Guia N 6 - Primer cuatrimestre de 2007 Sólidos rígidos planos. Energía potencial y mecánica.

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1 æ Mecánica CLásica Guia N 6 - Primer cuatrimestre de 2007 Sólidos rígidos planos. Energía potencial y mecánica. Problema 1: Dos barras delgadas uniformes de longitudes iguales, l=0.5 m, una de 4 kg y la otra de 12 kg, se sueldan formando una barra de 1 m. Consideremos ahora el momento de inercia de esta barra compuesta respecto a un eje perpendicular a ella. Determinar la posición del eje respecto al cual el momento de inercia tenga el mínimo valor posible. Determinar dicho valor. Problema 2: Sobre una barra uniforme situada sobre una mesa horizontal, se ejerce una fuerza horizontal, perpendicular a la barra, en un extremo de ésta. La barra parte del reposo. La longitud de la barra es L y su masa M. Qué punto de la barra tiene aceleración inicial nula? Problema 3: Se tira de un disco cilíndrico uniforme de radio R sobre una superficie horizontal (sin rozamiento) mediante un hilo arrollado sobre el cilindro. El otro extremo del hilo está unido a un cuerpo de igual masa M que el cilindro. El hilo pasa por una polea sin masa, según se indica en la figura. (a) Determinar la tensión del hilo mientras está en movimiento el sistema. (b) Si el sistema parte del reposo, cuál es la velocidad del disco cuando su centro haya recorrido una distancia 5R? Problema 4: Dos cilindros homogeneos del mismo material giran con la misma velocidad angular alrededor de sus ejes de revolución. Cuál es el cociente entre sus energías cinéticas si el radio de un cilindro es el doble que el del otro? Problema 5: Un carrito de masa M rueda sobre cuatro ruedas de masa m y radio de giro r cada una de ellas (se supone siempre que las ruedas giran sin deslizar). (a) Qué velocidad alcanzará si, tras partir del reposo, se ejerce sobre él una fuerza F durante un tiempo t? Cuál sería la masa efectiva del carrito? (b) Qué velocidad alcanzará si la fuerza F se ejerce a lo largo de una distancia x? Cuál sería ahora la masa efectiva? Problema 6: Se mantiene una barra uniforme recta de masa m y longitud l inclinada un ángulo θ o con su extremo inferior apoyado sobre una superficie plana sin rozamiento. Se suelta la barra desde esta posición. 1

2 (a) Demostrar que la barra choca de plano contra la superficie, es decir, que el extremo inferior se mantiene siempre en contacto con ella. (b) Determinar la velocidad angular en función del ángulo de inclinación. (c) Determinar la velocidad del centro de masa inmediatamente antes de que la barra choque contra el suelo. Problema 7: En la figura pueden verse dos cilindros homogéneos de radio R y masa M cada uno. El cilindro superior puede girar libremente sostenido por un eje horizontal que pasa por su centro. Se arrolla una cuerda en torno a ambos cilindros y se deja caer el de abajo. Entre la cuerda y los cilindros hay suficiente rozamiento como para que ambos puedan girar sin deslizamiento. (a) Cuál es la aceleración del centro de masa del cilindro inferior? (b) Cuál es la tensión de la cuerda? (c) Cuál es la velocidad del cilindro inferior cuando ha descendido una distancia 10R? Problema 8: Un cuerpo que puede moverse libremente sobre un plano, se halla en reposo cuando se le aplica un impulso instantáneo. Es posible que exista un punto del cuerpo que tenga velocidad nula inmediatamente después del impulso? Si es así, estudiar cómo varía este punto al variar el punto de aplicación del impulso. Problema 9: Una barra recta y homogénea de longitud L=3 m y masa M=4 kg se halla en reposo sobre una superficie horizontal. Se aplica un impulso horizontal instantáneo perpendicularmente a la barra. A qué distancia del centro de la barra habría que aplicar el impulso para hacer que se igualen las energías cinéticas de traslación y rotación. Problema 10: Un cilindro homogéneo parte de una posición A y rueda hacia abajo de un plano inclinado sin deslizar hasta B, como se indica en la figura. Sigue de B hasta C moviéndose sobre una superficie exenta de rozamiento. Los desniveles entre A y B y entre B y C son ambos iguales al diámetro del cilindro. (a) Cuáles son la velocidad del centro de masa y la velocidad angular del cilindro cuando se halla en el punto B? (b) Cuáles serán dichas velocidades cuando el cilindro alcance la posición C? Problema 11: Una rueda sube rodando por un plano inclinado de ángulo θ bajo la acción de un par, como se indica en la figura. Cuál es la aceleración máxima de la rueda si su masa es M, su radio de giro r o y el coeficiente de rozamiento estático entre la rueda y el plano es µ? 2

3 Problema 12: Un cilindro homogeneo de radio R/4 se mueve por el interior de una tubería de sección circular de radio R, como se indica en la figura. La mitad izquierda de la tubería es lo suficientemente áspera como para asegurar la rodadura sin deslizamiento, mientras que la otra mitad tiene coeficiente de rozamiento nulo. El cilindro empieza a rodar, en la mitad rugosa de la tubería, desde un punto en el cual su centro de masa se halla a una altura R/2 sobre el punto más bajo de la tubería. (a) Cuál es la velocidad angular del cilindro en la posición más baja? (b) Cuál será la altura máxima que alcanza el cilindro en la mitad lisa de la tubería? Problema 13: Cuál es el momento de inercia de (a) una varilla delgada y larga respecto a un eje perpendicular a ella y que pase por uno de sus extremos? (b) un aro circular delgado respecto a un eje que pase por su periferia y sea perpendicular a su plano? (c) un aro circular delgado respecto a un eje situado en su plano y tangente a él? (d) una placa circular delgada respecto a un eje normal a su plano y tangente a su periferia? Problema 14: Consideremos los dos péndulos de la figura. En la parte (a) puede verse una barra recta uniforme y en la parte (b) una esfera uniforme que cuelga del extremo de una barra muy liviana. Las masas de los péndulos son iguales y sus dimensiones son las indicadas en la figura. Se da a la esfera un impulso instantáneo J que pasa por su centro y que la lleva a la posición horizontal. En qué punto de la barra habría que aplicar J para llevarla a la posición horizontal? Problema 15: Consideremos los sistemas (a), (b) y (c) de la figura, los cuales están todos animados de movimiento oscilatorio. (a) El primer sistema consiste en un cilindro de masa m y radio r que cuelga de una barra muy liviana. Calcular la frecuencia característica f a del sistema. (b) Un cilindro de masa m desliza en uno y otro sentido en un canal semicircular. Despreciando el rozamiento, calcular la frecuencia f b característica de este sistema. Es mayor, menor o igual que f a? Justifique. (c) El cilindro de la parte (b) rueda sin deslizar en uno y otro sentido. La frecuencia f c de este sistema, es igual, mayor o menor que f b? Justifique. Problema 16: Dos tableros lisos están articulados por una arista y se equilibran en la forma indicada en la figura. La articulación en P está exenta de rozamiento. C ada tablero tiene una masa m y una longitud de la arista transversal l, y forman ángulos de 60 con el suelo. Cuánto debe valer el coeficiente de rozamiento estático para que el sistema permanezca en equilibrio? 3

4 Problema 17: Una tabla de largo l está colocada de modo que un extremo permanece junto a un bloque de masa m que está en el piso de un camión mientras que el otro extremo esta apoyado en una pared vertical (ver figura). Determinar la máxima aceleración posible del camion de modo que la tabla permanezca en esa posición en las siguientes casos: (a) No hay rozamiento entre el bloque y el piso del camión. (b) El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el piso es µ Problema 18: El disco A de masa m y radio r se encuentra en reposo cuando se lo coloca sobre una cinta transportadora que se mueve a velocidad constante v. El vínculo que sujeta el disco a la pared tiene masa despreciable. Si el coeficiente de fricción entre la cinta y el disco es µ, calcular la aceleración angular del disco cuando éste comienza deslizar. Problema 19: Considere un disco de masa m y radio r colocado sobre una cinta transportadora como indica la figura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el disco y los puntos de contacto A y B es µ, calcule la aceleración angular del disco. Problema 20: Las extremidades de una barra de longitud l y masa m se pueden mover libremente, sin rozamiento a lo largo de dos superficies como muestra la figura. Si la barra es dejada en reposo desde la posición mostrada en la figura, determinar (a) La aceleración angular de la barra. (b) Las reacciones en A y B. Problema 21: Una barra uniforme de longitud L y masa M cuelga libremente de una articulación A.. Si se le aplica una fuerza horizontal F, determinar: (a) La distancia h a la cual la componente horizontal de la fuerza de vínculo en A se anula. (b) La aceleración angular de la barra en este caso. Problema 22: Considere el mismo sistema del problema anterior. Si la fuerza F es aplicada ahora en h = L, determinar (a) La distancia h a la cual la componente horizontal de la fuerza de vínculo en A se anula. (b) La aceleración angular de la barra en este caso. Problema 23: Un disco homogeneo y un aro, ambos de igual radio y masa, están en contacto cuando se los suelta desde el reposo sobre un plano inclinado como indica la figura. Sabiendo que ambos ruedan sin deslizar, determinar cuánto estarán separados 4

5 luego de un tiempo T. Problema 24: Un aro de radio a y masa M es colocado sobre una superficie horizontal con rozamiento µ con una velocidad angular ω o. Determinar: (a) El tiempo t o para el cual el aro comenzará a rodar sin deslizar. (b) Las velocidades del centro de masa y angular del aro a ese tiempo. Problema 25: Los dos carritos de la figura tienen masa M. Ambos tienen aplicados una fuerza horizontal F. Sabiendo que los cilindros tienen masa m y radio a, determinar la velocidad de los carritos luego de que ambos se trasladaron una distancia d, partiendo del reposo. Problema 26: Un proyectil de masa m es disparado contra un panel cuadrado de lado l y masa M. La velocidad del proyectil v, es horizontal y el panel está suspendido como indica la figura. Conociendo h, determinar: (a) La velocidad del centro del panel inmediatamente después de que el proyectil se incrustó. (b) La reacción impulsiva en A teniendo en cuenta que el proyectil se introduce una distancia d = l/2 Problema 27: Una bala de masa m v es disparada con una velocidad horizontal v o de modo que impacta en un disco de masa M (mucho mayor que m) a una distancia 0.5R del piso, siendo R el radio del disco. Sabiendo que el disco se hallaba inicialmente en reposo y que el rozamiento entre el disco y el piso es finito, determinar: (a) La velocidad del centro del disco su velocidad angular inmediatamente que la bala penetró en el. (b) Describir el movimiento subsiguiente y determinar la velocidad final cuando el movimiento resulta uniforme. Problema 28: Dos barras idénticas, AB y CD, cada una de longitud L pueden moverse sin fricción sobre una superficie horizontal. La barra AB esta rotando alrededor de su centro de masa con una velocidad angular ω o cuando su extremo B golpea al extremo C de la otra, que permanecía en reposo. Sabiendo que en el momento del impacto, las barras estaban paralelas, y asumiendo un choque perfectamente elástico, determinar la velocidad angular de cada barra y la velocidad del centro de masa de cada una de ellas, inmediatamente después del impacto. 5

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