Definición. Un conjunto de ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas, se llama sistema de ecuaciones diferenciales.

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1 Unidad 4. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Las ecuaciones diferenciales tienen una gran utilidad en ingeniería así como en la ciencia, pero la mayoría de los problemas no dependen de una ecuación, sino de un sistema de ecuaciones que casi siempre, éstas son diferenciales. De ahí la necesidad que nos adentremos en el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Definición. Un conjunto de ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas, se llama sistema de ecuaciones diferenciales. Solución de un sistema. Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones suficientemente diferenciales x ( x), y ( x), z ( x) 3 2 sistema en algún intervalo común I. Sistema de primer orden, etcétera, que satisface cada ecuación del Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es: x' ax a2x2... a nxn f( t) x' 2 a2x a22x2... a2nxn f2( t) x' n an x an2x2... annxn fn( t) donde t es la variable independiente y x x ( t), i n, son n funciones de t (variables dependientes). 4.2 Método de eliminación La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se agiliza al escribir una vez más cada ecuación del sistema en notación de operador diferencial. Procedimiento de eliminación para sistema de ecuaciones diferenciales 2x2 Paso. Se escribe el sistema en términos de operadores diferenciales lineales. Paso 2. Se elimina la variable x, multiplicando la ecuación () del sistema por el coeficiente de x la ecuación (2) del sistema y multiplicando la ecuación (2) por el coeficiente de x de la ecuación (), tratando que al multiplicarse ambas ecuaciones queden con signos diferentes y así poder eliminarlos realizando la suma. i Prof. Gil Sandro Gómez

2 Paso 3. La ecuación factorizada obtenida en el paso (3) se resuelve utilizando la ecuación característica para hallar las raíces. Paso 4. Observando el tipo de raíces obtenidas en el paso anterior se decide la solución complementaria yt () que se tendrá. Paso 5. Al realizar de nuevo los pasos (2), (3) y (4) se elimina la variable y y se obtiene xt (). Paso 6. Se eliminan las constantes adicionales sustituyendo las expresiones para x( t) y y( t ) en una o ambas ecuaciones del sistema. Paso 7. Se encuentra la solución del sistema original en función de las demás constantes. Si el determinante del sistema es cero, se dice que el sistema es degenerado. Un sistema degenerado puede no tener soluciones, o si posee soluciones, éstas pueden implicar cualquier cantidad de constantes arbitrarias. Ejemplo. Mediante el método de eliminación halle la solución del sistema de ecuaciones dado, donde la derivación es con relación a la variable t. dx x4y dt ~ () dy x y dt Primero escribimos el sistema () en forma de operadores: Dx x 4y Dy x y D x 4y x D y Prof. Gil Sandro Gómez 2

3 Ahora eliminamos la variable x : Multiplicamos la ec. del sistema por ( D -) : 2 D x 4y -( D -) x ( D -) D y ( D -) D y 4y ( D -) D y 4y ( D 2D ) y 4y 2 ( D 2D 5) y ~ (3) Escribimos la ecuación auxiliar de (3): m 2 2m 5 ~ (4) La solución de (4) es: 2 2 ( 2) 4(5)() m 2i m 2 i, m2 2i 2 De ahí que la solución de (3) viene dada por: t y( t) c e cos2t c e sen2 t ~ (2) t 2 Retornamos al sistema de ecuaciones () para eliminar la variable y : Multiplicamos la ec.() del sistema por ( D -) y la ecuacion () del sist. por -4: D D x 4 D y 4 x 4 D y 2 2 ( D 2D ) x 4x ( D 2D 5) x ~ (5) La ecuación auxiliar de (5) es: m 2 2m 5 ~ (6) Resolviendo (6): i m 2i m 2 i, m 2i 2 t t x( t) c e cos2t c e sen2 t ~ (3) Entonces, 3 4 Prof. Gil Sandro Gómez 3

4 Ya determinada la solución ( x( t), y( t )), buscamos la solución definitiva expresando c3 y c 4 en función de c y c 2. Derivamos (3): dx 2c3e t cos 2t c3e t sen2t 2c t 4e cos 2t c t 4e sen 2 t ~ (4) dt Sustituimos (2), (3) y (4) en la primera ecuación del sistema: 2c e cos2t c e sen2t 2c e cos2t c e sen2t c e cos2t c e sen2t 4c e cos2t 4c e sen2 t ~ (5) t t t t t t t t Comparando términos semejantes en (5), tenemos que: 2c3 c4 c4 4c2 ~ (6) c3 2c4 c3 4c Resolviendo el sistema (6) c 2 cc y c 2c Sustituyendo los valores de c3 y c 4 en (3), la solución de () es: x( t) (2c cos2t 2c sen2 t) e 2 y( t) ( c cos2t c sen2 t) e 2 t t 4.3 Sistemas autónomos Definición. Un sistema de ecuaciones diferenciales es autónomo si no depende explícitamente de la variable independiente, su forma general (para el caso de dos ecuaciones de primer orden) será por tanto: dx f ( x, y) dt ~ (7) dy g( x, y) dt Para los sistemas autónomos es siempre posible aplicar una estrategia de resolución que consiste en obtener en primer lugar la ecuación implícita de Prof. Gil Sandro Gómez 4

5 las órbitas solución, de la siguiente manera: Las ecuaciones pueden escribirse de forma diferencial: dx dt f ( x, y) ~ (8) dy dt g( x, y) así, se puede eliminar la variable independiente, igualando los primeros miembros y obtenemos la ecuación diferencial ordinaria: dx dy ~ (9) f ( x, y) g( x, y) cuyas curvas solución son las órbitas del sistema de ecuaciones. Si en la solución general es posible despejar una de las incógnitas, entonces su sustitución en el sistema original nos proporciona una ecuación ordinaria y, en definitiva, las soluciones del sistema. Si despejamos a dy/dx de la ecuación (9), tenemos que: dy dx g( x, y) ~ () f ( x, y) Cuando nos referimos a (), hablamos de la ecuación en el plano fase. Si en lugar de graficar x o y en función del tiempo, graficamos a x contra y obtenemos el llamado plano de fase o retraso o diagrama de fase como se muestra en gráfica. Prof. Gil Sandro Gómez 5

6 Puntos críticos y soluciones de equilibrio Definición. Un punto ( x, y ) donde f ( x, y) y g( x, y) es un punto dx dy crítico o punto de equilibrio del sistema f ( x, y), g( x, y) y la dt dt x( t) x, y( t) y es una solución de solución constante correspondiente equilibrio. El conjunto de todos los puntos críticos es el conjunto de puntos críticos. Prof. Gil Sandro Gómez 6

7 Clasificación de los puntos críticos Los puntos críticos de acuerdo a su comportamiento se clasifican en: x un punto crítico de un sistema autónomo y sea x x() t a. Estable. Sea la solución que satisface la condición inicial x() x, donde x x. Se dice x que es un punto crítico estable cuando para cada existe un valor (posiblemente dependiente de) tal que la condición inicial satisface x x x( t) x, t. Si, además, lim x( t) x siempre que x x, se llama a x un punto crítico asintóticamente estable. t x un punto crítico de un sistema autónomo y sea x x() t b. Inestable. Sea la solución que satisface la condición inicial x() x, donde x x. Se dice x que es un punto crítico estable inestable si existe un disco abierto de radio con la propiedad de que, para cualquier, hay una posición inicial x que satisface x x, pero la solución correspondiente xt () satisface x() t x para al menos un t. Fig. 4. Punto estable 4. 4 Métodos matriciales para resolver sistemas lineales Todo proceso está basado en el aprendizaje significativo, que es quien sustenta la solución de problemas. El factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. La experiencia sobre la cual queremos trabajar es retomar lo que ya se sabe del Álgebra Lineal y aplicarlo a la solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y así notarán la utilidad de estos conceptos. Prof. Gil Sandro Gómez 7

8 A continuación expondremos la metodología e ideas básicas de cómo resolver estos S.E.D. Si X, A t y f(t) denotan, respectivamente, las matrices x( t) a( t) a2 ( t)... a ( ) ( ) n t f t x2( t) a2( t) a22( t)... a2n( t) f2( t) X ( t), A( t), f ( t) x ( t) a ( t) a ( t)... a ( t) f ( t) n n n2 nn n Entonces, el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden dx dt dx dt 2 a ( t) x a ( t) x... a ( t) x f ( t) 2 2 n n a ( t) x a ( t) x... a ( t) x f ( t) n n 2 ~ () dx dt n a ( t) x a ( t) x... a ( t) x f ( t) n n2 2 nn n n Puede ser escrito como, x( t) a( t) a2 ( t)... a ( ) ( ) n t f t x2( t) a2( t) a22( t)... a2n( t) d f2( t) ~ (2), dt x ( t) a ( t) a ( t)... a ( t) f ( t) n n n2 nn n dx o simplemente A( t) X f ( t) ~ (3), si el sistema (3) es homogéneo, dt dx (3) se convierte en A( t) X ~ (4) dt. Ejemplo. Dado el siguiente sistema de ecuaciones no homogéneo, escríbalo en forma matricial. dx dt = 2x + 5y + et 2t dy dt = 4x 3y + t Prof. Gil Sandro Gómez 8

9 En su forma matricial puede ser escrito como: dx dt = X + et 2t t o X = X + et + 2 t, donde X = x y Definición. Un vector solución en un intervalo I es cualquier matriz columna x (t) x X = 2 (t) cuyos elementos son diferenciables, y tal que satisface el sistema x n (t) (3) en el intervalo. El problema con valores iniciales para el sistema normal () es el problema de determinar una función vectorial diferenciable x(t) que satisfaga el sistema en el intervalo I y que además, satisfaga la condición inicial x t = x, donde t es un punto dado de I y x t = col(x,,.., x n, ) es un vector dado. Existencia y unicidad Teorema. Sean A(t) y f(t) continuas en un intervalo abierto I que contiene al punto t. Entonces, cualquier elección del vector x = col(x,,, x n, ), existe una única solución x(t) en todo el intervalo I del problema con valores iniciales X t = A t X t + f t, x t = x. Más adelante veremos un conjunto de vectores soluciones linealmente dependiente e independiente de un sistema homogéneo. Definición. Sea X, X 2,, X n un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (4) en el intervalo I. Decimos que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes c, c 2,, c n, no todas nulas, tales que c X + c 2 X c n X n = para todo t del intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. Wronskiano Definición. El Wronskiano de n funciones vectoriales x t = col x,,, x n,,, x n t = col(x,n,, x n,n ) se define como la función con valores reales. Prof. Gil Sandro Gómez 9

10 W x,,, x n t = x, t x,2 t x,n t x 2, t x 2,2 t x 2,n t x n, t x n,2 t x n,n t. Si x, x 2,, x n son soluciones linealmente independientes en I para el sistema homogéneo x = Ax, donde A es una matriz nxn de funciones continuas, entonces el Wronskiano W(t) nunca se anula en I. En caso que éste sea igual a cero, las soluciones son linealmente dependientes. Conjunto fundamental de soluciones Definición. Si X, X 2,, X n es un conjunto cualquiera de soluciones de n vectores solución linealmente independiente del sistema homogéneo (4) en el intervalo I, entonces es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. Representación de soluciones (caso homogéneo) Teorema 2. Sean X, X 2,, X n n soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo X = A t X t ~(4) en el intervalo I, donde A(t) es una función matricial nxn, continuas en I. Entonces, toda solución de (4) en I se puede expresar en la forma: donde c,, c n son constantes. X t = c X t + + X n t ~(5), Considerando los vectores de un conjunto fundamental de soluciones y formamos las columnas de una matriz X(t) la siguiente manera, X t = x, t x,2 t x,n t x 2, (t) x 2,2 (t) x 2,n (t) x,n (t) x 2,n (t) x n,n (t) ~(6), entonces X(t) denomina matriz fundamental de (4). La podemos utilizar para expresar la solución general (5) como x t = X t C~(7), Prof. Gil Sandro Gómez

11 donde C = col(c,, c n ) es un vector constante arbitrario. Dado que el determinante W(t) nunca se anula en I, esto implica de acuerdo a la teoría de las matrices que X(t) tiene inversa para cada t en I. Ejemplo. Determine si el conjunto S es un conjunto fundamental de soluciones para el sistema dado. Si la respuesta es afirmativa, halle la solución general. S = et e t t, e 3e t, x = x~() en (,- ) Primero analicemos si S es un conjunto linealmente independiente e t W t = et e t 3e t = et 3e t e t e t = 3 = 2 Como el determinante es diferente de cero, decimos que S es un conjunto linealmente independiente. Comprobemos si cada vector columna es una solución del sistema dado. X t = e t e t = 2et e t et 3e t = ~(2) 2et et Hagamos el análisis para el segundo vector columna, también. X t = e t 3e t = 2e t 3e t e t 3e t = ~(3) 6e t 3e t Si observamos los resultados (2) y (3), podemos decir que estos vectores satisfacen el sistema. La matriz fundamental para el sistema es: La solución de () viene expresada por e t X t = et e t t ~(4) 3e x t = X t c = c et e t + c 2 e t 3e t Prof. Gil Sandro Gómez

12 Representación de soluciones (no homogéneo) Teorema 3. Sea x p una solución particular del sistema no homogéneo x t = A t x t + f t ~(8) en el intervalo I y sea {x,, x n } un conjunto fundamental de soluciones en I para el sistema homogéneo X = A t X t. Entonces toda solución de (8) en I se puede expresar en la forma x t = x p t + c x t + + c n x n t ~(9), donde c,, c n son constantes. La expresión (9) es la solución general de (8). Esta solución general puede expresarse también como x = x p + Xc, X donde es una matriz fundamental para el sistema homogéneo y c es un vector constante arbitrario. Método para resolver sistemas normales. Para determinar una solución general del sistema homogéneo n n x = Ax: a. Determine un conjunto fundamental de soluciones {x,, x n } que consta de n soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo. b. Forme la combinación lineal x = Xc = c x + + c n x n, donde c = col c,, c n es cualquier vector constante y X = [x,, x n ] es una matriz fundamental para obtener una solución general. 2. Para determinar una solución general del sistema no homogéneo x = Ax + f: a. Determine una solución particular x p del sistema homogéneo. b. Forme la solución general con la suma de la solución particular y la solución complementaria, obtenida en el paso. x = x p + Xc. Prof. Gil Sandro Gómez 2

13 4.5 Método de los valores propios para resolver sistemas de ecuaciones homogéneos. Antes de iniciar el desarrollo del método, debemos recordar algunos conceptos básicos del Álgebra Lineal, tales como: Valor propio. Sea A una matriz de tamaño n n. El número λ es un valor propio de A si se verifica que Au = λu~(5), Vector propio. El vector no nulo u que satisface la ecuación (5) se llama vector propio de A asociado al valor propio λ. La ecuación (5) que nos permitió definir los conceptos de valor propio y vector propio puede escribirse como λi A u = ~(6), con lo que los valores propios, si existen, son los vectores no nulos solución del sistema lineal homogéneo λi A x = ~(7). Este sistema tiene una solución distinta a la trivial, si y sólo si, la matriz λi A no es invertible, o equivalente si det λi A = ~(8). La ecuación (8) recibe el nombre de ecuación característica de la Matriz A. Definición. Se llama polinomio característico de una matriz cuadrada A al polinomio P A λ = det λi A ~(9). Definición. Llamamos multiplicidad algebraica de un valor propio, a la multiplicidad como raíz del polinomio característico, es decir, el número de veces que aparece como raíz de dicho polinomio. Subespacio propio. Sea λ un valor propio de una matriz A de tamaño n n. Se llama subespacio propio de A asociado a λ al subespacio vectorial E λ = Nuc λi A = {xεr n : λi A x = }. A la dimensión del subespacio propio E λ se le conoce como multiplicidad geométrica de λ. Prof. Gil Sandro Gómez 3

14 El subespacio propio contiene a todos los vectores propios asociados a λ y además, al vector nulo. Ejemplo. Encuentre los valores y vectores propios de la Matriz A. Escribimos el polinomio característico: P λ = det λi A A = P λ = λ λ = λ λ + 3 = λ 4 λ = λ2 λ 2 Igualamos a cero el polinomio característico para hallar los valores propios de A. λ 2 λ 2 =, ecuación característica asociada a la matriz dada. La solución de la ecuación la tenemos mediante factorización: Los valores propios son: λ 2 λ 2 = λ 2 λ + = λ = 2 λ 2 = Calculamos los vectores propios para cada valor propio determinado. Para λ = u v = 2u + 5v = 2u + 5v = u = 5 v para v = 2, entonces u = 5 2 Esto implica que el vector propio asociado a λ = 2 es: K = 5 2 Prof. Gil Sandro Gómez 4

15 Hallamos el vector propio para λ 2 = : w z = 5w 5z 2w 2z = 5w + 5z = 2w + 2z = La solución del sistema es: entonces el vector propio es: w = z para z = w =, K 2 = Teorema 4. Independencia Lineal de Vectores propios. Si λ,, λ n son valores propios distintos para la matriz A y K i es un vector propio asociado a λ i, entonces K,,, K n son linealmente independientes. Matriz real simétrica. Una matriz real A de dimensión n n es simétrica si se cumple que A = A T. Ejemplo. Analice si la siguiente matriz es simétrica. A = La transpuesta de la matriz dada es: A T = Como A T = A, entonces A es simétrica. Nota: Si la matriz real A n n es simétrica, sabemos que tiene n vectores propios linealmente independientes. Si una matriz A no es simétrica, es posible que tenga un valor propio repetido pero que no tenga dos vectores propios correspondientes linealmente independientes. Prof. Gil Sandro Gómez 5

16 Valores propios distintos Corolario. Si la matriz A tiene n valores propios distintos λ,, λ n y K i es un vector propio asociado a λ i, entonces e λ t K,, e λ n t K n es un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo x = Ax~(8). Teorema 5. Solución general de un sistema homogéneo Si λ,, λ n valores propios reales y diferentes de la matriz de coeficientes A del sistema homogéneo (8), y sean K,, K n los vectores propios correspondientes. Entonces, la solución general de (8) en el intervalo, está dada por X = K e λ t + + n K n e λ n t ~(9). Ejemplo. Encuentre la solución general del sistema de ecuaciones dado. dx dt dy dt = x + 2y ~() = 4x + 3y. Escribimos el sistema en forma matricial: x y = 2 x 4 3 y ~() 2. Determinemos los valores propios asociados a la matriz de coeficientes constantes. Para determinar los valores propios, debemos hallar el polinomio característico asociado, el cual viene dado por P λ = det A λi = λ λ = λ 3 λ 4 2 = λ2 4λ 5~(2) Igualamos (2) cero: λ 2 4λ 5 = ~(3) Resolviendo la ecuación (3) tenemos que los valores de λ son: λ = 5 y λ = 3. Calculamos los vectores propios asociados a cada valor propio del paso (2). Prof. Gil Sandro Gómez 6

17 Vector propio para λ = 5 A λi K = u v = ~(4) Resolviendo el sistema (4): 4u + 2v = 4u 2v = v = 2u para u =, tenemos que: K = 2 Ahora calculamos el vector propio para λ = : u v = ~(5) 2u + 2v = 4u + 4v = La solución del sistema nos dice que u = v, para v =, entonces K 2 = 4. Dado que tenemos calculado los vectores propios de la matriz de coeficientes constantes del sistema, podemos escribir la solución general usando la ecuación (9): X t = 2 e5t + 2 e t Valores propios repetidos Vamos analizar cuando no todos los valores propios son diferentes, es decir, que algunos valores propios son repetidos. Si m es un entero positivo y (λ λ ) m es un factor de la ecuación característica de A, mientras que (λ λ ) m+ no es un factor, entonces se dice que λ es un valor propio de multiplicidad m. A continuación estudiaremos los siguientes casos: i. Para algunas matrices A n n es posible encontrar m vectores propios linealmente independientes K,, K m que corresponden a un valor propio λ de multiplicidad m n. En este caso, la solución general del sistema contiene la combinación lineal Prof. Gil Sandro Gómez 7

18 K e λ t + + m K m e λ t ~(6). ii. Si sólo hay un vector propio que corresponde al valor propio λ de multiplicidad m, entonces siempre se puede determinar m soluciones linealmente independientes de la forma X = K e λ t X 2 = K 2 te λ t + K 22 e λ t... X m = K m tm (m )! eλt + K m t m 2 donde K ij son vectores columnas. Valor propio de multiplicidad dos. (m 2)! eλ t + + K mm e λ t Si la matriz A del sistema X = AX es simétrica y tiene elementos reales, es posible determinar n vectores propios linealmente independientes, K, K 2,, K n. La solución general viene dada de acuerdo al teorema 5, no importa que los valores propios sean repetidos. Segunda solución. Asumamos que λ es un valor propio de multiplicidad dos y que sólo hay un vector propio asociado con él. Se puede determinar una segunda solución de la forma X 2 = Kte λ t + Pe λ t ~(7), en donde K = k k 2 k n y P = p p 2. p n Si sustituimos (7) en el sistema X = AX, encontramos que los valores de K y P Deben satisfacer las siguientes relaciones: A λ I K = ~ 8 A λ I P = K~(9) La ecuación (8) nos dice que K debe ser un vector característico de A asociado λ. Al resolver las ecuaciones (8) y (9), encontramos respectivamente las soluciones: X = Ke λ t y X 2, porque con la solución de (9) obtenemos el vector P. Prof. Gil Sandro Gómez 8

19 Valor propio de multiplicidad tres. Cuando la matriz de coeficientes A tiene sólo un vector propio relacionado con λ de multiplicidad tres, se puede encontrar una segunda solución con (7) y una tercera solución de la forma X 3 = K t2 2 eλ t + Pte λ t +Qe λ t ~(2), donde Κ = k k 2 k n, P = p p 2 p n y Q= q q 2 q n. Al sustituir (2) en el sistema X = AX, se determina que los vectores columnas K, P y Q deben satisfacer A λ I K = ~ 2 A λ I P = K~ 22 A λ I Q = P~ 23 La solución de (2), (22) y (23) respectivamente nos permiten formar las soluciones de X, X 2 y X 3. Ejemplo. Determine la solución del siguiente sistema de ecuaciones. x = 3x y z y = x + y z z = x y + z a). Primero expresamos el sistema dado en forma matricial: X = AX X = 3 x y z ~(2) b). Escribimos la ecuación característica del sistema det A λi = 3 λ = Prof. Gil Sandro Gómez 9

20 3 λ λ λ = ~(3) C). El polinomio característico viene dado por el cálculo de (3): p λ = λ 3 + 5λ 2 8λ + 4~(4) d). Procedemos a determinar los valores propios de A: Para encontrar los valores propios de A, calculamos los ceros (4), éstos pueden ser determinado usando un programa o manualmente aplicando el teorema de Ruffini, también puedes factorizar el polinomio característico. Factorizando tenemos que λ + (λ 2) 2 =, de ahí que los factores del polinomio son: λ = y λ 2 = 2, el segundo valor propio es de multiplicidad dos. Calculamos el vector propio para λ = 2 k k 2 k 3 = ~(5) Escribimos (5) en su forma normal: 2k k 2 k 3 = k k 3 = k k 2 = ~(6) Resolvemos (6) para obtener el vector propio asociado a λ = : k 2 = k, para k =, entonces k 2 = y k 3 = k, esto implica que k 3 = De ahí que el vector K = Ahora procedemos a buscar el vector asociado al valor propio λ 2 = 2, que es de multiplicidad dos. Como la matriz tiene un vector de multiplicidad dos. Tenemos que investigar si la matriz es simétrica, porque de serlo, nos garantiza que tiene n vectores propios linealmente independientes asociados al valor propio λ 2 = 2. La matriz A del sistema no es simétrica, esto nos obliga a utilizar las ecuaciones (8) y (9). Ahora calculamos el vector propio asociado a λ 2 = 2 Prof. Gil Sandro Gómez 2

21 v v 2 v 3 = ~(7) Expresemos (7) en su forma normal: v v 2 v 3 = v v 2 v 3 = v v 2 v 3 = ~(8) Resolviendo (8) mediante el método de Gauss nos queda: v v 2 v 3 = v = v 2 + v 3, si v 2 = y v 3 =, pues el vector propio V es: V = Usando la ecuación (9) calculamos el tercer vector propio: w w 2 w 3 = ~(9) Como podemos darnos cuenta, en (9) existe una combinación lineal entre los vectores de las filas y 2. Analicemos el tercer reglón para determinar el último vector. w w 2 w 3 = w = w 2 + w 3, hagamos w 2 =, así que w = w 3 Si w =, tenemos que w 3 =. W = Ya tenemos calculado los tres vectores, por tanto podemos escribir la solución del sistema. X t = e t + 2 e 2t + 3 te 2t + e 2t Valores propios complejos Hasta hace poco habíamos venido estudiando el tema de los valores y vectores propios, éstos eran reales. En algunas ocasiones cuando formamos el polinomio característico nos encontramos que la solución viene dada por valores complejos. De acuerdo a lo que aprendimos en nuestro curso de Matemática Básica las raíces complejas vienen en parejas, es decir; ella y su conjugada. Prof. Gil Sandro Gómez 2

22 Teorema 6. Soluciones con valores propios complejos Sea A una matriz real del sistema de ecuaciones homogéneo X = Ax t ~(4), y K un vector propio correspondiente al valor propio complejo λ = α + βi, donde α, β R. Dos soluciones de (4) vienen dada por K e λ t y K e λ t. Ejemplo. Halle la solución del sistema de ecuaciones diferenciales homogéneas. dx dt dy dt = 6x y = 5x + 2y Lo primero que haremos es escribir el sistema en forma matricial: X t = x y ~(2) Escribimos la ecuación característica del sistema det λ = det 6 λ 5 2 λ = El polinomio característico es: p λ = x 2 8x + 7 Buscamos los ceros del polinomio característico: Los ceros son: λ = 4 + i y λ = 4 i. x 2 8x + 7 = Los valores propios son complejos, como podemos observar. Procedemos a buscar los vectores propios complejos asociados. Buscamos el vector propio para λ = 4 + i 2 i 5 2 i k k 2 = Escribimos el sistema en su forma normal para hallar los valores de k y k 2. 2 i k k 2 = 5k 2 + i k 2 = De la primera ecuación del sistema tenemos que: k 2 = 2 i k, si k = k 2 = 2 i Prof. Gil Sandro Gómez 22

23 El vector propio asociado a λ = 4 + i es: Para λ = 4 i, tenemos que: K = 2 i 2 + i i p p 2 = De ahí que, 2 + i p p 2 = 5p i p 2 = De la primera ecuación del sistema tenemos que: p 2 = (2 + i)p, para p = p 2 = 2 + i Entonces, el vector propio P que es el conjugado de K viene dado por: P = 2 + i La solución es: x t = c 2 i e 4+i t + c 2 2+i e 4 i t Teorema 7. Soluciones reales que corresponden a un valor propio complejo Sea λ = α + βi un valor propio complejo de la matriz de coeficientes A en el sistema homogéneo (4) y sean B y B 2 los vectores columnas. Entonces la solución viene dada por X = B cosβt B 2 senβt e αt αt ~(24) X 2 = B 2 cosβt + B senβt e Son soluciones linealmente independiente de (4) en (, ). Las matrices B y B 2 se forman por lo común por B = Re(K ) y B 2 = Im(K ). Ejemplo. Escriba la solución del ejemplo anterior como una solución real que pertenece a un valor propio complejo. Como el valor propio es λ = 4 + i y el vector propio asociado K = 2 i podemos construir la solución sabiendo que B = Re(K ) y B 2 = Im(K ). Ahora construimos las matrices: Prof. Gil Sandro Gómez 23

24 B = 2 y B 2 = Entonces la solución viene expresa como: X t = C 2 cost sent e4t + C 2 cost + 2 sent e4t Sistemas de ecuaciones no homogéneos Hasta el momento habíamos estudiado solo sistemas de ecuaciones homogéneos, ahora analizaremos sistemas no homogéneos. Un sistema de ecuaciones es no homogéneo cuando tiene la forma X = AX + f t ~(2). No se pueden confundir los términos autónomo y no autónomo con homogéneo y no homogéneo. Un sistema puede ser autónomo y no homogéneo simultáneamente. Las técnicas que utilizamos para resolver ecuaciones no homogéneas de orden superior pueden aplicarse para los sistemas, la única diferencia es que para los sistemas es un poco más complicado el proceso. Esto nos dice que podemos usar coeficientes indeterminados y variación de parámetros. Método de Coeficientes Indeterminados Recordamos cuando estudiamos las ecuaciones diferenciales no homogéneas que este método solo podía ser usado si f(t) era un polinomio, una función exponencial, una función seno o coseno, una constante o una combinación finita de ellas. El procedimiento para ser aplicado a los sistemas sigue la misma mecánica que para las ecuaciones diferenciales no homogéneas, esto lo confirmaremos en el ejemplo siguiente. Ejemplo 5. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones. X = 3 3 X t + 2t2 t + 5 Para hallar la solución del sistema, tenemos que hallar la solución del sistema de ecuaciones homogéneo asociado mediante el uso de los valores propios. X = 3 3 X t ~(5) La ecuación característica asociada a (2) es: Prof. Gil Sandro Gómez 24

25 A λi = 3 3 λ = Calculamos el determinante de (3): El polinomio característico de (4) es: Factorizando hallamos los ceros de (5): λ 3 3 λ = ~(3) λ 2 2λ 8 = ~(4) P λ = λ 2 2λ 8~(5) λ 4 λ + 2 = λ = 4, λ 2 = 2 Ya podemos calcular los valores propios de (3). Comencemos para λ = = = ~(6) Tomando en consideración que la matriz A es una matriz simétrica, la independencia lineal está garantizada. Busquemos el vector asociado a λ = p p 2 = ~(7) Resolviendo (7) nos encontramos que: p = p 2, hagamos p 2 =, entonces p =. Pues el vector P es: P = Ahora vamos a calcular el segundo vector asociado a λ 2 = 2: q q 2 = ~(8) Prof. Gil Sandro Gómez 25

26 Revolviendo (8) tenemos que: 3q + 3q 2 = q = q 2, asumamos que q 2 =, entonces, q =. La solución del sistema homogéneo es: Q = X SH = C e4t + C 2 e 2t Como tenemos la solución del sistema homogéneo asociado, podemos encontrar la solución particular. El X p viene dado por: X p = a b t 2 + a 2 b 2 t + a 3 b 3 ~(9) Si (9) es una solución de (), tiene que satisfacer el sistema dado. 2t a + a 2 = 3 b b 2 3 a b t 2 + a 2 b 2 t + a 3 b 3 + 2t2 t + 5 ~() Realizamos las operaciones indicadas en (): 2t a b + a 2 b 2 = a + 3b 3a + b t 2 + a 2 + 3b 2 3a 2 + b 2 t + a 3 + 3b 3 3a 3 + a 3 + 2t2 t + 5 ~() Igualamos al vector nulo la ec. (): a + 3b 3a + b t 2 + a 2 + 3b 2 3a 2 + b 2 t + a 3 + 3b 3 3a 3 + b 3 + 2t2 t + 5 2t a b a 2 b 2 = ~(2) De (2) tenemos: a t 2 + 3b t 2 + a 2 t + 3b 2 t + a 3 + 3b 3 2a t a 2 2t 2 3a t 2 + b t 2 + 3a 2 t + b 2 t + 3a 3 + b 3 2b t b 2 + t + 5 = ~(3) Por nuestro estudio de Álgebra Lineal sabemos que dos matrices son iguales, si cada uno de sus elementos son iguales, este concepto vamos a aplicarlo para resolver (3). a + b 2 = 3a + b =, a 2 + 3b 2 2a = 3a 2 + b 2 2b + = y a 3 + 3b 3 a 2 = 3a 3 + b 3 b = ~(4) Prof. Gil Sandro Gómez 26

27 Resolviendo (4) tenemos que: Sustituyendo (5) en (9): a = 4, b = 3 4, a 2 = 4, b 2 = 4, a 3 = 2, y b 3 = 3 4 ~(5) X sp = t t La solución general viene dada por: X(t) = X sh +X sp X t = C e4t + C 2 e 2t t t El método de Variación de Parámetros Por nuestro estudio de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, sabemos que para encontrar la solución general de la misma debemos determinar una solución particular. Ésta se puede hallar usando variación de parámetros. La técnica de variación de parámetros puede ser usada en los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneos. La aplicación de variación de parámetros para determinar la solución particular de un sistema de ecuaciones diferenciales es un poco más laborioso que cuando lo aplicamos a una ecuación lineal. Para la utilización del método se debe tener un conocimiento previo de como se calcular la inversa de una matriz, multiplicar dos matrices y que es una matriz no singular. Para no tener ningún problema, vamos a decir cuando una matriz es no singular. Una matriz es no singular si el valor de su determinante es diferente de cero. Sea φ(t) una matriz fundamental para el sistema homogéneo X t = A t X t ~ 24, donde las entradas de A pueden ser cualesquiera funciones continuas de t. Como una solución general de (6) viene dada por φ t c, siendo c un vector constante n, buscamos una solución particular para el sistema no homogéneo X t = A t X t + f(t)~ 25 Prof. Gil Sandro Gómez 27

28 de la forma X p t = φ t U(t)~ 26 Aplicando la regla de la derivada de un producto a (26) tenemos: X p t = φ t U t + φ t U t ~ 27 Al derivar (26) es necesario mantener el orden de los factores, porque son matrices y en el producto de las matrices no se cumple siempre la ley conmutativa. Sustituyendo (26) y (27) en (25) obtenemos φ t U t + φ t U t = φ t U t + f t ~(28) Como φ t satisface a (24), la ec. (28) se transforma en: De ahí, φ t U t + φ t U t = φ t U t + f t ~(29) φ t U t = f t ~(3) Multiplicamos por φ(t) ambos lados de (3): Pues nos queda: Integramos a (32), entonces φ(t) φ t U t = φ(t) f t ~(3) U t = φ(t) f t ~(32) U t = φ(t) f t dt ~(33) Como X(t) p = φ(t) U t, concluimos que X(t) p = φ(t) φ(t) f t dt ~(34). Ya que hemos calculado la solución complementaria y la particular, podemos escribir la solución general de (25): X(t) G = φ t c + φ t φ t f t dt ~ 35. Como advertimos cuando estudiábamos el método de variación de parámetros para ecuaciones lineales no homogéneas, que al realizar la integral en (33) no era necesario usar la constante de integración. Prof. Gil Sandro Gómez 28