Construcción de bases en la suma y la intersección de subespacios (ejemplo)

Transcripción

1 Construcción de bases en la suma y la intersección de subespacios (ejemplo) Objetivos Aprender a construir bases en S + S y S S, donde S y S están dados como subespacios generados por ciertos vectores del espacio R n Requisitos Suma e intersección de subespacios, sublista básica de una lista de vectores, eliminación de Gauss, matrices pseudoescalonadas reducidas, rango de una matriz, construcción de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas cuyo conjunto solución sería el subespacio l(a,, a k ) con vectores a,, a k dados Dos descripciones de un subespacio de R n Todo subespacio S del espacio R n se puede describir de dos maneras: () Como el subespacio generado por algunos vectores a,, a m Estos vectores no se determinan de manera única, pero si son linealmente independientes, entonces m dim(s) () Como el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas La matriz del sistema no se determina de manera única, pero si la matriz es pseudoescalonada y tiene r renglones no nulos, entonces r dim(s) Descripción de la suma de dos subespacios dados por sus generadores Sean S l(a,, a p ) y S l(b,, b q ) Entonces S + S l(a,, a p, b,, b q ) Descripción de la intersección de dos subespacios dados como conjuntos soluciones de sistemas de ecuaciones lineales Sean S y S dos subespacios de R 5 dados de la siguiente manera: S { x R 5 : x x + x + x 5 }, { S x R 5 x : x + x x + x 5 6 x + x + 5x + x 5 Describir S S de alguna manera Respuesta: Un vector x R 5 pertenece a S S si, y sólo si, satisface todas las ecuaciones que definen S y S : x x + x + x 5 S S x R5 : x x + x x + x 5 6 x + x + 5x + x 5 } Construcción de bases en S + S y S S, página de 6

2 Ejemplo Se consideran los vectores a, a, a, b, b R y los subespacios S l(a, a, a ), S l(b, b ) 5 a 5, a 6, a 7, b, b 5 Construir una base del subespacio S + S Escribir los vectores a, a, a, b, b combinaciones lineales de los vectores de esta base Hacer las comprobaciones como Solución Sabemos que S +S l(a, a, a, b, b ), por eso vamos a construir una sublista básica de la lista (a, a, a, b, b ) y así obtendremos una base de S + S 5 5 R + R R + R R / 8 5 / / R + R R + R R + R R + R R + R / / / / R Respuesta: dim(s + S ) ; los vectores a, b, b forman una base de S + S ; a a b, a a b Comprobación: a b a b 9/ 5/ / / a ; a Construcción de bases en S + S y S S, página de 6

3 5 Encontrar un sistema de ecuaciones lineales homogéneas que describa el subespacio S del ejemplo Hacer las comprobaciones Calcular dim(s ) Solución Un vector x R pertenece a S si, y sólo si, el siguiente sistema de ecuaciones es consistente 5 x x x R + R x x R R + R x + 5R R + R x 5 x 5 x x x x + x 5x + 5x + x x x + x R + R R + R x x x + x x + x + x x x + x La matriz obtenida es escalonada reducida (sería suficiente con pseudoescalonada reducida), por eso el sistema tiene solución si, y sólo si, en todas las ecuaciones de la forma x + x + x β la expresión β es cero Además vemos que r(a, a, a ), así que dim(s ) Respuesta: dim(s ), { S x R : x + x + x x x + x Comprobación Hay que probar que cada uno de los vectores a, a, a satisface cada una de las ecuaciones del sistema obtenido a S : ; 6 + ; a S : ; ; a S : ; + 6 } Podríamos escribir la comprobación de manera más breve: [ [ [ Construcción de bases en S + S y S S, página de 6

4 6 Encontrar un sistema de ecuaciones lineales homogéneas que describa el subespacio S del ejemplo Hacer las comprobaciones Calcular dim(s ) Solución Este ejemplo es similar al ejemplo anterior x R x + R R + R x x x x x + 5x + x x x + x x x 5 x + x x + x R + 5 R R + R Respuesta: dim(s ), { S x R : x + 5x + x x x + x } Comprobación: [ 5 [ [ Construcción de bases en S + S y S S, página de 6

5 7 Construir una base del subespacio S S Comprobar que los vectores de esta base satisfacen las ecuaciones homogéneas obtenidas en dos ejercicios anteriores Hacer la comprobación de las dimensiones con la fórmula de Grassmann Solución Un vector x R pertenece a S S si, y sólo si, satisface al sistema que define S y también al sistema que define S : S S x R : Resolvamos el sistema obtenido: 5 Conjunto solución: x + x + x x x + x x + 5x + x x x + x R + R R + R R + R x x x x 5 R + R Respuesta: dim(s S ), una base de S S consiste en el vector u Comprobación: Construcción de bases en S + S y S S, página 5 de 6

6 8 Extender la base de S S obtenida en el ejercicio anterior a una base de S ; a una base de S ; a una base de S + S Solución Recordamos que a 5 b, a, b 6 5, a, u Como dim(s ), hay que agregar al vector u alguno de los vectores a, a, a de tal manera que se obtenga una base de S El vector a no es un múltiplo de u, por eso (u, a ) es una base de S Como dim(s ), tenemos que agregar al vector u uno de los vectores b, b de tal manera que se obtenga una base de S El vector b coincide con u, y el vector b no es un múltiplo de u Por eso la respuesta es la lista (u, b ) Notemos que S +S l(u, a )+l(u, b ) l(u, a, b ) Como ya sabemos que dim(s + S ), los vectores u, a, b forman una base de S + S Comprobación de la fórmula de Grassmann: 5 7 dim(s + S ) + dim(s S ) dim(s ) + dim(s ) }{{}}{{}}{{}}{{}, Construcción de bases en S + S y S S, página 6 de 6