CAPÍTULO VII LEY DE AMPERE Y LEY DE BIOT-SAVART

Transcripción

1 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. CAPÍTULO VII LEY DE AMPERE Y LEY DE IOT-SAVART 7.. Ley de Amee Oested en 8 fue quen descubó eementlmente, que un coente que ccul en un lmbe oduce efectos mgnétcos sobe un bújul en su lededo. Al elz este eemento se obsev que l coloc vs bújuls en los lededoes del lmbe tods se oentn de tl fom que l deccón de ls gujs de ls bújuls fomn ángulos ectos con l deccón de l dstnc tomd del lmbe cd un de ls bújuls, l coloc tods ls bújuls l msm dstnc, ls gujs nos dn l deccón tngencl del cículo que fomn como se muest en l Fg. ). L deccón de l coente que sle del lno de l hoj que se eesent smbólcmente o un unto en el lmbe ( ) y cundo ent o un cuz ( ) ; s cmbmos el sentdo de l coente entonces ls gujs de los mnes dn un go de 8 lo que sgnfc que el cmo mgnétco que ls oent cmbó 8 tmbén en su deccón, Fg. b). De un fom áctc se dot l egl de l mno deech ndcndo con el ulg l deccón de l coente y l cuvtu de los dedos lededo del lmbe ndc l deccón del cmo mgnétco como se muest en l Fg.. 3

2 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. En este eemento (me Fg. ) se obsev que l lejnos del lmbe con coente el cmo dsmnuye y l cecmos ument, ments que l dsmnu l ntensdd de l coente el cmo mgnétco, es meno, y l umentl, el cmo mgnétco es myo; de donde se concluye que es dectmente ooconl l coente que ccul o el lmbe e nvesmente l dstnc ente el lmbe y el unto donde se dese detemn. De ls nteoes obsevcones se encuent que l elcón ente el cmo mgnétco y l coente en el conducto que se conoce cono Ley de Amee, y est dd o l eesón: I (7.) π donde es l constnte de emebldd en el vcío y tene un vlo de: 7 T m A En l Ec. (7.l) I, es l coente que s o el conducto y es l dstnc dl del cento del conducto l unto donde se dese clcul el cmo, como se muest en l Fg.. Dd l deendenc dl de y debdo que es constnte sobe el cículo; l Ec. (7.) se uede ees de l sguente fom: dl I enc En l Fg. se obsev que culque unto de l tyecto, l deccón de es l msm que dl o lo tnto, dl dl y s evlumos l ntegl de l Ec. (7.) y (7.) desejmos el cmo obtenemos l Ec. (7.). L coente I es l coente enced o l ntegl de líne. De quí que cundo l coente enced es ceo, entonces el cmo es ceo en es egón. 33

3 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. L Ec. (7.) es váld en genel culque eglo de conductoes con coente, culque tyecto ced de ntegc6n y culque cmo, seme y cundo éste no esté vndo con el temo. Al tt de evlu l ntegl en l Ec. 7. es donde suge el oblem; y que se uede evlu sn dfcultd oblems que tenen smetí, de quí que su lccón se muy lmtd. L Ec. 7. se uede escb en funcón de l densdd de coente de cuedo l Ec. (4.4).: I J ds coente enced. s donde ds es el dfeencl de suefce; o lo tnto, l Ec. (7.) se uede escb como: dl J ds (7.3) donde l ntegl de suefce de l densdd de coente coesonde l áe enced o l ntegl de líne ced. s 7.. Cmo de un conducto ecto y lgo, con coente P clcul el cmo mgnétco de un lmbe ecto y lgo que llev un coente lo odemos obtene con l Ec. (7.). S desemos clcul el cmo untos dento del conducto es neceso utlz l Ec. (7.3). Ls línes de nduccón son cículos con centos en el lmbe, como se muest en l Fg De quí que el cmo mgnétco > donde es do del lmbe es: I (7.4) π que se obtene t de l Ec. (7..) 7.3. Fuez ente dos conductoes lelos En l seccón 6.5 veímos que cundo un lmbe tnsotb un coente y se encontb en un egón del esco donde hy un cmo mgnétco eementb un fuez, seme y cundo l deccón del cmo no fue lel l longtud del lmbe; es dec, que s 34

4 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. tenemos dos lmbes ectos y lgos lelos que tnsotn coente, estos se ten o se eelen mutumente deendendo de l deccón de l coente. En l Fg. ), se muestn dos ccutos, cundo los nteutoes se cen los lmbes eementn un fuez de tccón. Sí cmbmos l deccón de un fuente como se muest en l Fg. b), l ce los nteutoes obsevmos que los lmbes eementn un fuez de eulsón.. P clcul l fuez de tccón ente los lmbes de Fg. nteo ), se uede hce utlzndo ls Ec. (6.3) y (7.); se llm un lmbe que llev un coente y oto lmbe b que llev un coente b y l dstnc ente ellos d, dmás se debge consde que los dos de los lmbes son muy equeños. P clcul el cmo mgnétco del lmbe b en el lmbe, se utlz Ley de Amee de modo que: b π d De l Ec. (6.3) tenemos que l fuez de tccón que eement el lmbe es: F como el cmo mgnétco es eendcul l entonces l l, susttuyendo el vlo de en l Ec. (6.3) obtenemos que l fuez o undd de longtud en el lmbe es: F b l (7.5) π d / que es ectmente gul l fuez de tccón que eement el lmbe b. P el cso en que ls coentes fuen en sentdo conto en los lmbes como se lust en l 35

5 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. Fg. nteo b), entonces los lmbes eementn un fuez gul en mgntud l de l Ec. (7.5), eo en sentdo conto, es dec, de eulsón Cmo de un Solenode S hcemos s coente o un es ést gene un cmo mgnétco como se muest en l Fg. S se tene vs ess, conectds ente sí, de un msmo do y se colocn como se muestn en l sguente fgu, se fom un bobn que tene un longtud gnde comd con el do de ls ess que l fomn, este eglo se conoce como solenode (ve fgu). Solenode (cote longtudnl). 36

6 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. Al s un coente o el solenode se gene un cmo mgnétco unfome eceto en los bodes, donde el cmo emez bse. P nlz o que el cmo es unfome dento del solenode y como es cs ceo fue de él, se uede hce tonndo uns ess seds o un dstnc equeñ como se muest en l Fg. A medd que juntn ls ess el cmo mgnétco dento se há más unfome e ntenso ments que en el eteo tendeá dsmnu. P detemn el cmo mgnétco en el solenode se sume que el cmo mgnétco es unfome y que los efectos en los bodes (ls temnles del solenode) no son consdedos. Alcndo l Ley de Amee: dl I un tyecto ectngul ced b c d de ldos l y h como se lust en l Fg. nteo, entonces: b c d dl dl dl dl dl b y que l ntegl ced de líne equvle l sum de l ntegl de cd uno de los segmentos que fomn l tyecto, ectngul b c d. c d 37

7 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. Al nlz cd un de ls ntegles del segundo membo, se obsev que l me y l tece ntegl son ceo, y que l egón donde hy cmo el vecto dfeencl de longtud fom un ángulo de 9 con el cmo y fue del solenode no este cmo l cut ntegl o se en l tyecto de d el cmo vle ceo y o consguente l ntegl tmbén. L ntegl de l tyecto b c no es ceo y es gul l y que el ángulo ente dl y es, o lo tnto: c dl dl l b l coente I que se ence en l tyecto b c d, es gul l sum de l coente de cd es o vuelt que se encuent dento de l tyecto ced. S se defne que n se el númeo de vuelts o undd de longtud entonces, nl es el númeo de vuelts en l tyecto ced, o lo tnto, l coente enced I es gul : I enc ( nl) I coente enced. De l Ley de Amee Ec. (7.) se tene que de donde enc nl I dl l I I n (7.6) En l Ec. (7.6) se ve que el cmo mgnétco dento de un solenode del no deende de su dámeto n de l longtud de éste, deende úncmente del númeo de vuelts o undd de longtud n y de l coente que s o el solenode. L Ec. (7.6) se uede us clcul cmos mgnétcos en untos ntenos cec del cento, solenodes eles con un omcón muy buen. En el cálculo del cmo mgnétco los bodes de un solenode el, l Ec. (7.6) no sve Ley de ot- Svt 38

8 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. L Ley de Amee esent un dfcultd en mgnetsmo muy sml l Ley de Guss en electostátc, que es l evlucón de l ntegl, y o consguente sólo los csos en que este sufcente smetí evlu l ntegl se uede utlz. Esto no sgnfc que l Ley de Amee, no se ued lc en todos los csos, sno que smlemente es muy dfícl evlu l ntegl. En lgunos csos en electostátc veímos que l Ley de Guss se uede us que de un fom smle y dect clcul el cmo eléctco, o ejemlo un vll lg con un dstbucón de cg unfome, eo en el cso de un nllo con un dstbucón de cg unfome l únc fom de encont el cmo untos sobe el eje, e mednte un ntegcón dect t de l Ley de Coulomb con dfeencles de cg. En fom sml se estblece l Ley de ot-svt en mgnetsmo clcul el cmo mgnétco o ntegcón dect un dstbucón de coente con esecto un unto consdedo, y que se escbe como: d dl senθ (7.7) donde cd dl es un dfeencl de longtud del conducto con coente otndo un d y es el vecto dstnc ente el unto P, donde se dese detemn el cmo mgnétco, y el dfeencl de longtud dl ; θ es el ángulo ente el vecto dstnc y l deccón de dl, como se muest en l Fg. L deccón del cmo mgnétco en P está dd o d l que concued con l egl de l mno deech. L Ley de ot-svt, l odemos escb en fom vectol de l sguente fom: 39

9 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. dl ˆ (7.8) Poblems esueltos Poblem 7. Escb l Ley de Amee en fom dfeencl Solucón L ley de Amee esct en fom ntegl tene l fom dl I Ddo que l coente se uede escb como I J ds, susttuyendo en l eesón nteo, se tene dl J ds ( J ) ds Utlzndo el teoem de Stokes dl ( ) ds Comndo ls dos últms ecucones, se encuent J Como H, tmbén se uede escb H J 4

10 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. L eesón nteo, se conoce con el nombe de fom dfeencl de l Ley de Amee, y fom te (sólo de un te) de un de ls ecucones de Mwell, seá él quen escbá un ecucón genel (comlet) l esecto. Poblem 7. Clcule el cmo mgnétco untos dento de un ( < < b) cble col, s el conducto centl tene un do y el conducto eteo tene un do nteo b y do eteo c, como se muest en l Fg.. Po los conductoes sn coentes gules eo de sentdos contos. Solucón: De cuedo l Ley de Amee l únc coente que oduce cmo mgnétco < < b es l del conducto nteno y que es l coente enced, de l Ec. 7., tenemos que: dl de donde: π obtenendo: π Qué vlo cee usted que tene el cmo untos fue del cble col? Cble col. 4

11 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. Poblem 7.3 Un conducto ecto y lgo de do llev un coente unfomemente dstbud. ) Clcule el cmo mgnétco, untos dento del lmbe. (Ve Fg. b) Gfque vs < <. Solucón: Pmeo se obtene l densdd de coente de l Ec. (4.3), esto es: de l Ec. (7.3) se tene que: J A π dl J ds s evlundo cículos con < tenemos: π J π desejndo y susttuyendo el vlo de J: π en l suefce del lmbe est ecucón se educe l msm ecucón que se obtene t de l Ec. (7.) π b) Gáfco del cmo en funcón de. 4

12 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. En est gáfco obsevmos que el cmo mámo es en y que el cmo es ceo y el cmo tende ceo cundo. De l Ec. (7.4) obtenemos >. π Poblem 7.4 Consdee un cble col, de tl fom que tl que el conducto centl tene un do y el conducto eteo tene un do nteo b y do eteo c, como se muest en l Fg. S o los conductoes cculn coentes gules eo de sentdos ouestos. detemne el cmo mgnétco en tods ls egones, esto es: ) ( < ) ; b) ( < < b) ; c) ( b < < c) ; d) ( > b) Solucón: Cble col. ) El vlo del cmo en est egón, está ddo o el esultdo obtendo en le oblem nteo (ve oblem nteo) b) En est egón se tene que de donde: ( ) π < dl π luego: 43

13 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. ( < < b) π c) dl enc donde l coente enced en este es enc ds, entonces J dl ddo que dl y J ds, se tene que ( J ds ) ( ) dl Jds como los módulos de y J son constntes, se obtene dl ( J ds ) π [ Jπ ( b )] donde J π ( c b ) Relzndo, se encuent d) ( b < < c) π ( c b b ( dl enc ( ) ) ) Ddo que en est egón no hy coente enced entonces el cmo mgnétco es ceo. Luego ( > c) 44

14 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. Poblem 7.5 Un conducto ecto, lgo y de do, conduce un coente I, se h dseñdo de tl fom que l densdd de coente dento del conducto ví de cuedo l eesón 3I J. Detemne: 3 π ) El cmo mgnétco untos dento del conducto: ( < ) b) El cmo mgnétco untos fue del conducto: ( > ) c) Constuy gáfco () Solucón: ) De l Ley de Amee se tene que: dl ddo que dl y J ds, se uede escb J ds Tenendo esente que dl Jds ds d dθ y susttuyendo el vlo de J se obtene π π 3I π 3 d dθ Integndo: ( < ) 4 3I 3 π π d dθ 3 3I I ( < ) π π b) En est cso l coente enced es I, demás es fácl ve que I enc Jds π 3I π 3 d dθ 45

15 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. entonces luego c) 3 3I I enc π I 3 π 3 dl I I ( < ) π I π Poblem 7.6 Demueste que cundo un de conductoes lelos de longtud nfnt y sedos un meto que llevn un coente de un mee cd uno en l msm deccón, eementn 7 un fuez de tccón o undd de longtud de [ N / m.] Solucón: De l Ec. (7.5) tenemos que: F l / π d b como b entonces: susttuyendo dtos tenemos que: F / l π d 46

16 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. F / l ( 7 tesl m / m) (m) π ( m) F l 7 [ N / m] Poblem 7.7 Detemne el unto o untos donde el cmo mgnétco ente dos conductoes y b, sedos un dstnc de [m] que llevn un coente de [A] y 4 [A] en l msm deccón esectvmente, es ceo. Solucón: En l Fg. se muest esquemátcmente como el cmo mgnétco esultnte que dsmnuye hst lleg un unto en el cul es ceo y desués se nvete su deccón. P culque unto sobe el eje que une los lmbes el cmo mgnétco esultnte es l sum del cmo de cd uno de los lmbes, esto es: b De l Ec. (7.) el cmo el lmbe es: π el lmbe b: b π ( d ) P que el cmo mgnétco esultnte se ceo en un unto sobe el eje es neceso que: 47

17 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. en mgntud y detemn el vlo de esto es: π b b π ( d ) de donde: d 5 [ ]. 5 m Poblem 7.8 Un solenode como el que se muest en l Fg. tene.6 m de lgo, se dseñó con tes cs y cd c tene 5 vuelts y llev un coente de mees. Detemne el cmo mgnétco en el cento del solenode. Solucón: De l Ec. (7.6) se tene que: n N donde n y N es el númeo de vuelts en el solenode que es gul 5 vuelts y l l l longtud del solenode, entonces: Susttuyendo dtos se obtene: N l 7 tesl m 5 ( mee) mee.6 m π 3 [ T ] 48

18 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. Poblem 7.9 Clcule el cmo mgnétco untos sobe el eje l de un es con coente y do como se muest en l Fg. Solucón: De l Fg. 7.5 obsevmos que dl y son eendcules, o lo tnto l Ec. (7.7) se escbe sí: dl d donde d tene l deccón que se muest, eo solmente l comonente d contbuye l cmo mgnétco esultnte en y que l comonente d y se nul o su comonente smétc y ouest, sí que: dl d π sen 4 φ como sen φ y ( ) de l Fg. Susttuyendo se tene: π 3 dl evlundo: 3 π 49

19 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. smlfcndo y eemlzndo o su vlo: ( ) 3 Poblem 7. Detemne que el cmo mgnétco en el unto, oducdo o el conducto de l fgu I que tnsot un coente constnte I, está ddo o P θ R I R θ. R Solucón El cmo en el unto, está ddo o el ote de cd uno de los segmentos del conducto, esto es ( ) ectos ( ) cuvo Po oto ldo, según l ley de ot-svt se uede escb I ectos dl ˆ I cuvo dl ˆ De l fgu se obsev que todos los segmento ectos se cumle que ( dl ˆ). Seg ectos 5

20 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. luego en el unto, solo ot el cmo oducdo o l coente del segmento cuvo I dl ˆ cuvo P este segmento cuvo se cumle que ( dl ˆ) dl uˆ Rd uˆ. θ Seg cuvo donde u ˆ es un vecto unto que ent l lno de l ágn, demás R Cte, luego I uˆ cuvo Rdθ I R R θ uˆ El módulo del cmo es I P θ : θ en dnes R Poblem 7. Detemne el cmo mgnétco en el unto de l fgu I Solucón. Tenendo esente que los segmentos ectos no otn l cmo en el unto, uesto que ( dl ˆ)., entonces se uede lc dectmente l elcón obtend Seg ectos segmentos ccules. I P θ R En este cso θ π, de donde se encuent 5

21 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. Poblem 7. I P 4R Detemne el cmo mgnétco en el unto, oducdo o el conducto de l fgu Solucón El cmo en el unto, está ddo o el ote de cd uno de los segmentos del conducto, esto es ( ) ectos ( ) cuvos Po oto ldo, según l ley de ot-svt, I, se uede escb I ectos dl ˆ I cuvos dl ˆ De l fgu notmos que todos los segmento ectos se cumle que ( dl ˆ). Seg ectos Luego I dl ˆ I dl ˆ I dl ˆ π 4 cuvos Seg( ) Seg( b) Alcndo l elcón t segmento ccules, se uede escb I θ I ( uˆ ) ( uˆ ) θ b Donde u ˆ es un vecto unto que sle del lno de l hoj, demás de l fgu se ve que θ θ π, luego 5

22 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. I 4 I I 4 b ( uˆ ) ( uˆ ) ( uˆ ) 4b Tmbén se uede escb ( el módulo) I 4 b Poblem 7.3 Clcule el cmo mgnétco en el cento de un es ccul que tnsot un coente I. Solucón I Tenendo esente que segmentos ccules se uede lc dectmente l elcón ddo que este cso θ π, se encuent I θ 4 πr I R Poblem 7.4 Demueste que el cmo mgnétco en el unto, oducdo o l coente que ccul o los segmentos ectos coesondentes los ángulos θ y θ está ddo o: I ( senθ senθ ) y 53

23 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. I P θ θ y O ˆ ϕ dl d Solucón donde ( ) ( ) ( Ldo deecho Ldo zquedo dl ˆ I ) Ldo deecho Ldo deecho De l fgu se tene que luego Tmbén de l fgu se obtene dl ˆ d senϕ d sen( θ π / ) d cosθ ( y ) I dcosθ Ldo deecho Ldo deecho tnθ y tnθ d y sec θdθ ; ( cte y ) cosθ y y sec cos θ y θ Susttuyendo los vloes de ( ) Ldo deecho I y de d se encuent dcosθ I Ldo deecho Ldo deecho ysec θdθ cosθ y sec θ de donde se obtene ( ) Ldo deecho θ I cosθdθ y 54

24 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. I y ( ) Ldo deecho sen θ En fom nálog se uede encont que I y ( ) Ldo zquedo sen θ I ( ) ( ) θ y ( senθ sen ) Ldo deecho Ldo zquedo Poblem 7.5 Demueste que el cmo mgnétco en el unto, oducd o l coente que ccul el segmento ecto, se uede ees en témnos de los ángulos ϕ y ϕ en l fom: I ( cosϕ cosϕ ) y P θ θ ϕ I y O ˆ ϕ dl d Solucón Utlzndo el esultdo obtendo en el oblem nteo I ( senθ senθ ) y est cso, de l fgu se tene θ ϕ π / θ ϕ π /, entonces susttuyendo en l ecucón nteo, se tene I sen y ( sen( ϕ π / ) ( ϕ / ) ) π 55

25 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. de donde se encuent I y ( cosϕ cosϕ ) Poblem 7.6 ) Utlce l eesón encontd detemn el cmo oducdo o segmentos ectos con coente, clcul el cmo oducdo o un conducto ecto de longtud nfnt en un unto, ubcdo un dstnc b) Utlce l ley de mee elz el cálculo nteo P. y y del conducto I Solucón L eesón segmentos ectos está dd o I y ( senθ senθ ) De l fgu nteo, es fácl ve que que el conducto ecto teng longtud nfnt se debe cuml que π θ θ Luego, eemlzndo esto vloes se obtene I ( ) I π b) de l ley de Amee 56

26 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. Se tene dl I enc dl dl I ; ddo que Cte dl π I De donde se encuent I π Poblem 7.7 Detemne el cmo mgnétco en el unto, oducdo o el conducto de l fgu o el cul ccul un coente I R R. I b c d Solucón: Según l ley de ot-svt el cmo en está ddo o I I b R dl ˆ I dl ˆ I R c d R dl ˆ I dl ˆ R dl ˆ R θ θ θ3 θ 4. I b c d De l fgu notmos que los segmento b y c d, se cumle que 57

27 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. Entonces I ˆ) ( dl ˆ) ( dl b c c R dl ˆ I R dl ˆ I R dl ˆ De l fgu se uede ec que cd segmento ecto de longtud R, le coesonde un ángulo de θ π / 4. Alcndo l eesón obtend nteomente I 4 πy ( senθ senθ ) j P este cso se tene y R I ( senθ senθ 3 ) senθ 4 sen R θ I R I R Ddo que todos los ángulos son gules π / 4, se encuent I I 4 sen( π / 4) R π R Poblem 7.8 Detemne el cmo mgnétco en el cento de un es cudd de ldo ccul un coente I, o l cul I. Solucón 58

28 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. Tenendo esente el oblem nteo, y l fgu de l es cudd, y /, θ θ / 4, se encuent que π 4 I ( / ) π ( sen( π / 4) sen( / 4) ) I π Poblem 7.9 Un coente no unfome dd o I θ ) I cos( θ / ) ; θ π, ccul o un conducto ( que tene un ldo ecto y un ldo semccul de do R. y R -R θ R I(θ ) ) Clcul el cmo mgnétco en el ogen de coodends genedo o el ldo semccul. b) S el sstem comleto se somete un cmo mgnétco eteno unfome (, et ) ; Cte >. Clcul l fuez sobe todo el conducto debdo l cmo mgnétco lcdo Solucón: Según l ley de ot-svt se tene que d I dl ˆ ; I (θ ) 59

29 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. P el ldo semccul dl ˆ dl kˆ Rdθ kˆ ; R Cte. Entonces con ests consdecones y susttuyendo el vlo de I (θ ), se obtene luego I cos( θ / ) Rd d R I kˆ R θ π / cos( θ / ) kˆ dθ b) El elemento de fuez está ddo o df I(θ ) dl et En este cso dl dl( senθ,cosθ ), donde dl Rdθ, luego dl et ˆ ˆj kˆ dlsenθ dl cosθ dl( senθ cosθ ) kˆ Susttuyendo e ntegndo, se encuent df I(θ ) dl F I et / ˆπ R k ) cos( θ / )( senθ cosθ dθ π / π / F IR kˆ cos( θ / ) senθ dθ cos( θ / ) cosθ dθ Poblem 7. Dos cetes ccules gules de do y N ess, o los cules cculn coentes gules I, son coles y están sedos un dstnc, clcul: ) El cmo mgnétco en un unto del eje común un dstnc del cento del sstem. 6

30 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. b) Demost que s (cetes de Helmholtz) d d c) Clcul, en el cso en que, el cocente ente los vloes del cmo / 4 y. Solucón ) El cmo mgnétco oducdo o un cete ccul de do y N ess ecodo o un coente I en un unto del eje que dst b del cento del cete tene l deccón del eje y su módulo es N I ( b ) 3 / En este cso, el cmo oducdo o el sstem de cetes en un unto que dst de cd cete y esectvmente, es N I 3 / b) 3 / 6

31 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. 5 / 5 / 3 N I d d 7 / 5 / 7 / 5 / N I d d s y : / 5 / 7 / 5 / N I d d c) El vlo del cmo y N I N I N I 3 / 3 / 76, y : 4 / 6

32 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. N I N I / 4, 74 3 / 3 / 4 4 / 4,997 es dec, / 4 el cmo es 99,7% del cmo en el cento. De modo que los cetes de Helmholtz oducen un cmo muy unfome en su egón centl. Poblem 7. Un lgo conducto clíndco de do tene dos cvddes clíndcs de dámeto lo lgo de tod su longtud. Un coente I se dge hc fue de l ágn y es unfome o tod l seccón tnsvesl del conducto. Encuente l mgntud y deccón del cmo mgnétco en el unto, en funcón de I, y.. Solucón: El cmo mgnétco en el unto (o sueoscón) está ddo o donde: v,3 3 coesonde l cmo del clndo sn cvddes coesonden los cmos de ls cvddes (sueo e nfeo esectvmente) Entonces, según l Ley de Amee, v se tene que 63

33 Tócos de Electcdd y Mgnetsmo J.Pozo y R.M. Chobdjn. dl I ence ddo que dl e I enc I, se tene que de gul fom v, se uede escb I dl π (I) π dl I ence ddo que dl e I I 3 I /, se tene que enc enc dl π ( / ) ( I / ) I ( / ) En fom nálog se encuent que 3 I 4 π ( / ) Reemlzndo los vloes obtendos en 3, se encuent: I I I π ( / ) ( / ) I π 4 Notmos que el cmo en el unto unt hc l zqued 64