Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a:

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1 ALGEBRA Sistems de Euiones lineles Disusión on prámetros Disutir el siguiente sistem de euiones lineles según el vlor del prámetro : + ( + ) = + = + = Interpretión: Del enunido se dedue que se trt de un sistem de tres euiones on tres inógnits donde, demás, pree un prámetro, ompñndo ls inógnits omo término independiente. Nos piden disutir el sistem en funión de los vlores de, es deir, lsifir el sistem omo omptile determindo, omptile indetermindo o inomptile. Estrtegi: - Pr relir l disusión utiliremos el Teorem de Rouhe Froenius. - Epresremos el sistem de euiones en funión de l mtri de oefiientes A l mtri mplid AB. - Comenremos estudindo el rngo de l mtri A prtiendo siempre del mor rngo que puede tener dih mtri. - El rngo dependerá de los oefiientes sí que el estudio del rngo dependerá de los vlores que tome. - Pr lulr el vlor de los distintos menores de orden h utiliremos propieddes de los determinntes. - Opermos de l mism mner on l mtri mplid reordndo que est tiene siempre por lo menos tnto rngo omo l mtri A. - Comprmos el rngo de A el de l mtri mplid de tl mner que plindo el teorem de Rouhe Froenius podemos deidir si es omptile o inomptile. - En el so de que se omptile lo omprremos on el número de inógnits pr ver si es determindo o indetermindo.

2 A l hor de resolver el prolem tendremos en uent: - Clsifiión de los sistems de euiones lineles - Resoluión de sistems de euiones lineles - Método de Guss pr disutir resolver sistems de euiones lineles - Cálulo de determinntes - Rngo de un mtri - Produto de mtries - Teorem de Rouhé Froenius Pr resolver el prolem... Epresmos el sistem en form mtriil: Vemos l dependeni del rngo de ls dos mtries en funión del prámetro. Pr ello estudimos el rngo de l mtri orrespondiente ls inógnits, A, sí omo el de l mtri mplid, AB. Ten en uent que, omo l mtri mplid es un mtri 4, su rngo, omo muho, puede ser. En primer lugr, lulmos el rngo de l mtri A, igulndo ero su determinnte. = = = los vlores de pr los que el determinnte es nulo son,, es deir, pr estos tres vlores de, el rngo de A es menor que. Ahor ompromos el rngo de ms mtries pr d vlor de, plindo el teorem de Rouhé Froenius. Si =, el determinnte de A es ero, sí pues, usmos un menor de orden distinto de ero:

3 Como, el rngo de l mtri A es. Ahor ien, si =, l mtri mplid tiene los términos de su últim olumn igules ero por lo que el rngo v ser el mismo que el de l mtri A. Por tnto, según el teorem de Rouhé omo el rngo de ms mtries son igules pero menor que el número de inógnits, el sistem es omptile indetermindo, es deir, tiene infinits soluiones. Si =, de nuevo nos enontrmos on que el menor de orden de l mtri A es ero por lo que no puede tener rngo. Con enontrr un menor de orden distinto de ero verifirímos que tiene rngo. Efetivmente:, luego A tiene rngo. Al sustituir por oservmos que en l mtri A en l mplid ls dos últims fils son igules por lo que el rngo de l mtri mplid tmién es. Según el teorem de Rouhé, omo el rngo de ms mtries son igules pero menor que el número de inógnits, el sistem es omptile indetermindo, es deir, tiene infinits soluiones. Si =, el mor menor distinto de ero que podemos enontrr en l mtri A es de orden, por tnto, el rngo de A es. Al sustituir por en l mtri mplid, podemos enontrr un menor de orden distinto de ero: Así pues, el rngo de l mtri mplid es, por lo que los rngos de ls dos mtries son distintos. Por tnto, el sistem es inomptile, es deir no tiene soluión. Si es distinto de,, el rngo de l mtri A el de l mplid es tres que el mor menor distinto de ero que podemos enontrr de ms mtries es de orden.

4 Como demás oinide on el número de inógnits el sistem es omptile determindo. 4

5 Mtries Euión mtriil Resolver l euión mtriil AX B + C = donde A = 4 ; B =, C = Interpretión: Del enunido deduimos que se trt de un euión mtriil donde preen tres mtries de dimensión onoid. L mtri A que es de orden por, l mtri B de orden por 4 l mtri C que es de orden por 4. Nos piden que resolver l euión, es deir lulr l mtri X. Estrtegi: - Lo primero que remos será verifir que l mtri A es regulr, es deir que dmite invers que si no es sí l euión no se podrí resolver. - Posteriormente despejmos l mtri X teniendo en uent que: o El produto de mtries no es onmuttivo. o A A = A A = I o I X = X I = X - Clulmos l mtri invers de A siguiendo los psos: o A es distinto de ero. o A t o Adj (A t ) o A Adj( A t ) = A - Por último reliremos ls operiones neesris pr poder lulr X. - Ten muho uiddo undo multiplique mtries. A l hor de resolver el prolem tendremos en uent: - Sum de mtries - Difereni de mtries - Mtri nul - Produto de mtries - Mtri invers - Cálulo de un mtri invers por Guss Jordn - Cálulo de un mtri invers por determinntes

6 Pr resolver el prolem Antes de ulquier otr operión veremos si eiste l mtri invers de l mtri A. Pr ver si eiste l mtri invers de A lulmos su determinnte vemos si es distinto de ero. 4 Ddo este pso hor indimos omo despejmos l mtri X. Prtiendo l euión iniil AX B + C = ; summos l opuest de l mtri C mos términos de l iguldd oteniendo: AX = B C Como A - A = I IX = X, donde I es l mtri identidd, podemos multiplir mos ldos de l euión por l mtri A - A AX = A - (B C) Ten muho uiddo on el produto de mtries que este no es onmuttivo. X = A - (B C) Un ve que onoemos omo deemos lulr X demostrd l eisteni de A - relimos los álulos. Primero lulmos l mtri invers: Clulmos primero l trspuest: A t = 4 Posteriormente l mtri djunt de l trspuest: Adj (A t ) =. 4 Y por último dividimos l mtri resultnte entre el determinnte de A: A Adj (A t ) 6

7 7 El resultdo finl es l mtri A - A - = 4 Un ve que tenemos l mtri invers relimos l operión C B: = 4 Oserv omo l operión se puede relir que estmos restndo mtries del mismo orden Fíjte que el orden de l mtri resultnte es el mismo que el de ls dos mtries que estmos restndo. Por último l mtri X l lulmos on el siguiente produto: X = 4 4 = 4 4 Reuerd que pr poder multiplir mtries el número de olumns de l primer tiene que oinidir on el número de fils de l segund que l mtri resultnte tiene tnts fils omo l primer mtri tnts olumns omo l segund.

8 Determinntes Cálulo de un determinnte utilindo propieddes. Siendo que =, lul el vlor de los siguientes determinntes: ) ) Interpretión. Del enunido deduimos que se trt de un ejeriio de álulo de un determinnte de tres por tres prtir de otro uo vlor es onoido Nos piden que utilindo ls propieddes de los determinntes sí omo el vlor del determinnte que nos dn, lulr el vlor de otro determinnte de tres por tres, por lo tnto el álulo no se puede relir utilindo l regl de srros. Estrtegi: - Pr resolver el prolem tomremos omo refereni el determinnte que nos d el enunido reliremos trnsformiones en los otros hst que nos queden en funión del iniil. - Ten en uent que d trnsformión que relies en un determinnte está sd o fundmentd en un propiedd de estos, por lo ul es mu importnte en d pso que des enunies l propiedd orrespondiente que ests utilindo. A l hor de resolver el prolem tendremos en uent: - Cálulo de un determinnte de dos por dos - Cálulo de un determinnte de tres por tres utilindo l regl de Srrus. - Clulo de un determinnte por un líne - Propieddes de los determinntes 8

9 9 Pr resolver el prolem ) Prtimos del determinnte que queremos lulr de tl mner que utilindo ls propieddes de los determinntes lo iremos modifindo hst poner en diho determinnte en funión del determinnte uo vlor es onoido. Así: En el determinnte podemos mir l primer fil por l terer por lo que el determinnte mi de signo. = Si hor mimos l segund fil por l terer el determinn vuelve mir el signo. = = H un propiedd de los determinntes que die: pr multiplir un determinnte por un número distinto de ero, st multiplir un líne de ese determinnte por diho número. Según es propiedd, omo todos los elementos de l primer fil están multiplidos por, podemos sr este término fuer multiplindo todo el determinnte. = = = Como el vlor del último determinnte es onluimos que = =.

10 ) En el determinnte todos los términos de l primer fil sí omo los términos de l últim fil están multiplidos respetivmente por por lo que mos términos se pueden sr omo ftores del determinnte: = En l segund fil podemos utilir l siguiente propiedd: Si todos los elementos de un fil o de un olumn de un mtri se desomponen en sum de dos sumndos, su determinnte tmién se desompone, de l mism form en sum de dos determinntes mnteniendo d uno de ellos omunes ls fils o olumns formds por un únio término del determinnte iniil Luego: = = + El segundo determinnte de est sum vle ero que l segund fil es un ominión linel de l primer. Conretmente l segund fil es dos vees l primer. Por lo que. = = = =

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