DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.

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1 DETERINNTES DETERINNTE DE UN TRIZ CUDRD socido cd mtri cudrd h un número llmdo determinnte de, denotdo como det. Los determinntes nos proporcionn un método pr el cálculo de l mtri invers (en cso de eistir) un criterio pr estudir si un mtri es o no invertible. Sus plicciones son múltiples en tods ls rms de ls ciencis que trtn problems lineles en los que necesrimente precen mtrices por tnto, determinntes. Si es un mtri cudrd de primer orden, entonces tiene sólo un elemento. sí, ( ) det Definición del determinnte de un mtri de definimos El determinnte de un mtri se epres como det o pr este teto utiliremos l notción det Ejemplo: Búsqued del determinnte de un mtri de Encontrr det si SOLUCIÓN det ()( ) ()( ) 8 8 Los menores los cofctores son de grn utilidd pr encontrr determinntes de mtrices de orden n>. Definición de menores cofctores Se ( ij ) un mtri cudrd de orden n> ) El enor ij del elemento ij es el determinnte de l mtri de orden n- obtenido l borrr el renglón i l column j. ) El cofctor ij del elemento ij es i j ij ( ) Pr hllr el menor de un elemento, borrmos el renglón l column en que prece el elemento luego encontrmos el determinnte de l mtri cudrd resultnte. Pr obtener el cofctor de ij de un mtri cudrd ( ij ), encontrmos el menor lo multiplicmos por ó -, dependiendo de si l sum de i j es pr o impr, respectivmente. ij Otr form de recordr el signo más menos i j ( ) socido con el cofctor ij es considerr l siguiente tbl de signos Profesor: Jime H. Rmíre Rios Págin

2 Ejemplo: K L L L Si, buscr SOLUCIÓN l borrr los renglones columns de propidos obtenemos ()() ( )() ()() ()() 8 ()() ()() i j Pr obtener los cofctores, utilimos l fórmul ij ( ) ( ) ()() ) ()() ( ( ) ( )( ) ij El determinnte det de un mtri cudrd de tercer orden se define sí: Definición del determinnte de un mtri de det sí el determinnte se hll l multiplicr cd elemento del renglón uno por su cofctor sumrlos, esto se conoce como epndir renglón uno ( EpR ). Pr hllr el determinnte de un mtri se puede epndir culquier de los tres renglones o columns sí: EpR EpR EpC EpC EpC Profesor: Jime H. Rmíre Rios Págin

3 Ejemplo: Encuentre det si SOLUCIÓN Vmos epndir El renglón dos EpR det Debemos hllr los menores multiplicrlos por los cofctores. Pr hllr el eliminmos el renglón dos l column uno sí: Y lo multiplicmos por el cofctor ()() ()() 9 ( ) ( )() Pr hllr el eliminmos el renglón dos l column dos sí: Y lo multiplicmos por el cofctor ( )() ()() ( ) ()( ) Pr hllr el eliminmos el renglón dos l column tres sí Y lo multiplicmos por el cofctor Profesor: Jime H. Rmíre Rios Págin

4 ( )() ()() ( ) ( )( ) Reemplndo en l ecución inicil tenemos: det ( ) ( ) () 8 det hor hllremos el determinnte de est mtri epndiendo l column tres EpC ()() ()() ( ) ()(9) 9 9 ( )() ()() ( ) ( )( ) ( )() ()() ( ) ()( ) Reemplndo en l ecución inicil tenemos: det 9 () ( ) 9 8 det Podemos epndir culquier de los tres renglones o columns el determinnte siempre será el mismo. Ejemplo: Encuentre det si Profesor: Jime H. Rmíre Rios Págin

5 SOLUCIÓN Com el tercer renglón contiene un cero, epndiremos por ese renglón pr evlur sólo dos cofctores. sí: EpR No necesitmos evlur, pues l multiplicrl por el resultdo será cero. ( )() ()() ( ) ()( ) ()() ()( ) ( ) ()() det () det Pr simplificr los cálculos, podemos relir trnsformciones elementles de renglones pr obtener ceros hllr menos cofctores. Volvmos l ejemplo nterior hllemos nuevmente el determinnte. Encuentre det si R R EpC ( EpC ) () () ()( ) ()() 8 ( ) ( )( ) Reemplndo en l ecución inicil tenemos: det () det Podemos ver como utilindo el método de eliminción los cálculos se reducen significtivmente, llegndo clculr el determinnte con un solo cofctor. Definición del determinnte de un mtri de nn El determinnte de un mtri de orden nn es l epnsión del cofctor por un de ls fils o de ls columns det i i i i ii L im im det j j j j j j L nj nj Profesor: Jime H. Rmíre Rios Págin

6 TEORES SOBRE DETERINNTES ) Si es un mtri cudrd de orden n>, entonces el determinnte de se puede hllr multiplicndo los elementos de culquier fil o column por sus respectivos cofctores sumndo los productos resultntes ) Si todo elemento de un fil o column de un mtri cudrd es cero, entonces det ) Si es un mtri cudrd, entonces es invertible si sólo si det ) det T ) Si dos fils o columns de un mtri cudrd son idénticos, entonces det ) Si dos fils o columns de un mtri cudrd son múltiplo esclr de otr, entonces det ) Si prtir de un mtri se obtiene un mtri B l intercmbir dos fils o columns, entonces det B det 8) Si prtir de un mtri se obtiene un mtri B l multiplicr cd elemento de un fil o column de por un número rel k, entonces det B kdet 9) Si prtir de un mtri se obtiene un mtri B l sumr k veces culquier fil o column de otr fil o column pr un número rel k, entonces det B Ejemplo: Hllr el vlor de α pr que det α R R α EpC ( α) ()() α α α ( ) ()( α ) α det α α α Ejercicio Hllr el vlor de β pr que det β Los determinntes se usn pr solucionr sistems de ecuciones lineles medinte l regl de Crmer. Se obtienen ls soluciones como cocientes de dos determinntes. Profesor: Jime H. Rmíre Rios Págin

7 Definición de l regl de Crmer pr un sistem de tres vribles. El vlor de cd incógnit es un frcción cuo denomindor es el determinnte formdo con los coeficientes de ls incógnits (determinnte del sistem) cuo numerdor es el determinnte que se obtiene sustituendo en el determinnte del sistem l column de los coeficientes de l incógnit que se hll por l column de los términos independientes de ls ecuciones dds. X Y det Z X b b b Y b b b Z b b b Ejemplo: Resolver el siguiente sistem por el método de los determinntes. det R R R R EpC ( ) det det R R R R EpC 9 ( ) 9 det X 9 8 Profesor: Jime H. Rmíre Rios Págin

8 det R R R R EpC ) det ( Y det R R R R EpC ( ) det Z Entonces los vlores de ls tres vribles son: 9 X Y Z sí l solución del sistem es: (,, ) Regl de Crmer (form generl) X det, X det, L, X n det n L regl de Crmer result inefic si se plic sistems con un grn número de ecuciones, que deben evlurse muchos determinntes. Tmpoco se puede usr si det o si el número de ecuciones no es el mismo que el número de vribles. Otr form de hllr determinntes, es utilindo l regl de Srrus Regl de Srrus Cundo el determinnte es de orden tres se us l regl de Srrus, que consiste en sumr todos los productos que se obtienen l multiplicr dos o tres elementos de l mtri de tods ls forms posibles, con l condición de que en cd producto eist un elemento de cd fil uno de cd column, con sus signos correspondientes. Es consejble umentr l mtri con ls dos primers columns multiplicr en form digonl. Profesor: Jime H. Rmíre Rios Págin 8

9 Definición de l regl de Srrus pr un sistem de tres vribles. ( ) ( ) Ejemplo: Hllr el determinnte del ejercicio... Utilindo l regl de Srrus [()()( ) ( )()() ()()()] [()()() ()()() ( )()( ) [( ) ( ) ()] [() () (8)] 8 - Ejemplo8: Resolver el siguiente sistem utilindo l regl de Srrus. X [(8) (8) ( )] [(8) () ( )] [(8) () ( )] [() () ( )] Y [( ) (8) ( )] [( 8) () ( )] [(8) () ( )] [() () ( )] 9 Profesor: Jime H. Rmíre Rios Págin 9

10 Profesor: Jime H. Rmíre Rios Págin 8 )] ( () [() )] ( () [(8) ()] () 8) [( (8)] () ) [( Z sí l solución del sistem es: ( ),, Ejercicios de l sección Hllr el determinnte de ls siguientes mtrices Hllr el vlor de β pr que 9 det β 8. Hllr el vlor de α pr que 8 det α

11 Profesor: Jime H. Rmíre Rios Págin 9. Hllr el vlor de η pr que det η. Hllr el vlor de ϑ pr que 8 det ϑ Utilir l regl de Crmer pr resolver los siguientes sistems. 8.. q p q p. 9 8 b b Un cjero utomático contiene 9 billetes de, un totl de $. Si el número de billetes de $ es el doble que el número de billetes de $, verigu cuántos billetes h de cd tipo.. Se dispone de tres cjs, B C con moneds de euro. Se sbe que en totl h euros. El número de moneds de ecede en l sum de ls moneds de ls otrs dos cjs. Si se trsld moned de l cj B l cj, est tendrá el doble de moneds que B. verigu cuánts moneds hbí en cd cj.

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