DETERMINANTES. A toda matriz cuadrada se le puede hacer corresponder un número (determinante) cuyo cálculo se puede hacer de las siguientes maneras:

Transcripción

1 Deterites DETERMINNTES. DEFINICIÓN. tod tri udrd se le uede her orresoder u úero (deterite uo álulo se uede her de ls siguietes ers:.. DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN. det Es deir, es el roduto de los eleetos de l digol riil eos el de l digol seudri. EJEMPLO: 8.. DETERMINNTE DE TERCER ORDEN. REGL DE SRRUS. det [ ] [ ] EJEMPLO: ( 8 (8 ( Ejeriios,,, d... PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES U deterite o vri si se i sus fils or olus, es deir, el deterite de u tri udrd oiide o el de su trsuest t. EJEMPLO: I.B. Sos Bt

2 Si todos los eleetos de u olu (o fil so ulos, el deterite tié lo es. (- (- 8 (- (- Deterites Si e u deterite se i etre si dos olus (o fils, el deterite i de sigo, ero oserv el vlor soluto. Si todos los eleetos de u olu (o fil se ultili or u úero, el deterite ued ultilido or el iso úero. Luego r ultilir u úero or u deterite, es sufiiete o ultilir los eleetos de u fil o olu or ese úero. Su de deterites: Dos deterites solo uede surse udo: o Tiee l is diesió. o So todos los eleetos igules eeto los de u líe (fil o olu Pr surlos, los eleetos igules se tiee; l fil o olu desigul se su, oteiédose u deterite de l is diesió ( Reíroete, u deterite se uede desooer e l su de dos deterites, ue tiee l is diesió ue el riero, tods ls líes igules eos u. Si suos ests dos líes desigules se otiee l fil o olu orresodiete del deterite iiil. I.B. Sos Bt

3 Deterites Si u fil o olu es oiió liel de ls otrs el deterite es ulo. Csos rtiulres: - Si u deterite tiee dos fils o olus igules el det. es ero. - Si dos fils o olus so roorioles el det. es ulo. - Si u det. ue igu fil ( o olu es C. L. de ls resttes fils ( o olus. Si u fil o olu de u tri se le su u C.L. de ls otrs, el deterite o vri. Se 8 B B ª Colu esc. L. de ls otrs Det Si es u tri de diesió, etoes: α α Ejeriios:,,,,.. DESRROLLO DE UN DETERMINNTE POR DJUNTOS Se u tri udrd, djuto ij del eleeto ij es el deterite ue se otiee de uitr e, l fil i l olu j, ultilido or (- ij. Se uede desrrollr or este étodo los deterites de orde or o igul ue. Cosiste e elegir u fil o olu del deterite ddo; este, será igul l su de todos los rodutos ue se otiee l ultilir d eleeto, de l fil o olu elegid, or su djuto. E rier lugr, oviee oseguir u fil o olu de eros eeto u eleeto (lido l roiedd Ejeriios: e, f, g, h. I.B. Sos Bt

4 Deterites. RNGO DE UN MTRIZ POR DETERMINNTES. MENOR DE ORDEN H Es el deterite de u sutri uos eleetos erteee l iterseió de h fils h olus de u tri EJEMPLO: es u eor de orde. MENOR ORLDO. Si u eor de orde h se le ñde u fil u olu, distits de ls h utilids teriorete se otiee otro eor de orde h ue se ll eor orldo EJEMPLO: Todo l ª ª fils ª ª olus, oteeos el eor de orde. Los orldos de este eor so: I.B. Sos Bt

5 Deterites. RNGO DE UN MTRIZ Es el áio orde de sus eores o ulos EJEMPLO Hllr el rgo de ( el rgo es or lo eos -- el rgo es or lo eos (---( rgo ( EJEMPLO Clulr el rgo de: ( - rgo or lo eos es 8 Cudo todos los orldos del iso orde so ero direos ue es fil es C.L. de ls otrs se uit. ( 8 8 ( 8 Fil ª es C L de l ª ª ( ( Rgo ( Ejeriios.. CLCULO DE L MTRIZ INVERS POR DETERMINNTES. Cosideros l tri: ( I.B. Sos Bt

6 L tri udrd ( es regulr si, sólo si, su deterite su ivers ue se lul oo sigue: Deterites etoes - Se lul el djuto ( ij de d eleeto ij - E l tri se sustitue d eleeto or su djuto, oteiédose l tri de djutos ij - Se hll l trsuest de l tri de djutos ( ij t ji - Se divide est últi tri or el det (. Resuiedo: ji. ( EJEMPLO Ejeriios 8 hllr.. PROPIEDDES DE L INVERS DE UN MTRIZ ( (k k ( B B. Deuestr est últi roiedd TEOREM DE ROUCHÉ - FRÖBENIUS. Se el siste: ( I.B. Sos Bt

7 Deterites... dode:... ( ( / B L odiió eesri sufiiete r ue el siste ( teg soluió es ue rgo( rgo(/b Si rgo ( rgo (/B ( es el úero de iógits el siste es otile deterido. Si rgo ( rgo (/B <. Es u siste Cotile Ideterido, de grdo de ideteriió - (Ls soluioes estrá e fuió de ráetros. RESUMIENDO: Rgo ( rgo ( / B COMPTIBLE rgo( rgo( / B Deterido rgo( rgo( / B < Ideterido Rgo ( rgo ( / B INCOMPTIBLE. REGL DE CRMER. Sirve r oteer l soluió de u siste de euioes lieles.. EN SISTEMS COMPTIBLES Y DETERMINDOS Teeos u siste de euioes o iógits. Puesto ue R (R(/B el siste es otile deterido. Si llos: l resultdo de sustituir e l olu de los oefiietes de or l de los térios ideedietes. l resultdo de sustituir e l olu de los oefiietes de or l de los térios ideedietes. I.B. Sos Bt

8 l resultdo de sustituir e l olu de los oefiietes de or l de los térios ideedietes Su soluió es: Deterites Est regl se uede geerlir los sistes de euioes o iógits.. EN SISTEMS COMPTIBLES E INDETERMINDOS Cosideros u siste de euioes iógits Coo R ( R (/B < sor - euioes ue se uit (os uedos o uells ue so ideedietes iógits ue se to oo ráetros se s l olu de los térios ideedietes. Ejeriio..- SISTEMS HOMOGENEOS U siste de euioes lieles, tl ue todos sus térios idee-dietes so ulos, se ll siste hoogéeo S Todo siste hoogéeo ule ls roieddes: - tiee soluió, ues se verifi r:.... Est es l soluió trivil (,,... - Pr ue teg otrs soluioes distits de l trivil, es eesrio sufiiete ue R (<úero de iógit Ejeriio. I.B. Sos Bt

9 Deterites I.B. Sos Bt 8 EJERCICIOS.- Clul el vlor de los siguietes deterites: 8 D C B H G F E.- Justifi, si desrrollr, ests igulddes: d ; ; 8 ;.- Teiedo e uet el resultdo del deterite ue se d, lul el resto si desrrollr:.- Si r, lul el vlor de los siguietes deterites si desrrollrlos:

10 Deterites I.B. Sos Bt r r r r.- Si, uál es el vlor de d uo de estos deterites? Justifi ls resuests f e d.- Siedo ue, lul el vlor de los siguietes deterites: / / /.- Hll el rgo de ls siguietes tries(or eores: ; B 8 C 8.- Hll l ivers( si eiste de ls siguietes tries: ; B ; C ;

11 Deterites I.B. Sos Bt D ; E 8 ; F H G.- li el T. De Rouhé r deduir si los siguietes sistes so otiles o iotiles resuélvelos or l regl de Crer. d e f.-resuelve los siguietes sistes: d Ejeriios seletividd.