lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas 4 y por tanto P( M ) = 5

Transcripción

1 . El 70% de empresas tiee errores e sus activos fiacieros, el 60% tiee errores e sus pasivos fiacieros y el 40% tiee errores e sus activos y e sus pasivos fiacieros. Obté razoadamete el porcetaje de empresas si errores e sus activos, e sus pasivos o e ambos. De ua muestra de 500 empresas, cuátas se espera que o tega errores i e sus activos i e sus pasivos fiacieros? Llamemos A = {teer errores e los activos fiacieros} y B = {teer errores e los pasivos fiacieros}. Etoces P(A) = 0,7 ; P(B) = 0,6 y P(A B) = 0,4. El suceso o teer errores e los activos fiacieros es A y por tato P( A ) = P(A) = 0,7 = 0, lo que sigifica el 0%. El suceso o teer errores e los pasivos fiacieros es B y por tato P( B ) = P(B) = 0,6 = 0,4 lo que sigifica el 40%. El suceso o teer errores e ambos equivale a o teer errores e los activos fiacieros y o teer errores e los pasivos fiacieros, es decir, A B. Pero, por las leyes de Morga, A B = A B. Etoces se tiee que P( A B ) = P( A B) = P(A B) = [P(A) + P(B) P(A B)] = = (0,7 + 0,6 0,4) = 0,9 = 0, lo que sigifica u 0%. Segú lo aterior se espera que u 0% de las empresas o tega errores i e sus activos i e sus 0 pasivos fiacieros. Si teemos ua muestra de 500 empresas podemos esperar que 500 = empresas o tega errores i e sus activos i e sus pasivos fiacieros.. U jugador de fútbol, especialista e lazar pealtis, mete 4 de cada 5 que tira. Para los próximos tres pealtis se cosidera los siguietes sucesos: A = {mete sólo uo de ellos}, B = {mete dos de los tres} y C = {mete el primero}. Halla la probabilidad de los sucesos A B, A C y B C. Llamemos M al suceso meter pealti. Etoces P(M) = 5 4 y por tato P( M ) = 5. Observemos que el suceso A es equivalete a meter el primero y o meter el segudo y o meter el tercero, o bie o meter el primero y meter el segudo y o meter el tercero, o bie o meter el primero y o meter el segudo y meter el tercero, que simbólicamete podemos escribir así: A = (M M M ) ( M M M ) ( M M M ) Los subídices idica el úmero del pealti lazado. Observemos tambié que cada uo de los sucesos ecerrados etre parétesis so icompatibles dos a dos, es decir, o es posible que ocurra simultáeamete meter el primer pealti y o los dos siguietes y o meter los dos primeros y meter el tercero, por ejemplo. Esta última observació os lleva ecesariamete a: P(A) = P[(M M M ) ( M M M ) ( M M M )] = P(M M M ) + + P( M M M ) + P( M M M ) (), pues sabemos que si A, B y C so dos sucesos cualesquiera icompatibles dos a dos (A B =, A C = y B C = ) etoces P(A B C) = = P(A) + P(B) + P(C). Hagamos otar, para termiar esta parte, que el hecho de meter o o u pealti o ifluye para ada e lo que ocurra e el lazamieto del siguiete, es decir, meter o o meter el primer pealti es idepediete de meter o o meter el segudo y de meter o o meter el tercero. Teiedo e cueta esto podemos escribir () así: Ejercicios resueltos de probabilidad Págia

2 () P(A) = P(M ) P( M ) P( M ) + P( M ) P(M ) P( M ) + P( M ) P( M ) P(M ) = = = =, pues tambié hemos de saber que si A, B y C so sucesos idepedietes dos a dos, etoces P(A B C) = P(A) P(B) P(C). Co todo lo aterior hemos demostrado que P(A) =. 5 Calculemos ahora P(B). Por u razoamieto semejate al aterior podemos escribir ahora y por tato B = (M M M ) (M M M ) ( M M M ) P(B) = P(M M M ) + P(M M M ) + P( M M M ) = P(M ) P(M ) P( M ) P(M ) P( M ) P(M ) + P( M ) P(M ) P(M ) = = = =. Resumiedo: P(B) =. 5 5 Hallemos por último P(C). Meter el primer pealti (co los pealtis segudo y tercero puede ocurrir cualquier cosa) se puede escribir simbólicamete así: y etoces C = (M M M ) (M M M ) (M M M ) (M M M ) P(C) = P(M M M ) + P(M M M ) + P(M M M ) + + P(M M M ) = = P(M ) P(M ) P(M ) + P(M ) P( M ) P(M ) + P(M ) P(M ) P( M ) + P(M ) P( M ) P( M ) = = = =. E defiitiva: P(C) = Ahora estamos ya e codicioes de hallar las probabilidades que se os pide e el problema: P(A B) = P(A) + P(B) = + = (los sucesos A y B so claramete icompatibles) A C = M M M P(A C) = P(M M M ) = P(M ) P( M ) P( M ) = 4 4 = = B C = (M M M ) (M M M ) P(B C) = P(M M M ) + P(M M M ) = = P(M ) P( M ) P(M ) + P(M ) P(M ) P( M ) = = = Observacioes: Para calcular la probabilidad de A B es ecesario calcular P(A) y P(B) pues so dos sucesos icompatibles, y por tato la suma de las probabilidades de los mismos. Si embargo P(C) o hubiera hecho falta pues se pide las probabilidades de A C y de B C, cuyo cálculo o requiere como se ha visto de P(C) y se halla de forma similar a como se puede hallar P(A) o P(B). Observemos además que A y C o so idepedietes y por tato o es lícito utilizar la fórmula P(A C) = P(A) P(C). Lo mismo se puede decir de B y C. Ejercicios resueltos de probabilidad Págia

3 Otra forma de hacer el ejercicio: Todo lo aterior se podría haber simplificado bastate si utilizamos u diagrama de árbol como el siguiete: Ahora hemos de observar que: P(A B) = P(()) + P(()) + P((4)) + P((5)) + P((6)) + P((7)) = = = P(A C) = P((4)) = P(B C) = P(()) + P(()) = 4 4 = = + = Esta forma de resolver el ejercicio es más práctica. E experimetos compuestos se ha de recordar que la probabilidad de u suceso elemetal del mismo puede calcularse multiplicado las probabilidades de los sucesos elemetales que coforma la experiecia compuesta. E el fodo el experimeto lazar sucesivamete tres pealtis es la experiecia compuesta de lazar u pealti, luego otro y por fi el tercero. El uso de diagramas de árbol e este tipo de situacioes es fudametal para la correcta realizació del ejercicio.. E ua clase ifatil hay 6 iñas y 0 iños. Si se escoge a alumos al azar, halla la probabilidad de: a) Seleccioar iños. b) Seleccioar iños y ua iña. c) Seleccioar, al meos, u iño. 4/5 /5 Mete el º No mete el º Este ejercicio es similar al aterior. Observemos el siguiete diagrama: 4/5 /5 4/5 /5 Mete el º No mete el º Mete el º No mete el º 4/5 /5 4/5 /5 4/5 /5 4/5 /5 Mete el º No mete el º Mete el º No mete el º Mete el º No mete el º Mete el º () No mete el º () () (5) (4) (6) (7) (8) Ejercicios resueltos de probabilidad Págia

4 0/6 9/5 Niño 6/5 Niño Niña 8/4 6/4 9/4 5/4 Niño () Niña () Niño () Niña (4) 6/6 Niña 0/5 5/5 Niño Niña 9/4 5/4 0/4 4/4 Niño (5) Niña (6) Niño (7) Niña (8) a) P(seleccioar iños) = P(()) = = = b) P(seleccioar iños y iña) = P(()) + P(()) + P((5)) = = + + = = = 5 4 c) P(seleccioar, al meos, u iño) = P(o seleccioar igú iño) = P(seleccioar tres iñas) = = P((8)) = = = = Si los sucesos A y B so idepedietes y compatibles, cuáles de las siguietes afirmacioes so ciertas? a) P(A B) = P(B). b) P(B A) = P(A) + P(B). c) P( A /B) = P( A ). a) Como A y B so idepedietes P(A B) = P(A) P(B). Esta última expresió solamete es igual a P(B) si P(A) =. b) P(B A) = P(B) + P(A) P(B A). Si fuera cierta la afirmació, etoces P(A) + P(B) = = P(B) + P(A) P(B A) P(B A) = 0 B A = y esto es imposible pues A y B so compatibles. Así pues la afirmació o es cierta. P(A B) P(A) P(B) c) P( A /B) = P( A ) y la afirmació es cierta. Obsérvese que P( A B) = P(B) P(B) = P( A ) P(B) porque al ser A y B idepedietes tambié lo so A y B ( demuéstralo!). Ejercicios resueltos de probabilidad Págia 4

5 5. Dos iños escribe e u papel ua vocal cada uo, cuál es la probabilidad de que sea la misma? Hemos de hallar la probabilidad de que los dos escriba la a, o que los dos escriba la e, o que los dos escriba la i, o que los dos escriba la o, o bie que los dos escriba la u. Además, tegamos e cueta que lo que escriba uo de los iños o depede para ada e lo que escriba el otro. P(aa ee ii oo uu) = P(aa) + P(ee) + P(ii) + P(oo) + P(uu) = P(a)P(a) + P(e)P(e) + P(i)P(i) P(o)P(o) + P(u)P(u) = = = = Se ha comprobado que el 48% de los alumos de Bachillerato de cierta regió so aficioados a la música clásica y a la pitura, y que el 60% de los aficioados a la pitura tambié so aficioados a la música clásica. Si se elige al azar u alumo de Bachillerato de esa regió, qué probabilidad hay de que o sea aficioado a la pitura? Llamemos A = {ser aficioado a la música clásica} y B = {ser aficioado a la pitura}. Segú el P(A B) euciado P(A B) = 0,48 y P(A/B) = 0,6. Hemos de hallar P( B ). Pero como P(A/B) = P(B) P(A B) 0, 48 etoces despejado, P(B) = P(B) = = 0,8 P( B ) = P(B) = 0,8 = 0,. P(A / B) 0,6 7. E ua clase hay alumos y 6 alumas. El profesor saca a 4 a la pizarra. a) Cuál es la probabilidad de que todas sea alumas? b) Cuál es la probabilidad de que todos sea alumos? Llamemos A = {la primera es aluma}, A = {la seguda es aluma}, A = {la tercera es aluma}, A 4 = {la cuarta es aluma}, B = {el primero es alumo}, B = {el segudo es alumo}, B = {el tercero es alumo} y B 4 = {el cuarto es alumo}. a) P(todas alumas) = P(ª aluma y ª aluma y ª aluma y 4ª aluma) = P(A A A A 4 ) = = P(A ) P(A /A ) P(A /A A ) P(A 4 /A A A ) = = 0, b) P(todos alumos) = P(º alumo y º alumo y º alumo y 4º alumo) = P(B B B B 4 ) = = P(B ) P(B /B ) P(B /B B ) P(B 4 /B B B ) = = 0, Se podría haber dibujado u diagrama de árbol, pero basta teerlo e mete para la resolució del problema. Obsérvese cómo es la expresió que proporcioa la probabilidad de la itersecció de sucesos cuado, como e este caso, o so idepedietes. 8. U estudiate hace dos pruebas e u mismo día. La probabilidad de que pase la primera es 0,6, la probabilidad de que pase la seguda es 0,8 y la de que pase ambas es 0,5. Se pide: a) Probabilidad de que pase al meos ua prueba. b) Probabilidad de que o pase igua prueba. c) So ambas pruebas sucesos idepedietes? Ejercicios resueltos de probabilidad Págia 5

6 d) Probabilidad de que pase la seguda prueba e caso de o haber superado la primera. Llamemos A = {pasar primera prueba} y B = {pasar seguda prueba}. Se os proporcioa tres probabilidades: P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,8 y P(A B) = 0,5. a) P(A B) = P(A) + P(B) + P(A B) = 0,6 + 0,8 0,5 = 0,9. b) P( A B ) = P( A B) = P(A B) = 0,9 = 0,. c) P(A B) = 0,5 P(A) P(B) = 0,6 0,8 = 0,48 A y B o so idepedietes. d) P(B/ A ) = P(B A). Por u lado P(B A ) = P(B A) = P(B) P(B A) = 0,8 0,5 = 0, P(A) y por otro lado P( A ) = P(A) = 0,6 = 0,4. Así pues P(B/ A ) = 0, 0, 4 = 0, E ua muestra de.000 persoas hay 00 que sabe iglés, 00 que sabe ruso y 50 ambos idiomas. Co estos datos averigua si so idepedietes o o los sucesos saber iglés y saber ruso Llamemos A = {saber iglés} y B = {saber ruso}. Etoces P(A) = = 0, P(B) = = 0, y P(A B) = 000 = 0,05. Para que los sucesos A y B sea idepedietes se ha de cumplir que P(A B) = P(A) P(B). Pero P(A) P(B) = 0, 0, = 0,0 0,05 = P(A B). Así pues A y B o so idepedietes. 0. La probabilidad de que u iño, cuado sea mayor, estudie ua carrera uiversitaria es /6, y e el caso de ua iña es /0. Si se toma al azar u iño y ua iña, calcula las probabilidades siguietes: a) Que los dos estudie ua carrera uiversitaria. b) Que iguo de ellos estudie ua carrera uiversitaria. c) Que al meos uo de ellos estudie ua carrera uiversitaria Llamemos A = {u iño, cuado sea mayor, estudie ua carrera uiversitaria} y B = {ua iña, cuado sea mayor, estudie ua carrera uiversitaria}. Segú el euciado P(A) = /6 y P(B) = /0. Además A y B so claramete sucesos idepedietes pues el hecho de que u iño estudie, cuado sea mayor, ua carrera uiversitaria o debe de ifluir e el hecho de que ua iña lo haga tambié o o. a) P(A B) = P(A) P(B) = b) P( A B ) = P( A B) = P(A B) = [P(A) + P(B) P(A B)] = = = = Ejercicios resueltos de probabilidad Págia 6

7 Este apartado tambié se podría haber hecho cosiderado que si A y B so idepedietes etoces A y B tambié lo so y por tato P( A B ) = P( A ) P( B ) = c) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 5 = Jua y Pedro laza ua pelota a u blaco. La probabilidad de que Jua dé e el blaco es / y la probabilidad de que dé Pedro es /4. Supógase que Jua laza primero y que los dos chicos se va turado para lazar: a) Calcula la probabilidad de que el primer lazamieto que dé e el blaco sea el segudo de Jua. b) Cuál es la probabilidad de que Jua dé e el blaco ates de que lo haga Pedro? Llamemos A = {Jua da e el blaco} y B = {Pedro da e el blaco}. Etoces P(A) = y P(B) = 4. Además los sucesos A y B so idepedietes pues el hecho de Jua dé o o e el blaco o ifluye para que Pedro dé o o e el blaco. a) Debe de ocurrir que Jua, que es el primero que laza, o dé e el blaco, que luego tampoco dé Pedro y fialmete, e el siguiete lazamieto, Jua cosiga dar e el blaco. Este suceso se puede simbolizar así A B A, cuya probabilidad es: P( A B A) = P( A ) P( B ) P(A) =. 4 6 b) Observemos que Jua dará ates que Pedro si Jua da la primera vez que laza. E caso cotrario solamete dará ates que Pedro si éste falla y a cotiuació él acierta. E la siguiete tabla vemos las posibilidades: Lazamieto de Jua Suceso: Jua da e el blaco ates que Pedro Probabilidad A A B A A B A B A 4 A B A B A B A Ejercicios resueltos de probabilidad Págia 7

8 Ejercicios resueltos de probabilidad Ejercicios resueltos de probabilidad Págia 8 A B A B A B A B A Por tato la probabilidad de que Jua dé e el blaco ates que Pedro debe de calcularse sumado todos los resultados de la última columa: P(Jua da e el blaco ates que Pedro) = = La expresió que hay etre parétesis es la suma de los térmios de ua progresió geométrica de razó que se obtiee mediate la fórmula r a r a S, dode a es el térmio -ésimo de la progresió, a el primero y r la razó. E uestro caso S. Obsérvese que cuado tiede a ifiito (es decir, cuado el úmero de lazamietos se hace ta grade como sea ecesario hasta que Jua dé e el blaco, mietras Pedro vaya fallado) la expresió tiede a cero ({ } cuado ). Así pues S tiede a y, por tato: P(Jua da e el blaco ates que Pedro) =.. Estudiado u determiado colectivo de persoas resulta que: de cada 5 so moreas, y de cada 9 tiee los ojos azules, teiedo el resto los ojos de distito color al azul. Calcula las siguietes probabilidades: a) Que ua persoa sea morea y tega los ojos azules. b) Que ua persoa sea morea o o tega los ojos azules c) Que tres persoas sea moreas. d) Que dos persoas sea moreas o tega los ojos azules. Llamemos M = {ser morea} y A = {teer los ojos azules}. Etoces P(M) = /5 y P(A) = /9 = /. Además ambos sucesos so claramete idepedietes pues el color del pelo o de la piel o debe de ifluir para ada e el color que se tega de ojos. a) P(M A) = P(M) P(A) = 5 5.

9 b) P(M A ) = P(M) + P( A ) P(M A ) = P(M) + P( A ) P(M) P( A ) = c) P(M M M) = P(M) P(M) P(M) = d) P[(M M) (A A)] = P(M M) + P(A A) P((M M) (A A)) = P(M) P(M) + P(A) P(A) P(M) P(M) P(A) P(A) = E ua clase, u 40% de alumos aprobaro filosofía, y u 50% matemáticas. Se sabe que la probabilidad de aprobar filosofía si se ha aprobado matemáticas es 0,6. a) Qué porcetaje de alumos aprobaro ambas asigaturas? b) De los alumos que aprobaro filosofía qué porcetaje aprobó matemáticas? Sea F = {aprobar filosofía} y Mt = {aprobar matemáticas}. Etoces P(F) = 0,4 y P(Mt) = 0,5. Además se sabe tambié que P(F/Mt) = 0,6. Esto último os idica que e este caso los sucesos F y Mt, por la razó que sea, o so idepedietes. P(F Mt) a) Como P(F/Mt) =, etoces P(F Mt) = P(F/Mt) P(Mt) = 0,6 0,5 = 0, lo que P(Mt) sigifica u 0% de alumos que aprueba filosofía y matemáticas. b) P(Mt/F) = P(MtF) P(F) 0' 0'4 = 0,75 que es u 75%. 4. E 994, e España, el 5,6% de la població e edad laboral (6 65 años) so mujeres y el 48,4% so hombres. De ellos, está e el paro el,4% de las mujeres y el 9,8% de los hombres. Elegida al azar ua persoa e edad laboral, cuál es la probabilidad de que esté e el paro? Si llamamos H = {ser hombre e edad laboral} y M = {ser mujer e edad laboral} sabemos que P(M) = 0,56 y que P(H) = 0,484. Además se cooce las probabilidades codicioadas siguietes: P(paro/M) = 0,4 y P(paro/H) = 0,98. Aalizado co deteimieto el diagrama podemos cocluir que: P(paro) = P[(M paro) (H paro)] = = P(M paro) + P(H paro) = = P(M) P(paro/M) + P(H) P(paro/H) = = 0,56 0,4 + 0,484 0,98 0,58 E = Població laboral e España e 994 M = 5,6 % E el paro H = 48,4 % Ejercicios resueltos de probabilidad Págia 9

10 Hemos de observar que estamos e las codicioes de aplicar el Teorema de la Probabilidad Total. De hecho la resolució aterior es la aplicació directa del mismo. 5. Para la señalizació de emergecia de u hospital se ha istalado dos idicadores que fucioa idepedietemete. La probabilidad de que el idicador A se accioe durate la avería es de 0,99, mietras que para el idicador B, la probabilidad es de 0,95. a) Calcula la probabilidad de que durate ua avería se accioe u solo idicador. b) Calcula la probabilidad de que durate ua avería o se accioe iguo de los dos idicadores. a) P[(A B ) (B A )] = P(A B ) + P(B A ) = P(A B) + P(B A) = = P(A) P(A B) + P(B) P(B A) = P(A) + P(B) P(A B) = = 0,99 + 0,95 0,99 0,95 = 0,99 + 0,95,88 = 0,059. b) P( A B ) = P( A B) = P(A B) = [P(A) + P(B) P(A B)] = = (0,99 + 0,95 0,99 0,95) = 0,9995 = 0, Ua ura cotiee 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae ua bola y se reemplaza por del otro color. A cotiuació se extrae ua seguda bola. Se pide: a) Probabilidad de que la seguda bola sea verde. b) Probabilidad de que las dos bolas extraídas sea del mismo color. Llamemos R = {sacar bola roja e la primera extracció}, R = {sacar bola roja e la seguda extracció}, V = {sacar bola verde e la primera extracció} y V = {sacar bola verde e la seguda extracció}. El color que salga e la seguda extracció va a depeder claramete de lo que haya salido e la primera: si salió bola roja e la primera extracció hemos de meter dos verdes e la ura co lo que tedremos e este caso 4 rojas (ya hemos extraído ua) y 0 verdes; ahora bie, si salió bola verde e la primera extracció hemos de meter dos rojas y tedremos ahora 7 rojas y 7 verdes. Co las cosideracioes ateriores y teiedo e cueta los datos que ofrece el euciado tedremos las probabilidades siguietes: P(R ) = 5/, P(V ) = 8/, P(R /R ) = 4/4, P(V /R ) = 0/4, P(R /V ) = 7/4 y P(V /V ) = 7/4. a) P(V ) = P[(V R ) (V V )] = P(V R ) + P(V V ) = P(V /R ) P(R ) + P(V /V ) P(V ) = = b) P[(R R ) (V V )] = P(R R ) + P(V V ) = P(R /R ) P(R ) + P(V /V ) P(V ) = Es posible ayudarse de u diagrama e árbol que aclare de ua forma gráfica las posibilidades que se da e el problema teiedo e cueta, claro está, las codicioes que se impoe ates de extraer la seguda bola. Se deja al lector la costrucció y resolució del ejercicio a partir del mecioado diagrama. Ejercicios resueltos de probabilidad Págia 0

11 7. Dos profesores comparte u úmero de teléfoo. De las llamadas que llega, /5 so para el profesor A y /5 so para el profesor B. Sus ocupacioes docetes les aleja de este teléfoo, de modo que A está fuera el 50% del tiempo y B el 5%. Calcula la probabilidad de estar presete u profesor cuado le llame. Sea A = {llamar al profesor A}, B = {llamar al profesor B}, F = {estar fuera}. El problema ofrece las siguietes probabilidades: P(A) = /5 = 0,4, P(B) = /5 = 0,6, P(F/A) = 0,5 y P(F/B) = 0,5. De estas dos últimas probabilidades se deduce claramete las probabilidades P( F /A) = 0,5 (del tiempo que A está presete) y P( F /B) = 0,75 (del tiempo que B está presete). La probabilidad de estar presete u profesor cuado le llame se puede calcular así: P[( F A) ( F B)] = P( F A) + P( F B) = P( F /A) P(A) + P( F /B) P(B) = = 0,5 0,4 + 0,75 0,6 = 0, Teemos dos uras; ua A co 4 bolas rojas y 6 blacas, y otra B co 7 bolas rojas y blacas. Se seleccioa al azar ua ura, se extrae ua bola y se coloca e la otra ura. A cotiuació, se extrae ua bola de la seguda ura. Calcula la probabilidad de que las bolas extraídas sea del mismo color. Obsérvese el siguiete diagrama. Hay que fijarse bie e las últimas ramificacioes: las probabilidades que aquí se cotempla procede de la ura cotraria a la de que parte, pues segú las codicioes del problema la seguda bola que se saca procede de ura distita a la primera. La probabilidad de que las dos bolas extraídas sea del mismo color es: P(RR BB) = P(RR) + P(BB) = P(()) + P((4)) + P((5)) + P((8)) = = = Ua bolsa cotiee moedas, ua de las cuales está acuñada co caras, mietras que las otras dos so ormales. Se escoge ua moeda al azar y se laza sucesivamete 4 veces, obteiédose 4 caras. Cuál es la probabilidad de que la moeda elegida sea la de caras? Razoa la respuesta. / / B A 4/0 6/0 7/0 /0 Roja Blaca Roja Blaca 5/ 8/ / 7/ 4/ 6/ 4/ 7/ Roja Blaca Roja Blaca Roja Blaca Roja Blaca () (5) () () (6) (7) (4) (8) Ejercicios resueltos de probabilidad Págia

12 Llamemos M = {escoger la moeda acuñada co dos caras}, M = {escoger la seguda moeda}, M = {escoger la tercera moeda} y 4C = {salir cuatro caras e cuatro lazamietos de ua moeda}. Es claro que P(M ) = P(M ) = P(M ) =. La probabilidad pedida es, simbólicamete, P(M /4C) = P(M 4C). P(4C) La probabilidad del umerador es P(M 4C) = P(4C/M ) P(M ) = =. Observemos que P(4C/M ) = porque si la moeda elegida es la acuñada co dos caras, sea cual sea el úmero de lazamietos que hagamos co ella siempre saldrá cara. Por otro lado: P(4C) = P[(M 4C) (M 4C) (M 4C)] = = P(M 4C) + P(M 4C) + P(M 4C) = P(4C/M ) P(M ) + P(4C/M ) P(M ) + P(4C/M ) P(M ) = 6 8 = + + = Fialmete teemos que P(M /4C) = P(M 4C) = P(4C) Hemos de volver a reseñar que sería útil la realizació del problema utilizado adecuadamete u diagrama e árbol. Hacemos otar tambié que se ha aplicado e la resolució del mismo el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes. 0. El despertador de Javier o fucioa muy bie, pues el 0% de las veces o suea. Cuado suea, Javier llega tarde a clase co probabilidad 0,, pero si o suea, la probabilidad de que llegue tarde es 0,9. c) Determia la probabilidad de que llegue tarde a clase y haya soado el despertador. d) Determia la probabilidad de que llegue temprao. e) Javier ha llegado tarde a clase, cuál es la probabilidad de que haya soado el despertador? Sea los sucesos S = {el despertador de Javier suea} y T = {Javier llega tarde a clase}. Etoces P(S) = 0,8 ; P(T/S) = 0, y P(T/S ) = 0,9. a) P(T S) = P(T/S) P(S) = 0, 0,8 = 0,6. b) La probabilidad de llegar tarde es P(T) = P[(T S) (T S )] = P(T S) + P(T S ) = P(T/S) P(S) + P(T/S ) P(S ) = = = = 0 4. Etoces la probabilidad de que llegue temprao es P( T ) = P(T) = 0,4 = 0,66. c) P(S/T) = P(S T) P(T) 0' 6 0' Ejercicios resueltos de probabilidad Págia

13 . E ua uiversidad e la que o hay más que estudiates de igeiería, ciecias y letras, acaba la carrera el 5% de igeiería, el 0% de ciecias y el 0% de letras. Se sabe que el 0% estudia igeiería, el 0% ciecias y el 50% letras. Tomado u estudiate cualquiera al azar, se pide. a) Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de igeiería. b) Si se tiee la carrera termiada, cuál es la probabilidad de que sea de igeiería? Sea I = {ser estudiate de igeiería}, C = {ser estudiate de ciecias}, L = {ser estudiate de letras} y A = {acabar la carrera}. Etoces P(A/I) = 0,05 ; P(A/C) = 0, ; P(A/L) = 0, ; P(I) = 0, ; P(C) = 0, y P(L) = 0,5. Utilicemos el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes. a) P(A I) = P(A/I) P(I) = 0,05 0, = 0,0. P(I A) b) P(I/A) = = P(A) P(A / I) 0'050' 0'0 0'050' 0'0' 0'0'5 0,4 P(A / I) P(I) = P(I) P(A / C) P(C) P(A / L) P(L) 0,07.. Ua fábrica produce tres tipos diferetes de bolígrafos, A, B y C. El úmero total de uidades producidas de cada uo de ellos es el mismo (u tercio del total). Sale defectuosos, si embargo, u 5 por mil de todos los del tipo A, u por mil de todos los del tipo B y u 7 por mil de todos los del tipo C. E u cotrol de calidad se detecta el 70% de todos los bolígrafos defectuosos del tipo A, el 80% de los del tipo B y el 90% de los del tipo C. Los bolígrafos defectuosos e dicho cotrol se tira. Si se saca al azar uo de estos bolígrafos defectuosos que se ha tirado, calcula la probabilidad de que sea del tipo A. Llamemos A = {bolígrafo del tipo A}, B = {bolígrafo del tipo B}, C = {bolígrafo del tipo C}, D = {bolígrafo defectuoso} y T = {tirar u bolígrafo}. Observemos el siguiete diagrama: 0 7 T 0 05 D / / A B 0 00 D 0 8 T / D 0 9 T C Etoces la probabilidad de que uo de los bolígrafos que se ha tirado sea del tipo A se puede escribir Ejercicios resueltos de probabilidad Págia

14 P(A D T) P(A/D T) = = P(D T) P(A) P(D/A) P(T/(D A)) P(A) P(D/A) P(T/(D A))+P(B) P(D/B) P(T/(D B))+P(B) P(D/A) P(T/(D B)) 0'05 0'7 0,547. 0'050'7 0'000'8 0'007 0'9 Es importate e casos como este hacer ua reflexió acerca de la aplicació del teorema de Bayes. Obsérvese que el suceso D T es la uió de los tres sucesos siguietes, icompatibles además dos a dos: A D T, B D T y C D T. Basta aplicar ahora e cada caso la probabilidad de la itersecció de tres sucesos. Haciedo uso del diagrama e árbol la resolució del ejercicio es casi imediata y además todo lo aterior adquiere setido.. El 5% de los créditos de u baco so para vivieda, el 50% so para idustria y el 5% para cosumo diverso. Resulta fallidos el 0% de los créditos para vivieda, el 5% de los créditos para idustrias y el 70% de los créditos para cosumo. Calcula la probabilidad de que se pague u crédito elegido al azar. Sea los sucesos V = {crédito para vivieda}, I = {crédito para idustria}, C = {crédito para cosumo diverso} y F ={u crédito resulta fallido}. Etoces teemos que P(V) = 0,5 ; P(I) = 0,5 ; P(C) = 0,5 ; P(F/V) = 0, ; P(F/I) = 0,5 y P(F/C) = 0,7. Haciedo uso del teorema de la probabilidad total: P(F) = P[(F V) (F I) (F C)] = P(F V) + P(F I) + P(F C) = = P(F/V) P(V) + P(F/I) P(I) + P(F/C) P(C) = 0, 0,5 + 0,5 0,5 + 0,7 0,5 = 0,5. La probabilidad de que se coceda u crédito es la de que o resulte fallido, es decir, P( F ) = P(F) = = 0,5 = 0, Ua ura cotiee 5 bolas rojas y blacas. Se seleccioa ua bola al azar, se descarta y se coloca bolas de otro color e la ura. Luego se saca de la ura ua seguda R bola. Determia la probabilidad de que: 4/9 a) La seguda bola sea roja. b) Ambas bolas sea del mismo color. c) La primera sea roja si la seguda lo es. Cosideremos los sucesos R = {sacar la primera bola roja}, B = {sacar la primera bola blaca}, R = {sacar la seguda bola roja} y B = {sacar la seguda bola blaca}. Etoces: a) P(seguda bola roja) = P(R ) = P[(R R ) (R B )] = P(R R ) + P(R B ) = = P(R /R ) P(R ) + P(R /B ) P(B ) = /8 /8 R B 5/9 7/9 /9 B R B Ejercicios resueltos de probabilidad Págia 4

15 b) P(ambas bolas del mismo color) = P[(R R ) (B B )] = P(R R ) + P(B B ) = = P(R /R ) P(R ) + P(B /B ) P(B ) = c) P(la primera sea roja si la seguda lo es) = P(R /R ) = 4 5 = P(R R ) = P(R ) P(R / R) P(R) P(R ) 5. De los créditos cocedidos por u baco, u 4% lo so para clietes acioales, u % para clietes de la Uió Europea y u 5% para idividuos del resto del mudo. De esos créditos, so destiados a vivieda u 0%, u 4% y u 4% segú sea acioales, de la UE o del resto del mudo. Elegido u cliete al azar, qué probabilidad hay de que el crédito cocedido o sea para vivieda? Llamemos N = {crédito para clietes acioales}, UE = {créditos para clietes de la uió europea}, RM = {crédito para clietes del resto del mudo} y V = {crédito destiado a vivieda}. Etoces P(N) = 0,4 ; P(UE) = 0, ; P(RM) = 0,5 ; P(V/N) = 0, ; P(V/UE) = 0,4 y P(V/RM) = 0,4. Aplicado el teorema de la probabilidad total se tiee: P(V) = P[(V N) (V UE) (V RM)] = P(V N) + P(V UE) + P(V RM) = = P(V/N) P(N) + P(V/UE) P(UE) + P(V/RM) P(RM) = = 0, 0,4 + 0,4 0, + 0,4 0,5 = 0,40. La probabilidad de que el crédito cocedido o sea para vivieda será: P( V ) = P(V) = 0,40 = 0, E cierta empresa se produce dos biees A y B e la proporció a 4. La probabilidad de que u bie de tipo A tega defecto de fabricació es del %, y del tipo B, del 5%. Se aaliza u bie, elegido al azar, y resulta correcto, qué probabilidad existe de que sea del tipo A? Sea los sucesos A = {bie del tipo A}, B = {bie del tipo B}, D = {bie co defecto de fabricació}. Como la producció de los biees A y B está e proporció de a 4, P(A) = 7 y P(B) = 7 4. Además P(D/A) = 0,0 y P(D/B) = 0,05. Aplicado el teorema de Bayes se tiee: P(A/ D ) = 0,97 P(A D) P(D/A) P(A) = 7 P(D) P(D/A) P(A)+P(D/B) P(B) 4 0,97 0, Teemos tres uras: U co bolas rojas y 5 egras, U co bolas rojas y egra y U co bolas rojas y egras. Escogemos ua ura al azar y extraemos ua bola. Si la bola ha sido roja, cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la ura U? = Ejercicios resueltos de probabilidad Págia 5

16 Si llamamos R = {extraer bola roja} y N = {extraer bola egra}, lo que se pide es P(U /R). Haciedo uso del teorema de Bayes teemos: /8 R / / U U 5/8 / / B R B / /5 R U /5 B P(U R) P(U /R)= P(R) P(R / U) P(U) P(R / U) P(U) P(R / U ) P(U ) P(R / U) P(U) = = Se tiee ua ura vacía y se laza ua moeda al aire. Si sale cara, se itroduce e la ura ua bola blaca y, si sale cruz, se itroduce ua bola egra. El experimeto se repite tres veces y, a cotiuació, se itroduce la mao e ua ura, retirado ua bola. Cuál es la probabilidad de que e la ura quede ua bola blaca y otra egra? Para que e la ura quede ua bola blaca y otra egra después de extraer ua bola es porque e la misma había dos bolas blacas y ua egra o bie dos bolas egras y ua bola blaca. Llamemos BN = {después de repetir el experimeto tres veces e la ura hay dos bolas blacas y ua egra} y NB = {después de repetir el experimeto tres veces e la ura hay dos bolas egras y ua blaca}. Llamemos tambié C = {salir cara al lazar ua moeda} y X = {salir cruz al lazar ua moeda}. Etoces: P(BN) = P(salir dos caras y ua cruz e tres lazamietos de ua moeda) = = P(CCX) + P(CXC) + P(XCC) = P(NB) = P(salir dos cruces y ua cara e tres lazamietos de ua moeda) = = P(XXC) + P(XCX) + P(CXX) = Llamemos ahora B = {extraer bola blaca} y N = {extraer bola egra}. El suceso del cual se pide hallar su probabilidad es (BN B) (NB N). Así pues: Ejercicios resueltos de probabilidad Págia 6

17 P[(BN B) (NB N)] = P(BN B) + P(NB N) = = P(B/BN) P(BN) + P(N/NB) P(NB) = Nota: de aquí e adelate sólo se da la solució fial a cada uo de los ejercicios. El método de resolució de cualquiera de ellos es similar al utilizado e los ejercicios ateriores. 9. E segudo de Bachillerato de cierto istituto hay u total de 00 estudiates, de los cuales 40 so hombres, 0 usa gafas y 5 so hombres y usa gafas. Si seleccioamos al azar u estudiate de dicho curso: a) Cuál es la probabilidad de que sea mujer y o use gafas? b) Si sabemos que el estudiate seleccioado o usa gafas, qué probabilidad hay de que sea hombre? a) 0,45; b) 0, Ua fábrica de coches tiee tres cadeas de producció: A, B y C. La cadea A fabrica el 50% del total de coches producidos, la B el 5% y la C el resto. Si la probabilidad de que u coche resulte defectuoso es de e la cadea A, de 4 e la cadea B y de 6 e la cadea C, calcula: a) La probabilidad de que u coche sea defectuoso y haya sido fabricado por la cadea A. b) La probabilidad de que u coche haya sido producido por la cadea C si éste o es defectuoso. 0 a) ; b) 0,. 4. Elvira se sabe 8 uidades de las de que costa el libro de Geografía. E u exame, por medio de bolas, se elige dos uidades al azar. Cuál es la probabilidad de que sepa las dos?. 0,66.. E ua ura hay tres bolas azules y cuatro verdes. Si se extrae simultáeamete dos bolas al azar, halla la probabilidad de que ambas bolas sea del mismo color. 0, U cajó cotiee cuatro calceties egros, seis marroes y dos azules. Si se toma dos calceties al azar, cuál es la probabilidad de que ambos sea egros? Y la de que ambos sea del mismo color? 0,09 ; 0,. 4. La probabilidad de que u ciclista gae ua carrera e día lluvioso es 0,08 y la de que gae ua carrera e día seco es 0,. Si la probabilidad de que el día de la carrera sea lluvioso es 0,5, cuál será la probabilidad de que el ciclista gae la carrera? 0, Ua librería tiee tres estates co la siguiete composició: e el estate superior hay ovelas y 7 cuetos, e el estate cetral hay 8 ovelas y 6 cuetos y e el iferior hay 5 ovelas y 9 cuetos. Se escoge u estate al azar y se saca de él u libro. Si el libro ha resultado ser ovela, cuál es la probabilidad de que se haya sacado del estate cetral? 0,465. Ejercicios resueltos de probabilidad Págia 7

18 6. E ua ciudad el 5% de los cesados vota al partido A, el, 45% al partido B y el 0% restate se abstiee. Se sabe, además, que el 0% de los votates del partido A, el 0% de los votates del partido B y el 5% de los que se abstiee so mayores de 60 años. Se pide: a) Cuál es la probabilidad de que u ciudadao cesado, elegido al azar, sea mayor de 60 años? b) Si dicho ciudadao es mayor de 60 años, cuál es la probabilidad de que se haya absteido e las eleccioes?. a) 0,5 ; b) 0, Ua ura A cotiee 6 bolas blacas y 4 egras, ua seguda ura B cotiee 5 bolas blacas y egras. Se seleccioa ua ura al azar y de ella se extrae bolas si reemplazamieto. Calcula la probabilidad de que: a) Las dos bolas sea blacas. b) Las dos bolas sea del mismo color. c) Las dos bolas sea de distito color. a) 0,40476 ; b) 0,495 ; c) 0, U trabajador tiee que coger u determiado autobús para ir a su trabajo. Lo coge e el 80% de los casos y e esa situació la probabilidad de llegar putual al trabajo es 0,9. Si o lo coge, llega tarde el 50% de las veces. Calcula: a) Si llega putual, cuál es la probabilidad de que haya cogido el autobús? b) Si llega tarde, cuál es la probabilidad de que haya perdido el autobús? a) 0,878 ; b) 0, Extraemos ua carta de ua baraja española; si sale figura, extraemos ua bola de la ura I; e caso cotrario, la extraemos de la ura II. Las uras tiee la siguiete composició: ura I: 4 bolas blacas y 8 bolas verdes; ura II: 6 bolas verdes y 5 bolas rojas. Calcular las probabilidades de los siguietes sucesos: a) La bola es verde y de la ura II. b) La bola es blaca. a) 0,88; b) 0,. 9. La probabilidad de que ua persoa adquiera e ua librería u periódico es de 0,4. La probabilidad de que adquiera ua revista es de 0,. La probabilidad de que adquiera ambas publicacioes es de 0,. Calcula las probabilidades de los siguietes casos: a) Que adquiera algua publicació. b) Que o adquiera igua. c) Que adquiera sólo u periódico. a) 0,5 ; b) 0,5 ; c) 0,. 40. Se laza 5 dados sobre ua mesa. Cuál es la probabilidad de que salga sólo úmeros pares? Y de salga al meos u seis? 0,05 ; 0,598. Ejercicios resueltos de probabilidad Págia 8