3. Si la diferencia de volúmenes de los cilindros A) 2 3 B) En el gráfico se tiene un tronco de cilindro. A) 196p B) 200p C) 250p

Transcripción

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2 ilindro y tronco de cilindro 1. En el gráfico se muestra un cilindro recto de base circular, además, T es punto de contacto de la recta PT en la superficie cilíndrica. Si PT=15 y P=8, calcule la distancia de T a la base superior del cilindro, de radio 5 y generatriz 18. T P ) 6 ) 8 ) 9 ) 10 E) 1. En el gráfico, el área de la región sombreada es a. alcule el volumen del cilindro de revolución. ) π a a senθ ) π a a cosθ E) π a a cosθ. Si la diferencia de volúmenes de los cilindros que genera un rectángulo de lados igual a y cuando giran alrededor de cada uno de dichos lados es igual al volumen de un cilindro equilátero, calcule la generatriz de dicho cilindro equilátero. ) ) 7 ) 9 ) E) 1. En el gráfico se tiene un tronco de cilindro oblicuo, de base circular. Si (N)=(N), =10 y Q = 8 5, calcule el volumen del tronco del cilindro. Q N... ) πa acosθ ) π a a senθ θ θ θ ) 196p ) 00p ) 50p ) 5p E) 16p

3 5. Según el gráfico, en el tronco de cilindro de revolución y son generatrices. Si el área de la sección plana sombreada es K, calcule el volumen del tronco de cilindro. ) Kp ) Kp ) Kp ) p E) 5p 6. En el gráfico se observa un tronco de cilindro en el cual 1 y son los centros de las bases. alcule la razón de volúmenes entre el tronco de cilindro y el tetraedro regular mostrado. ) ) 5 ) 5 ) p E) p 7. En el gráfico, el volumen del cilindro de sección recta circular es p u. Si = u y ( E)( E)= u, y y son generatrices opuestas, calcule ms E. 1 ) 0º ) 5º ) 60º ) 8º E) 75º 8. En un hexaedro regular EFGH se inscribe un cilindro de revolución cuyas bases se encuentran inscritas en dos caras opuestas del hexaedro. Si =a, G interseca en y N a la superficie lateral del cilindro, calcule N. ) a 6 7 ) a 6 ) a 6 Pirámide ) a 6 5 E) a 6 9. En el gráfico se muestra un cubo -EFGH. Si es el baricentro de la región E y = 6, calcule el volumen de la pirámide EFGH. E F ) 8 ) 7 ) 95 ) 96 E) 108 H G E 10. Se tiene una pirámide hexagonal regular V EF. Si el área de la superficie lateral es 1 veces el área de la base y la distancia de hacia V es 6 10, calcule el volumen de la 5 pirámide. ) 9 ) 10 5 ) 1 ) E) 8 5

4 11. En el gráfico se tiene un cubo y una pirámide regular. Si el área de la superficie lateral es el doble del área de la base de la pirámide y el volumen del cubo es 8, calcule la altura de la pirámide. ) K ) 5 K ) K ) 6K E) K 15. En un hexaedro regular EFGH se ha trazado N perpendicular a H (N en H). Qué parte del volumen del hexaedro regular es el volumen del sólido N EFGH? ) 1 8 ) 1 9 ) 1 ) E) 5... ) ) ) + 5 ) + E) En una pirámide oblicua de base triangular V, m V=m V=m =60º. Si V=9; =6 y =, calcule el volumen de la pirámide. ) 5 ) 1 ) 7 ) 1 E) 9 1. Se tiene una pirámide V, donde V y V, además, =. Si =; =5; V = 1 m =60º y pertenece a la circunferencia circunscrita al triángulo, calcule el volumen de dicha pirámide. ) 19 ) 196 ) 00 ) 0 E) 1 1. Se tiene un tronco de pirámide oblicua, donde las caras laterales son circunscriptibles a una circunferencia. Si la suma de las longitudes de las aristas laterales es K, además, los inradios de las bases son y, calcule la diferencia de áreas de las bases. 16. Una pirámide tiene como base una de las caras de un cubo de 7 m de capacidad, el vértice opuesto a dicha base está contenido en una de las diagonales de las caras adyacentes a dicha base. alcule el volumen de dicha pirámide sabiendo que la suma de los cuadrados de las longitudes de las aristas laterales de la pirámide es igual a cuatro veces el cuadrado de la longitud de la arista del cubo. ) ),5 ) 9 ) 1,5 E) 0 ono y tronco de cono 17. En el gráfico se muestran dos conos de revolución, P PV=8. alcule el área de la superficie lateral del cono circular recto mayor. V ) 8p ) 1p ) 16p ) p E) 9p P 5º 1

5 18. La base de un cono recto circular de vértice V, descansa en un plano H. En H se ubican los puntos y de tal manera que el plano determinado por ; y V es tangente al cono. Si el área de la región V, es igual al área de la superficie lateral del cono, calcule la razón de áreas de la proyección ortogonal de V sobre H y el área de la base del cono. 1. En el gráfico, calcule la razón de volúmenes del tetraedro regular E y el cono circular recto de vértice V. V ) 1 ) ) ) E) En el gráfico, es punto medio de la generatriz V. Si r=6 y h=8, calcule P. onsidere que arcosenq=/1 y P es tangente a la superficie del cono de revolución. (q: medida del ángulo entre P y el plano H). ) 9 ) E ) 9 ) E) 8 6 V h r θ P ) 6 ) 8 ) 1 ) 16 E) 1 0. En un cono equilátero de vértice V se ubica los puntos medios y N de las generatrices V y V. Si la m = 60º, calcule el área de la región trapecial N. onsidere que =. ) 15 ) 15 ) 15 ) 0 E) 5. En una hoja de papel de forma triangular rectangular (=) se forma una superficie cónica haciendo coincidir con, donde el vértice es el punto medio de la hipotenusa. uál es el área mínima que se desecha para obtener la superficie lateral de un cono de revolución, si =? ) p ) p ) p 6 ) 8 p E) π. En un hexaedro regular NPQ RSTU en la prolongación de la arista TS se ubica el punto E, si ET = 119 y UN =5. alcule el volumen del cono circular de vértice, cuya base está inscrita en el triángulo QEU. ) 7 5 ) ) 17 9 ) 5 7 E) 5 8 5

6 . el gráfico se muestra un tronco de cono de revolución de 1 cm de volumen. alcule el volumen del cono de vértice y donde es el diámetro de su base, si PQ =. ) 7º ) 0º ) 8º ) 5º E) 6º 7. Si el arco gira 60º respecto la recta H, determina una zona esférica. alcule el área de la zona si R = H P Q R ) 6 5 cm ) 1 7 cm ) 9 6 cm ) 7 9 cm E) cm... Esfera 5. Tres esferas de radio ; y 5, respectivamente, son tangentes a y están apoyadas en una mesa. alcule el perímetro de la región limitada por el triángulo cuyos vértices son los puntos de tangencia de las esferas con el tablero de la mesa. ( ) ( ( )) ) ) ) ( ) ) ( ) E) ( ( )) 6. Una esfera E de radio 5 es tangente a un plano H en T. Sea P un punto del plano H desde el cual se traza P ypn tangentes a la esfera en y N, respectivamente. Si la distancia del centro de E al plano PN es, calcule la m PN. demás, PT=1. ) p ) p ) p ) p 5 1 E) π 8. alcule la razón de volúmenes de los sólidos. que se generan al girar las regiones sombreadas 60º respecto de la recta 60º 5º ) /5 ) /5 ) 1 ) 6/5 E) 8/5 6

7 9. En el gráfico se muestra una semiesfera y un cono circular recto. alcule el volumen del anillo esférico cuya sección axial está sombreada. V 7º. Un recipiente esférico cuyo radio mide a unidades contiene agua hasta la línea ecuatorial. icho líquido se vierte en un recipiente cilíndrico cuyo radio mide b unidades. etermine el nivel que alcanza el agua en el cilindro. ) 7 a b ) 8 a b ) a b 5 ) 5a b ) p ) 9/5p ) 1,p ) 7,p E) 8,8p 0. Un plano secante a una semiesfera determina dos porciones de superficie esférica equivalentes (igual área). alcule la razón de volúmenes de los sólidos determinados por dicho plano si este no es paralelo al círculo máximo de la semiesfera. ) 1/ ) 1 ) 1/ ) 1/8 E) 5/11 1. Se tiene una zona esférica equivalente a un huso esférico ubicados en la misma esfera de radio R. La altura de la zona es R/, calcule la medida del ángulo del huso esférico. ) 0º ) 7º ) 5º ) 5º E) 60º E) a b Teorema de Pappus y Geometría analítica. En un triángulo se traza la mediana y la ceviana N de manera que N=(N) y {}= N. alcule el volumen que genera la región al girar una vuelta alrededor de, si el volumen que genera la región en dicho giro es V. ) 7 8 V ) 5 V ) 5 V ) 6 7 V E) 7 9 V. Los lados y de un rectángulo miden 1 cm y 9 cm respectivamente. Si es punto medio de y N (N en ), calcule el volumen del sólido generado por la región cuadrangular N al girar una vuelta alrededor de. ) 60 cm ) 50 cm ) 65 cm ) 5 cm E) 6 cm 7

8 5. En un trapecio rectángulo circunscrito a una circunferencia de radio R, el ángulo determinado por el lado lateral y la base mide 5º. alcule el área del sólido generando al girar dicha región trapecial alrededor del menor de sus lados no paralelos. ) 5pR ) 90pR ) 5 R ) 5 R E) 9pR 6. Sea un cuadrado y =. alcule la diferencia entre las pendientes de las rectas L 1 y L. (a; b) 7. alcule las pendientes de todas las rectas que pasan por el punto (; ) y que tienen puntos comunes con el segmento cuyos extremos son (11; ) y ( 1; 18). ) ) y ; ) ; ) R ; E) R ; 8. Si (; ); (; 9) y (8; 1) son los vértices de un triángulo, calcule las coordenadas del circuncentro. ) (6; 5) ) (6; ) ) (5; 1) ) ; E) ; L L 1 9. Si una circunferencia contiene a (0; 1) y N( 1; ), es tangente al eje x y la abscisa de su centro es positiva, calcule el radio de dicha circunferencia. ) a b ) ) ) ) 5 E) 6... ) b a ab ) a+ b ) E) a b ab b 0. Si la ecuación de una circunferencia es (x+) +(y ) =5, determine la ecuación de una de las rectas tangentes a la circunferencia y que pasan por el punto P(; ). ) x y+=0 ) x y+=0 ) x+y+6=0 ) x y+6=0 E) x+y =0 8

9 Problemas diversos 1. En un triángulo, =(), ms =(ms ), calcule ms. 5. En el gráfico se sabe que =R y R=8. Halle. ) 60º ) 90º ) 75º ) 10º E) 0º. En un paralelogramo se traza la altura H la cual interseca en P a, siendo un punto de tal que los ángulos y miden w y w, respectivamente. alcule si P=. ) 6 ) 1 ) 8 ) 9 E) 10 ) ) ) 6 ) 16 E) 0 R. Se tiene un triángulo rectángulo, recto en, además H es altura y =(). alcule la medida del ángulo formado por I y la recta tangente trazada desde hacia la circunferencia de centro I y diámetro H. 6. el gráfico, calcule x si y NLP son polígonos regulares y L 1 // L. ) 5º ) 60º ) 6º ) 70º E) 7º x N 50º L 1. el gráfico, T es un punto de tangencia, =, =, calcule. T P 70º L Q ) ) ) ) E) ) 100º ) 10º ) 10º ) 150º E) 10º 9

10 7. ado una región triangular, recto en, =6 y =8, por el vértice se traza la perpendicular P al plano que lo contiene, P= 5, calcule la medida del ángulo entre y P, siendo punto medio de. 8. Se tiene un cuadrante y un semicírculo de diámetro, ubicados en planos perpendiculares, además en y, se ubican E y H, tal que mh =60º y me =8º, =8, calcule la distancia entre H y E. ) 0º ) 5º ) 7º ) 5º E) 60º ) ) ) 7 17 ) E) laves E E E E E E E E 0 - E