SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 Sitem de Ecucioe Liele SISTEMS DE ECUCIONES LINELES Etudir u Sitem de Ecucioe Liele S.E.L. e repoder l pregut: tiee olució?. i e í,, cuát tiee cuále o?. l vit de et pregut de l mim mer que hcímo e lo item de ecucioe ecillo de ecucioe co icógit, etudir u item de ecucioe cot de po: º.- Dicutir el item, e decir, verigur i tiee olució i et e úic o o lo e comptibilidd. º.- Reolver el item clculdo l olució o olucioe. El Teorem de Rouché-röbeiu el uo de mtrice determite erá uetr herrmiet l hor de dicutir l comptibilidd de u.e.l. Sitem de ecucioe liele Tl como vimo cudo etudimo lo item, much itucioe de l vid rel o llev reolver de form imultáe vri ecucioe liele pr hllr l olucioe comue tod ell. Epecil plicció tiee lo.e.l. l geometrí, dode l ecucioe repreet rect plo reolver el.e.l. equivle verigur l poicioe reltiv de eto elemeto e el plo e el epcio. U ecució liel de vrible e u epreió del tipo: b Dode lo i o lo coeficiete de l ecució, b e el térmio idepediete lo i o l icógit U item de ecucioe liele e u cojuto de ecucioe liele de l form: m m Tl como lo hemo ecrito, el item de ecucioe tiee m ecucioe icógit. Lo elemeto o lo coeficiete del item úmero rele, b o lo térmio ij m b b b m i idepediete úmero rele tmbié filmete, del item. i o l icógit vrible L. Roche Rmó, 9

2 Sitem de Ecucioe Liele L olució de ete.e.l., co de eitir, erá u -tupl orded,,,., de úmero rele, que verific l ve l m ecucioe del item utituedo cd u de l por cd u de l. form: i Utilido otció mtricil, podemo ecribir uetro.e.l. de l iguiete X B i m m m m b b b bm Mtri de coeficiete Mtri de icógit Mtri de térmio idep. Oberv que: L mtri del item etá compuet por m fil colum decimo que tiee orde o dimeió m L mtri de icógit X e u mtri colum de fil. L mtri de térmio idepediete B e u mtri colum de m fil L mtri mplid * del item e l compuet por l mtri de coeficiete l que hemo ñdido l colum formd por lo térmio idepediete *... m.. m.. m... b... b... b m bm U.e.l. puede er comptible tiee olució o icomptible i o l tiee. E co de teer olució, i tiee ólo u e llm comptible determido i tiee ifiit olucioe e llm comptible idetermido. Si lo térmio idepediete del.e.l. o todo ulo, el item e dice homogéeo i o todo lo térmio idepediete o ulo, e llm o homogéeo. L. Roche Rmó, 9

3 Sitem de Ecucioe Liele Teorem de Rouché-röbeiu U.e.l. e comptible i ólo i codició eceri uficiete el rgo de l mtri de coeficiete el rgo de l mtri mplid o igule. Si lo rgo o ditito, el item e icomptible. Icomptible Idetermido Comptible p Determido Comptible p comptible Sitem p * * > E el co prticulr de lo item homogéeo, iempre e d l itució de er * que l colum de térmio idepediete e l formd por cero, por tto, eto item homogéeo iempre tiee olució, pue l meo l olució trivil,,,., iempre eite. E l práctic e uele decir que u item homogéeo tiee olució cudo ét e ditit de l trivil. Se verific tmbié que i e olució del.e.l., tmbié lo e culquier otr olució proporciol ell, e decir,,,,, k k k k,,,,, iedo k u úmero rel culquier. Vmo plicr el Teorem de Rouché-röbeiu u ejemplo: Dicutir el iguiete item de ecucioe: L mtri de coeficiete e l mtri mplid e *. Etudiremo el rgo de mb prtir de * * ª ª * por Cmbio Pltemo hor pr l dicuió el mimo cudro del pricipio de pági: * mbo rgo o igule, por tto, el item e comptible. L. Roche Rmó, 9

4 Sitem de Ecucioe Liele Como demá el rgo e igul l úmero de icógit, e decir,, el item p e comptible determido. Podrí reolvere tedrí u úic olució. Y bemo cuádo tiee olució. hor lleg el mometo de reolver el.e.l., e decir, de clculr tod cd u de u olucioe Método de reolució de.e.l. Método de Gu reducció Método de Gu-Jord elimició Método de Crmer Mtri iver Método de Gu Báicmete ete método coite e trigulr l mtri de coeficiete, de form que l últim ecució coteg úicmete u icógit, l peúltim ecució icógit í uceivmete ht llegr l primer ecució, que cotedrá l icógit. Como l últim ecució ólo tiee u icógit, l depejmo l utituimo e l peúltim, de l que tmbié depjmo. í uceivmete ht llegr l primer. Lo vemo co uetro ejemplo terior. Reolver el iguiete item de ecucioe Y lo hemo dicutido previmete bemo que e comptible determido, co lo que plicdo el método de Gu operdo de l mim form que hemo hecho pr clculr el rgo: Y teemo triguld l mtri podemo ecribir el item í: L. Roche Rmó, 9

5 Sitem de Ecucioe Liele Depejo e l últim utituo e l ª ecució pr depejr l.. ilmete utituo e l ª ecució pr depejr l. Como ve, cudo el item e comptible determido l plicció del método de Gu o proporcio l olucioe del.e.l. de u form ecill orded. Qué ocurrirí i el item fuee comptible idetermido?. Veámolo co otro ejemplo Reolver el iguiete item de ecucioe comptible idetermido: / / * * ª ª fil por Cmbio Puedo plter l ecucioe: Hcemo λ etoce λ λ λ λ L. Roche Rmó, 9

6 Sitem de Ecucioe Liele Método de Gu-Jord E u vrite del método de Gu. Se trt de digolir l mtri, co lo que ivertimo má tiempo e hcerlo l pricipio pero, l fil, lo reultdo e lc má fácilmete. Retomdo el ejemplo terior e el co comptible determido, cotiumo digolido l mtri pr dejr ólo l digol pricipl de l mim depejr... * / hor implemete teemo que depejr cd u de l icógit e u correpodiete ecucioe: Método de Crmer empledo determite Ete método ólo e plicble cudo el item que etmo reolviedo e comptible determido eceitmo que el determite de l mtri de coeficiete e ditito de cero que el úmero de ecucioe el de icógit e igul. El vlor de cd u de l icógit e obtiee como u cociete e el que el deomidor e el determite de l mtri de coeficiete el umerdor e el determite que reult de utituir l colum i-éim del determite terior por l colum de térmio idepediete. Podemo ecribirlo í: i i i. Lo vemo e uetro ejemplo de item comptible determido. Reolver el iguiete.e.l. por el método de Crmer Clculmo el determite de l mtri de coeficiete plicdo l Regl de Srru L. Roche Rmó, 9

7 Sitem de Ecucioe Liele Pr clculr l icógit, utituimo l ª colum del determite terior por l colum de térmio idepediete dividimo. Hremo lo mimo pr pr í: L. Roche Rmó, 9

8 Sitem de Ecucioe Liele Método de l mtri iver Pr plicr ete método tmbié eceitmo que el item e comptible determido mimo úmero de ecucioe que icógit demá el. Como el.e.l. e ecribí como B X, tedremo que B X Recordemo que [ ] T dj. plicr el método de l mtri iver pr reolver el item de ecucioe: Y bemo que. L mtri djut e l que reult de utituir cd uo de lo elemeto por u djuto recuerd l regl de lo igo. Por tto, i l ij mtri del item e, l mtri djut erá dj l trpuet erá:. [ ] T dj ilmete, [ ] T dj B X 6 L. Roche Rmó, 9

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