Propuesta sobre la enseñanza de los números racionales Geovany Sanabria Brenes

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1 Geovny Snri B. Propuest sore l enseñnz de los números rionles Geovny Snri Brenes Un mner de ordr los números rionles es trvés del onoimiento previo de rzones. En l tulidd, ls friones en primri no son vists omo números sino omo poriones de uniddes y rzones. Así, en l seundri se dee mdurr del onepto de frión l onepto rionl omo número. Los estudintes en primri mnipuln ls friones, ls representn gráfimente, ls uin en l ret numéri y ls esrien en notión deiml, demás, onoen l noión de friones equivlentes. Todos estos onoimientos, que y posee el estudinte, permiten ordr el onepto de número rionl positivo on los udros gráfio y numério. En el udro gráfio, se puede prtir del heho que dos friones son equivlentes si representn l mism ntidd. L ide es que ntes de introduir los rionles, el estudinte mnipule orretmente ls friones. Así, se inii onsiderndo l frión, on y enteros positivos, omo l porión que se otiene l dividir d unidd en prtes y tomr de ess prtes. Si se define l mgnitud de un frión omo l expnsión deiml soid ell, se tiene que l mgnitud es tn solo un de tnts rterístis de l frión. Ejemplo Jorge lnz l siguiente divinnz: Adivine l frión que pienso siendo que su mgnitud es 3, 2 Es imposile mtemátimente preisr l frión que piens Jun, pues hy infinits friones on es rterísti, entre ells 32 00, y Seguidmente se enumern ls ides priniples de un propuest pr ordr l enseñnz de los números rionles, prtir de l noión de frión expuest:. Iguldd de friones. Dos friones son igules si son l mism, en todos sus spetos, no solo en mgnitud, es deir, denotndo on = f l iguldd de friones, se tiene que

2 Geovny Snri B. 2 Si = f d entones = y = d, y que d unidd dee ser dividid en el mismo número de prtes. Ejemplo 2 Note que no se umple que 2 = f 2 4. Ejemplo 3 Si = + entones = + y =, de donde se otiene que = y = 2, por f lo tnto = f Sum de friones homogénes. De uerdo l udro gráfio, pree lógio definir en el udro numério + f donde + f es l operión sum de friones. = f +, Ejemplo 4

3 Geovny Snri B Sum de friones heterogénes solo gráfimente. Si ls friones son heterogénes solo tiene sentido sumrls gráfimente, puesto que tiene divisiones distints de l unidd. Ejemplo 5 4. Friones equivlentes. De est mner, l mgnitud de l sum de friones heterogénes estlee l neesidd de ls friones equivlentes. Utilizndo l vez un udro numério, note que l definiión trdiionl de equivleni es nálog deir que dos friones son equivlentes si poseen l mism mgnitud, es deir es equivlente d si y solo si = d, donde l iguldd = se refiere solo l mgnitud. A prtir de est definiión se puede relizr ls oserviones siguientes. Ejemplo 6 Note que 3 = 2 6, sin emrgo 3 = f 2 6 es flso.

4 Geovny Snri B Propiedd de l equivleni. L frión es equivlente l frión d si y solo si = d (ls friones tiene igul mgnitud) d = (iguldd de enteros) Ejemplo 7 Note que es equvlente, pues 4 42 = Equivleni y representión gráfi. Gráfimente l equivleni de friones, onsiste en poriones que indin l mism ntidd. Ejemplo 8 7. Amplifiión y simplifiión.

5 Geovny Snri B. 5 Un resultdo importnte es que si es equivlente d, entones se otiene mplifindo d o simplifindo l frión. Gráfimente se puede preir l mplifiión o simplifiión de friones. Ejemplo 9 Si es mplifid por dos se otiene un frión que divide d prte estleid por en dos y tom 2 prtes. 8. Conjunto de friones equivlentes o lses de equivleni. Del punto nterior, se tiene que tods ls friones equivlentes se otienen mplifindo o simplifindo, sí, si y son primos reltivos el onjunto de friones equivlentes es { } k k, k N. Ejemplo 0 Como 2 6 es equivlente 3, entones l lse de equivleni de 2 6 3, est lse es { 3, 2 6, 3 9,...}. es l mism que l lse de 9. Definiión de número rionl positivo. Un rionl no es un porión sino tn solo un mgnitud, sí, d rionl x se le soi un infinidd de friones, tods quells que tengn mgnitud x. Es deir, si l frión tiene expnsión deiml x, entones x se le soin tods ls friones equivlentes. Así un rionl es un rterísti de un frión, sin emrgo, hy vris friones que tendrán es rterísti.

6 Geovny Snri B. 6 Ejemplo El rionl 0, 5 es l mgnitud de ls friones 2, 2 4 y 3, entre otrs Los números rionles y ls lses de equivleni. Así, de uerdo los puntos nteriores, d lse de equivleni se le soi un rionl y d rionl un lse de equivleni, esto deido que ls friones de mism lse tienen igul mgnitud. Ejemplo 2 A l lse de equivleni { 2, 2 4, 3 6,...} se le soi el rionl ( 2) = 0, 5 ; y l rionl, 3 = (4 3) se le soi l lse de equivleni de 4 3. Aquí es un uen momento pr ver el pso de notión deiml notión frionri.. Notión frionri de un rionl. Ddo que st on tomr un frión ulquier del onjunto de friones equivlentes pr determinr el número rionl soido ese onjunto, entones se puede utilizr ulquier de l friones del onjunto pr denotr el rionl. Ejemplo 3 El rionl 3 2 está soido l lse de equivleni de l frión Friones igules y equivlentes. Si dos friones son igules entones son equivlentes, es deir,

7 Geovny Snri B. 7 = f d = = d, sin emrgo el reíproo es flso. De uerdo l púnto nterior, note que =, se puede d interpretr de dos forms: ls friones y d son equivlentes o los rionles y d son igules. Dihs interpretiones son equivlentes. Ejemplo 4 Note que 2 4, pues el rionl 2 es igul l rionl 2 4 y l frión 2 4 l frión 4. no es equivlente 3. Sum de mgnitudes de friones (Sum de rionles en notión frionri). Si ls friones que denotn los rionles son homogénes por el punto nterior, se otiene el mismo lgoritmo que pr l sum de friones, pues si + f = f + entones + = +. En el so de friones heterogénes, el proeso de homogenizr puede ser visto omo mir inteligentemente los representntes de los rionles por friones homogénes. Ejemplo 5 Reliemos l sum de rionles 2 +. En este so, se tiene que 3 l rionl l rionl 2 se le soi l lse { 2, 2 4, 3 6, 4 8,...} y 3 se le soi l lse { 3, 2 6, 3 9, },

8 Geovny Snri B. 8 Entones el rionl 2 será representdo por 3 6 y el otro por 2 6, sí = Cmio de representntes de los rionles Por otro ldo: Por lo tnto: = = 5 6. ( Pues = f ) 5 6 Posteriormente se puede introduir el uso del mínimo omún múltiplo pr filitr es seleión inteligente de los representntes y finlmente el lgoritmo + d d + =. d Luego se puede expender ls definiiones y lgoritmos todos los rionles, positivos y negtivos. Así, se propone introduir los números rionles por medio de un juego de udros entre el udro gráfio (representión gráfi de ls friones), el udro numério (expnsiones deimles) y el udro lgerio (lses de equivleni). Bse de l propuest presentd L propuest presentd se s en el heho que en Z Z (, ) R (, d) d =, l relión definid por es un relión de equivleni. Así se propuso llmrles los elementos de Z Z friones y los elementos del onjunto oiente Z Z /R rionles, es deir, d lse de equivleni es un rionl. Bjo est ópti es inorreto hlr de sum de friones, no ser que se desrrolle desde un udro gráfio, de lo ontrrio, lo orreto es referirse l sum de rionles. Ests nots vn dirigids los profesores de seundri. Se esper que les sirv de yud pr mejors l enseñnz de los números rionles.

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