PRÁCTICA 1. Sistemas eléctricos de primer y segundo orden

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1 PRÁCTICA 1 Sisemas elécricos de rimer y segudo orde Objeivo: Deermiar la resisecia iera de u geerador. Realizar medicioes de la cosae de iemo de circuios de rimer orde asabajas y de los arámeros de diseño de u circuio de segudo orde, mediae la resuesa al escaló. Deermiar el valor de los elemeos que cosiuye el circuio elécrico, a arir de las medicioes aeriores. Teoría básica Sisema de rimer orde. La fució de rasferecia de u sisema de rimer orde asabajas es de la siguiee forma Resuesa al escaló. M H(s) = (1) τs 1 Si a u sisema de rimer orde, co ua codició iicial igual a cero, se le alica ua erada escaló de amliud k, la rasformada de Lalace de su resuesa de esado cero es M k Y zs (s) = () τs 1 s airasformado la ecuació aerior, se iee τ yzs 1 () = Mk(1 e )u () (3) Las gráficas de la erada escaló y la resuesa de esado cero corresodiee se muesra e la Fig. 1. Cosae de iemo. Se defie como cosae de iemo de u sisema de rimer orde, al iemo que debe rascurrir ara que la resuesa al escaló del sisema alcace el 63.% de su valor fial. E la Fig. 1(b), se observa que la resuesa de esado cero alcaza dicho valor cuado = τ. De la Ec. (3) uede oarse que y zs ( τ ) = 0.63Mk eso es, rascurre τ segudos, a arir de la alicació de la erada ara que la salida alcace el 63.% de su valor fial. 3

2 (a) (b) Figura 1. Resuesa al escaló de u sisema de rimer orde. (a) Erada. (b) Salida. Sisema de segudo orde. La fució de rasferecia de u sisema de segudo orde es de la forma ω H(s) = (4) s ςω s ω Resuesa al escaló. La rasformada de Lalace de la resuesa al escaló, cuado las codicioes iiciales so ulas, es kω (s) = (5) s(s ςω s ω ) Yzs dode k reresea la magiud del escaló. Deediedo del valor de ζ e la Ec. (5), se uede resear las siguiees res formas ara la resuesa al escaló I) 0 ς < 1 ςω e 1 1 ς yzs () = k1 se ω 1 ς ag u 1() 1 ς ς (6) ii) ς = 1 iii) ς > 1 ω ( 1 e ( 1 ω ) ) u () yzs () = k 1 (7) 4

3 s s 1 ω e e () = k1 u () 1 s s (8) ς yzs 1 1 dode s ( ς ς 1) 1 = ω s ( ς ς 1) = ω E la Fig. se muesra las diversas resuesas de esado cero cuado la erada es u escaló uiario, k = 1, ara cada uo de los casos aeriores. Figura. Resuesa al escaló ormalizada de u sisema de segudo orde, ara disios valores del coeficiee ζ. Esecificacioes de la resuesa rasioria. Cosidere el caso e el que 0 < ζ < 1. Para u valor de ζ dero del iervalo aerior, la resuesa de esado cero cuado la erada es u escaló uiario se muesra e la Fig. 3. E dicha figura, se observa además alguas esecificacioes que so de imoracia e la caracerizació de u sisema. A coiuació se exlica el sigificado de cada ua de las esecificacioes mecioadas. d (Tiemo de reardo): Es el iemo que rascurre ara que la resuesa de esado cero alcace el 50% de su valor fial. 5

4 Figura 3. Resuesa al escaló cuado 0 < ζ < 1. r (Tiemo de levaamieo): Es el iemo que rascurre ara que la resuesa de esado cero ase del 10 al 90 % del valor fial. E sisemas subamoriguados se defie como el iemo ecesario ara que la resuesa alcace el valor fial or rimera vez. de la Ec. (6) r π φ = dode φ = cos 1 ζ (9) ω 1 ς (Tiemo de sobreaso): Tiemo que rascurre ara que la resuesa de esado cero alcace su valor máximo. 6

5 de la Ec. (6) π = (10) ω 1 ς M (Sobreaso o sobreiro): El sobreaso se defie e la siguiee ecuació M ( ) y y = (11) y dode y = lim y() Se acosumbra esecificar al sobreaso e érmios de orceaje, así or ejemlo si M = 0.77, se dice que el sobreiro es del 77% de la Ec. (6) ςπ 1 ς M = e (1) s (Tiemo de aseamieo) Es el iemo arir del cual la magiud de la oscilació e la resuesa de esado cero o es mayor que u orceaje esecificado del valor ermaee. Suoiedo ese orceaje como u 5% s 3 = (13) ςω r g S V R L Exerimeos a realizar Exerimeo I Figura 4. Circuio ara deermiar la resisecia iera del geerador. 7

6 Medició de la resisecia iera del geerador, r g. Arme el circuio de la Fig. 4. La resisecia iera del geerador se uede calcular or medio de la Ec. (14) Amliud de V co Scerrado R L = (14) Amliud de V co Sabiero r R g L dode R L = 500 Ω. Exerimeo II Medició de la iducacia. Mida el valor de la resisecia de la iducacia r L. A coiuació arme el circuio de la Fig. 5. Ajuse la amliud A y la frecuecia de la señal cuadrada del geerador de al forma que e el oscilocoio se observe la Fig. 1(b). Debe ser claro al lecor de que como o se cuea co u osciloscoio co memoria, la señal de erada que se alica es ua oda cuadrada ara oder visualizar la resuesa al escaló; de ora maera o es osible areciarla, ya que la resuesa rasioria del circuio iee ua duració del orde de milisegudos. L r L r g A R = 1 kω V 0 A Figura 5. Circuio RL. Co ayuda del osciloscoio deermie exerimealmee el valor de la cosae del iemo τ. A arir del valor obeido ara τ deermie el valor de la iducacia. Exerimeo IlI Medició de la caaciacia. Arme el circuio de la Fig. 6. Ajuse la amliud A y la frecuecia de la señal cuadrada del geerador de al forma que e el oscilocoio se observe la Fig. 1(b). Co ayuda del osciloscoio deermie exerimealmee el valor de la cosae de iemo τ. A arir del valor obeido ara τ deermie el valor de la caaciacia. 8

7 R = 1 kω r g A C= 0. µf V 0 A Figura 6. Circuio RC. Exerimeo IV Sisema Elécrico de Segudo Orde. Arme el circuio de la Fig. 7. Ajuse la amliud A y la frecuecia de la señal cuadrada del geerador de al forma que e el oscilocoio se observe la Fig. 3. L r L r g A C V 0 A Figura 7. Circuio RLC serie. El iducor y el caacior so los mismos que se ha emleados e los exerimeos II y III. Calcule eóricamee los arámeros de diseño defiidos or las Ecs. (9), (10), (11), (1) y (13). Deermie exerimealmee co el auxilio de u osciloscoio, los arámeros calculados aeriormee. Llee ahora la siguiee abla. Esecificació de diseño Teórico Exerimeal M r Si exise discreacias ere los valores medidos y los calculados eóricamee, A qué las aribuye? 9

8 Equio ecesario 1 Geerador de fucioes 1 Osciloscoio 1 Soleoide 1 Mulímero Maerial ecesario 1 Caacior de 0. µf 1 Resisor de 1 kω, 1/ wa Cuesioario revio 1. Demuesre la Ec. (14).. Deermie la fució de rasferecia del circuio RL. 3. A arir del resulado aerior deermie la cosae de iemo. 4. Deermie la fució de rasferecia del circuio RC. 5. A arir del resulado aerior deermie la cosae de iemo. 6. Deermie la fució de rasferecia del circuio RLC. 7. A arir del resulado aerior exrese ω y ζ e fució de R, L y C. 8. Exrese las Ecs. (9), (10), (1) y (13) e fució de R, L y C. BIBLIOGRAFÍA Desoer, C. A., ad Kuh, E. S. Basic Circui Theory Mc Graw Hil1, 1969 Hay, W. H., Jr., Kemmerly, J. E., y Durbi, S. M. Aálisis de circuios e igeiería. Sexa edició Mc Graw Hill, 003 Dorf, R. C. y Svoboda, J. A. Circuios Elécricos. 5ª edició Alfaomega, 003 Ogaa, K. Igeiería de Corol Modera, 3ª edició Preice Hall Hisaoamericaa, S. A.,

9 Ogaa, K. Sysem Diamics Preice Hall, 1998 Neff, H. P., Jr. Coiuous ad discree liear sysems Harer & Row, 1991 Huber, C. I. Circuios Elécricos CA/CC. Efoque iegrado Mc Graw Hill,

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