3. Determinantes. Propiedades. Depto. de Álgebra, curso

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1 Depto de Álgebra curso Determinantes Propiedades Ejercicio 3 Use la definición para calcular el valor del determinante de cada una de las siguientes matrices: α A = A = 6 A 3 = 0 β 0 6 γ 0 0 Ejercicio 3 Calcule los siguientes determinantes: (a) 0 3 (b) 0 3 (d) (e) (f ) (g ) 0 3 (c) Ejercicio 33 Calcule el determinante A Calcule los siguientes determinantes a partir de A usando las propiedades de los determinantes y explicando cuáles se han usado Se resaltan las filas o columnas implicadas en la transformación 6 5 A = 3 3 A = A 3 = A 4 = A 5 = A 6 = A 7 = Ejercicio 34 Demuestre las siguientes identidades: x y z x x y x+y z y z z x y+ z = (x+y+ z)3 x y z y+ z z+ x x+y = 0 x x = (x+ ) n x Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I

2 Depto de Álgebra curso Ejercicio 35 Use la eliminación Gaussiana para reducir la matriz dada a una triangular superior y calcular el valor del determinante Ejercicio 36 Pruebe las siguientes propiedades: Si A es no singular entonces det(a )= det(a) Si P es una matriz no singular entonces det(p AP)=det(A) 3 det(a )=det(a) 4 Si A es de orden n entonces det(αa)=α n det(a) 3 n Ejercicio 37 Use el desarrollo por alguna fila para calcular los siguientes determinantes: Ejercicio 38 Mediante un ejemplo compruebe que en general det(a + B) det(a) + det(b) Con matrices cuadradas construya un ejemplo donde ( A B det C D ) det(a)det(d) det(b)det(c) Ejercicio 39 Para la siguiente matriz tridiagonal A n sea D n = det(a n ) Pruebe la fórmula D n = D n D n y concluya que D n = n A n = Ejercicio 30 Sea A n n una matriz no singular ycd vectores columna de orden n Pruebe que n n det(i +cd t )=+d t cdet(a+cd t )=det(a)det(+d t A c) Verifique las siguientes fórmulas tras convertir las matrices a expresiones como la anterior +α α +α α β β β α = + α i β α β β { ( ) αi (α β) n + nβ = α β si α β 0 si α=β +α n β β β α α n +α α α n α +α α n = + α i α α +α n Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 3

3 Depto de Álgebra curso Ejercicio 3 Calcule det(λi A i ) para las siguientes matrices: A = A = A 3 = Ejercicio 3 Calcule el determinante de la matriz A= a a a 3 a 3 a a B a 3 a C D a 3 Ejercicio 33 Dado que det a b c d e f g h i = 6 calcule el determinante de cada una de las siguientes matrices: d e f 3a 3b 3c a+ g b+ h c+ i g h i d e f d e f a b c 4g 4h 4i g h i 3a d g 4d 3b e h 4e 3c f i 4f Calcule los siguientes determinantes mediante una combinación de reducciones de filas/colummnas y expansión por cofactores Ejercicio 34 Sea B una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante es igual a Calcule con justificación de la respuesta los siguientes valores: det(b ) det((b t ) 4 ) 3 det(b) 4 El determinante de una matriz cuadrada C de orden 3 cuyas columnas verifican C = 5B B 3 C = 3B 3 C 3 = B Ejercicio 35 Sea n > y B la matriz cuadrada de orden n cuyas entradas son todas iguales a Pruebe que existe una matriz A n n con coeficientes racionales tal que A+ cb es no singular para todo número racional c Ejercicio 36 Sean p(x)= a 0 +a x+a x q(x)=b 0 +b x+b x a 0 b 0 0 polinomios en C[x] Pruebe que existe un número complejo c tal que p(c)= q(c)=0 si y solamente si a 0 a a 0 det 0 a 0 a a b 0 b b 0 = 0 0 b 0 b b Ejercicio 37 Sabemos que los enteros y 690 son divisibles por 9 Pruebe que det también es múltiplo de 9 Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 4

4 Depto de Álgebra curso Ejercicio 38 Sea q Q Pruebe que existen infinitas matrices con entradas racionales de la forma donde a< b< c y cuyo determinante es igual a q 3 3q+ 4q+ 5q+ 3 a b c Ejercicio 39 Sea A=(a i j ) M (4 4Q) una matriz cuyas entradas son iguales a o a 3 Pruebe que det(a) es un entero múltiplo de 5 Ejercicio 30 Marque como verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones Si es verdadera dé una prueba y si es falsa proporcione un contraejemplo Sea A n n una matriz con coeficientes complejos Si det(a)=0 entonces A no se puede expresar como producto de matrices elementales Si det(a) = 0 entonces el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones 3 Si la forma escalonada reducida por filas de A tiene una fila de ceros entonces det(a) = 0 4 El determinante de una matriz no se altera si las columnas se escriben en orden inverso 5 det(a A t ) 0 Regla de Cramer Ejercicio 3 Use la regla de Cramer para resolver el sistema x + x + x 3 = x + x = α x + x 3 = β Ejercicio 3 Sobre el cuerpo Q de los números racionales se consideran las matrices A= Pruebe que A =(α+β) 4 (α β) 4 = (α β ) 4 α αβ αβ β αβ α β αβ αβ β α αβ β αβ αβ α y b= β+ β+ Estudie la compatibilidad del sistema lineal de matriz (A b) según los valores de α y β 3 Resuelva el sistema lineal de matriz (A b) para α= y β= Ejercicio 33 Sobre el cuerpo Q de los números racionales se consideran las matrices Se pide: Probar que A =α 3 (α ) A= α α y b= 4 Estudiar la compatibilidad del sistema lineal de matriz (A b) según los valores de α 3 Resolver el sistema lineal de matriz (A b) para α= Ejercicio 34 Use determinantes para calcular el valor de α que hace que el siguiente sistema tenga solución única: α 0 0 α 0 x x x 3 = Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 5

5 Depto de Álgebra curso Ejercicio 35 Calcule para qué valores de λ tiene solución no trivial el sistema lineal { x + x = λx x + x = λx Para cada uno de esos valores calcule generadores del espacio de soluciones Ejercicio 36 Resuelva el sistema mediante la regla de Cramer Calcule lím t x (t) x + t x + t x 3 = t 4 t x + x + t x 3 = t 3 t x + t x + x 3 = 0 Ejercicio 37 En un triángulo de lados abc y ángulos opuestos αβγ se verifican las relaciones Aplique la regla de Cramer para probar que b cosγ+c cosβ = a c cosα+ a cosγ = b a cosβ+b cosα = c cosα= b + c a bc Ejercicio 38 Calcule los coeficientes a y b de una curva de la forma y = ax b que pasa por los puntos (5) y (33) Cofactores y matriz inversa Ejercicio 39 Marque cada enunciado como verdadero o falso y justifique cada respuesta Suponemos que todas las matrices que aparecen son cuadradas y reales Si A es una matriz de orden con determinante nulo entonces una columna de A es múltiplo de la otra Si dos filas de una matriz A de orden 3 3 son iguales entonces det(a) = 0 3 Si A es una matriz de orden 3 3 entonces det(5a) = 5det(A) 4 Si A y B son matrices de orden n n y det(a)=det(b)=3 entonces det(a+ B)=5 5 Si A es una matriz n n y det(a)= entonces det(a 3 )=6 6 Si B se obtiene de una matriz A mediante el intercambio de filas entonces det(b)=det(a) 7 Si B se obtiene de una matriz A multiplicando la fila 3 por 5 entonces det(b) = 5det(A) 8 Si B se obtiene de una matriz A añadiendo a una fila una combinación lineal de las restantes entonces det(b) = det(a) 9 det(a t )= det(a) 0 det( A) = det(a) det(a t A) 0 Cualquier sistema de n ecuaciones y n incógnitas se puede resolver por la regla de Cramer 3 Si A 3 = 0 entonces det(a)=0 4 Si A es no singular entonces det(a )=det(a) 5 Si A es no singular entonces det(a)det(a )= Ejercicio 330 Sea n un entero positivo K un cuerpo y A una matriz cuadrada de orden n con coeficientes en K y no singular Escribamos ( ) A A A= donde A A A M (k kk) para algún k < n Si la inversa de A tiene la forma ( A B B = B B pruebe que det(a )=det(a)det(b ) ) donde B M (k kk) Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 6