Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

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1 NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos conjuntos numéricos: - Los n nturles: (, 8,.978), representdos por l letr N - Los n enteros: ( -, -, 8, 68), representdos por l letr Z - Los n rcionles ( -, ½, ¼, -¾, 6) representdos por l letr Q Cd uno de estos conjuntos es un mplición del nterior: N Z Q En definitiv, todo número conocido hst hor: - puede ser escrito como el cociente entre otros dos números enteros ( -, 9,, ) 9 99, - tiene un cntidd finit o infinit periódic de cifrs decimles (, ;,6 6; 0,888 ) No es difícil imginr l existenci de números con infinitos decimles no periódicos, por ejemplo: 0,87769 ó,6 o π, que, por lo tnto no pueden ser escritos como un frcción. Se llmn Números Irrcionles, y se designn con l letr I Existen lgunos ejemplos de n Irrcionles fmosos, como: π = (relcion l longitud de l circunferenci y su rdio) e = (n de Euler: usdo en logritmos) φ = ( N de Oro : usdo por grndes rtists en ls proporciones de sus obrs. Se relcion con l ide de estétic y bellez, relcion desde ls proporciones en el rostro, hst ls distnci entre cd rm y cd hoj en un árbol). L Unión entre los números Rcionles y los números Irrcionles, l denominmos Números Reles, y l simbolizmos con l letr R. Con los números Reles logrmos l ide de densidd de l rect numéric.

2 (Not: Si l clculr un medid o resolver un ejercicio, obtenemos como resultdo un n Irrcionl, como por ejemplo 7, debemos tener en clro que ése es el vlor excto del n y sí lo dejmos expresdo, sin buscr su expresión deciml) REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES Los números Irrcionles pueden ser representdos en l rect numéric con tnt proximción como quermos, pero hy csos en los que podemos representrlos de form exct. Ejercicio : Represent en l rect numéric: 7 y Pr trbjr en el conjunto de los N Irrcionles deberemos operr con rdicles, y pr eso repsremos lguns propieddes de l Potencición y de l Rdicción. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN: X en este cso X recordemos que recibe el nombre de bse y es el exponente * Producto de Potencis de igul bse: m n = m + n = + = 7 =8 * Cociente de Potencis de igul bse: m : n = m n : = - = =8 * Potenci de otr Potenci: ( m ) n = m n [( ) ] = ( ) 6 =6 * Potenci de exponente cero: 0 = ( 0) 00 0 =

3 n * Potenci de exponente negtivo: n ( 0) 8 * Distributividd respecto del producto y cociente: ( b) n = n b n ( : b) n = n : b n * Distributividd respecto de l sum y l rest: OJO!!!: L Potencición NO ES DISTRIBUTIVA respecto de l sum y l rest ( + b) n n + b n ( b) n n b n Ejercicio : Resuelve plicndo ls propieddes de l potencición: 6 ).. 9 x. y e) 9 x. y h b) h. f). c) 9.b g) ) b b d).6..6 (k h) x. x 6 PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN: Un rdicl es un expresión de l form, en l que n y ; (con l slvedd de que cundo se negtivo, n tiene que ser impr). n n m * Ríz de un potenci o potenci de un ríz: n m n. m * Ríz de otr ríz: * Producto del índice y exponente por un mismo número: * Distributividd respecto de l multiplicción y división:. b. b b n m m n. r m. r b * Distributividd respecto de l sum y l rest: OJO!!!: L Rdicción NO ES DISTRIBUTIVA respecto de l sum y l rest b b b b

4 Ejercicio : Resuelve plicndo ls propieddes de l rdicción: 7 ). 6 b).. 6 c) d) : e). x ³ x f) x. x g) 7 h) : Ejercicio : Resuelve plicndo propieddes: ). 7 ³. b) c).. d) : x e) 6 6. y 6. x f) 0 b 8. 6 g) 7 7. x EXPONENTES FRACCIONARIOS: Los rdicles se pueden expresr como potencis de índice frccionrio, de modo que el índice de l ríz se el denomindor del exponente, y el exponente del rdicndo (que puede tenerlo o no), se el numerdor del exponente. Ejemplo: SIMPLIFICACIÓN DE ÍNDICES: Si existe un número nturl que divid l índice y l exponente (o los exponentes) del rdicndo, se obtiene un rdicl simplificdo. n OJO!!! Si n es impr: n Si n es pr: n n

5 Ejercicio : De los siguientes ejercicios, sólo es correcto Cuál? ) 00 = 0 + = b) c) d) Ejercicio 6: Resolver 79. x. y³ b) 6 6 k ) b r c) 8 6. x. h k² 8 EXTRACCIÓN DE FACTORES FUERA DEL RADICAL: Cundo los fctores que figurn en el rdicndo son potencis de exponente myor o igul que el índice de l ríz, podemos extrerlos fuer del rdicl, plicndo ls propieddes vists. Cómo? - Expresndo el rdicndo como producto de potencis de igul bse, de mner que u un de ells se múltiplo del índice: = =. =.. ó - Dividiendo el exponente por el índice de l siguiente mner: el resto es el exponente que qued dentro / el resultdo es el exponente que qued fuer =. Ejercicio 7: Extrer todos los fctores de ls ríces cundo se posible: 6 ) 8 b) 6. x c) 0,7 d) 9. ². b. c ,06.. b e) f) 7. z. y b. c² g) 6. x h) c x²

6 INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN EL RADICAL: Cundo precen fctores fuer del rdicl, pueden introducirse usndo el mecnismo inverso que pr extrerlos: Ej: = =. =. Ejercicio 8: Escribir ls siguientes expresiones dentro de un únic ríz 6 ) x.. x³ b). h. k² c) 8.. h d) k 8. h SUMA Y RESTA DE RADICALES: Debemos tener cuiddo cundo summos o restmos rdicles, y que l únic form es restr o sumr expresiones idéntics (lguns veces, primero será necesrio fctorer y extrer fctores fuer del rdicl). Ejemplos: ³. Ejercicio 9: Efectur ls siguientes operciones (siempre que se posible): 8 ) 9 x x 9x b) 6 9. y 7. y c) 6 8 d) 8 0 e) 8 9³ ³ f) g) h) i)

7 Ejercicio 0: PRODUCTO Y COCIENTE DE RADICALES: - Del mismo índice: se reliz el procedimiento inverso l propiedd distributiv: Ej: x xy = x. xy = x y = x. y - De índices distintos: debemos mplificr ls ríces un mismo índice: Ej:.. = (buscmos el m.c.m entre, y ) = = 0 0 = =.. 0 Ejercicio : Relicen ls siguientes multiplicciones y divisiones: ) x. x b) b ². ² b ³ c) m. m². m ³ 7

8 d) 9x e) 7x² f) 0 z. 0,z. 0,0z². 0, 0 g) 6 ³ 6 x. x². 6x h) xy ³. x y. x² y i) 8z : z³ RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES L rcionlizción de rdicles consiste en quitr los rdicles del denomindor, es decir, reescribir un expresión conservndo su vlor, pero sin rdicles en el denomindor. Podemos distinguir tres csos: er cso: L ríz del denomindor es cudrd: numerdor y el denomindor por. Se multiplic el do cso: L ríz del denomindor es de índice myor : Se multiplic numerdor y denomindor por er cso: En el denomindor hy un binomio con, l menos, un rdicl:. Se multiplic el numerdor y denomindor por el conjugdo del denomindor (es decir el mismo binomio pero con el signo del segundo término cmbido), de mner de poder plicr diferenci de cudrdos. 8

9 Ejercicio : Rcionlicen ls siguientes expresiones: 0 ) x b). x c) 9 8 6y x d) x e) 6 f) 08 g) h) i) j) k) 0 l).( ) m) 0 n) 0 0 b o) b. p) q) 8. r) 9 s) t) b c Ejercicio: Resuelvn cd uno de los siguientes cálculos combindos ). d) b) 7 7 e) c) 8 8 f) 8 g). : 8 6 h). :. 9

10 Ejercicio : I) II) III) 0

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