Ecuaciones Matriciales y Determinantes.

Transcripción

1 Ecuaciones Mariciales y Deerminanes.

2 Ecuaciones Mariciales. Tenemos que obener la mariz incógnia, que generalmene se denoa como X, despejándola de la igualdad. Para conseguirlo enemos las siguienes reglas: ) Si una mariz esá sumando a un lado de la igualdad pasa resando al oro lado de la igualdad y al revés. XC! XC- X-C! XC ) Si muliplicamos una mariz por la izquierda a un lado de la igualdad ambién lo enemos que hacer en el oro lado de la igualdad por la izquierda. Igual por la derecha. A X! A - A XA -!Id XA -! XA - X A! X A A - A -! X Id A -! X A -

3 Ejemplos. -Dada la mariz! " # % % ' hállese una mariz X que verifique la ecuación X-. C-.- Sean X una mariz x, I la mariz idenidad x y ' (. Hallar X sabiendo que X I.

4 X Id( -)! X - -Id Calculando - enemos que - con lo que X I X! I X! ( ) I X ) (! X! I X Calculando -! X 3

5 Sean ' ( y C' ( calcular A sabiendo A y A 3 C mos lo difícil que sería resolver el sisema de la siguiene forma % C-) Dadas las marices ()*%, y A* %,, hállese la mariz sabiendo que P - PA. % Sabiendo que P - es P 3

6 Deerminanes. Los deerminanes nos proporcionan un méodo para el cálculo de la mariz inversa de una dada (en caso de exisir) y un crierio para esudiar si una mariz es o no inverible. Sus aplicaciones son múliples en odas las ramas de las ciencias que raan problemas lineales en los que necesariamene aparecen marices y por ano, deerminanes. A cada mariz cuadrada A (a ij ) apple i, j apple n se le asigna un número real que llamaremos deerminane de A y represenaremos por de A o A. Definición: Si es una mariz x se define el deerminane de la mariz A, y se expresa como de(a) o bien A, comoelnúmero: de(a) A a a a a a a a a

7 Ejemplos: El cálculo de los deerminanes de orden es bien sencillo, por ejemplo: a) b) 3 -(-)

8 Para definir deerminanes de marices de orden mayor que es necesario inroducir previamene algunos concepos. Dada una mariz cuadrada A de orden n, definimos el menor complemenario de un elemeno de A,a ij,comoeldeerminanedelamarizqueseobienealsuprimirlafilaiylacolumnajenlaque se encuenra dicho elemeno a ij.serepresenaporm ij. Ejemplo: En la mariz A elemenos de la primera fila son: Menor complemenario de -:M Menor complemenario de :M Menor complemenario de 5:M Yasísucesivamene., los menores complemenarios de cada uno de los

9 Esrechamene ligado al concepo de menor complemenario se encuenra el de adjuno de una mariz. Dada una mariz cuadrada A de orden n, definimos el adjuno de un elemeno a ij de A como el número: A ij () ij M ij es decir, no es más que el menor complemenario correspondiene acompañado de un signo más o menos dependiendo de la fila y la columna en la que se encuenre el elemeno en cuesión. Por ejemplo, para la mariz anerior, los adjunos de los elemenos de la primera fila son: Adjuno de -:A () M (coincide con el menor complemenario) Adjuno de :A () M () (menor complemenario con signo cambiado) Adjuno de 5:A 3 () 3 M 3 (coincide con el menor complemenario). En general puede saberse si el signo del menor complemenario y del adjuno coinciden o no uilizando una sencilla regla gráfica, por ejemplo, para marices 3 x 3 y x basa fijarse en las marices: donde el significa que el adjuno coincide con el menor complemenario y el - indica que ienen signo conrario.

10 5 Ejemplo: Para la mariz A 6 7 3,aplicando la definición, si elegimos la fila ercera queda: 3 de(a) ( 5 ) ( ) 3 ( 35) ((6 3)) ( ) 76 7 Si hubiésemos elegido ora fila o columna, por ejemplo la columna, quedaría: ( de(a) 6 3 ) ( 5 ) 6 3 (( 9)) 7 ( 5) ((6 3)) Ejercicio: Calcula, desarrollando por la fila que ú elijaslosdeerminanesdelasmarices:

11 Ø Ø -, Ø Ø -,

12 Hallar los valores de que anulan el primer deerminane, rminanes. En el a llar los valores

13 Solución: a) Desarrollamos el deerminane e igualamos a cero el resulado: ( ) 3 3 ± ; ; soluciones: Hay res 3 Solución: a) Calculamos el valor del deerminane: ( ) ( ) 7 3 Veamos para que valores de se anula el deerminane: ± ±