es el lugar geométrico de los puntos p tales que p 0 p n o p 0 p o. p x ; y ; z perteneciente a y un vector no

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1 El Plano y la Recta en el Espacio Matemática 4º Año Cód P r o f. M a r í a d e l L u j á n M a r t í n e z P r o f. J u a n C a r l o s B u e P r o f. M i r t a R o s i t o P r o f. V e r ó n i c a F i l o t t i Dpto. de Matemática

2 EL PLANO ECUACIÓN GENERAL El plano como lugar geométrico Dados un punto p y un vector no nulo n, el plano perpendicular a n que contiene a p es el lugar geométrico de los puntos p tales que p p n o p p o. n p b( De la definición anterior, podemos concluir: p p p p n o pp o pp n La expresión (1) es la ecuación vectorial del plano perpendicular a n que contiene a p. Fijado un sistema o; i; j; k, y en él un punto nulo n a; b; c perpendicular a dicho plano, resulta que para todo punto p pn x - x ; y - y ; z - z a; b; c Resolviendo el producto escalar, obtenemos: (1) p x ; y ; z perteneciente a y un vector no x x a y y b z z c ax - ax by - by cz - cz ax by cz ax by cz o o o Sustituyendo -axo - byo - cz o por d, nos queda: ax by cz d () Observación: p x; y; z de A la expresión () la llamamos ecuación general del plano perpendicular a n que contiene a p. Si el plano pasa por el origen de coordenadas, es decir por el punto Definición: ecuación resulta ax by cz, ya que a b c d d Si d = la ecuación del plano resulta ax + by + cz = (;;) verifica la ecuación al plano, entonces el plano pasa por el origen de coordenadas Dadas las constantes a; b; c; d R con a ; b y c no simultáneamente nulas, se llama ecuación lineal en tres variables x ; y y z la expresión: ax by cz d donde a ; b y c son los coeficientes y d es el término independiente. ; ;, su P O L I T E C N I C O 1

3 El Plano y la Recta en el espacio Teniendo en cuenta la definición anterior, resulta: Ejemplo: La ecuación de un plano es una ecuación lineal en tres variables. Determina la ecuación del plano perpendicular al vector n 1; ; 3 que pasa por el punto p 1; ; 1. Solución: Los infinitos planos perpendiculares a n tienen por ecuación: x y - 3z d ; d R (*) De todos ellos, el que pasa por el punto p 1; ; 1 es el que con él se satisface la ecuación (*). De donde: Entonces el plano buscado tiene por ecuación: POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS d d 4 x y - 3z 4 Dos planos en el espacio pueden ser paralelos o secantes. PLANOS PARALELOS Dos planos 1 y son paralelos si y sólo si sus vectores normales son paralelos. En símbolos: 1// n 1// n siendo 1 1 n y n Gráficamente resulta: P O L I T E C N I C O

4 Si 1) a1x b1y c1z d1 y ) ax by cz d entonces: 1// n 1// n siendo 1 1 n y n R tal que n n1 de donde: a ; b ; c a ; b ; c a b c a 1 b 1 c 1 Si a1 ; b1 y c1, la expresión anterior resulta equivalente a: a b c a b c Observación: En particular, cuando dos planos paralelos tienen algún punto en común, son a b c d coincidentes y resulta a b c d PLANOS SECANTES Dos planos no paralelos se llaman secantes. Caso particular de planos secantes: Planos perpendiculares Dos planos 1 y son perpendiculares sí y sólo si son perpendiculares sus vectores normales. En símbolos: 1 n1 n siendo n1 1 y n Gráficamente resulta: Si 1) a1x b1y c1z d1 y ) ax by cz d entonces: 1 n1 n siendo n1 1 y n n1 n de donde: a1a b1b c1c a ; b ; c a ; b ; c P O L I T E C N I C O 3

5 El Plano y la Recta en el espacio Ejemplos: a) Determina la ecuación de un plano paralelo no coincidente a x - y + 3 z = 3. Solución: Basta multiplicar por un mismo número a las componentes del vector normal. Uno de los infinitos planos podría ser: 8 x - 4 y + 1 z = 3 b) Determina si los planos x y z - 5 y - x - y z - 3 son perpendiculares. Solución: Debemos calcular el producto escalar entre los vectores normales a los planos dados, esto es: 1. (-1) + 1. (-1) = = -1 los planos no son perpendiculares. PROBLEMAS 1) Determina la ecuación del plano sabiendo que p1; ; y a (; ; 1). ) a) Determina, que un plano no paralelo a los ejes coordenados y que no contiene al origen, admite por ecuación una expresión de la forma: x y z 1 p q r conoce con el nombre de ecuación segmentaria del plano. ; p, q, r R -, que se b) A partir de la ecuación segmentaria del plano, analiza las intersecciones del mismo con los ejes coordenados. 3) Dada la ecuación del plano 3x y 6z 1, determina: a) su ecuación segmentaria b) sus intersecciones con los ejes coordenados c) su representación gráfica 4) Tres puntos no alineados determinan un único plano. Determina la ecuación del plano que contiene a los puntos p 1; 1; ; t ; 3; 3 y v 1; 3; 4. 5) Representa los siguiente conjuntos de puntos y define el lugar geométrico que determina cada uno: x y a) A x; y; z / z 1 d) D x; y / x 1 3 y z b) B x; y; z / 1 e) E x; y; z / x 1 5 C x / x 1 c) 6) Sea la ecuación del plano ) ax by cz d. Determina las características geométricas del mismo si: a) a d) a b b) b e) b c c) c f) a c 4 P O L I T E C N I C O

6 7) El plano es perpendicular a los planos x 3y z 1 y x y z 3. Determina la ecuación de si el punto 1; ; 4 pertenece al mismo. 8) Los vectores a 1;1; 4 y (; 3;1) pertenece al mismo. Determina la ecuación de. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO b son paralelos al plano y además el punto 1 ; ; Analizaremos a continuación el problema de cómo calcular la distancia desde un punto p cualquiera a un plano ( p no perteneciente a ). Para ello te proponemos que realices los siguientes pasos. i. Ubica y p en un gráfico ii. ubica un punto p 1 cualquiera de iii. determina p 1 p iv. considera un vector n normal (perpendicular) a v. la distancia de p a esta dada por dist(p ; ) proy n p1p p distp ; vector proy n p1p n p 1 PROBLEMAS 9) Demuestra que dado el plano ) ax by cz d, el punto p x ; y ; z no perteneciente y el punto p1 x 1; y 1; z 1 perteneciente a, entonces dist(p ; ) ax by cz d a b c 1) Halla la distancia del punto 1; ; 4 r al plano ) x 3y z 1. 11) Determina la ecuación de el o los planos paralelos a 3x y - 5z, cuya distancia al punto s; - ; 3 es 14. PROBLEMAS ADICIONALES 1) Determina el plano perpendicular al plano ) x + y + z - 1 =, paralelo al vector u -1; ; y que pase por el punto p(; -1; ). 13) Determina justificando la respuesta si son V(verdaderas) o F(falsas) cada una de las siguientes proposiciones: a) Si 1) x y z 1 y ) x y 1 entonces 1 // b) el plano z = 3 es paralelo al eje z. c) Dos planos perpendiculares a un tercero son paralelos entre si. d) El plano x + y 4 = es paralelo al plano xy. e) Los planos ) x y z y ) x y 3 son perpendiculares. 1 P O L I T E C N I C O 5

7 El Plano y la Recta en el espacio 14) Dados los plano ) x y z 3 y ) x y z 5, a) Justifica que son paralelos b) Calcula la distancia entre ambos, es decir, dist( ; ). RECTA EN EL ESPACIO ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS La recta en el espacio como lugar geométrico Dados un punto p y un vector no nulo u, la recta T paralela a u que pasa por p, es el lugar geométrico p T de los puntos p tales que p p // u o p p o. p o u De la definición, resulta: p T p p // u o pp o pp u ; R (**) A la expresión (**) ecuación vectorial de T paralela (o en la dirección de) al vector u que pasa por el punto p z Fijado un sistema o; i; j; k, en él un punto p x ; y ; y un vector no nulo u u ;u ; z todo punto x; y; z 1 u3, para p perteneciente a la recta T paralela a p u u que pasa por p resulta: pp u; R x x ; y - y ; z - z u ;u ; 1 u3 x x ; y - y ; z - z u ; u ; 1 u3 x k i j p y de donde: x x u1 y y u; z z u3 R 6 P O L I T E C N I C O

8 Es decir: x x u1 y y u ; R z z u3 Parámetro Coordenadas del punto de paso Componentes escalares del vector dirección () A la expresión () la llamamos ecuaciones paramétricas de la recta T que pasa por el punto p y es paralela al vector u. ECUACIÓN CANÓNICA Sea la recta T dada por sus ecuaciones paramétricas: x x u1 y y u ; R z z u3 Suponiendo u 1; u y u 3 distintos de cero, y despejando de todas las ecuaciones, resulta: x x (1) u1 y y () ; R u z z (3) u3 Igualando (1) con () y con (3), obtenemos: x x y y z z u u u 1 3 A esta última expresión la llamamos ecuación canónica de la recta T que pasa por el punto p y es paralela al vector u. PROBLEMAS 15) Determina la ecuación canónica de la recta que: u ; 5; 1 a) es paralela al vector y contiene al punto p 6; 4; b) pasa por los puntos a5; 4; 1 y b3; 1; 5 x 16) Dadas las rectas R) y 1 3 ; R z 4 a) un vector paralelo a T b) si son paralelas c) un punto de R y otro de T y T) x 1 y z 5, determina: P O L I T E C N I C O 7

9 El Plano y la Recta en el espacio RECTA DETERMINADA POR LA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS NO PARALELOS. PROBLEMAS x 17) Dado el plano 3 x + y - z + 5 = y la recta y 1 ; R. Existe intersección z - - entre ellos? En caso afirmativo determina analíticamente la misma. 18) x - y z 6 Dada la recta, Calcula: -x y - z 1 a) sus ecuaciones paramétricas. b) las coordenadas del punto p para = 1 c) su intersección con el plano yz 19) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos p(3; 1; ) y q(; ; -1) y que es paralelo a la recta de intersección de los planos: x z 3 y x y 3z 1. ) Tienen algún punto en común las rectas L y M? x 1 L) y 3 ; R M) z x 17 3 y 4 ; R z -8-1) Grafica los siguientes lugares geométricos en distintos sistemas de referencia en el espacio: x; y; z / z 4 x; y; z / x 3; y 4; z 5 a) b) c) x; y; z / x ; z d) e) ; ; x; y; z / x y z 4; R x; y; z / 3x y 6; z ) Dados en un ; i ; j;k el punto a(1; ; -) y los vectores ob ( 1; 1; ) y v j k. Determina: a) la ecuación de la recta ab b) la ecuación del plano tal que contenga a la recta ab y sea paralelo al vector v c) las coordenadas del punto de intersección de la recta ab con el plano xy d) la ecuación de recta S perpendicular al plano xz que pase por el punto a 3) Dados en un ; i ; j;k, el punto m (; 1; -1) y los vectores ot (1; 1; ) y s i k. Determina justificando las respuestas. a) Es mto un ángulo recto? b) Si los puntos m; t y h(; ; 1) son coplanares. c) La recta T tal que T// mt o T. 4) Determina justificando la respuesta si son V(verdaderas) o F(falsas) cada una de las siguientes proposiciones: 8 P O L I T E C N I C O

10 a) Las rectas R) x 3 y 3 z 1 3x y z y T) x 4y z 1 x b) La recta y ; R es perpendicular al plano x + y - z =. z 3 son paralelas. c) x 1 x y z 1 Las rectas : y 3 ; R y son paralelas. z x y z 1 5) x 1 4 Dados la recta R) y 4 ; R y el plano ) 6x + 9y - 4z + 1 =. Determina si z 3 R. 6) Dados el plano x 1 ) - x 3y z 6 y la recta M) y ; z 3 R. Determina las coordenadas de p y t si M p eje z t. y 7) Dado el plano de la figura. Determina: a) su ecuación segmentaria b) la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por b. z c(;;) RESPUESTAS x a(;;) x y y Plano 1. x z z. a. Demostración a cargo del alumno b. Intersección con el eje x p ; ; Intersección con el eje y ; q; Intersección con el eje z ; ;r r q y x P O L I T E C N I C O 9

11 El Plano y la Recta en el espacio 3. x y z a b. Intersección con el eje x 4; ; Intersección con el eje y ; 6; Intersección con el eje z ; ; c. z -4-6 y 4. 4x 4z 1 x 5. Se determinan características, las representaciones a cargo del alumno 1 1 a. Plano perpendicular al vector ; ;1 3 b. Plano paralelo al eje x c. Punto en un eje d. Recta en el plano xy paralela al eje y e. Plano paralelo al plano yz 6. a. Paralelo al eje x b. Paralelo al eje y c. Paralelo al eje z d. Paralelo al plano xy e. Paralelo al plano yz f. Paralelo al plano xz 7. ) 4x 3y z 6 8. ) 13x y 3z Demostración a cargo del alumno x y 5z 87 3x y 5z x 3y z a. F b. F c. F d. F e. V 14. a. 1 1 b P O L I T E C N I C O

12 Recta en el espacio 15. x 6 y 4 a. z 5 b. x 5 y 4 z a. Un vector paralelo a T puede ser 3; 6; 7 b. No son paralelos c. ;1; 4R y 1; ;5 T Si existe intersección y es el punto ; ; x a. posibles ecuaciones paramétricas y 5 ; R z 3 ; 6;1 c. no existe intersección con el plano yz b x 7y z 8. Si, ; 1; 3 1. A cargo del alumno. x 1 a. y ; R z 4 b. ) - 5x y z 1 x 1 1 c. ; ; d. y λ ; λ R z 3. x a. mto no es recto c. T) y ; R z 3 b. Si 4. a. F b. V c. F 5. R no está incluida en ; ; p y t ; ; - 3 x x y z 7. a. 1 b. por ejemplo R) y ; R z P O L I T E C N I C O 11