Tema 9. Sistemas de Ecuaciones. Raúl González Medina. I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 9

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1 Te Sistes de Ecuciones.- Introducción..- Sistes de Ecuciones Lineles..- Método de Guss..- Discusión de Sistes Lineles..- Regl de Crer..- Mtri Invers..- Ecuciones Mtriciles..- Rngo de un Mtri..- Ejercicios Resueltos. Rúl Gonále Medin I.E. Jun Rón Jiéne Te

2 Mteátics º chillerto CCNN..- Introducción Uno de los principles ojetivos del Álger clásic h sido l resolución de ecuciones sistes de ecuciones. Desde este punto de vist el Álger tendrí ás de ños de ntigüedd pero hst l Edd Medi no se desrroll de no de los áres. Después lcn su dure esplendor en Europ sore todo en el renciiento itlino...- Sistes de Ecuciones lineles Se lln ecuciones lineles ls ecuciones en ls que tods ls incógnits precen con grdo ; no están elevds ningun potenci ni jo ningún rdicl ni ultiplicds uns por otrs. coo por ejeplo: ; ; Un siste de ecuciones lineles es un conjunto de ecuciones de l for:... n n... n n n n Donde es el nº de ecuciones lineles n el nº de incógnits los ij son los coeficientes del siste (núeros reles) los j son ls incógnits los i son los térinos independientes (tién núeros reles). Resolver un siste de ecuciones es encontrr los vlores de los o concluir que el siste no tiene solución. En resuen podeos clsificr los sistes de ecuciones lineles del siguiente odo: j pr los que se cuplen tods ls ecuciones Deterindo ( S. C. D.) Solución únic Coptile Indeterindo : ( S. C. I.) Muchs Soluciones Sistes de ecuciones lineles Incoptile : ( S. I.) Sin solución Llos M l tri de coeficientes M * l tri plid con los térinos independientes: M... n... n n * n M n n...- lgunos sistes conocer Un siste de ecuciones lineles tiene for esclond cundo cd ecución tiene un incógnit enos que el nterior de for que su tri de coeficientes será un tri tringulr. Dos Sistes se lln equivlentes cundo tienen ls iss soluciones pesr de tener diferentes ecuciones. Un siste linel se ll hoogéneo si todos los térinos independientes son cero en cso contrrio se ll siste heterogéneo. Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX-

3 Mteátics º chillerto CCNN Un siste hoogéneo nunc es incoptile pues siepre dite l enos l solución ===. Lld solución trivil....- Epresión tricil de un siste Ddo un siste de ecuciones n incógnits:... n n... n n n n Llreos epresión tricil de este siste l epresión:... n... n n n Mtri de Coeficientes Mtri de ls Incógnits Mtri de los térinos independeintes Si M es l tri de los coeficientes X l tri de ls incógnits es l tri de los térinos independientes l epresión tricil de este siste viene dd por: M X Pr resolver un siste coo un ecución tricil de este tipo es necesrio que eist M - es decir que l tri M se un tri regulr (cudrd deterinnte no nulo) si esto ocurre su solución vendrá dd por: Ejeplo: Resolver el siguiente siste: X M Si lo escriios en for tricil llegos : Sen M l tri de coeficientes M clculos si es posile l invers de M: t M dj( M ) M Por tnto pr resolver el siste solo nos qued: X M Por tnto el siste es coptile deterindo su solución es: {=; =-; =} Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX-

4 Mteátics º chillerto CCNN..- Método de Guss El étodo de Guss estudido el curso psdo que repsreos hor consiste consiste en convertir un siste de igul núero de ecuciones que incógnits (norlente ) en otro equivlente que presente un for esclond que por lo tnto se pued resolver con uch fcilidd. Pr conseguirlo se efectún según convengn cutro trnsforciones eleentles. o Multiplicr un ecución por un núero distinto de. o Sur un ecución un coinción linel de ls otrs. o Intercir ecuciones. o Cir el orden de ls incógnits. Ejeplo: Resolver edinte Guss el siste: L prier ecución () siepre se dej igul (procurndo que est se l ás sencill) l segund () l tercer () teneos que nulrle el térino que llev. () () () () () () () () Un ve que heos nuldo los térinos en de l segund tercer ecución dejos fij l ª l ª ecución nulos el térino que llev l en l ª ecución. ()' ()'' ()' ()'' ()' ()' ()'' sí oteneos un siste que present for esclond. De l últi ecución () oteneos = sustituendo en l () result = que su ve sustituendo s en () oteneos =-. Por Tnto teneos un S.C.D. {=- = =}..- Discusión de sistes. Teore de Rouché - Froenius Discutir o clsificr un siste es decir de qué tipo es: coptile deterindo coptile indeterindo o incoptile coo heos visto con nterioridd. ntes de resolverlo podeos deterinr de qué tipo es grcis l Teore de Rouché Froenius. El Teore de Rouché Froenius perite conocer si un siste de ecuciones tiene solución prtir del estudio del rngo de l tri socid l siste (tri de coeficientes M) del rngo de l tri plid de éste (tri M*). Deterindo :Rng(M) Rng(M*) nº de incógnits Coptile: Rng(M) Rng(M*) Indeterindo: Rng(M) Rng(M*) nº de incógnits Sistes Incoptile : Rng(M) Rng(M*) Es iportnte tener en cuent que Rng(M) Rng(M*) que l tri M está contenid en M*. Este detlle unque u siple es de enore utilidd que nos horr en uchs ocsiones tener que deterinr el rngo de M*. En uchs ocsiones los sistes dependerán de uno o dos práetros cos que coplic sustncilente l discusión. Por ello tendreos que distinguir los diferentes csos en función de los rngos de M de M*. Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX-

5 Mteátics º chillerto CCNN..- Resolución de Sistes de Ecuciones lineles. Regl de Crer deás de ls dos fors de resolución conocids el de l tri invers el del étodo de Guss eiste otro lldo Regl de Crer. Estudindo un siste de ecuciones por el Teore de Rouché-Froenius si result coptile podeos hllr su solución edinte l regl de Crer....- Regl de Crer Un siste de ecuciones lineles es un siste de Crer si l tri de coeficientes es regulr. Por tnto este tipo de sistes son siepre S.C.D. Pr clculr ls soluciones de un siste utilios dos deterinntes: Deterinnte de l tri de coeficientes M. M Deterinnte i que se otiene l sustituir en l tri M l colun de l incógnit i ( ó ) por l colun de los térinos independientes. El vlor de cd incógnit se otiene de l siguiente for: M M M Ejeplo: Resolver el siste L tri de coeficientes clculos hor su deterinnte: es regulr El siste es de Crer Sus soluciones son: ; ; S.C.D.={= = =) Utilindo un pequeño truco podeos utilir este étodo de resolución sistes coptiles indeterindos. Si un siste es coptile indeterindo es porque Rng() = Rng() < nº de incógnits si llos grdo de liertd (g) l diferenci entre el nº de incógnits el rngo de ls trices. Llreos enor principl de l tri l enor que nos d el rngo de ls trices este enor nos d un nuevo siste de ecuciones con tnts ecuciones coo incógnits lldo siste principl. Este siste es equivlente l principl se puede resolver con l regl de Crer teniendo en cuent que ls soluciones quedrán en función de tntos práetros coo indique g. Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX-

6 Mteátics º chillerto CCNN Ejeplo: Resolver el siguiente siste: Escriios ls trices M M*. M ; M * M ( ) ( ) = Rng() < Rng()= Pr l tri M* ocurre ectente igul porque tiene un colun nul Rng() = = Rng() < nº de incógnits. Teneos que el siste es S.C.I. coo no es regulr no podeos utilir l regl de Crer. Coo pr otener Rng() = heos utilido ls dos priers ecuciones entonces l tercer l podeos eliinr el siste qued: Si llos teneos: si psos los térinos con l derech de ls igulddes nos qued: Si quí volveos escriir ls trices : Coo podeos oservr hor si es un tri regulr porque es cudrd su deterinnte es distinto de cero. Podeos utilir l regl de Crer pr resolver el siste. Por tnto ls soluciones del siste son S..- Sistes con práetros Se ll discutir un siste de ecuciones en función de uno o vrios práetros l hecho de clsificrlo según los vlores que puedn tor dichos práetros. Coo nor generl de discusión podeos seguir el siguiente proceso: Clculos el deterinnte de l tri de coeficientes () en función del práetro o práetros lo igulos cero resolveos l ecución. Clculos los rngos de ls trices utilios el teore de Rouché-Froenius pr clsificrlo. Si es coptile (deterindo o indeterindo) lo resolveos por lguno de los étodos nteriores. Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX-

7 Mteátics º chillerto CCNN Ejeplo: Discutir el siste: Ls trices de coeficientes plid son respectivente: M Clculos el deterinnte de M: M M M * Si - M es regulr el siste es de Crer S.C.D. Si = - Rng(M) = porque. Si sustituios = - en M* M * hor clculos el rngo de M* Si = Rngo(M*) = = Rng(M) < Si Rng(M) = = Rng(M*) el siste es S.I. entonces el siste es S.C.I. Si S. C. D. En resuen: Si S. C. I Si Si S. I...- Resolución de sistes hoogéneos Seos que un siste es hoogéneo si todos los térinos independientes son cero que deás estos sistes son siepre coptiles. plicndo el Teore de Rouché Froenius: Si Rng(M)= nº de incógnits S.C.D. Solución trivil. (). Si Rng(M) < nº de incógnits S.C.I. Infinits soluciones entre ells l ()...- Ejercicios Resueltos.- Copror que los sistes de ecuciones siguientes uno es deterindo otro indeterindo otro incoptile: - ) ) - - c) ) Se el siste lo priero que hceos es escriir su tri (tri de coeficientes) su tri plid (Coeficientes + térinos independientes) Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX-

8 Mteátics º chillerto CCNN Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX- hor clculos el rngo de cd un de ells. (ªFil - ªFil) Clculos hor un enor de orden Por tnto Rng()= Cojo de ell un enor de orden tendríos que clculr todos los enores de orden que se puedn otener de est tri. Pero no es necesrio porque si: Si l segund fil le quito l prier otengo que es igul que l ª fil ultiplicd por. Por tnto todos los enores de orden de est tri son nulos porque l ª fil es coinción linel de ª l ª sí que clculo un enor de orden :. Por tnto Rng()= Y coo Rng()=Rng()=<(Nº de incógnits) entonces el siste es S.C.I. unque el ejercicio no lo pide vos clculr sus soluciones. Coo l ª fil es coinción linel de l ª l ª l eliinos. Hceos reescriios el siste: Por tnto hor teneos: Clculos el rngo de s: Rng()=Rng()=(Nº de incógnits) por tnto convertios el siste en un siste de Crer ( es regulr). Y lo resolveos por l regl de Crer: X Y Z Por tnto ultiplicndo tods ls soluciones por teneos:

9 Mteátics º chillerto CCNN Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX- S.C.I. ) Lo priero es escriir ; ;. Clculos el rngo de s: ; Por tnto Rng()= ) ( Por tnto Rng()=. Coo Rng() Rng() entonces el siste es Incoptile (No tiene solución) c) Coo siepre escriios ls trices : Y clculos sus rngos: Rng()= Si pr clculr el rngo de cogeos est is tri entonces Rng()= Y coo Rng()=Rng()=(Nº de incógnits) entonces el siste es S.C.D. En este cso tpoco nos lo piden pero vos clculr ls soluciones del siste. Coo l tri es cudrd su deterinnte es no nulo entonces podeos plicr l Regl de Crer; por tnto: X ; Y ; Z

10 Mteátics º chillerto CCNN Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX- Resuiendo: S.C.D. S.- Discutir el siguiente siste según los vlores de. Lo priero coo siepre es escriir ls trices. Y después ver el rngo de ells. Igulos cero clculos los vlores de. Si el rngo de es si el rngo de es. Pr l tri teneos que este deterinnte es nulo si =. Por tnto si K= Rng()= si K Rng()=. Resuiendo: Si =: Rng()=Rng()=< S.C.I. Si =-: Rng() Rng() S.I. Si Rng()=Rng()==Nº incógnits S.C.D..- Resolver el siguiente siste: ) ( ) ( Escriios ls trices : Veos sus rngos: Rng()= Rng()= Coo Rng()=Rng()= entonces el siste es S.C.D. X ) ( Y Z

11 Mteátics º chillerto CCNN Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX- El siste es S.C.D. pr todo núero Rel..- Estudir según los vlores del práetro el siste: ) ( Escriios ls trices Este siste es un siste hoogéneo por tnto es un siste coptile. Vos ver si es deterindo o indeterindo. ) ( ) ) ( ( ) ( Si = Rng() = S.C.D. L solución es l solución trivil S Si Rng() = < = nº de incógnits S.C.I..- Se consider el siste de ecuciones lineles: ) ( ) Encontrr un vlor de pr que el siste se incoptile. ) Discutir si eiste lgún vlor de pr el cul el siste se coptile deterindo. c) Resolver el siste pr =. Escriios ls trices de coeficientes ) Pr que se incoptile h de ocurrir que Rng() Rng() Veos cunto vle Rng(). ) ( Por tnto Rng()< Veos pr orden. Por tnto si = Rng()= si Rng()= Vos hor estudir l tri.

12 Mteátics º chillerto CCNN Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX- ' ; Por tnto todos los enores de orden otenidos de l tri son nulos. Psos enores de orden. Por tnto Rng()= Entonces pr que el siste se incoptile coo heos dicho ntes h de ocurrir que Rng() Rng() esto ocurre si =. Si = Rng() Rng() S.I. ) Pr que el siste se S.C.D. tiene que ocurrir que Rng()=Rng()= esto no ocurre nunc por tnto no eiste ningún vlor de pr que el siste se coptile deterindo. c) Si = el siste qued de l siguiente for: hor son: d) Coo vios en el cso ) si el Rng()=. Pues coo = entonces Rng()=. Veos el rngo de. Coo oservos prier vist teneos que l º fil + º fil =º fil por tnto el Rng() =. sí que si Rng()=Rng()=< nº incógnits el siste es coptile indeterindo. (S.C.I.) Pr resolverlo hceos coo siepre por tnto el siste qued de l for: resolveos por el étodo ás rápido posile en este cso sustituendo oteneos el vlor de Por tnto: Teneos un S.C.I. con S.- Se considern ls trices C C X ) Deterin el vlor de pr que el siste C X se incoptile.

13 Mteátics º chillerto CCNN Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX- ) Deterin los vlores de pr los cules el siste C X es coptile pr uno de estos vlores resuelve dicho siste. c) Pr estudi el siste C C X Se l tri de coeficientes l tri plid. Pr que el siste X=C se incoptile tiene que ocurrir que los rngos de sen diferentes: Rng() Rng(). Veos el rngo de. por tnto Rng() =. Vos l ver el de. ' Por tnto si Rng() = =Rng() Rng()= el siste serí incoptile. Pr que el siste se Incoptile tiene que ocurrir que e) Pr este cso ls trices son de l for:. Del prtdo ) teneos que Rng()=. Veos Rng(). ' Igulos oteneos Por tnto si S.C.I. porque Rng()=Rng()=<. Pr resolverlo hceos de est for convertios l siste en un siste de Crer teniendo: ) ( ) ( Y X Por tnto S.I. con S f) En este cso teneos:

14 Mteátics º chillerto CCNN Rúl Gonále Medin Sistes de Ecuciones Lineles IX- quí. Coo heos visto Rng()= flt ver el rngo de l tri. ' Rng()=. Coo Rng() Rng() S.I..- Discutir el siguiente siste: Escriios ls trices. Estudios el rngo de l tri. Por tnto: Si = Rng()= Si Rng()= Vos estudir hor el rngo de l tri Y si igulos cero oteneos Por tnto: Si Rng()= Si Rng()= Resuiendo: Si El Siste es de Crer Siste Coptile Deterindo. (S.C.D.) Si = Rng() = Si Rng()= Rng()=Rng()= S. Coptile Indeterindo Si Rng()= Rng() Rng() Siste Incoptile.

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