UNEFA C.I.N.U. Matemáticas

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1 RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el factor comú del producto es por defiició la Base( ) la catidad de factores se defie como el Expoete( ). E caso de x decimos que x es la ase el expoete. Ahora vamos a platearos el prolema iverso: Teemos la siguiete ecuació: x 81, el ojetivo es determiar el valor de la variale x, que al elevarla a la, os de 81. La respuesta a dicha preguta se resuelve a través de la operació. Veamos otro ejemplo: Si se desea ecotrar los valores de equis ( x ) que satisface la igualdad x, estos so los úmeros -, este hecho se puede comproar elevado al cuadrado los valores dados da como resultado. A los valores de ua icógita, e este caso x, que satisface ua igualdad se les deomia raíces, etoces e el caso particular que se trató se puede decir que, equis ( x ) es igual a la raíz cuadrada de, se deota así: x x. Se utiliza el símolo para idicar u radical. Geeralizado, vemos que la expresió x m se lee raíz eésima() de equis( x ) a la eme( m ) sus partes so: es el sigo radical m x es la catidad su-radical es el ídice del radical. Este dee ser u úmero etero positivo maor que uo. Las raíces surge como ua forma altera de expresar resolver potecias, tal como se mostró e el ejemplo aterior. Ahora piese si se quiere resolver ua potecia de expoete fraccioario, como por ejemplo:, resultaría u poco difícil multiplicar (la ase) por si Radicació: Defiició Propiedades Págia 1

2 misma / de veces (el expoete), tal como idica la regla para resolver potecias, cosiderado que / o llega a ser i siquiera ua vez completa. Las raíces auda a resolver este tipo de prolema, ua potecia de expoete fraccioario se puede escriir como raíz, es decir, si teemos m x esto es igual a x m. De aquí se puede geeralizar que la expresió su-radical costa de ua ase u expoete. Para covertirlo e potecia co expoete fraccioario cosideramos: La ase de la potecia es la ase de la expresió su-radical ( x ). El umerador del expoete fraccioario es el expoete de la ase e la catidad su-radical ( m ) su deomiador es el ídice del radical ( ). Las raíces más utilizadas so las que se lee como: Raíz cuadrada ( ), cuado e el ídice o se escrie igú valor, se soreetiede que es dos () Raíz cúica Raíz cuarta Raíz quita Y así sucesivamete, oserve que la lectura de la raíz depede del úmero que se ecuetre e el ídice. Veamos los siguietes ejemplos Ejemplo 1: Exprese las siguietes potecias e radicales: 1 (a) () Oserve, que ates de covertir e radical se resolvió la potecia de potecia. (c) (d) 7 7 x x 7. 7 Ates de covertir e radical se resolvió el producto de potecias de igual ase. Fíjese que e este ejemplo, se represetó cada potecia como u radical distito a que los expoetes o so iguales. Radicació: Defiició Propiedades Págia

3 Ejemplo : 7 7 (a) Ahora expresamos los siguietes radicales como potecias: a a a () ( ) ( ) E este ejercicio se utilizó ua de las propiedades de la potecia. Tamié oserve que cuado el ídice de la raíz es dos (), éste o se escrie. Se cosidera el caso particular cuado m 1, podemos defiir la siguiete equivalecia: x r sí sólo si x r EQ. 1 Ejemplo : Hallar el valor de la variale x, que cumpla la igualdad: x Utilizado la equivalecia EQ. 1, teemos que: x 8. x x, es decir x 8. Ejemplo : Hallar el valor de la variale x, que cumpla la igualdad: x Utilizado la equivalecia EQ. 1, teemos que: x 81. x x, es decir x 81. Ejemplo : Hallar el valor de la variale x, que cumpla la ecuació: x 1 Utilizado la equivalecia EQ. 1, teemos que: 1 x 1 x 1 ; x 1 x x. x. Criterio de existecia de la raíz -ésima de u úmero, x : La raíz -ésima de u úmero o siempre es úica: e el caso de, se tiee que so raíces cuadradas de ; para evitar amigüedades cuado escriimos os referimos a la raíz positiva de para referirse a la raíz egativa, se escrie:. (a) Si el ídice es par x es positivo, existe dos raíces -ésimas reales de x, ua positiva otra egativa. Pero la expresió x sólo está referida a la positiva. Es decir, las dos raíces -ésimas de x so x x. Radicació: Defiició Propiedades Págia

4 Si emargo, los úmeros reales egativos o tiee ua raíz real de ídice par. Por ejemplo, 81 tiee dos raíces cuadradas, 9 9, pues 81 úmero tiee dos raíces cuartas 9 ( ) 81 9, el. Si emargo, o tiee raíz cuadrada porque igú úmero real elevado al cuadrado da. Por lo mismo, o tiee raíz cuarta. () Si el ídice es impar, cualquiera sea el úmero real, x, positivo o egativo, tiee ua úica raíz -ésima. Por ejemplo, la raíz cúica de 8 es, la raíz cúica de 7 es, tiee ua úica raíz cúica deomiada. Propiedades de los Radicales: El producto de las raíces co igual ídice es la raíz del producto. Esta propiedad os idica que resolver el producto de dos o más raíces co igual ídice es igual a la raíz del producto de las catidades su-radicales co el mismo ídice, e térmios geerales: a a Ejemplo : Escria el siguiete producto de raíces x como la raíz de u producto. Como es u producto de radicales co igual ídice, se escrie la raíz ua sola vez, mateiedo el mismo ídice se expresa las catidades su-radicales como u producto x x. x x x El cociete de las raíces co igual ídice es la raíz del cociete. Esta propiedad os idica que resolver el cociete de dos o más raíces co igual ídice, es igual a la raíz del cociete de las catidades su-radicales co el mismo ídice, e térmios geerales: a a x Ejemplo 7: Escria el siguiete cociete de raíces como ua la raíz de u cociete. Radicació: Defiició Propiedades Págia

5 Como es u cociete de radicales co igual ídice, se escrie la raíz ua sola vez mateiedo el mismo ídice, se expresa las catidades su-radicales como u cociete. x x x 1 x x 1 x Potecia de ua raíz: Cuado halamos de potecia de radicales simplemete os referimos a potecias que tiee como ase u radical. Estas potecias cumple co todas las propiedades de la poteciació. Escriir ua raíz elevada a ua expresió, es igual a escriir ajo el sigo radical la catidad su-radical elevada a esa misma expresió, es decir: m m ( a ) a Ejemplo 8: Resolver ( x ) ( x ) ( x ) x E este caso, se tiee la potecia de ua potecia. ( x ) x Vamos a explicar el procedimieto para el caso dode la ase es u producto de factores, co el siguiete ejemplo: Ejemplo 9: Resolver ( ) x x ( x ) 1 x x 1 x Raíz de ua raíz: Radicació: Defiició Propiedades Págia

6 Esta propiedad se refiere a que ajo u sigo radical puede existir otro sigo radical, como por ejemplo 7 o varios como z. Resolver esto es mu fácil, sólo se dee multiplicar los ídices de los radicales escriir u uevo radical co este resultado como ídice se coserva las catidades su-radicales. Esta regla o propiedad se eucia de la siguiete forma: m a m a Ejemplo 10: Resolver a Para la expresió a, multiplicamos los ídices de los radicales dados (. ) este será el uevo ídice del radical resultate la catidad su-radical se coserva. a a Extracció de Factores de u Radical Extraer factores de u radical sigifica sacarlos de la raíz. Para que sea posile extraer factores de u radical, es ecesario que la catidad su-radical sea expresada como factores e forma de potecia que los expoetes de los factores sea iguales o maores que el ídice del radical. El proceso para extraer factores de ua raíz es el siguiete: Paso 1: se descompoe e factores primos la catidad su-radical. Paso : se toma aquellos factores cuo expoete es maor o igual al ídice de la raíz se divide el expoete de cada uo de esos factores etre el ídice de la raíz. El cociete de la divisió represeta el expoete de la ase que se extrae el residuo es expoete de la ase que queda detro de la raíz. Veamos a cotiuació u ejemplo: Ejemplo 11: Extraiga del radical 7 los factores que sea posiles: Paso 1: Como existe u solo factor, se divide el expoete de la catidad su-radical etre el ídice de la raíz: 7 residuo 1 Paso : Esto os idica que el factor se extrae de la raíz co expoete queda detro co expoete 1 Radicació: Defiició Propiedades Págia

7 7 Ejemplo 1: Extraiga del radical 1x los factores que sea posiles. Paso 1: Se descompoe e factores primos los factores de la catidad su-radical 1x x Paso : E este caso se divide (expoete del factor de ase ) etre (ídice de la raíz), de dode el cociete es uo, este represeta el expoete de la potecia co ase que se extrae de la raíz, es decir, la potecia 1. El residuo de la divisió es dos, represeta el expoete de la potecia co ase que se queda detro del radical, lo cual es equivalete a la potecia. Por otro lado teemos que el otro factor es x, etoces dividimos el expoete de la potecia x etre el ídice de la raíz, el cociete es uo el residuo cero (0), eso sigifica 1 que se extrae la potecia de ase x co expoete uo (1), es decir, la potecia x x, o queda igua potecia co ase x detro del radical. 1x x Otra forma de extraer factores de u radical Para resolver este tipo de ejercicios, como el Ejemplo 11:, de maera altera, deemos coocer las propiedades de los radicales. Ejemplo 1: Extraiga del radical 1x los factores que sea posiles. 1x x x Se descompoe 1 e sus factores primos se expresa como potecia. Se expresa como multiplicació de potecias de igual ase, tal que por lo meos uo de los expoetes sea igual al ídice de la raíz. x x Simplificamos los expoetes. 1 1 x x 1x x Radicació: Defiició Propiedades Págia 7

8 Ejemplo 1: Extraiga del radical x los factores que sea posiles. E este ejercicio, el factor o se puede descompoer e factores primos (a que es u úmero primo), mietras que para los otros factores, el expoete de la variale x es el de la variale es, amos expoetes puede ser divididos de forma exacta etre el ídice de la raíz,. x x Ejemplo 1: Extraiga del radical 8x los factores que sea posiles. 8x x Se descompoe 8 e sus factores primos: x Extracció de factores del radical 8x x Oservació: Cuado la catidad su-radical es ua suma algeraica o se puede extraer factores, pues o está expresados como factores sio como sumados. E caso de ser posile, aplicamos alguas reglas algeraicas para expresarlo como factores o potecias. Ha que recordar que factores so todas aquellas expresioes que se multiplica. Veamos el siguiete ejemplo: Ejemplo 1: Extraiga del radical a + a + los factores que sea posiles. a + a + E la catidad su-radical se tiee ua suma algeraica o u producto. ( a + ) Factorizamos la catidad su-radical, oserve que ahora es u producto otale. ( a + ) a + a + a + a + Itroducció de factores e u radical: Para itroducir u factor e u radical, se escrie este factor detro de la raíz elevado al ídice del radical, mateiedo e el resultado el mismo ídice. Radicació: Defiició Propiedades Págia 8

9 Ejemplo 17: Dada la expresió a a, itroduzca el factor e la raíz Se itroduce el factor detro del radical: a a ( a) a Se resuelve las potecias: a a a a a a Ejemplo 18: Resuelva x 7 x E este caso o se puede multiplicar directamete los ídices, pues etre las dos raíces ha ua expresió. El primer paso dee ser itroducir la expresió e la raíz más itera, esto se hace elevado la expresió al ídice del radical. E este caso deemos itroducir os queda: ( x ) 7. x e la raíz 7 x, por lo tato se eleva x a la 7, así x ( x ) x x Itroducimos el factor x e el radical 7 x 7 7 x 1 x x 7 1 Covertimos potecias de igual ase. multiplicamos 1 x Multiplicamos los ídices de los radicales. Oserve que e este caso o se puede extraer factores del radical, a que las potecias de los factores so meores que el ídice de la raíz. x 7 x 1 x Nota: Sólo se puede itroducir factores e ua raíz, o sumados, es decir si teemos x + x, x o es u factor, es u sumado (u térmio), por lo tato o se puede itroducir detro de x. Ejercicios propuestos: 1. Aplica las propiedades de la radicació a los siguietes ejercicios: Radicació: Defiició Propiedades Págia 9

10 x x 7x 7 a) ) a t 10a t 7 1 c) x 8x 1x 7 9 ( x ) ( 8x ) e) ( ) 9 81x d) 8a 7 81a a a ( a ) ( a ) f) 8 7 ( a ) a 7 g) 9x 1x h) 11a t 7 9a 7 a Justifica cada paso, idicado la propiedad que aplicaste.. Itroduce los factores posiles detro de los radicales: x x c) a) 7a a x ) 9 x 8x d) 11 x 19x Radicació: Defiició Propiedades Págia 10

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