Coordenadas homogéneas

Transcripción

1 Coodenadas homogéneas Una matiz de otación 3 x 3 no nos da ninguna posibilidad paa la taslación y el escalado. Intoducimos una cuata coodenada p(x,y,z) p(wx,wy,wz,w), donde w tiene un valo abitaio y epesenta un facto de escala. Vecto en coodenadas homogéneas: x aw a y bw b p z cw c w w Ejemplo: 2i+3j+k [2,3,,] T [,6,8,2] T [-6,-9,-2,-3] T. En geneal, la epesentación mediante coodenadas homogéneas de la localización de sólidos en un espacio n-dimensional se ealiza a tavés de coodenadas de un espacio (n+)-dimensional. 9

2 Matiz de tansfomación homogénea (I) Matiz x que epesenta la tansfomación de un vecto de coodenadas homogéneas de un sistema de coodenadas a oto. T R f p w 3 Rotación Pespectiva Taslación Escalado En obótica la submatiz f x3, que epesenta una tansfomación de pespectiva, es nula; y la submatiz w x, que epesenta un escalado global, es la unidad: T R 3 3 p 3 Rotación Taslación que epesenta la oientación y posición de un sistema OUVW otado y tasladado con especto al sistema de efeencia OXYZ. 95

3 Matiz de tansfomación homogénea (II) Aplicaciones Repesenta la posición y oientación de un sistema giado y tasladado OUVW, con especto a un sistema fijo de efeencia OXYZ, que es lo mismo que epesenta una otación y una taslación ealizada sobe un sistema de efeencia. Tansfoma un vecto expesado en coodenadas con especto a un sistema OUVW, a su expesión en coodenadas del sistema de efeencia OXYZ. Rota y taslada un vecto con especto a un sistema de efeencia fijo OXYZ. 96

4 Taslación Matiz de tansfomación homogénea: Taslación (I) Paa un sistema OUVW tasladado únicamente un vecto p p x i+ p y j+ p z k con especto al sistema fijo OXYZ. La matiz homogénea seá la matiz básica de taslación: Un vecto cualquiea, epesentado en OUVW po uvw, tendá como coodenadas en el sistema OXYZ: 97

5 98 Matiz de tansfomación homogénea: Taslación (II) Ejemplo. Tenemos un sistema O UVW que está tasladado un vecto p(6,-3,8) con especto del sistema OXYZ. Calcula las coodenadas ( x, y, z ) del vecto cuyas coodenadas con especto al sistema O UVW son uvw (-2,7,3) z y x

6 99 Matiz de tansfomación homogénea: Taslación (III) Ejemplo 2. Calcula el vecto xyz esultante de taslada al vecto xyz (,,) según la tansfomación T(p) con p(6,-3,8) z y x

7 Matiz de tansfomación homogénea: Rotación (I) Supongamos que el sistema O UVW sólo se encuenta otado con especto al sistema OXYZ. Las submatíz de otación R 3x3 seá la que defina la otación. Se pueden defini tes matices homogéneas básicas de otación según el eje sobe el que se ealice dicha otación.

8 Matiz de tansfomación homogénea: Rotación (II) Ejemplo. Tenemos un sistema OUVW que se encuenta giado -9º alededo del eje OZ con especto al sistema OXYZ. Calcula las coodenadas del vecto xyz si uvw [-2,7,3] T z y x

9 Combinación de otaciones y taslaciones (I) Es posible combina otaciones y taslaciones básicas multiplicando las matices coespondientes. El poducto NO es conmutativo: Rota y después taslada Taslada y después ota. 2

10 Combinación de otaciones y taslaciones (II) Rotación seguida de taslación: Taslación seguida de otación: 3

11 Combinación de otaciones y taslaciones (III) Ejemplo. Rotación seguida de taslación Un sistema OUVW ha sido giado 9º alededo del eje OX y posteiomente tasladado un vecto p(8,-,2) con especto al sistema OXYZ. Calcula las coodenadas ( x, y, z ) del vecto con coodenadas uvw (-3,,-) z y x

12 5 Combinación de otaciones y taslaciones (IV) Ejemplo 2. Taslación seguida de otación Un sistema OUVW ha sido tasladado un vecto p(8,-,2) con especto al sistema OXYZ y giado 9º alededo del eje OX. Calcula las coodenadas ( x, y, z ) del vecto con coodenadas uvw (-3,,-) z y x

13 Composición de matices homogéneas (I) Una tansfomación compleja puede descomponese en la aplicación consecutiva de tansfomaciones simples (gios básicos y taslaciones). Po ejemplo, una matiz que epesenta un gio de un ángulo α sobe OX, seguido de un gio Φ sobe OY y de un gio θ sobe OZ, puede obtenese po la composición de las matices básicas de otación: 6

14 Composición de matices homogéneas (II) Citeios de composición de matices homogéneas Si el sistema fijo OXYZ y el sistema tansfomado OUVW son coincidentes, la matiz homogénea de tansfomación seá la matiz identidad x, I. Si el sistema OUVW se obtiene mediante otaciones y taslaciones definidas con especto al sistema fijo OXYZ, la matiz homogénea que epesenta cada tansfomación se debeá pemultiplica sobe las matices de las tansfomaciones pevias. Si el sistema OUVW se obtiene mediante otaciones y taslaciones definidas con especto al sistema móvil, la matiz homogénea que epesenta cada tansfomación se debeá postmultiplica sobe las matices de las tansfomaciones pevias. 7

15 Composición de matices homogéneas (III) Ejemplo. PREMULTIPLICACIÓN Se quiee obtene la matiz de tansfomación que epesenta al sistema OUVW obtenido a pati del sistema fijo OXYZ mediante un gio de -9º alededo del eje OX, de una taslación de vecto p xyz (5, 5, ) y un gio de 9º sobe el eje OZ: 8

16 Composición de matices homogéneas (IV) Ejemplo 2. POSTMULTIPLICACIÓN Obtene la matiz de tansfomación que epesenta las siguientes tansfomaciones sobe un sistema OXYZ fijo de efeencia: taslación de un vecto p xyz (- 3,, ); gio de -9º sobe el eje OU del sistema tasladado y gio de 9º sobe el eje OV del sistema giado: 9

17 Invesa de una matiz homogénea Si se tiene la elación xyz T uvw y se multiplica en ambos miembos po T - : T - xyz uvw po lo que teniendo en cuenta el significado geomético de una matiz de tansfomación, se deduce que los vectoes fila de la submatiz de otación de la matiz T, epesentan los ejes pincipales del sistema de coodenadas de efeencia OXYZ con especto a OUVW.

18 Gáficos de tansfomación