Sistemas de ecuaciones lineales

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1 GUIA 9 Sistemas de ecuaciones lineales Un mundo en el que habitara una sola especie no sería interesante, como tampoco es muy interesante un circuito RLC aislado o un oscilador mecánico desconectado de su entorno La existencia de varias especies que interactúan hace interesante al mundo natural, los milagros de la electrónica posibilitan la integración de muchos circuitos eléctricos, las leyes de la mecánica permiten modelar el comportamiento de objetos complejos tales como cuerdas, puentes, inclusive edificios, mediante sistemas de masas puntuales acopladas a través de resortes En este capítulo se estudian ecuaciones diferenciales que modelan la dinámica de un sistema en el que sus componentes interactúan entre sí, regidos por leyes fisícas, económicas sociales o biológicas Como ejemplo introductorio consideremos un sistema que consta de dos bloques, que se mueven a lo largo de un eje horizontal, conectados entre sí y a un par de paredes verticales mediante sendos resortes, tal y como lo muestra la figura Fig Supongamos además que ambos bloques tienen la misma masa m, que el resorte que los une tiene constante k c, y que los resortes que los conectan a las paredes tienen ambos la misma constante k K K c K x x Figura : sistema acoplado de dos bloques Si las variables x = x (t y x = x (t representan el desplazamiento en el tiempo t, del primero y el segundo de los bloques respectivamente, cuando estos desplazamientos se miden a partir de la correspondientes posiciones de equilibrio, entonces, aplicando la segunda ley de Newton a cada uno de los bloques se obtienen las ecuaciones Si se introducen las variables m d x dt = k x k c (x x m d x dt = k x k c (x x v = dt, v = dt, (

2 y se tiene en cuenta que el sistema ( se convierte en dv dt = d x dt, dv dt = d x dt, dt = v dv dt = k + k c m x + k c m x dt = v dv dt = k + k c m x + k c m x que en notación matricial puede escribirse como x x d v dt x = k+kc k c m m v x (3 k v c k+kc v m m El sistema de ecuaciones ( (o su forma matricial (3, constituye un ejemplo de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden Si no existe acople entre los bloques, es decir, si k c =, el sistema ( se reduce a un sistema desacoplado, m d x = k x dt, m d x = k x dt, en donde las masas se mueven de forma independiente Frecuentemente la descripción dinámica de un sistema físico (como puede ser un conjunto de partículas o una red de circuitos, cuyo estado en cada instante viene caracterizado por los valores x (t,, x n (t, que tomen las n variables x, x n, en el tiempo t, puede darse en términos de un sistema de ecuaciones diferenciales que expresen las leyes de variación del estado (x,, x n respecto a la variable temporal t : ( x = f (t, x,, x n, x n = f n (t, x,, x n (4 El anterior sistema puede reescribirse como una ecuación vectorial para la variable vectorial x(t = (x (t,, x n (t : x = f(t, x, (5 donde f(t, x = (f (t, x,, f n (t, x Desafortunadamente no contamos con métodos generales que permitan resolver un sistema de ecuaciones diferenciales arbitrario como el dado en (5 Una de las pocas clases de sistemas (y la más importante para la cual es posible obtener las soluciones en términos de

3 funciones elementales es la de los sistemas lineales con coeficientes constantes El sistema (5 es lineal con coeficientes constantes si para cada i =,, n f i (t, x,, x n = a i x + + a in x n + b i (t Un sistema lineal puede presentarse como el modelo matemático de un sistema con características lineales, tal como sucede con ciertas redes de circuitos, pero lo más frecuente es que se introduzca como una aproximación lineal de un sistema no lineal El estudio que hacemos de los sistemas lineales es completamente análogo al de las ecuaciones lineales de segundo orden (o de orden n, en una variable Conceptos básicos Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en las n variables x = x (t,, x n = x n (t, es un sistema de n ecuaciones de la forma x = a (t x + + a n (t x n + b (t x n = a n (t x + + a nn (t x n + b n (t (6 en donde los coeficientes a ij (t, b i (t, i, j =,, n, son funciones dadas, definidas en un intervalo J En notación matricial el sistema (6 se puede escribir como donde b(t = (b (t,, b n (t T y A(t = x = A(t x + b(t (7 a (t a n (t a n (t a nn (t Vale la pena señalar en este punto que una ecuación lineal de segundo orden puede siempre verse como un sistema de ecuaciones de primer orden En efecto, introduciendo la variable v = x y teniendo encuenta entonces que v = x, la ecuación se transforma en el sistema x + a(t x + b(t x = f(t, x = v, v = a(t v b(t x + f(t, Más generalmente la ecuación diferencial lineal de orden n, x (n + a n (t x (n + + a (t x + a (t x = f(t 3

4 es equivalente al sistema lineal de primer orden en las variables x = x, x = x,, x n = x (n dado por x = x, x n = x n, x n = a (t x a (t x a n (t x n + f(t Ejercicios Halle un sistema lineal de ecuaciones de primer orden equivalente a la ecución dada en cada caso: x +x +5x = x x 3x = 3 x x = 4 x + ω x = A continuación discutiremos algunas de las principales características de la estructura de las soluciones de un sistema lineal, estructura que facilita su cálculo en ciertos casos En lo sucesivo supondremos que los coeficientes a ij (t y b i (t son funciones continuas definidas sobre un cierto intervalo J Definición Una solución del sistema (7 en un intervalo J es una función vectorial x(t = (x (t,, x n (t T, definida y derivable en J y tal que para todo t de este intervalo se satisface x (t = A(t x(t + b(t Ejemplo Las funciones ( e t x (t = e t ( e 3t y x (t = 3e 3t son soluciones del sistema ( x x = ( 3 ( x Qué clase de trayectorias describen las funciones x (t y x (t en el plano x, x? Ejercicios Los sistemas que se dan a continuación son equivalentes a una ecuación lineal de segundo orden Emplee esa equivalencia para hallar las soluciones del sistema ( ( ( ( ( ( x x x x = 3 x x x = ω x ( ( ( x x = 5 x x El siguiente teorema es análogo a los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones lineales de primer y segundo orden x 4

5 Teorema (Teorema fundamental Dados t en el intervalo J y x = (x,, x n un punto cualquiera de R n, existe una única función x(t = (x (t,, x n (t T, definida en J, que satisface el problema de valores iniciales { x = A(tx + b(t, x(t = x Omitimos la demostración de este resultado El lector interesado puede consultar por ejemplo E Coddington and N Levinson: Theory of Ordinary Differential Equations McGraw- Hill, 955 Una consecuencia inmediata del teorema anterior es que, dado un punto t cualquiera de J la función constante x(t es la única solución del sistema homogéneo que además satisface la condición x(t = x = A(t x, (8 Teorema Si las funciones x (t,, x r (t son soluciones del sistema homogéneo (8, entonces también es solución cada una de las combinaciones lineales de x,, x r, x(t = c x (t + + c r x r (t Demostración Es una consecuencia inmediata de la linealidad del sistema Definición Un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo de dimensión n (8, en el intervalo J, es un conjunto de n soluciones de (8 que sean linealmentes independientes en J Definición Si x j (t = (x j (t,, x nj (t T, j =,, n, son n soluciones del sistema homogéneo de dimensión n (8, el Determinante de Wronski de estas funciones, W (t = W (x,, x n (t, se define como x (t x n (t W (x,, x n (t = det x n (t x nn (t Ejemplo Considérese el sistema del ejemplo Como se puede ver fácilmente las soluciones x (t y x (t son linealmente independientes en J = (, y por lo tanto constituyen un conjunto fundamental de soluciones del sistema en ese intervalo Además ( e t e W (x, x (t = det 3t = 4e t Ejemplo 3 Las funciones x (t = ( cos ωt ω sen ωt e t 3e 3t ( sen ωt, x (t = ω cos ωt forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema ( ( ( x x y = w y 5

6 Teorema 3 (Criterio para conjunto fundamental Si x (t,, x n (t son n soluciones del sistema homogéneo de dimensión n (8, entonces las tres siguientes condiciones son equivalentes: (i x (t,, x n (t forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema (ii W (t para todo t de J (iii W (t para algún t de J Teorema 4 (Propiedad de base Sea {x (t,, x n (t} un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo (8, en un intervalo J Entonces cada una de las soluciones de (8 en J puede expresarse como una combinación lineal de x (t,, x n (t En otras palabras para cada solución x = x(t del sistema existen constantes c,, c n tales que x(t = c x (t + + c n x n (t, (9 para todo t de J Se acostumbra decir en ese caso que (9 representa la solución general de (8 Las demostraciones de estos dos teoremas son completamente análogas a las de los correspondientes teoremas de la guía 5 (Ecuaciones lineales de segundo orden Dos propiedades básicas de un sistema no homogéneo (7, que son consecuencias inmediatas de la linealidad del sistema homogéneo asociado (8 son: Teorema 5 (Primer principio de superposición para sistemas no homogéneos Si x k = x k (t es una solución del sistema x = A(t x + b k (t, k =,, n entonces x(t = c x (t + + c r x r (t es solución del sistema no homogéneo x = A(t x + c b (t + + c r b r (t Teorema 6 (Segundo principio de superposición para sistemas no homogéneos Si x p (t es una solución particular del sistema no homogéneo (7, entonces cada una de las soluciones x = x(t de ese sistema puede escribirse en la forma x(t = x p (t + x H (t, para alguna solución x H = x H (t del sistema homogéneo asociado (8 Observación Si x(t y y(t son dos soluciones de (7, la diferencia x(t y(t es solución de la ecuación homogénea asociada (8 6

7 Sistemas homogéneos con coeficientes constantes En esta sección presentaremos un método que permite hallar las soluciones de un sistema homogéneo con coeficientes constantes x = A x La matriz A asociada al sistema es una matriz n n cuyos componentes son números reales a ij : a a n A = a n a nn La idea, debida a L Euler, es buscar soluciones del tipo x(t = e λt w, donde λ es una constante y w = (w,, w n T es un vector de R n, ambos por determinar Como d dt (eλt w = λ e λt w y A (e λt w = e λt A w, entonces x(t = e λt w es solución de x = A x si y sólo si A w = λ w Si x(t es además una solución no nula entonces λ debe ser un valor propio de la matriz A y w debe ser un vector propio asociado a λ En consecuencia la búsqueda de soluciones de la forma x(t = e λt w se reduce a la búsqueda de valores y vectores propios de la matriz A Recuérdese que λ es un valor propio de la matriz A si existe un vector w para el cual A w = λ w En consecuencia los valores propios de la matriz A son las raíces de la ecuación característica p A (λ = det(a λi =, donde I es la matriz identidad n n y los vectores propios asociados a un valor propio λ son las soluciones w de la ecuación (A λiw = Ejemplo 4 Buscamos las soluciones del sistema La matriz del sistema es la matriz dt = y, A = dy dt ( 3 = 3x y (ver ejemplo y la ecuación característica es la ecuación det(a λi = λ 3 λ = λ ( λ 3, = λ λ 3 = (λ 3(λ + = Los valores propios son pues λ = 3 y λ = y resolviendo las ecuaciones (A 3I w = y (A + I w = se obtienen los vectores propios asociados En particular ( ( w = y w 3 = 7

8 son vectores propios que respectivamente corresponden a λ y a λ Correspondiendo a esta selección de vectores propios se tienen dos soluciones de la forma e λt w : ( ( e λt w = e 3t e λt w 3 = e t Estas dos soluciones forman un conjunto fundamental, pues W (t = e 3t e t = 4et Por lo tanto la solución general del sistema puede escribirse en la forma ( ( ( x(t x(t = = c y(t e 3t + c 3 e t, 3e 3t donde c y c representan constantes arbitrarias La situación del ejemplo anterior se generaliza a matrices n n que tengan n valores propios reales distintos de acuerdo con el siguiente teorema Teorema 7 Supóngase que la matriz A (de dimensión n, tiene n valores propios reales y distintos, λ,, λ n, y sean w,, w n vectores propios (no nulos asociados a dichos valores propios Entonces las funciones e t e λ t w,, e λnt w n forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema x soluciones de este sistema puede escribirse en la forma = A x y cada una de las x(t = c e λ t w + + c n e λnt w n, c,, c n R Ejemplo 5 Se buscan las soluciones del sistema dt = x y, dy dt = x + y En este caso la matriz del sistema es la matriz A = ( cuya ecuación característica está dada por det(a λ I = λ λ = ( λ + = λ λ + = Los valores propios son λ = +i y λ = i, un par de nḿeros complejos conjugados Para hallar los vectores propios asociados debemos resolver ecuaciones de la forma (A λi w = donde el vector w = (w, w T tiene en general componentes complejas Para λ = + i la ecuación por resolver es ( i i ( w w = ( 8

9 que se reduce a la ecuación w iw = Los vectores propios son entonces vectores de la forma ( ( ( ( iw i w = = w = w + iw, w donde w un número (complejo arbitario En particular tomando w = se obtiene el vector propio ( ( ( i w = = + i = α + i β cuyas partes real e imaginaria, α y β, son vectores reales linealmente independientes Asociada a este vector propio tenemos una solución (compleja linealmente independiente, x(t = e λ t w = e (+it (α + iβ = e t (cos t + i sen t (α + iβ = ( (e t cos t α (e t sen t β + i ( (e t sen t α + (e t cos t β = u(t + iv(t ( Procediendo en la misma forma puede obtenerse una segunda solución compleja asociada al segundo de los valores propios, λ = λ Se observa que, trabajando como en el ejemplo anterior, se obtienen soluciones complejas de la forma x(t = e λt w en el caso en el que la matriz A posea valores propios complejos Puede notarse de otro lado que si λ = a + ib es un valor propio complejo de una matriz real A y w es un vector propio (no nulo, asociado a ese valor propio, entonces A w = A w = λ w = λ w En consecuencia λ es también un valor propio de la matriz A, y w es uno de los vectores propios asociados a este valor propio Esto quiere decir que los vectores propios asociados a λ no son otra cosa que conjugados de los vectores propios asociados a λ; es de esperarse entonces que el valor propio λ no aporte información realmente nueva Se tiene en efecto el siguiente resultado, análogo a los ya conocidos de la Guía 5: Teorema 8 Si la matriz A(t es real y si z(t = u(t + iv(t es una solución compleja del sistema lineal homogéneo x = A(t x, donde u(t y v(t son respectivamente las partes real e imaginaria de z(t, entonces u(t y v(t son soluciones reales del mismo sistema Demostración z (t = A(t z(t u (t + iv (t = A(t u(t + i A(t v(t u (t = A(t u(t y v (t = A(t v(t Ahora podremos finalizar el ejemplo 5 En efecto retomando ( se observa que las funciones ( sen t u(t = (e t cos t α (e t sen t β = e t cos t 9

10 v(t = (e t sen t α + (e t cos t β = e t ( cos t sen t son soluciones del sistema Más aún, teniendo en cuenta que W (t = et sen t e t cos t e t cos t e t sen t = et puede concluirse que u(t y v(t forman un conjunto fundamental de soluciones, de forma que la solución general del sistema puede escribirse como ( ( ( x(t sen t cos t x(t = = c y(t e t + c cos t e t sen t La situación del ejemplo anterior se generaliza en el teorema que sigue Teorema 9 Si λ = a + ib y λ = a ib son dos valores propios complejos conjugados (b, de la matriz A, w = α + iβ es un vector propio asociado a λ, y los vectores α, β son respectivamente las partes real e imaginaria de w, entonces las funciones u(t = e at (cos bt α sen bt β, v(t = e at (sen bt α + cos bt β son soluciones linealmente independientes del sistema x = A x Observación Si A es una matriz de dimensión n n que posee n vectores propios (reales o complejos linealmente independientes w,, w n, asociados a valores propios, λ,, λ n, (que pueden ser reales o complejos y no son necesariamente distintos, entonces las funciones x (t = e λ t w,, x n (t = e λnt w n forman un conjunto fundamental de soluciones (reales o complejas del sistema x = A x En particular si para los valores propios reales los vectores propios asociados pueden siempre escogerse como vectores reales, sin embargo si algunos de los valores propios de la matriz real A no son reales, digamos λ j = a j + ib j (a j, b j reales, b j >, entonces el vector propio correspondiente w j es necesariamente un vector complejo (ie con parte imaginaria diferente de cero, que se puede expresar en la forma w j = α j + iβ j donde α j y β j son vectores reales En este caso las partes real e imaginaria u j (t y v j (t, de la solución compleja e λ jt w = u j (t + iv j (t proporcionan dos soluciones reales linealmente independientes del sistema x = A x El número λ j es también un valor propio de A, pero las soluciones del sistema asociadas a este valor propio corresponden a combinaciones lineales de u j (t y v j (t Desafortunadamente no siempre una matriz de dimensión n n tiene asociados n vectores propios linealmente independientes Esto ocurre cuando el polinomio característico tiene raíces repetidas, digamos de multiplicidad k > pero la dimensión del espacio de vectores propios asociados a esa raíz es estrictamente menor que k En esos casos el conocimiento de los vectores propios asociados a los distintos valores propios no basta para conseguir un conjunto fundamentalde soluciones y se hace necesario considerar vectores propios generalizados

11 Definición Se dice que un vector w es un vector propio generalizado asociado al valor propio λ si v es solución de la ecuación donde k es la multiplicidad de λ (A λi k w = Método de los vectores propios generalizados La idea es generalizar el método de solución de la ecuación diferencial lineal dimensional, dt = a x Se recordará que multiplicando por e at esta ecuación se reduce a d dt (e at x(t = De allí seconcluye que e at x(t es igaul a una constante constante c y en consecuencia x(t = e at v Consideremos ahora el sistema homogéneo, x = Ax ( Supóngase que dada una matriz n n constante A se encuentre definida la matriz e ta, t real, de modo que la función t e ta sea diferenciable y se satisfaga (e ta = e ta A En ese caso si x = x(t es una solución del sistema ( en cierto intervalo J, aplicando las reglas usuales de derivación se sigue que para todo t en J (e ta x (t = e ta x (t e ta A x(t = Lo anterior por supuesto implica que e ta x(t es igual a un vector constante w : e ta x(t = w Despejando x(t (y asumiendo que la exponencial e ta satisface las propiedades usuales de la función exponencial se concluye que las soluciones de ( son de la forma donde w es un vector constante La matriz exponencial x(t = e ta w, ( Definición Si A es una matriz compleja constante de dimensión n n y t es un número real, e ta es la matriz definida como la suma de la siguiente serie infinita: e ta = m= m! (tam = lím (I + ta + + tn N N! AN (3

12 Ejemplo 6 a Si A es la matriz A = λ I = λ λ λ, entonces (ta m = (tλ m I y ( e ta = e tλi = lím I + tλi + N! (tλ I + + N! (tλn I = lím ( + tλ + (tλ + + (tλn I N! N! = e tλ I b Considérse la matriz A = ( λ λ, de modo que (ta m = la matriz exponencial e ta está dada por (( ( e ta λ t = lím N λ t N! ( e λ t = e λ t c Si A es la matriz se tiene que A = Se sigue entonces que e ta = A =, A 3 = ( (λ t m (λ t En este caso m ( (λ t N (λ t N =, A 4 = A 5 = = t m m! Am = I + ta +! t A = t t t m= Observación La definición de e ta para t y A dados tiene sentido en la medida en que la serie en (3 converja Empleando técnicas análogas a las que se usan en cálculo para demostrar que para todo número real x la serie x n n= converge hacia un cierto número real, se puede n! probar que para toda matriz A y todo número real t la serie de matrices m= m! (tam converge hacia una cierta matriz n n En otras palabras se puede probar que el límite

13 lím (I + ta + + tn N N! AN existe, quienquiera que sean la matriz A y el número t En este caso estamos hablando del límite de una sucesión de matrices, que debe entenderse en el mismo sentido en el que se entidende el límite de una sucesión de vectores A fin de cuentas una matriz n n puede verse como un vector de n componentes Se puede además verificar que la función e ta definida mediante (3 satisface las propiedades usuales de la función exponencial, como se especifica a continuación Teorema Para cada matriz A de dimensión n la función t e ta, definida para todo t real, es diferenciable y satisface las propiedades i e A = I, ii e (s+ta = e sa e ta = e ta e sa, iii e ta es invertible y (e ta = e ta, iv d dt (eta = Ae ta Sin embargo e ta+tb = e ta e tb sólamente si AB = BA Demostración Ver por ejemplo el texto de MW Hirsch and S Smale, Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra Academic Press, New York, 974 La definición de la matriz e ta y sus propiedades validan ahora nuestro trabajo previo, que condujo a las soluciones ( de (: Teorema (Soluciones de = A x Dados x dt R n y A una matriz real n n, la solución del problema de valores iniciales está dada por dt = Ax, x(t = x x(t = e (t t A x, < t < (4 Ejemplo 7 La solución del problema de valores iniciales dt = x, x( = 3 está dada por x(t = e ta 3 = t t t El cálculo de e ta se hizo en el ejemplo 6c 3 = + t + 3t + 3t 3 3

14 Conjuntos fundamentales de soluciones La utilización directa de las fórmulas ( o (4 para obtener una expresión para el conjunto de todas las soluciones de ( presenta una dificultad: se requiere calcular la matriz exponencial e ta, lo que puede ser más bien complicado si uno se basa simplemente en la definición de matriz exponencial como la suma de una serie infinita Una alternativa es (en lugar de calcular explícitamente e ta, buscar n soluciones linealmente independientes e ta w, correspondientes a n vectores w convenientes Una observación clave es que para cierto tipo de vectores w el cálculo del vector e ta w, se reduce a una suma finita Nótese primero que e ta w = e t(a λi+tλi w = e t(a λi e tλi w = e λt e t(a λi w, donde se ha tenido en cuenta que (A λiλi = λi(a λi De esta forma e ta w = e λt m= t m m! (A λim w (5 Así, si por ejemplo w es un vector propio asociado a λ, entonces (A λiw = de manera que (A λi m w = para m En este caso la serie en (5 se reduce al término Iw = w y por lo tanto e ta w = e λt w Si w es un vector propio generalizado de A asociado al valor propio λ y k es un número entero k para el cual se satisface la condición (A λi k w =, entonces, dado que (A λi k+ w = (A λi k+ w = = la serie (5 se reduce a ( x(t = e ta w = e λt w + t(a λi w + + tk (k! (A λik w (6 Podemos entonces obtener un conjunto fundamental de soluciones formado por soluciones de la forma (6, apoyándonos en el siguiente teorema de álgebra lineal: Teorema (Teorema de la descomposición primaria Sea A una matriz n n real o compleja Supóngase que el polinomio característico de A, p A (λ = det(a λi tiene r raíces reales o complejas distintas λ,, λ r con multiplicidades k,, k r de forma que Entonces p A (λ = ( n (λ λ k (λ λ r kr, k + + k r = n (i Para cada valor propio λ j, j =,, r, el sistema lineal (A λ j I k j w = tiene k j soluciones linealmente independientes w ( j,, w (k j j (Si λ j es no real, los vectores w l j son vectores complejos 4

15 son linealmente inde- (ii Los n vectores w (,, w (k, w (,, w (k pendientes,, w r (,, w (kr r Demostración Se da en los textos de álgebra lineal avanzada; consultar por ejemplo: MW Hirsch and S Smale, Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra Academic Press, New York, 974 El conjunto de todos los valores propios λ,, λ r de la matriz A y sus respectivos vectores propios generalizados, w (l j j =,, r; l =,, k j tales como los descritos en el teorema de la descomposición primaria, permiten construir un conjunto fundamental de soluciones de la forma x j,l (t = e ta w (l j k j = e λ jt m= t m m! (A λ ji m w (l j, j =,, r, l =,, k j (7 Separando en sus partes reales e imaginarias las k j soluciones complejas (7, que correspondan a un valor propio no real λ j = a j + ib j, b j >, se producen k j soluciones reales El valor propio complejo conjugado λ j = a j ib j conduce a las mismas soluciones reales, por lo cual basta considerar los valores propios complejos con parte imaginaria positiva, b j > Ejemplo 8 Buscamos las soluciones del sistema dt = 4 x El polinomio característico es λ p A (λ = λ 4 λ = (λ + ( λ Los valores propios son λ =, de multiplicidad y λ =, de multiplicidad Los vectores propios generalizados asociados a λ = se obtienen como sigue: A + I = 4, (A + I = 8 4 La ecuación (A + I w =, para w = (w, w, w 3 T, se reduce a w 3 = En otras palabras los vectores propios generalizados son vectores de la forma w = (w, w, T con w y w números arbitrarios En particular los vectores w =, w = son dos vectores propios generalizados linelamente independientes Correspondientemente se obtienen las soluciones t t x (t = e t e t(a+i w = e t [I + t(a + I]w = e t 4t = e t, + t 5

16 x (t = e t e t(a+i w = e t [I + t(a + I]w = e t t t 4t + t = e t Los vectores propios asociados al valor propio simple λ = son las soluciones de (A I w = : w 4 w =, w 3 que se reduce a las ecuaciones w = y w w 3 =, de forma que los vectores propios son los vectores de la forma (, w 3, w 3 T con w 3 un número arbitrario En particular, tomando por ejemplo w 3 =, se obtiene el vector propio linealmente independiente w 3 La solución asociada está dada por w 3 = x 3 (t = e t w 3 = e t Finalmente la solución general del sistema puede escribirse en la forma t e t te t x(t = c e t + c e t + c 3 e t = e t e t Ejemplo 9 Buscamos las soluciones del sistema dt = El polinomio característico es el polinomio x p A (λ = A λ I = (λ + = (λ i (λ + i Los valores propios son los números λ = i, y λ = λ = i, ambos de multiplicidad Bastará con obtener las soluciones correspondientes a λ Los vectores propios generalizados asociados se hallan resolviendo el sistema (A i I w = Se tiene A i I = i i i i, (A i I = 6 i i i i i c c c 3 t

17 El sistema (A ii w = se reduce a las ecuaciones, w + w 3 i w 4 =, w i w 3 w 4 =, En consecuencia los vectores propios generalizados son vectores de la forma w w 3 + i w 4 i w = w w 3 = i w 3 + w 4 w 3 = w i 3 + w 4 w 4 w 4 Dos vectores propios generalizados linealmente independientes pueden obtenerse tomando w 3 =, w 4 = y w 3 =, w 4 = : i w = i, w = Las soluciones del sistema correspondientes a este par de vectores son correspondientemente z (t = e ta w = e it e t(a ii w = e it (I + t(a iiw cos t = (cos t + i sen t i i t = sen t cos t + t sen t + i t t cos t z (t = e ta w = e it e t(a ii w = e it (I + t(a iiw i sen t = (cos t + i sen t t = cos t t cos t + i + i t cos t t sen t sen t cos t sen t t cos t t sen t cos t sen t t sen t t cos t + sen t Las partes real e imaginaria de cada una de estas soluciones complejas son soluciones reales; en consecuencia las siguientes funciones forman un conjunto fundamental de soluciones (reales: cos t sen t cos t + t sen t t cos t, sen t cos t sen t t cos t t sen t, Cálculo de la matriz exponencial sen t cos t t cos t cos t t sen t, cos t sen t t sen t t cos t + sen t Mostraremos en esta sección como puede calcularse la matriz exponencial en el caso en el que se conozca un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo x = A x En efecto supóngase que se tiene un conjunto fundamental de soluciones formado por las funciones x (t = e ta w,, x n (t = e ta w n 7

18 La matriz Π(t = (x (t,, x n (t = x (t x n (t x n (t x nn (t cuya j ésima columna es el vector x j (t, es una matriz invertible dado que x (t,, x n (t son soluciones linealmente independientes de manera que W (t Como además, Π(t = (e ta w,, e ta w n = e ta Π(, y Π( = (w,, w n, se sigue que e ta = Π(t Π( Ejemplo Para la matriz A del Ejemplo 8, se tiene e t te t Π(t = e t e t, Π( = e t de manera que e ta = Π(t Π( = e t te t te t e t (e t e t e t Ejercicios Reduzca el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden dado a un sistema de cuatro ecuaciones de primer orden en las variables x = y, x = y, x 3 = z, x 4 = z : d y dz d + α + y = A cos ωt, dt dt z dy + β + z = B cos ωt dt dt En cada caso escriba el sistema de ecuaciones con condiciones iniciales dado como un problema de valor inicial en forma normal x = A x, x(t = x a b dt = x y + z, dy dz = 3x + y 8z, = x + y z, dt dt x( =, y( =, z( = du dt = w, dv dt = u + w, dw dt = u w, u( = α, v( =, w( =, (α > α 3 Sea x p (t la solución del sistema dt = A(tx+b(t que satisface la condición x(t = Muestre que la solución del problema de valores iniciales dt = A(t x + b(t, x(t = x, es la función x(t = x p (t + x H (t, donde x H (t es la solución del problema de valores iniciales dt = A(tx, x(t = x 8

19 4 Suponga que Aw = λw Verifique que x(t = e λ(t t w es la solución del sistema x = A x que satisface la condición x(t = w e t + e t e t + e 3t 5 Suponiendo que las funciones x (t = e t, x (t = e 3t y x 3 (t = e 3t e t e 3t e 3t son soluciones de un sistema de dimensión 3, x = A x, a decida si e 3t estas funciones forman o no un conjunto fundamental de soluciones del sistema y b determine, de ser posible, la solución que satisface la condición x( = (,, T 6 En cada uno de los siguientes casos halle la solución general del sistema y la solución particular que satisface la condición inicial dada ( ( 6 3 a x = x, x( = ( ( 3 b x = x, x( = 3 c x = x, x( = 3 d x = x, x( = 4 3 ( ( e x = x, x( = 5 3 ( ( 3 f x = x, x( = 4 3 g x = x, x( = h x = 3 3 x, x( = 3 ( ( a i x = x, a constante, x( = a j x = x, x( = 9

20 7 Dada la matriz A = λ λ λ, donde λ representa un número real a Determine los valores propios de A con sus respectivas multiplicidades, y encuentre bases para los espacios propios asociados, {v R 3 : (A λ I v = } b Teniendo en cuenta que A λi = N =, verifique que (A λi y que (A λi 3 = c Calcule la matriz e ta = e λti+tn = e λt e tn 8 Generalice el resultado del anterior ejercicio para la matriz n n λ λ A = λ 9 Si A es la matriz (, a Verifique que A = I, y deduzca que A k = ( k I, A k+ = ( k A para k =,,, b Muestre que e ta = k= t k k! Ak + k= t k+ (k +! Ak+ = (cos ti + (sen ta Dada la matriz ( a b A = = ai + ba b a donde a y b representan números reales con b, muestre que ( cos bt sen bt e ta = e at sen bt cos bt Observación: Si a y b no son ambos nulos (es decir si a + b >, entonces existe un único θ, θ < π para el cual a = a + b cos θ y b = a + b sen θ, de donde ( a b = ( cos θ sen θ a b a + b sen θ cos θ La matriz A puede entonces interpretarse como una rotación del plano de un ángulo θ, seguida de una homotecia de razón a + b

21 Halle e ta si A es la matriz de coeficientes en los ejercicios a (6d, b (6g y c (6j Respuestas x = x, x = αx 4 x + A cos ωt, x 3 = x 4, x 4 = βx x 3 + B cos ωt a x = 3 8, x ( = b u =, u ( = α α (α > 5 b Si x ( = (,, T entonces x (t = e 3t (,, T ( ( a x (t = e 3t + e 4 4t ( 6 ( b x (t = e t e 4t e t + 3 et c x (t = e t 7 d x (t = 3 e t 3 ( e x (t = e t cos t f + e t x (t = e t ( cos t sen t cos t g x(t = e t h x(t = cos t ( t i x (t = e at j x (t = e t 3 + t t t e t sen t + e t sen t + 3 et ( sen t cos t sen t + cos t 3 cos t + e 3t 3

22 7 b e ta = e λt t t t ( ( a e ta = e 3t + e 3 4t e t e t e t b e ta = e t cos t e t sen t e t cos t e t sen t e t sen t e t cos t e t cos t sen t c e ta = e t t t t 3 Sistemas no homogéneos con coeficientes constantes donde Se estudiará la ecuación no homogénea, es una matriz n n, real y constante y dt b(t = = Ax + b (8 A = (a ij b (t b n (t es una función vectorial continua en un intervalo J 3 Método de los coeficientes indeterminados Por el segundo principio de superposición para (8 (Teorema 6, si se conoce una solución particular x p (t de (8, entonces una solución general de (8 es x(t = x p (t + x H (t, donde x H (t es una solución general del sistema homogéneo = Ax, que se puede obtener, dt teóricamente al menos, por el método de Ejemplo Para dt = x + e t e t, (9

23 se puede buscar una solución x p (t = e t en (9 se obtiene e t a a a 3 + e t b b b 3 a a a 3 = + e t b b b 3 a e t + b e t a 3 e t + b 3 e t Derivando y reemplazando + de donde (igualando los respectivos coeficientes, se tiene que a =, a = a 3 =, b =, b 8 =, b 4 3 = t En el ejemplo 3 iii de, B se calculó e ta t = t Así, una solución general será x(t = x p (t + x H (t = donde c, c, c 3 son constantes arbitrarias e t + 8 et 4 et et + 3 Fórmula de variación de parámetros t t t e t e t Si se conoce la exponencial e ta, es posible hallar todas las soluciones de un sistema no homogéneo (8 en una forma completamente análoga a como resolvimos la ecuación lineal dimensional = ax + b en la guía (Como hallar soluciones de ecuaciones de primer dt orden Busquemos la solución x(t de (8 que satisface x(t = x (t en J, x en R n dados Recordemos que e ta es invertible y que d dt (e ta = Ae ta Entonces, multiplicando por e ta la ecuación (8 Ax(t = b(t, dt se convierte en Es decir, Integrando entre t y t, ta e dt e ta Ax = e ta b(t d dt (e ta x(t = e ta b(t, para t en J e ta x(t e t A x = t t c c c 3 d t ds (e sa x(sds = e sa b(sds t Se concluye que para t en J, la solución está dada por: (fórmula de variación de parámetros t t x(t = e (e ta ta x + e sa b(sds = e (t ta x + e (t sa b(sds t t 3,

24 Observación x p (t = t x H (t = e (t t A x t e (t sa b(sds es la solución de es la solución particular de x = Ax x(t = x x = Ax + b(t, x(t = x Ejemplo Sean α y β constantes Buscamos la solución del problema de valor inicial α cos t = x + dt β t x( = Sabemos, (Ejemplo 3 iii, que e ta = t t t Por la fórmula de variación de parámetros, la solución particular es x p (t = e ta t e sa b(sds = e ta t α cos s + β s3 βs ds = e ta βs α sen t + 4 β4 = 6 βt3 βt α sen t + β 8 t4 β 3 t3 β t Ejercicios Halle la solución general de los problemas no homogéneos siguientes: ( ( 6 3 t a = x + dt cos t e t b = dt x + Respuestas a x (t = ( b x (t = et e t 3 t 33 cos t + sen t ( ( + t e 3 cos t + sen t + e 3t t C e t C e t + te t +et Nota: Hemos tomado t = t t t C C C 3 C 4 4