3. Ecuaciones, parte I

Transcripción

1 Matemáticas I, 2012-I La ecuación es como una balanza Una ecuación es como una balanza en equilibrio: en la balanza se exhiben dos objetos del mismo peso en ambos lados mientras que en la ecuación se exhiben dos números o expresiones del mismo valor en ambos lados. Por ejemplo: la siguiente balanza expresa que : es tres veces más pesado que Como fórmula, este hecho se escribe así: 1 = 3. En matemáticas es más común (pero no necesario) usar letras en lugar de símbolos. Algunas balanzas se verán entonces así: A BB AAB ABB Balanza 1 Balanza 2 AA BB BAC BBBCA Balanza 3 Balanza 4 La primera balanza se escribe en lenguaje matemático como A = 2B ya que hay dos B s del lado derecho. El objeto A pesa lo doble del objeto B. La ecuación de la segunda balanza es 2A + B = A + 2B ya que del lado izquierdo hay dos A s y además un B. Sabemos que una balanza se mantiene en equilibrio si le quitamos en ambos lados lo mismo. Si quitamos un A y un B en ambios lados, nos queda del lado izquierdo un A y del lado derecho un B. Eso lo escribimos como A = B. Los dos objetos pesan entonces lo mismo. La ecuación de la tercera balanza se escribe como 2A = 2B. Sabemos que si dividimos el peso en ambos lados a la mitad, entonces la balanza sigue en equilibrio si así lo estaba desde antes. Por ello A pesa lo mismo que B. Nuevamente tenemos A = B. 3-1

2 Matemáticas I, 2012-I La ecuación de la cuarta balanza es B+A+C = 3B+C+A. Si quitamos uno de cada uno de los símbolos en ambos lados obtenemos que del lado derecho quedan dos B y del lado izquierdo nada. El nada se expresa como cero en las matemáticas. Obtenemos entonces la ecuación 0 = 2B. Podemos dividir ambos lados en dos partes iguales ya que = 0. Concluimos que 0 = B o como es más usual escribir B = 0. Es decir, B es cero, lo que equivale en nuestra situación a que B es un objeto sin peso alguno. Del peso de A y C no sabemos nada en esta situación. Las operaciones con ecuaciones que son permitidas Hemos usado las siguientes operaciones: Quitar (restar) en ambos lados lo mismo, o añadir (sumar) en ambos lados lo mismo. Dividir ambos lados entre dos. Pero también podríamos dividirlo en tres, cuatro o más partes si en ambos lados hacemos lo mismo. También podriamos multiplcar ambos lados por un número, siempre que este no sea cero. Intercambiar el contenido de los dos lados. Estas operaciones pueden emplearse siembre en cualquier ecuación. Trabajar con las expresiones En lo que sigue veremos cómo se puede obtener la solución de una ecuación dada en varios ejemplos. Ejemplo 1. Se quiere resolver la ecuación x + 5 = 20. Si se resta en ambos lados 5 se obtiene x + 5 = 20 x = 20 5 x = 15 5 simplificar Usualmente no se escribe el paso intermedio antes de simplificar, sino esto se hace en la mente. 3-2

3 Matemáticas I, 2012-I Ejemplo 2. Resuelve la siguiente ecuación en la incógnita z: 3z + 7 = 22. La incógnita se encuentra del lado izquierdo. El lado izquierdo es una suma de un término que contiene la incógnita (3z) y el número 7. Si restamos 7 en ambos lados la situación se simplifica: 3z + 7 = 22 3z = 15 7 Ahora, el lado izquierdo es un producto del número 3 y la incógnita. Por ello dividimos ambos lados entre 3 para obtener el resultado: 3z = 15 3 z = 5 Ejemplo 3. Se quiere resolver la siguiente ecuación en la incógnita t: 3t + 6 = 5t 14. Ahora la incógnita se encuentre en ambos lados. Ambos lados son una suma de un término que contiene la incógnita y un número. Si restamos 5t en ambos lados, del lado derecho queda solamente un número y obtenemos 3t + 6 = 5t 14 3t + 6 5t = 14 5t simplificar (3 5)t + 6 = 14 simplificar 2t + 6 = 14 Ahora restamos 6 en ambos lados para que se simplifique el lado izquierdo: 2t + 6 = 14 2t = 20 6 Ambos lados aparecen con un signo negativo. Por ello obtenemos signos positivos si multiplicamos ambos lados por 1: 2t = 20 ( 1) 2t = 20 2 t = 10 Más adelante veremos ejemplos más complicadas de ecuaciones. 3-3

4 Matemáticas I, 2012-I La comprobación Que algún número sea o no solución de una ecuación se puede comprobar fácilmente al sustituir la incógnita por el número dado: Ejemplo 4. El número 3 es solución de la ecuación 3x + 1 = 10 porque al sustituir la incógnita x por el valor 3 se obtiene del lado izquierdo = = 10 que es el mismo número que el lado derecho. Por otro lado, 2 no es una solución ya que al sustituir x por 2 se obtiene del lado izquierdo = = 7 que no es igual a 10. Ejemplo 5. El número 1 es solución de la ecuación 3x 3 + x + 1 = 5x 2, porque al sustituir la incógnita x por el valor 1 se obtiene del lado izquierdo = = = 5 mientras del lado derecho se obtiene = 5 1 = 5. Por otro lado 0 no es una solución: al sustituir x por 0 el lado izquierdo da = = 0+1 = 1 mientras el lado derecho da = 5 0 = 0. La comprobación es útil sobre todo después de largas cadenas de transformaciones de las ecuaciones. La comprobación puede detectar errores cometido en estas transformaciones. En el Ejemplo 3 la comprobación resulta así: Si susituimos t por 10 en la ecuación 3t+6 = 5t 14 obtenemos del lado izquierdo = 30+6 = 36 y del lado derecho 5t 14 = = = 36. Esto muestra que t = 10 es en efecto una solución de la ecuación dada. Sobre la notación La notación en matemáticas es producto de una larga historia. En cualquier momento es una convención, pero desde hace como 200 años, esta convención ya no ha cambiado sustancialmente. Por ejemplo, se anota 3 para expresar que se tienen tres. El número 3 sirve entonces como un contador. Por otro lado 3 es el producto del número 3 con el objeto. Pero resulta, que por definición, multiplicar algo por tres es como tomar la suma de algo+algo+algo. Así que se tiene 3 = + + =

5 Matemáticas I, 2012-I Aunque el lado izquierdo expresa formalmente algo diferente del lado derecho, ambos lados siempre tendrán el mismo valor. Por ello se suele omitir el símbolo de producto si esto no puede causar confusión. Por ejemplo: 3x es tres veces x. Pero si sustituimos x por 4 entonces no podemos escribir 34 ya que esto se confundiría con el número treinta y cuatro. Hay que hacer explícito que se trata de un producto en este caso: 3 4. Hemos visto que de vez en cuando hay que escribir paréntesis para aclarar cuál operación debe ejecutarse primero: (2 + 1) 3 = 3 3 = 9 pero 2 + (1 3) = = 5. En la expresión de la izquierda hay que sumar primero, en la expresión a la derecha hay que multiplicar primero. Si simplemente escribieramos no sería claro cuál de las dos opciones es la correcta. Para no siempre tener que escribir paréntesis, se estableció una regla general en qué orden deben ejecutarse las operaciones. Por ello es importante hablar primero de la jerarquía de las operaciones: La multiplicación es una itearción de la suma: 6x es simplemente una abreviación para x+x+x+x+x+x. Viéndolo de esta manera, la multiplicación es de un nivel de complejidad mayor que la suma. Similarmente la potenciación es una iteración del producto: por ejemplo, x 6 es una abreviación para x x x x x x. Por ello, la potenciación es más complejo que la multiplicación (y la suma). La primera regla es que las operaciones se ejecutan en la jerarquía de mayor a menor complejidad: primero la potenciación, luego los productos y divisiones y al final las sumas y restas. Ejemplo 6. En la expresión hay que evaluar primero la potenciación: 2 + (3 2) 4 = Luego la multiplicación = y finalmente la suma = 38. La segunda regla a seguir es: si no se quiere evaluar en este orden, entonces hay que colocar paréntesis adecuados: Ejemplo 7. Si se quere primero efectuar la suma en la expresión entonces hay que anotarlo así: (2 + 3) 2 4. Ejemplo 8. Se debe multiplicar x 5 por

6 Matemáticas I, 2012-I Hay que multiplicar x 5 de un lado por 3 del otro lado. Es decir, se debe calcular (x 5) (3). Pero los paréntesis alrededor del 3 no agrupan nada y por lo tanto no se requiere. Sin paréntesis sería x 5 3. Como el producto se evalua primero se obtendría x 5 3 = x 15, que no es lo mismo que (x 5) 3 = x = 3x 15. Por ello hay que poner los parentesis así: (x 5)

7 Matemáticas I, 2012-I 1 Determina cómo se comparan el peso de A con los pesos de B y C en los siguientes ejemplos (a), (b), (c) y (d). AAAABB AABBB ABCC CBC Balanza (a) Balanza (b) AA BBCC AAAB BBBBCCC Balanza (c) Balanza (d) 2 Las siguientes dos balanzas están en equilibrio. Expresa el peso de y de por el peso de. 3 Cuántas hay que poner del lado derecho en la balanza a la derecha para equilibrarla? 4 Resuleve las siguientes ecuaciones: (a) 5x 12 = 3 en la incógnita x. (b) 2a = 3a 1 en la incógnita a. (c) 1000t + 1 = t en la incógnita t. (d) 3 (y + 2) = 12 en la incógnita y. 5 Resuleve las siguientes ecuaciones: (a) x+3 2 = 4 en la incógnita x. (b) 2(z + 1) = 3(z + 2) en la incógnita z. α (c) + 2 = α + 3 en la incógnita α (α es la primera letra del alfabeto 3 2 griego y se lee como alfa ). (d) 3 b 1 2 = 12 en la incógnita b. 6 En cada caso determina si el número dado es solución o no de la ecuación dada: 3-7

8 Matemáticas I, 2012-I (a) x = 0 de la ecuación x 4 x 2 = x 5. (b) z = 1 de la ecuación 1 z 1+z = 0 (c) t = 2 de la ecuación t 3 2t 2 + t = 1 (d) α = 1 de la ecuación 1 α α 2 = α Hay que poner paréntesis o no? Argumenta tu respuesta. (a) Al sumar a y c d. (b) Cuando se resta 3 de x 2. (c) Cuando se eleva al cuadrado 2 + x. (d) Cuando se eleva al cuadrado 2 x. (e) Cuando se divide 1 2 entre x. 8 En las siguientes expresiones, determina si los paréntesis están necesarios (y por lo tanto apropiados), superfluos (correctas pero innecesarias) o erróneos (que no tiene sentido la expresión). (a) (3 4) 2 (b) 9( )t (c) 5 + (2 a) (d) (a 2 ) 3 (e) a (23 ) (f) [a (b 2] 1) (g) 3 (x 1) (h) a + (b )2 3-8