determiacioes del coteido de hierro e u trozo de mieral y obteemos: 15.18% 15.3% 15.46% 15.5% Teiedo e cueta la experiecia previa, podemos cosiderar el siguiete modelo: Modelo: X 1, X,..., X vs. as. i.i.d N(µ,σ ) co =4 y σ=0.1 El úico parametro descoocido de este modelo es la media µ. El estimador de µ es la media muestral X que e este ejemplo da o, redodeado, Pero cuato vale µ? Obviamete µ o tiee por qué valer Pero vamos a ecotrar u itervalo que cotiee al verdadero valor de µ co probabilidad alta. Itervalo de cofiaza para la media de u població, basado e ua muestra ormal co variaza coocida. Cosideramos el siguiete modelo: X 1, X,..., X vs. as. i.i.d N(µ,σ ) co σ coocido. (1) El estimador de µ X = i= 1 X i Sabemos que, bajo el modelo (1) σ X N( µ, ) 68

4 FCEyN - Estadística para Química do. cuat Marta García Be Estadarizado: σ / N( 0,1) () Como e la curva de Gauss el area etre 1.96 y 1.96 es 0.95 resulta que: P ( ) =0.95 σ / Pasado térmios de miembro co el objetivo de dejar µ e el cetro obteemos: P ( X 1.96 * σ / µ X * σ / ) = 0.95 (3) El itervalo [ X 1.96 * σ /, X * σ / ] (4) se llama itervalo de cofiaza para µ co ivel de cofiaza del 0.95 (o 95%). Ejemplo: e el ejemplo de las 4 determiacioes de hierro obteemos: [ , ] [ , ] o redodeado, el itervalo de cofiaza al 95% para la media µ es [15.18, 15.4]. Que sigifica que el itervalo de cofiaza tega ivel 95%? Sigifica que si extrajésemos muchas (muchísimas!) muestras y para cada muestra calculásemos el itervalo de cofiaza, etoces el 95% de los itervalos cotedría al verdadero valor del parámetro de la població (e uestro ejemplo el parámetro es la media µ ). Cometarios: 1) Volvamos al ejemplo de las determiacioes de hierro: Habíamos obteido que el itervalo de cofiaza para µ al 95% es [15.18, 15.4] Auque sea ituitivamete razoable o es correcto escribir por qué? P ( µ 15.4 ) = 0.95 ) Qué vetajas y que desvetajas tiee calcular u IC al 99% e vez del 95%. 3) Qué es lo que hay que cambiar e (4) para obteer u IC al 99%? 69

5 FCEyN - Estadística para Química do. cuat Marta García Be Cotiuado co el modelo (1), o sea co el modelo de ua muestra ormal co variaza coocida, la expresió para el IC para co cualquier ivel es similar a (4) pero cambiado el valor Llamemos z α/ al valor que deja u area de α/ e la cola de la curva ormal estádar (y por lo tato u área 1-α etre -z α/ y z α/ ). El itervalo [ X z α/ * σ /, X + z α/ * σ / ] (5) es u itervalo de cofiaza para µ co ivel de cofiaza 1-α. Defiició geeral de itervalo de cofiaza: Sea X 1, X,..., X vs. as. cuya distribució depede de u parámetro descoocido θ. U itervalo de cofiaza para θ co ivel de cofiaza 1-α es u itervalo de extremos aleatorios (que depede de la muestra X 1, X,..., X ) [ a(x 1, X,..., X ), b(x 1, X,..., X ) ] tal que P ( a(x 1, X,..., X ) θ b(x 1, X,..., X ) ) = 1 - α Cometario: La expresió (5) os dá u itervalo de cofiaza para µ para variables co distribució ormal y variaza coocida. Tambié vamos a poder calcular IC para µ si coocer la variaza, o si coocer la distribució de la variable o itervalos de cofiaza para otros parámetros. Las expresioes para calcularlos va a ser diferetes e cada caso, pero el objetivo y las ideas geerales so siempre los mismos. Cálculo del tamaño de la muestra. Co la muestra de las cuatro determiacioes de hierro obtuvimos el siguiete IC al 95% para la media: [ , ] [ , ] El itervalo obteido tiee logitud = * = 0.35 Que se puede hacer si se desea u IC al 95% co meor logitud? Llamado L a la logitud del IC, se puede obteer de (4) que L = * 1.96 * σ / y etoces, puede observarse que aumetado dismiuye la logitud del IC y que esta logitud puede hacerse ta pequeña como se desee tomado suficietemete grade. Si por ejemplo deseamos calcular u IC de logitud L 0.10 deberá ser 70

6 FCEyN - Estadística para Química do. cuat Marta García Be De esta iecuació se despeja L = * 1.96 * 0.1 / 0.10 ( * 1.96 * 0.1 ) / 0.10 [( * 1.96 * 0.1 ) / 0.10 ].13 o sea que haciedo 3 (o más) determiacioes se obtiee u IC de logitud que Cometarios: 1) Cuado se duplica el tamaño de la muestra (), que ocurre co la logitud del IC? ) Cuado se multiplica por 4 el tamaño de la muestra? Itervalo de cofiaza para la media de u població, basado e ua muestra ormal co variaza descoocida. Cosideramos ahora el siguiete modelo: X 1, X,..., X vs. as. i.i.d N(µ,σ ) co σ coocido. (6) El estimador de µ sigue siedo X Sigue valiedo que, bajo el modelo (6) σ X N( µ, ) Estadarizado: N( 0,1) (7) σ / Si seguimos los mismos pasos que para el caso σ coocido, volveríamos a obteer las expresio (4) o la expresió más geeral (5). Pero (4) o (5) o so itervalos de cofiaza para µ, porque los extremos del itervalo depede de σ y por lo tato o cumple la defiició de IC. Además es ituitivo que (4) o (5) o so de utilidad ya que o puede calcularse, verdad? Para solucioar este problema reemplacemos e (7) σ por la variaza muestral s y obteemos s / La distribució de (7) es N(0,1) pero la de (8) o. W. S. Gosset, que escribía bajo el seudóimo de Studet, a pricipios del siglo XX ecotró la distribució de (8) (su fució de desidad ya que es ua variable aleatoria cotiua). La fució de desidad de (8) depede del tamaño de la muestra (), La fució de desidad de (8) tiee ua forma de campaa similar a la curva ormal, pero tiee mayor variaza que la distribució N(0,1) (esto último es ituitivamete razoable, por qué). Cuado es grade se parece a la curva N(0,1) (esto tambié es ituitivamete esperable). E hoor a Studet, la distribució de (8) se llama distribució "t de Studet co -1 grados de libertad", lo que otaremos: (8) 71

7 FCEyN - Estadística para Química do. cuat Marta García Be s / t -1 (9) Si llamamos t -1 ; α/ al valor que deja u área de α/ e la cola de la fució de desidad t -1, siguiedo ua deducció aáloga al caso σ coocido obteemos: P ( X t -1 ; α/ * s / µ X + t -1 ; α/ * s / ) = 1-α y por lo tato el itervalo [ X t -1 ; α/ * s / µ X + t -1 ; α/ * s / ] (10) es u itervalo de cofiaza para µ co ivel de cofiaza 1-α. Ejemplo: e el ejemplo de las 4 determiacioes de hierro calculamos X =15.305, s= Buscamos e u tabla o e Statistix el valor de la curva de t co -1=3 grados de libertad que deje u area de 0.05 e la cola que es Reemplazamos e (10) [ * / 4, * / 4] [ , ] [ , ] o redodeado, el itervalo de cofiaza al 95% para la media µ es [15.11, 15.49]. Este itervalo puede calcularse si hacer igua cueta co Statistix. Para ello hay que igresar las cuatro determiacioes hechas y luego marcar Summary Statistics, Descriptive Statistics y poer u tilde e el casillero Cof It. Se obtiee: DESCRIPTIVE STATISTICS VARIABLE N LO 95% CI MEAN UP 95% CI SD HIERRO Cometario: Los valores de la tabla de t que deja u area 1-α e el cetro y α/ e cada cola dismiuye cuado aumeta y tiede al valor z α/ cuado. Por ejemplo para 1-α = 0.95, el valor t -1 ; α/ es 3.18 para =4,.6 para =10, 1.98 para =100 y su limite para es Ejercicio: Sea X 1, X,..., X vs. as. i.i.d N(µ,σ ), ecotrar u itervalo de cofiaza co ivel 1-α para la variaza σ supoiedo: a) µ coocido b) µ descoocido. Itervalo de cofiaza co ivel asitótico para la media de ua població para cualquier distribució (válidos para muestras grades ). La limitació que tiee los modelos ateriores es que supoe distribució ormal. Gracias al Teorema Cetral del Límite vamos a poder calcular itervalos de cofiaza para µ auque sepamos que la variable o tiee distribució ormal o o tegamos igua iformació previa sobre la distribució de la variable. Pero estos itervalos sólo va a valer para "grade". 7

8 FCEyN - Estadística para Química do. cuat Marta García Be Cosideramos el siguiete modelo: X 1, X,..., X vs. as. i.i.d co cualquier distribució (11) Llamemosµ=E(X i ) y σ = Var(X i ). Vamos a supoer (es el caso más usado) que o coocemos σ. El estimador de µ sigue siedo X Sigue valiedo que, bajo el modelo (11), gracias al TCL cumple X a ~ N( µ, σ ) para grade dode hemos usado la otació a ~ para idicar "tiee distribució aproximadamete" Estadarizado: σ / a ~ N( 0,1) para grade Si es grade, la DS muestral es u estimador cosistete de la DS poblacioal, así que ambas va a ser parecidas s σ, por lo tato s / a ~ N( 0,1) para grade Luego: P ( - z α/ s / z α/ ) 1-α para grade o, más claramete escrito: Pasado de miembro se llega a que lim P ( - z α/ s / z α/ ) = 1-α lim P ( X z α/ * s / µ X + z α/ * s / ) = 1-α y por esto el itervalo [ X z α/ * s /, X + z α/ * s / ] (1) se llama itervalo de cofiaza para µ co ivel de cofiaza asitótico 1-α. 73

9 FCEyN - Estadística para Química do. cuat Marta García Be Ejemplo: E la clase de estadística descriptiva mostramos el siguiete histograma de PCR (proteía C reactica) e pacietes cardíacos. Se puede ver que la distribució o es gaussiaa. Estamos e el límite de poder aplicar el TCL porque habíamos dicho como "receta" que e geeral daba ua aproximació aceptable para 30. Acá =9. Apliquémoslo igual, sabiedo que el ivel de cofiaza o es exacto sio ua aproximació. Calculamos primero la media y la DS co el Statistix: DESCRIPTIVE STATISTICS PCR N 9 MEAN SD ST QUARTI MEDIAN RD QUARTI Si queremos u IC al 95%, etoces z α/ = Reemplazamos e (1): [ * / 9, * / 9] [ , ] [4.639, 5.691] o redodeado "el itervalo de cofiaza al 95% para la media de PCR e la població de efermos cardíacos co tales características... es [4.6, 5.7]" o, como se suele escribir resumiedo: "La media de PCR los 9 pacietes cardíacos estudiados es38.7 (IC al 95%: 4.6 a 5.7)." 74

10 FCEyN - Estadística para Química do. cuat Marta García Be Si e Statistix, e Descriptive Statistics tildamos la casilla que dice "Cof. It." obteemos: DESCRIPTIVE STATISTICS VARIABLE N LO 95% CI MEAN UP 95% CI SD PCR Se observa que e el Statistix el IC al 95% resulta ser [4.0, 53.3] y osotros obtuvimos [4.6, 5.7]. Hay alguo erróeo? Por qué esta discrepacia? Tamaño de la muestra cuado o se cooce σ. Co la muestra de 9 pacietes cardíacos el IC al 95% para la media (poblacioal) de PCR resultó: [ , ] [4.639, 5.691] El itervalo obteido tiee logitud = *14.06 = 8.05 Que se puede hacer si se desea u IC al 95% co meor logitud? Llamado L a la logitud del IC, se puede obteer de (1) que L = * z α/ * s / Si deseamos obteer u IC al 95% para la media de PCR de logitud L 10 deberá ser Despejado : L = * 1.96 * / 10 ( * 1.96 * ) / 10 [( * 1.96 * ) / 10] 8. o sea que habría que tomar ua muestra de 9 pacietes (o más) para obteer u IC de logitud meor o igual que 10. Pero este procedimieto es aproximado, porque o podemos asegurar que tomado 9 pacietes la logitud del IC sea 10. Esto se debe que e el razoamieto aterior hay ua pequeña trampita: cuado extraemos la ueva muestra de 9 pacietes, s ya o va a ser igual a que es el valor que obtuvimos co 9 pacietes. Lo que hemos aplicado es u procedimieto aproximado que podemos resumir e los siguiete pasos: 75

11 FCEyN - Estadística para Química do. cuat Marta García Be Procedimieto aproximado para obteer u IC de ua logitud deseada: 1er paso: se obtiee ua estimació de la desviació stadard de algú estudio previo, de ua muestra piloto, de la literatura o de la experiecia del ivestigador. Llamemos s* a esa estimació. do paso: usado s* se calcula el tamaño de la muestra: L = * 1.96 * s / * 1.96 * s* / Logitud Deseada y de la última iecuació se despeja. 3er. paso: Se extrae la muestra del tamaño calculado e el do paso y se calcula el IC basádose e esta muestra. Co este procedimieto: - No se asegura que la logitud del IC sea la deseada. Es u procedimieto aproximado. - Si la estimació previa de la DS o es buea, esto puede hacer que el IC calculado o sea correcto y o tega el ivel de cofiaza deseado del 95%? Cometarios: 1) Hay otra aproximació e este procedimieto que e el ejemplo aterior o importó. E el ejemplo aterior =9, pero si hubiésemos obteido u chico (digamos <30), para calcular el IC e el 3er. paso, o habría que usar (1) sio (10) (siempre que la variable tega distribució aproximadamete gaussiaa) y esto o lo hemos teido e cueta e el primer paso. Pero esto es lo más fácil de arreglar (pesar o cosultar). Lo más difícil de arreglar es lo que dijimos ates: el descoocimieto de s. ) Existe u procedimieto exacto para calcular el que asegure u IC de logitud log deseada. No lo explicaremos e este curso. Se usa poco, ya que e geeral el ivestigador quiere teer ua idea aproximada de la logitud del IC, pero o tiee establecida la obligació de obteer u itervalo de logitud prefijada. Itervalo de cofiaza co ivel asitótico para ua proporció poblacioal (o para el parámetro "p" de la distribució biomial). Pesemos e u problema como el del ejemplo 3 e el que deseamos estimar ua probabilidad o ua proporció poblacioal. Podemos cosiderar el modelo: X Bi(, p) o el modelo X 1, X,..., X vs. as. i.i.d Bi(1,p) El estimador de p es la proporció muestral p ˆ = X X i= 1 = i 76

12 FCEyN - Estadística para Química do. cuat Marta García Be Sabemos que si es grade, la distribució biomial se puede aproximar por la ormal. X a ~ N( p, p(1-p)) para grade pˆ a ~ N( p, p(1 p) ) para grade Estadarizado pˆ p p(1 p)/ a ~ N( 0,1) para grade Pero p ˆ es u estimador cosistete de p, luego si es grade, pˆ p, por lo tato pˆ p a ~ N( 0,1) para grade pˆ(1 pˆ)/ Luego: lim P ( - z α/ pˆ p pˆ(1 pˆ)/ z α/ ) = 1-α y cotiuado como e el caso del IC para µ se deduce que el itervalo [ p ˆ + zα/ * pˆ (1 pˆ), pˆ + zα/ * pˆ (1 pˆ) ] (13) es u itervalo de cofiaza para p co ivel de cofiaza asitótico 1-α. Ejemplo: Supogamos que e el ejemplo 3, de las 400 persoas ecuestadas 80 (0%) respode que está a favor de la medida de gobiero. Etoces 80 p ˆ = = Si queremos u IC al 95% para p, etoces z α/ = 1.96 y reemplazado e (13) obteemos: [ * 0.0(1 0.0) 400, * 0.0(1 0.0) 400 ] [ , ] [ , 0.39 ] Redodeado el IC al 95% para la proporció de persoas que está de acuerdo co la medida del gobiero es [0.16, 0.4]. 77