Concepto de medida. Clases de medidas. Probabilidad. Medida completa. Completación de un espacio de medida. Medidas regulares y apretadas.

Transcripción

1 2. Función de conjunto. Medida. Probabilidad. Función de conjunto aditiva y σ-aditiva. Propiedades. Concepto de medida. Clases de medidas. Probabilidad. Medida completa. Completación de un espacio de medida. Medidas regulares y apretadas. Extensión de una medida. 1

2 Cap.2 FUNCIÓN DE CONJUNTO. MEDIDA. PROBABILIDAD Definición: Una función de conjunto (f.c.) es una aplicación real y univaluada ϕ sobre una clase de conjuntos C de un espacio Ω. Clases: f.c. no negativa, finita, σ-finita, aditiva, σ-aditiva. Si Ω Cy ϕ es σ-finita sobre Ω, entonces ϕ es σ-finita sobre C. Definición: Una f.c. ϕ sobre un σ-álgebra A es σ-aditiva si para cualquier clase numerable y disjunta de conjuntos {A n } A,es ( ) ϕ A n = n=1 ϕ(a n ) n=1 Toda f.c. σ-aditiva es aditiva. 1-1

3 Propiedades: 1. Toma sólo uno de los valores + ó. 2. Si existe A Acon ϕ(a) < +, entonces ϕ( ) =0 3. Si A B ϕ(b) =ϕ(a)+ϕ(b A) a) Siϕ(A) < + ϕ(b A) =ϕ(b) ϕ(a) b) Siϕ(A) =+ ϕ(a) =ϕ(b) =+ c) Siϕ(B) < + ϕ(a) < + d) ϕ es finita ϕ(ω) < + 4. Es continua. Teorema de Continuidad: Dada una f.c. ϕ definida sobre una σ-álgebra A, setiene: a) Siϕ es σ-aditiva, entonces es continua. b) Siϕ es aditiva y continua ascendente, es σ-aditiva. c) Siϕ es aditiva, finita y continua en, esσ-aditiva. 1-2

4 Corolario: Si ϕ es σ-aditiva sobre A, alcanza sus extremos en A, esto es, existen C y D A, que en general no son únicos, tales que ϕ(c) =ínf ϕ> y ϕ(d) =supϕ Cuando, en particular, ϕ 0, un resultado trivial sería tomar C = y D =Ω Medida. Definición: Dado un espacio medible (Ω, A), se llama medida a toda f.c. µσ-aditiva y no negativa sobre A. Elsistema(Ω, A,µ) se conoce como espacio de medida. Propiedades: 1. Conserva el orden: Si A B, entonces µ(a) µ(b). Si µ(ω) < + µ es finita. 2. Es sub-σ-aditiva: {A n } A,esµ( n A n ) n µ(a n) Ejemplo: Si µ(a 1 ),µ(a 2 ) < + µ(a 1 A 2 )=µ(a 1 )+µ(a 2 ) µ(a 1 A 2 ) 1-3

5 3. Es continua: Si A n A lím n µ(a n )=µ(a) 4. La suma de medidas sobre un mismo σ-álgebra es una medida; y el producto de una medida por un escalar positivo, es una medida. 5. La restricción de una medida a una sub-σ-álgebra de A, es una medida. Clases de medidas. Probabilidad: Es toda medida P sobre (Ω, A) tal que P (Ω) = 1. El sistema (Ω, A,P) se llama espacio de probabilidad. Toda medida finita determina una medida de probabilidad. Medida completa: Una medida µ sobre (Ω, A) escompletasi B A con Aµ-nulo es B A. En consecuencia, B será también µ-nulo. Completación de un espacio de medida: donde (Ω, A,µ) (Ω, A, µ) 1-4

6 A = σ ( A {B A; A Acon µ(a) =0} ) A = {C B; C Ay B A con µ(a) =0} σ álgebra µ sobre A definida por µ(c B) =µ(c) es la única extensión de µ a una medida completa sobre A. Dem. 1. En efecto, µ es una extensión de µ pues C A es C = C µ(c) =µ(c )=µ(c) 2. µ es una medida sobre A. Veamos que es una f.c. univaluada, esto es, si C 1 B 1 = C 2 B 2,conC 1,C 2 Ay B i A i Acon µ(a i )=0parai =1, 2, entonces µ(c 1 B 1 )=µ(c 2 B 2 ), lo que equivale a probar, en definitiva, que µ(c 1 )=µ(c 2 ). En efecto, C 1 =(C 1 C 2 )+(C 1 C 2 ) donde (C 1 C 2 ) C 2 y(c 1 C 2 ) B 2, pues w (C 1 C 2 ) w C 1 C 1 B 1 = C 2 B 2 y w/ C 2 w B 2 1-5

7 Dado que (C 1 C 2 ) B 2 A 2 con µ(a 2 ) = 0, tenemos también que µ(c 1 C 2 )= 0, con lo cual µ(c 1 )=µ(c 1 C 2 )+µ(c 1 C 2 )=µ(c 1 C 2 ) µ(c 2 ) Puesto que lo recíproco, µ(c 2 ) µ(c 1 )también es cierto por simple simetría, queda probado que la función µ está bien definida. La σ-aditividad y no negatividad de dicha función son inmediatas. 3. µ es completa respecto a la σ-álgebra A, pues D (C B) A con µ(c B) =0 es D A Efectivamente, D = D con AyD (C B) (C A) Atal que µ(c A) µ(c)+µ(a) = 0, porque µ(c) =µ(c B) =0. 4. Finalmente, es inmediato, por construcción, que la extensión es única. Se tiene así que si µ es medida completa sobre (Ω, A), entonces µ = µ. En caso contrario, su completación da lugar a (Ω, A, µ). 1-6

8 Medidas sobre espacios de Borel: Sean (Ω, T ) un espacio topológico y (Ω, A,µ)un espacio de medida tal que A B= σ(t ) Primer objetivo: aproximar la medida de cualquier conjunto medible, A A, por la medida de algún conjunto de Borel, B B. Solución: µ debe ser una medida regular. Definición: Una medida µ es regular sobre (Ω, A) si A Ay ɛ>0, existen un conjunto cerrado F Ay un conjunto abierto G Atales que F A G y µ(g F ) <ɛ. Propiedad: Si µ es una medida regular sobre (Ω, A), y A B, entonces A A B B tal que B A y µ(a B) =0 Para que µ sea una medida regular es suficiente que µ sea una medida definida sobre la σ-álgebra de Borel B de un espacio métrico, esto es, B = σ(t (ρ)), y que µ sea finita sobre cada conjunto de Borel acotado. 1-7

9 Segundo objetivo: aproximar la medida de cualquier conjunto de Borel, B B, por la medida de algún compacto, clase más pequeña que B. Solución: µ debe ser una medida apretada. Definición: Una medida finita µ sobre un espacio de Borel (Ω, B), donde B = σ(t (ρ)), es apretada si ɛ >0 existe un compacto K ɛ tal que µ(ω K ɛ ) <ɛ.se dice entonces que (Ω, B,µ) es un espacio de medida apretada. Propiedad: Si µ es una medida finita y apretada sobre (Ω, B), donde B = σ(t (ρ)), entonces B By ɛ>0, existe un compacto D tal que D B y µ(b D) <ɛ Para que µ sea una medida apretada es suficiente que µ sea una medida finita sobre la σ-álgebra de Borel B = σ(t (ρ)) de un espacio métrico, (Ω,ρ), y que éste sea completo y separable. Ejemplo: El espacio de Borel real (R n, B n ). 1-8

10 2.3. Extensión de una medida. (Ω, C,µ 0 ) Ext.inicial (Ω, Q, µ) Ext.final (Ω,σ(Q),µ) Extensión Inicial Definición: Una f.c. µ es una medida sobre un semiálgebra C si 1. µ 0 2. µ( ) =0,y 3. es σ-aditiva, esto es, {A n ; n 1} Cdisjunta con n=1 A n Ces ( ) µ A n = µ(a n ) n=1 Teorema de Extensión Inicial: Si µ 0 es una medida sobre un semiálgebra C, entonces µ 0 puede extenderse, de forma única, a una medida µ sobre Q(C), definida por µ(b) = n=1 n µ 0 (A k ) B = k=1 n A k Q(C) k=1 1-9

11 Extensión Final: Método de Carathéodory. Si µ es una medida σ-finita sobre un álgebra Q, entonces A Ω podemos definir su extensión exterior por { } µ (A) =ínf µ(a n ); {A n } Q con n A n A Propiedades: n 1. µ sobre P(Ω) es una extensión de µ. 2. µ es una medida exterior, es decir, es una f.c. sub-σ-aditiva, conserva el orden y µ ( ) =0. Consecuencia: Toda medida es una medida exterior, pero no al contrario. Objetivo: Considerar los conjuntos en los que µ se comporta como una medida ( condición de Carathéodory ). Definición: Un conjunto A P(Ω) es exteriormente medible (o µ -medible), si T P(Ω) es µ (T )=µ (TA)+µ (TA c ) 1-10

12 Si A µ = {A P(Ω); µ (T )=µ (TA)+µ (TA c ) T P(Ω)} entonces Propiedades: 1. La clase A µ es un σ-álgebra. 2. La restricción de la medida exterior µ a A µ es una medida completa, Teorema de Extensión de Carathéodory: Toda medida σ-finita µ sobre un álgebra Q puede extenderse, de forma única, a una medida σ-finita sobre la σ-álgebra A = σ(q) generada por Q. Q A µ σ(q) A µ Corolario: La completación del espacio (Ω,σ(Q),µ)es(Ω, A µ,µ ). 1-11