Antonio López García Angeles Juárez Martín Juan Fernández Maese

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1 EJERCICIOS DE ALGEBRA MATEMÁTICAS APLICADAS CC. SS. II Antonio López Grcí Angeles Juárez Mrtín Jun Fernández Mese

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3 Índice Temático CAPÍTULO : MATRICES..... MATRIZ GRAFOS Y MATRICES OPERACIONES CON MATRICES..... RANGO DE UNA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ EJERCICIOS DEL TEMA... CAPÍTULO : DETERMINANTES DETERMINANTES RANGO DE UNA MATRIZ..... INVERSA DE UNA MATRIZ..... ACTIVIDADES DEL TEMA... CAPÍTULO : SISTEMAS DE ECUACIONES..... SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES..... CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA MÉTODO DE CRAMER..... MÉTODO DE GAUSS EJERCICIOS DEL TEMA... 6 CAPÍTULO : PROGRAMACIÓN LINEAL SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES PROGRAMACIÓN LINEAL RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EJERCICIOS DEL TEMA... 9 ÁLGEBRA

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5 CAPÍTULO : MATRICES.. MATRIZ.. Definiciones Un mtriz es un conjunto de números ordendo en form de tbl de doble entrd, de l siguiente form. Se designn con letrs myúsculs A, B,.. Z.... n A = = (ij), i =,,.., m, j =,,..,n m m... mn Término es cd uno de los números de l tbl. Fil es el conjunto de términos con igul subíndice i. Column es el conjunto de términos con igul subíndice j. Dimensión de l mtriz es el producto del número de fils por el de columns (m x n). Orden de un mtriz cudrd es el número de términos de un fil o column.. Iguldd de mtrices Dos mtrices son igules si los son todos y cd uno de sus términos, es decir si tiene l mism dimensión y los términos que ocupn el mismo lugr son igules.. Tipos de mtrices Mtriz fil es l que únicmente tiene un fil. Mtriz column es l que únicmente tiene un column. ( ) Mtriz cudrd, A, es l que tiene igul número de fils que de columns. El conjunto de términos en que coinciden el número de fil y de column formn l digonl principl. A = Mtriz trspuest, A t, es l que se obtiene cmbindo fils por columns. A = A t = Mtriz simétric es l mtriz cudrd que cumple A t = A. Mtriz ntisimétric es l mtriz cudrd que cumple A t = A. ÁLGEBRA

6 Mtriz nul es quell cuyos términos son nulos. Mtriz digonl es l mtriz cudrd cuyos términos distintos de l digonl principl son nulos. Mtriz esclr es un mtriz digonl cuyos términos no nulos son coincidentes. Mtriz unidd es l mtriz esclr cuyos términos no nulos son l unidd. Mtriz tringulr: Es l mtriz cudrd en que todos los términos situdos por encim o por debjo de l digonl principl son nulos. Puede ser superior o inferior: EJEMPLOS. Averigu si son igules ls siguientes mtrices A = ( )( + ) , B = ( + )( ) Son igules y que desrrollndo ls operciones A = B = 9. Averigu si ls siguientes mtrices son mtriz fil, mtriz column o mtriz cudrd. A =, B = ( ), C =, D = 6 E =, F =, G = 6 ( ) H = Son mtrices fil B y G, mtrices column A y H y mtrices cudrds D y E.. Averigu cuáles de ls siguientes mtrices son mtrices trspuests. A =, B = ( ), C =, 6 D =, E =, F = 6 ÁLGEBRA 6

7 Son mtrices trspuests los pres A y B, C y D.. De ls siguientes mtrices enunci cuáles son simétrics y cules no. A =, B =, C =, D = Son mtrices simétrics B y C y no son mtrices simétrics A y D.. Tres fmilis vn un helderí. L primer fmili pide dos heldos grndes, uno medino y uno pequeño; l segund fmili pide uno grnde, dos medinos y dos pequeño y l tercer fmili pide dos grndes y tres pequeños. Escribe un mtriz x que exprese el número de heldos que pide cd fmili. A = ª ª ª P M G EJERCICIOS PROPUESTOS. Averigu si son igules ls siguientes mtrices A =, B = ( )( +) ) ( + )( Solución: Son igules. Averigu cuáles de ls siguientes mtrices son pres de mtrices trspuests. A =, B =, C =, D = 6 6 Solución: Son mtrices trspuests el pr A y B, C y D.. De ls siguientes mtrices enunci cuáles son simétrics y cules no. A =, B =, C =, D = Solución: No son mtrices simétrics B y C. Son mtrices simétrics A y D.. Averigu l dimensión de ls siguientes mtrices: A =, B =, C = 6 ( ) D = Solución: dim(a) = x, dim(b) = x, dim(c) = x, dim(c) = x ÁLGEBRA 7

8 .. GRAFOS Y MATRICES. Grfo Grfo es un representción gráfic formd por un conjunto de nodos unidos medinte línes que se denominn rms. Los grfos se utilizn pr nlizr ls relciones existentes entre individuos o poblciones.. Mtriz de relción Un mtriz es de relción, comunicción o conectiv cundo describe ls relciones existentes entre individuos o poblciones. Los vlores de los elementos de l mtriz indicn el número de cminos o relciones. Si el vlor es no existe relción, si es myor si existe. EJEMPLOS. L siguiente tbl indic ls distncis en kilómetros existentes entre cutro poblciones A, B, C y D. A B C D A 9 B 8 C 9 8 D Indic medinte un grfo y un mtriz de relción ls conexiones existentes entre dichos pueblos. El grfo es el ddo por l figur djunt. L mtriz de relción debe indicr por lo tnto con un que existe crreter desde A hst B y con un cero que no l hy desde A hst D y sí sucesivmente hst obtener:. Ls direcciones que pueden seguir los vehículos entre cutro cruces de un ciudd vienen dds por el grfo de l figur. Indic medinte un mtriz de relción ls relciones de tráfico existentes. ÁLGEBRA 8

9 L mtriz de relción indic con un que existe sentido de circulción desde A hst B y con un cero que no l hy desde A hst D y por lo tnto obtenemos:. L mtriz de relción que nos d los cminos existentes entre locliddes A, B y C es l siguiente: Indic ls relciones existentes ente ls locliddes medinte un número en un grfo. Es el grfo de l figur djunt. EJERCICIOS PROPUESTOS. L siguiente tbl indic ls distncis en kilómetros existentes entre cutro poblciones A, B, C y D. A B C D A 9 B C 9 D Indic medinte un grfo y un mtriz de relción ls conexiones existentes entre dichos pueblos.. Ls direcciones que pueden seguir los vehículos entre cutro cruces de un ciudd viene ddos por el grfo de l figur. Indic medinte un mtriz de relción ls relciones de tráfico existentes.. El plno de l figur djunt indic un serie de clles de un ciudd y de intersecciones de l mism con ls direcciones de tráfico existentes entre ells. Indic medinte un grfo y un mtriz de relción ls conexiones entre dichos puntos de l ciudd.. L mtriz de relción que nos d los cminos existentes entre locliddes A, B y C es: Indic ls relciones existentes ente ls locliddes medinte un número en un grfo. ÁLGEBRA 9

10 .. OPERACIONES CON MATRICES. Sum de dos mtrices Sum de dos mtrices, A + B, A = ( ij ) y B = (b ij ) de l mism dimensión es otr mtriz S = (s ij ), de l mism dimensión de los sumndos y cuyo término genérico es s ij = ij +b ij Propieddes: Conmuttiv: A+B = B+A Asocitiv: A + (B + C) = ( A + B) + C Existenci de elemento neutro: A + = +A Existenci de elemento simétrico: A + (A) = (A) + A =. Producto de un mtriz por un número Producto de un mtriz A = ( ij ) por un número rel k es otr mtriz ka de l mism dimensión que l primer y tl que su elemento genérico es k ij.. Producto de dos mtrices Producto de dos mtrices, A.B, A = ( ij ) (de dimensión mxn) y B = (b ij ) (de dimensión nxp) es otr mtriz P =(p ij ) de dimensión mxj. tl que cd elemento de l mtriz producto se obtiene multiplicndo l fil i de l primer mtriz por l fil j de l segund. Propieddes: Asocitiv: A. (B. C) = ( A. B). C Distributiv: A. (B + C) = A. B + A. C Existenci de mtrices unidd: A mxn.i n = I m.a mxn = A mxn Existenci de elemento simétrico: A + (A) = (A) + A = No Conmuttiv: A.B B+A Divisores del cero: A. B = con A y B No simplifictiv: A.C = B. C > A = B. Potenci de un mtriz Potenci de un mtriz cudrd de orden n A = ( ij ) es otr mtriz A = (p ij ) de orden n tl que cd elemento de l mtriz potenci se obtiene multiplicndo l fil i por l column j de A. Pr hllr l potenci genéric de un mtriz A n y demostrr que el resultdo es correcto: Efectumos un conjetur sobre A n. Comprobmos que se cumple l ley pr los vlores n = o n =. Suponemos que se cumple pr A n y comprobmos que se cumple pr n+: Ls mtrices de relción, R, describen ls relciones directs existentes entre individuos. Sus sucesivs potencis expresn el número de cminos directos o indirectos que unen dichos individuos. L mtriz R indic ls relciones bietápics existentes entre individuos. EJEMPLOS. Dds ls mtrices A = y B = ÁLGEBRA

11 hll A + B. A+ B = + = Efectú el producto. El producto es l mtriz:. = 6. Si A y B son dos mtrices cudrds y del mismo orden, es ciert en generl l relción (A + B) = A +AB + B? Justific l respuest. Si A y B son dos mtrices cudrds del mismo orden se verific: (A + B) = A +AB +BA+ B como en generl el producto de mtrices no verific l propiedd conmuttiv: AB BA luego l iguldd (A + B) = A +AB + B en generl no es ciert.. Dd l mtriz A = con b, determin los vlores de x e y pr los que l mtriz B = verific l relción AB = BA. d c b y x Hllemos los productos: A.B =. = d c b y x d cx+ dy b x+ by B.A =. = y x d c b by+ d y+ c bx x Igulndo mbos tenemos: = d cx+ dy b x+ by by+ d y+ c bx x que igulndo término término qued: d = by+ d cx+ dy = y+ c b = bx x+ by = x Como b de l primer y segund ecución obtenemos: by = y = ; b = bx x = ÁLGEBRA

12 . Consider l mtriz A =. Clcul S = A t.a. S = A t.a =. = 6. Se h relizdo un comprción del precio de tres productos (verdur, crne y frut) en tres supermercdos distintos. En ls dos tbls siguientes se muestrn, respectivmente, los precios por kilogrmo de los productos en los supermercdos y el número de kilogrmos que tres persons comprn de cd producto. S S S Verdur Crne Frut Verdur 8 9 P Crne P Frut P ) Expres, medinte l operción mtricil propid, el coste que cd person debe pgr según el supermercdo donde compre. b) Un person h comprdo l mism cntidd de los tres productos en los tres supermercdos. Si en el segundo de ellos h pgdo.6 pt, qué cntidd de cd producto h dquirido? ) Si llmmos A l mtriz que relcion los precios por kilogrmo de cd producto con los correspondientes supermercdos obtenemos: 8 9 A = Si B es l mtriz que relcion cd producto por el número de kilogrmos de cd producto que obtiene en los correspondientes supermercdo obtenemos: B = L operción mtricil propid que d el coste de cd person debe pgr: B.A =. = Es decir que obtenemos l siguiente tbl que relcion l cntidd gstd en cd producto con los distintos supermercdos S S S P 8 P b) Se x el número de kilogrmos que compr un person de cd producto en los tres supermercdos. Si en el segundo de ellos h pgdo.6 pt: 9x+x+x = 6 7x = 6 x = kg. ÁLGEBRA

13 7. Hll A n siendo A = Hllmos ls potencis sucesivs: A = A.A =. = A = A.A =. = Prece evidente que podemos suponer que l mtriz es de l form: A n = n y que los vlores de todos los elementos slvo permnecen tl cul y los vlores del elemento son,,, 7 números impres que responden l sucesión n = n. Demostremos por inducción que el resultdo es correcto: Se cumple pr un vlor determindo, por ejemplo pr : A = =.( ) Supongmos que se cumple pr A n y demostrémoslo pr n+: A n+ =A n x A =. =.n n + que operndo y scndo fctor común quedrá de l form: A n+ = n + tl y como querímos demostrr. 8. Ls direcciones que pueden seguir los vehículos entre cutro cruces de un ciudd vienen ddos por el grfo de l figur. Indic medinte el cudrdo de l mtriz de relción ls relciones bietápics de tráfico existentes. ÁLGEBRA

14 Relción: Hllmos el cudrdo de l mtriz de relción y obtenemos: R = = 9. L mtriz de relción que nos d los cminos existentes entre tres locliddes A, B y C y su grfo socido es l siguiente: R = Indic ls relciones bietápics existentes y explic el significdo de los elementos r y r. Relción: Hllmos el cudrdo de l mtriz de relción R =. = El elemento r = indic ls relciones bietápics que comienzn y cbn en A:,,, y. El elemento r = indic ls relciones,. EJERCICIOS PROPUESTOS. Sen A = B = C = ( ) Comprueb l siguiente iguldd: ABC t =. Clcul A A I, siendo A =, I =. Solución: A AI =. Hll tods ls mtrices que stisfcen l ecución.a =. Solución:,, b, c R c b ÁLGEBRA

15 . Un fábric distribuye excedentes en tres productos limenticios A, B y C cutro píses P, Q, R y S según se distribuye en l mtriz M (en tonelds). Dich fábric recibe presupuestos de dos empress pr el trnsporte de dichos productos tl como se indic en l mtriz N (en euros por toneld). Efectú el producto de dichs mtrices. A B C P P Q R S M = Q N = E 7 R F S 6 ) Qué represent el elemento de l mtriz producto? b) Qué elemento de l mtriz producto nos indic lo que cuest trnsportr el producto C con l empres F? c) Indic que elementos de l mtriz producto permiten decir cuál es l empres que más brto trnsport el producto B todos los píses. Solución: ) = 8. euros, b) = 9. euros, c) = 9. euros, = 9. euros.. Clcul por inducción l potenci enésim de l mtriz A = n Solución: A n = n n n 6. Clcul por inducción l potenci enésim de l mtriz A = Solución: A n = n n n n n n(n ) n n n 7. Ls direcciones que pueden seguir los vehículos entre cutro cruces de un ciudd vienen ddos por el grfo de l figur. Indic medinte el cudrdo de l mtriz de relción ls relciones bietápics de tráfico existentes. Solución: R =. = 8. L mtriz de relción que nos d los cminos existentes entre cutro plzs de un loclidd A, B, C y D. Indic el vlor de ls relciones bietápics r y r y explic el significdo de los elementos que ls componen. Solución: ÁLGEBRA

16 .. RANGO DE UNA MATRIZ. Definición. Dos fils o columns de un mtriz son linelmente independientes cundo sus términos no son proporcionles. Un fil o column es linelmente independiente si no es igul l sum de otrs fils o columns previmente multiplicds por ciertos números reles. Rngo de un mtriz A mxn es el número de fils o columns linelmente independientes. Si el rngo de A es r <m existen mr fils combinción linel de ls nteriores. Dos mtrices son equivlentes cundo tiene el mismo rngo.. Cálculo medinte el método de Guss. Pr clculr el rngo por el método de Guss trsformremos l mtriz en un equivlente de form tringulr. Son válids ls siguientes trnsformciones: Permutr dos fils o columns Multiplicr o dividir un fil o column por un número Sumr un fil o column l combinción linel de otrs Si después de efectur ls trnsformciones pertinentes, un fil esté formds únicmente por ceros será linelmente dependiente de ls otrs. El rngo de l mtriz viene dd por el número de fils cuyos elementos no son todos nulos. EJEMPLOS. Hll el rngo de l mtriz A usndo el método de Guss 7 A = Cmbimos l ª y ª columns Summos l ª fil x 7 l ª y l ª fil x(7) l ª: Finlmente summos l ª fil x l ª fil. 7 6 Al ser l últim fil nul, el rngo es, y que sólo hy dos fils independientes. Clcul y b pr que el rngo de l mtriz A = se. b ÁLGEBRA 6

17 Cmbimos l ª y ª columns: b Restmos l ª fil el producto de l ª fil por. b 8 pr que el rngo se h de ocurrir que l ª fil se nul, es decir que: = = = b 8 8 EJERCICIOS PROPUESTOS. Clcul y b pr que el rngo de l mtriz A = se. b Solución: =, b =.. Clcul y b pr que el rngo de l mtriz A = se. b Solución: =, b =.. Clcul el rngo de l mtriz A =. Solución: rg(a) =. Clcul el rngo de l mtriz A =. 8 Solución: rg(a) =. Clcul el rngo de l mtriz A =. 6 6 Solución: rg(a) = 6. Clcul el rngo de l mtriz A = Solución: rg(a) = ÁLGEBRA 7

18 .. INVERSA DE UNA MATRIZ. Definición. Mtriz invers A de un mtriz cudrd dd, A, es quell que l multiplicr por A, tnto por l derech como por l izquierd d como resultdo l mtriz unidd del mismo orden: A.A = A.A = I. Un mtriz cudrd tendrá invers cundo el rngo coincid con el orden.. Cálculo por el método de Guss. Se ñde l derech de l mtriz A l mtriz identidd del mismo orden I, formndo l mtriz ( ) I A. Podremos relizr ls siguientes trnsformciones: Permutr dos fils Multiplicr o dividir l fil por un número Sumr un fil l combinción linel de otrs Cundo se obteng en l izquierd l mtriz identidd, es decir se forme l mtriz ( ) A I l derech quedrá l mtriz invers buscd. EJEMPLOS. Clcul l mtriz invers de l mtriz A por el método de Guss si fuer posible y comprueb que A.A = = A Utilizmos l mtriz mplid Restmos l ª fil l ª fil. Summos l ª fil l ª fil multiplicd por. Dividimos l ª fil por. / / / Restmos l ª fil l ª fil. / / / / / / ÁLGEBRA 8

19 Restmos l ª fil l ª fil por. / / / / / / / / / Y l mtriz invers puede expresrse como: A = Pudiendo comprobrse fácilmente que: A.A =. =. = A. Averigu pr qué vlores de l mtriz A no tiene invers. Clcul l mtriz invers de A pr = si ello fuer posible. Utilizremos el método de tringulción de Guss pr verigur los vlores que nulrín l últim fil. Intercmbimos ª y ª fils: Summos l ª fil l ª x(): Intercmbimos l ª y ª column: Summos l ª fil l ª, qued: + L tercer fil serí nul si + = =. Es posible pr =. Clculmos l invers por el método de Guss utilizndo l mtriz mplid obtenid ñdiendo l mtriz unidd en su prte derech y que debemos convertir en otr mtriz con l mtriz unidd es su prte izquierd.. ÁLGEBRA 9

20 Pr ello restmos l ª fil l ª fil y Summos l ª fil l ª fil. Dividimos l ª fil por. / / / Restmos l ª fil l ª fil. / / / / / // Restmos l ª fil l ª fil. / / / / / // / / / L mtriz invers puede expresrse como: A =. Hll un mtriz B sbiendo que su primer fil es ( ) y que verific. A.B = siendo A = Es B l invers de A? Como A es un mtriz de orden x y A.B es de orden x, B h de ser de orden x, y como su primer fil es ( ) h de ser de l form: B = d c b cumpliendo l condición:. = = d c b b + b+ d + + c Igulndo término término obtenemos el sistem: b = b+ d = = c = ÁLGEBRA

21 Con soluciones =, b =, c =, d = luego: B = Que no puede ser l invers de A y que no es un mtriz cudrd.. Un mtriz cudrd es ortogonl cundo su invers coincide con su trnspuest. Clcul y b pr que se ortogonl l mtriz A. / A = b / Si en l mtriz coinciden l trspuest y l invers h de ocurrir que A. t A = I: / / b 9/ + /b / b /. / = /b / 9/ + b = Igulndo término término tendremos: 9 + = = 9 6 = = ± 9 + b = b = 9 6 = b = ± Como ls otrs dos ecuciones son l mism y quedn: b = b = =b y ls soluciones son: =, b = y =, b = EJERCICIOS PROPUESTOS. Clcul por el método de reducción l invers de l mtriz A = 7 Solución: A 7 =. Clcul por el método de reducción o de Guss, l invers de l mtriz A =. Solución: A =. Clcul por el método de reducción o de Guss, l invers de l mtriz ÁLGEBRA

22 A = y comprueb el resultdo multiplicándolo por l mtriz dd. Solución: A = /. Clcul por el método de reducción o de Guss, l invers de l mtriz A = Solución: A = 7. Clcul por el método de Guss l invers de l mtriz A = Solución: A = 9 6. Averigu pr qué vlores del prámetro l mtriz no tiene invers. Clcul l mtriz invers de A = pr = si ello es posible. Solución: No tiene invers pr =, = +. A = Averigu pr qué vlores de l mtriz A = no tiene invers. Clcul l mtriz invers pr = si es posible y comprueb que el producto de mbs es l mtriz identidd. Solución: Tiene invers culquier que se el vlor de. Si =, A = ÁLGEBRA

23 .. EJERCICIOS DEL TEMA. De ls siguientes mtrices enunci cuáles son digonles, esclres y unidd A =, B =, C = Solución: A es unidd, C es esclr, B es digonl. Dds ls mtrices A =, I = Comprueb que (A+I) = A +A+I. Dd l mtriz A =, resuelve l iguldd mtricil AX = Solución: X =. Dds ls mtrices A = y B = reliz ls siguientes operciones: ) A, b) A B, c) A x B Solución: ), b), c) 8. Encuentr tods ls mtrices simétrics de orden que verifiquen A = I Solución: A = 6. Dd l mtriz A = determin otr mtriz B tl que A + B = A.B Solución: B = 7. Determin los vlores de, b y c pr que se verifique l iguldd. = c b c b Solución: =, b = ; c =, =, b = ; c =, =, b = ; c =, =, b = ; c = 8. Encuentr números y b de form que l mtriz A = verifique A b = A. Solución: =, b = 9. Un empres fbric tres tipos de rtículos A, B y C. Los precios de coste de cd unidd son 6, 9 y pesets respectivmente. Los correspondientes precios de vent de un unidd de cd rtículo son 8, 8 y pesets. El número de uniddes vendids nulmente es, 6 y 8, respectivmente. Sbiendo que ls mtrices de costes e ingresos, C e I, son digonles y que l mtriz de vents, V, es un mtriz fil, se pide: ) Determin ls mtrices C, I y V. b) Obtén, prtir de ls mtrices nteriores, l mtriz de ingresos nules correspondientes los tres rtículos, l mtriz de gstos nules y l mtriz de beneficios nules. ÁLGEBRA

24 Solución: ) C =, I =, F = ( ) 8 6. Dd l mtriz A = comprueb que A = AI, usndo l fórmul nterior, clcul A. Solución: A = Dd l mtriz A = obtén ls mtrices B tles que A.B =B.A. Determin que mtriz de ls nteriores verific B =A. Solución: B =, B =A + b b b =. Dd l mtriz A =, hll l mtriz A t A I Solución: ) Si A y B son ls mtrices A =, B = clcul ABB Solución: ABB = Hll X + Y ls soluciones del sistem mtricil siguiente: X + Y = XY = Solución: X + Y = 7/ 6. Dd l mtriz A =, encuentr un mtriz X de orden tl que A+X = AX+XA Solución: X = 6. Dd l mtriz A =, qué relción deben gurdr ls constntes y b pr que se verifique l iguldd A b = A? Solución: =, b = ó =, b =. ÁLGEBRA

25 7. Elbor l mtriz de relción socid l grfo de l figur. Solución: 8. Elbor l mtriz de relción socid l grfo siguiente. D un significd de ls mtrices R y R +R Solución: 9. Clcul por inducción l potenci enésim de l mtriz A = Solución: A n = n n n n n n n n. Clcul por inducción l potenci enésim de l mtriz A = Solución: A n = n n n n n n n n n. Clcul por inducción l potenci enésim de l mtriz A = n n(n ) Solución: A n = n. Clcul los vlores de pr que el rngo de l mtriz A se, siendo A = Solución: =. Clcul el rngo de l mtriz en función de los vlores de : 6 8 A = 6 9 Solución: Si =: rg(a) =, Si : rg(a) =. ÁLGEBRA

26 . Clcul el rngo de A = 7 7 Solución: rg(a) =. Clcul el rngo de l mtriz: A =. 6 6 Solución: rg(a) = 8. Prueb que A AI =, siendo A =, I = Clcul A utilizndo l iguldd nterior o de otr form. Solución: A = 9. Dds ls mtrices C = D = determin si C.D tiene invers y, en ese cso, hálll. Solución: / / /. Estudi si hy lgún vlor de pr el que l siguiente mtriz tiene invers + + Solución: No lo hy. Dd l mtriz A = x x ) Determin los vlores de x pr los que l mtriz tiene invers. b) Determin l invers de l mtriz A en el cso x =. Solución: ) A tiene invers pr x. b) A = 7 8. Se un prámetro rel y se l mtriz M() = Hll los vlores de pr los que M() tiene invers. Solución: No tiene invers pr =, =. b) =. ÁLGEBRA 6

27 CAPÍTULO : DETERMINANTES.. DETERMINANTES. Definición Dd un mtriz cudrd de orden dos A = se llm determinnte de A l número: det(a) =.. Dd un mtriz cudrd de orden su determinnte será (Regl de Srrus): A = ( ) Menor de orden r de un mtriz l determinnte formdo por l intersección de r fils y de r columns. Menor complementrio (Δ ij ) del término ij de un mtriz l determinnte de l mtriz resultnte de eliminr l fil y l column en l que este situdo dicho término. Adjunto (A ij ) del elemento ij de un mtriz l producto del menor complementrio por () elevdo l sum de l fil y l column en l que este situdo dicho término. El determinnte de l mtriz A de orden n es igul l sum de los producto de los términos de un fil o column por sus djuntos.... A =... n... n m m... m Los determinntes de orden n se suelen representr tmbién expresndo ls fils o columns que lo componen A = [f, f,.., f n ] = [c, c,.., c m ]. Propieddes de los determinntes. Si un fil o column de l mtriz es nul el determinnte vle. Si permutmos dos fils o columns de un mtriz cmbi el signo del determinnte. Si dos fils o columns de l mtriz son igules el determinnte vle. Si se multiplicn los elementos de un fil o column por un número multiplicmos el determinnte por dicho número. Si los elementos de un fil o column se descomponen en sumndos, su determinnte es igul l sum de determinntes que tiene tods ls demás fils o columns igules y uno de los dos sumndos en l fil o column en cuestión. Si un fil o column de un mtriz se le sum otr prlel multiplicd por un número el determinnte no vrí. Si un fil o column de l mtriz es combinción linel de otrs prlels ell el determinnte es nulo. El determinnte de un producto de mtrices cudrds es igul l producto de ls mtrices fctores. El determinnte de un mtriz es igul l de su trspuest. L sum de los producto de los términos de un fil o column por los djuntos de un fil o column prlel l dd es nul. ÁLGEBRA 7

28 EJEMPLOS. Clcul el determinnte Desrrollndo el determinnte utilizndo el método de Srrus qued: A = (6+) (8+) =9. Clcul el determinnte 6 Hcemos ceros en los elementos de l primer column, pr ello restmos l ª fil l ª x 6 y desrrollmos por l ª column quedndo: = Hcemos ceros en l ª column. Summos l ª fil l primer. Summos l ª fil l primer y desrrollmos por l ª column: = =. Averigu el vlor del determinnte A l ª fil se le sum l ª fil x (). A l ª fil se le sum l ª: Desrrollndo por los elementos de l ª column se obtiene: = 7 7 Desrrollremos por l ª fil. Hcemos ceros en l fil sumndo l ª column l ª column x() y summos l ª column l ª: ÁLGEBRA 8

29 = = (+) =. Encuentr ls trnsformciones de fils o columns que hy que hcer con el determinnte pr probr l iguldd justificndo l respuest. = (+)() Sumndo l primer column ls otrs tres y como l ª column está multiplicd por + qued: = (+) Restndo l ª column ls restntes: (+) Desrrollndo por los djuntos de los elementos de l ª fil: (+) = (+)() = (+)(). Prueb, sin desrrollr el determinnte, que + x + x b b + x b + x = c c + x c + x Si restmos l ª y ª columns l ª: + x + x x x b b + x b + x = b x x c c + x c + x c x x Como l ª column está multiplicd por un número, sle fuer del determinnte. Al ser l ª y ª columns el determinnte es nulo: + x + x x x b b + x b + x =. b x x = c c + x c + x c x x ÁLGEBRA 9

30 EJERCICIOS PROPUESTOS. Clcul el vlor del determinnte Solución:. Clcul el vlor del determinnte Solución:. Averigu el vlor del determinnte Solución:. Averigu el vlor del determinnte Solución:. Aplic ls propieddes de los determinntes pr comprobr que + c b c b+ c c = x y z x y z x+ y+ z+ 6. Si =, clcul, sin desrrollr, ) / b) Solución: ), b). 7. Hll dos soluciones de l ecución siguiente: x = x Solución: x =, x =. 8. Clcul el vlor del determinnte + x + x + x + x Solución: x ( + x) ÁLGEBRA

31 .. RANGO DE UNA MATRIZ. Definición El rngo de un mtriz es el número de fils o columns linelmente independiente. Como el rngo por fils y por columns es igul, bst considerr el menor número de ls fils o columns linelmente independientes.. Cálculo Pr clculr el rngo de un mtriz: Buscmos un menor de orden no nulo, si no existiese el rngo de l mtriz serí o. Orlmos dicho menor con ls sucesivs columns de un mism fil obteniendo menores de orden. Si todos los menores fuern nulos descrtmos l fil. Repetimos el pso nterior con ls sucesivs fils. Si hemos encontrdo un menor de orden no nulo el rngo es por lo menos. Repetimos el proceso nterior pr menores de orden y superiores, hst lcnzr el de myor orden no nulo, que nos drá el rngo pedido. EJEMPLOS. Clcul el rngo de l mtriz A = Ls dos primers fils son independientes y que existe el menor: = Ls tres primers fils lo son y que existe el menor: = Ls cutro primers fils no lo son: = Ls tres primers y l ª si los son: = Por lo tnto rg(a) =. ÁLGEBRA

32 . Clcul el rngo de l mtriz: 6 6 A = Como hy un menor de orden distinto de el rngo es, l menos y que: 6 = Orlmos ls tres columns del menor de orden con l ª fil y columns = = 8 = Orlmos ls tres columns del menor de orden con l ª fil y l ª column = 6 6 =. = Como los de orden son nulos l ª fil es combinción linel de ls otrs tres y no hbrá ningún menor de orden distinto de. El rngo es.. Clcul, según los vlores de, el rngo de l mtriz M = Como l ª column es el doble de l ª y l ª column es el triple de l mism podemos prescindir de mbs: rg(m) = rg 6 8 = rg Si = = y = rg(m) =. 8 Si rg(m) =. 8 EJERCICIOS PROPUESTOS. Un mtriz de fils y columns tiene rngo, cómo puede vrir el rngo si quitmos un column?, si suprimimos un fil y un column, podemos segurr que el rngo de l mtriz resultnte vldrá? ÁLGEBRA

33 Solución: ) El rngo vle, b) No. ) Escribe un mtriz de fils y columns cuyo rngo se. b) Se consider un mtriz cudrd de orden, si el rngo es y le quitmos un column, demuestr que el rngo de l nuev mtriz es. Si el rngo es y le quitmos un column, podemos segurr que el rngo de l mtriz resultnte vldrá? Solución: )Por ejemplo l mtriz, b) No 6. Clcul el rngo de l mtriz. 7 8 Solución: rg(a) =. Clcul el rngo de l mtriz de fils u = (,,), v = (,,), w = (,6,7) y z = (7,8,9) Solución: rg(u, v, w, z) =. Clcul el rngo A, según los vlores de A = Solución:, rg(a) =, = rg(a) =, = rg(a) = 6. Discute, según los vlores del prámetro, el rngo de l siguiente mtriz: + A = + + Solución:, rg(a) = ; = rg(a) = ; = rg(a) = 7. Hll el rngo de l siguiente mtriz según los vlores de y b: M = b b Solución: b y b rg(m) = ; b = rg(m) = ; b= rg(m) = b = y rg(m) = ; b = y = rg(m) = 8. Obtén el vlor de pr que el rngo de l mtriz A se igul : A = 6 Solución: = 9. Determin el vlor de pr que el rngo de l mtriz A se igul : A = 6 Solución: = ÁLGEBRA

34 .. INVERSA DE UNA MATRIZ Mtriz djunt de un mtriz cudrd A, dj(a), es l mtriz que se obtiene l sustituir cd elemento de l mtriz por su djunto. Mtriz invers de un dd es l trspuest de l djunt dividid por el determinnte de l mtriz dd: A = A) Adj( A t EJEMPLOS. Pr qué vlores de l mtriz A no tiene invers. A = Hremos el determinnte igul pr hllr los vlores pr los que l mtriz no tiene invers. Pr ello hremos ceros en l ª column, pr ello summos l ª fil l ª x() y desrrolldo por los elementos de l ª column. A = = = = = =. Clcul l mtriz invers de A y comprueb que el producto de mbs es l mtriz identidd. A = Hllmos el determinnte restndo l ª fil l ª por y desrrollmos por l ª column. Como es no nulo tiene invers. det(a) = = = = Obtenemos l mtriz de djuntos es: Adj(A) = 7 L mtriz trspuest de los djuntos será: Adj(A) t = 7 que coincide con l invers y que el determinnte es. ÁLGEBRA

35 . Hll pr qué vlores tiene invers l mtriz A. Hll l invers de dich mtriz pr =, cso de que se posible. A = Pr verigur si tiene invers o no l mtriz debemos ver que el rngo de dich mtriz (que h de ser cudrd) coincide con el orden, es decir es. Pr ello clculmos su determinnte: A = = que será nulo si = =. Pr vlores de l mtriz tendrá invers. Pr = es posible hllr l invers de A = clculmos el determinnte: A =. = 6 A continución clculmos en el er pso l mtriz de menores Δ ij = En el segundo pso obtenemos l mtriz de djuntos A ij = En el tercer pso trsponemos A ji = En el curto pso dividimos por el determinnte y y tenemos l mtriz invers: A = Ddo x, consider l mtriz A = cosx senx senx cosx ) Clcul A A t, donde A t denot l mtriz trspuest de A b) Prueb que A tiene invers y hálll. ÁLGEBRA

36 ) Como l mtriz trspuest es: A t cosx senx = senx cosx El producto pedido es: A.A t cosx senx cosx senx = = senx cosx senx cosx = cos x + sen x cosx senx + senx cosx = senx cosx + cosx senx cos x + sen x b) Pr que teng invers h de ocurrir que el determinnte de l mtriz h de ser distinto de cero: cosx senx = cos x +sen x = senx cosx según el prtdo nterior A.A t = I, result que l trspuest de A coincide con su invers, es decir: cos(x) sen(x) A =A t = sen(x) cos(x). Qué vlores de hcen que l mtriz + A = no teng invers? Rzon l respuest. Pr que un mtriz A no teng invers, su determinnte h de ser nulo. Vemos pr que vlores de sucede: + det(a)= Restndo l ª column del determinnte l ª multiplicd por, y l ª column l ª multiplicd por : + + Desrrollndo el determinnte por l sum de los por los elementos de l ª fil multiplicdos por sus djuntos: + = + y que tiene dos fils igules. Como A = pr culquier vlor de, result que A nunc tendrá invers. ÁLGEBRA 6

37 6. Pr qué vlores de l mtriz A = no tiene invers?. Clcul l mtriz invers de A utilizndo determinntes pr = si ello fuer posible y comprueb que A. A = I Hllremos el determinnte y que si este fuer l mtriz no tendrí invers. A = =( + +)(++) = + = Resolviendo l ecución obtenemos que =, por lo tnto l mtriz tiene invers pr {}. Clculmos hor l invers pr =, es decir l invers de l mtriz cuyo determinnte es A = + = Pr hllr l mtriz invers obtenemos l mtriz de djuntos Adj(A) = L mtriz trspuest de los djuntos será: Adj(A) t = L mtriz invers será: A = Pudiendo comprobrse fácilmente que A.A =. = 7. Averigu pr qué vlores de l mtriz A = no tiene invers. Clcul mtriz invers pr = si es posible y comprueb que el producto de mbs es l mtriz identidd. ÁLGEBRA 7

38 Hllmos en primer lugr el vlor del determinnte y que si este fuer l mtriz no tendrí invers. Usremos pr ello el conseguir ceros en l ª fil y desrrollremos por los elementos de ést: A = Summos l ª column l ª + desrrollmos por los elementos de l ª fil. = ( + ) + Igulmos cero del determinnte y resolvemos l ecución: + = = ± 7 Luego A no tiene invers pr dicho vlor. Clculmos hor l invers pr =, es decir l invers de l mtriz A = A = 9. Pr hllr l mtriz invers obtenemos l mtriz de djuntos: 8 Adj(A) = 6 L mtriz trspuest de los djuntos será: Adj(A) t = 6 8 por lo tnto l invers será: A = Puede comprobrse fácilmente que : A.A =. 6 = 9 8 ÁLGEBRA 8

39 EJERCICIOS PROPUESTOS. Clcul l mtriz invers de Solución: A = Clcul l mtriz invers de Solución: A = 7. Clcul l mtriz invers de Solución: A =. Clcul l mtriz invers de Solución: A = 9 8. Clcul l mtriz invers de Solución: A = ÁLGEBRA 9

40 6. Averigu pr qué vlores del prámetro l mtriz no tiene invers. Clculd l mtriz invers de A pr = si ello es posible, siendo A = Solución: =, A = 6 7. Averigu pr qué vlores de l mtriz no tiene invers. Clcul mtriz invers pr = si es posible y comprueb que el producto de mbs es l mtriz identidd. Solución: =, A = 8. Clcul l invers de l mtriz cundo exist. + Solución:, A = + 9. Averigu pr qué vlores de l mtriz A no tiene invers. Clcul mtriz invers pr = si es posible y comprueb que el producto de mbs es l mtriz identidd. A = Solución: A tiene invers culquier que se el vlor de A. A = Averigu pr qué vlores del prámetro l mtriz A no tiene invers. Clcul mtriz invers pr = si es posible y comprueb que el producto de mbs es l mtriz identidd. A = Solución: =, A = ÁLGEBRA

41 .. ACTIVIDADES DEL TEMA. Resuelve l ecución: x x x x+ x + x x x+ x+ x Solución: x = =. Clcul el vlor del determinnte: 6 Solución:. Clcul el determinnte: 7 6 Solución: 6. Hll el vlor del determinnte: x x x Solución: x + x + x+. Clcul el determinnte: b b+ b+ b b b+ b Solución: b(b b+) 6. Averigu el vlor del determinnte Solución: Averigu el vlor del determinnte + + b + c ÁLGEBRA

42 Solución: bc 8. Un mtriz cudrd A verific l relción A = A. Demuestr que A = ó A =. 9. Resuelve l ecución A xi = siendo I l mtriz identidd de orden y x l incógnit. A =, Solución: x =, x =, x =.. Clcul el vlor de pr que el siguiente determinnte vlg Solución: =.. Clcul el vlor de pr que el siguiente determinnte vlg : Solución: =. Demuestr l siguiente iguldd: b b c c d d = (b)(c)(d)(cb)(db)(dc) c d d. Se A un mtriz cudrd tl que A = I. Cuánto vle A? Si es A I. Cuánto vle A? Solución: Si A = I A =. Si A n = I A = si n impr, A =± si n pr.. Clcul el determinnte: 6 Solución: 9. Hll el vlor del determinnte: x x x x Solución: (x + ) ÁLGEBRA

43 6. Resuelve l ecución mtricil XA =B + C, donde: A = B = C = Solución: (B+C)A = 7. Supongmos que c, c, c y c son ls cutro columns de un mtriz cudrd A cuyo determinnte vle 7. Obtén rzondmente: ) El determinnte de l mtriz A. b) El determinnte de l mtriz A. c) El determinnte de l mtriz cuys columns son c +c, c +c, c +c, y c Solución: ) det(a) =.7 = 67. b) det(a ) = /7. c) det (c +c, c +c, c +c, c ) =7 8. Dd l mtriz M determin los vlores de α pr los no que tiene invers M = α 6 Solución: Pr α = 7. A no tendrá invers. 9. Averigu pr qué vlores de l mtriz A no tiene invers. Clcul mtriz invers pr = si es posible y comprueb que el producto de mbs es l mtriz identidd. A = Solución: =, A =. Clcul el rngo A, según los vlores de A = Solución:, rg(a) =, = ó = rg(a) =. Clcul el rngo A, según los vlores de A = Solución:, rg(a) =, = rg(a) =, = rg(a) =. Clcul el rngo de l mtriz A, según los vlores de A = Solución: = rg(a)=, = rg(a) =,, rg(a) = ÁLGEBRA

44 . Dd l mtriz A, estudi si existe un mtriz X de modo que A.X = I (I es l mtriz identidd x). c b d c A = X = c b d b d Solución: No existe. Demuestr que si A y B son mtrices invertibles, se cumple (A.B) = B A. Supuesto que exist A, se cumple que (A ) = (A )?, y que (A ) = (A )? Solución: Sí, Sí. Pr un mtriz cudrd A: ) Si A es invertible, demuestr que su determinnte es no nulo b) Si A es invertible, con det(a)= Cuánto vle det(a )? Rzon tu respuest. Solución: b) det(a )= 6. Se A un mtriz mxn. Existe otr mtriz B tl que AB se un mtriz fil? Si existe, cómo es? Responde ls misms pregunts con BA en lugr de AB. Siendo: A = Pon un ejemplo, si existe, de mtriz B, en los dos csos nteriores. Solución: No, Sí 7. Estudi pr qué vlores de l mtriz A tiene invers. Clcul, si es posible, l mtriz invers. A = + + Solución:, A = Resuelve l ecución x x x x+ x x x x+ x Solución: x =, x =, =. 9.Se A l mtriz djunt Comprueb que se verific A A+ I =, siendo I l mtriz identidd de orden.usndo l iguldd nterior, clcul rzondmente A y A. A = Solución: A =, A = ÁLGEBRA

45 CAPÍTULO : SISTEMAS DE ECUACIONES.. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Definiciones Un ecución linel es un ecución en l que tods ls incógnits son de primer grdo. Dos ecuciones son equivlentes cundo tiene l mism solución. Pr obtener un ecución equivlente un dd podemos sumr o restr l mism expresión en mbos miembros de l ecución, o bien multiplicrls o dividirls por el mismo número. Un sistem de ecuciones lineles es un conjunto de ecuciones con incógnits de primer grdo de ls cules queremos obtener un solución común. Serán equivlentes dos sistems cundo tiene l mism solución. Un sistem de ecuciones lineles se puede expresr como un conjunto de ecuciones: x + x n xn = b x + x n xn = b... mx + m x mn xn = bm Otr form de expresr el sistem es en notción mtricil como A.X = B, es decir:... n x b... n x b. = m m... mn xn bm Por lo tnto resolver el sistem, es hllr un mtriz A tl que: X = A.B Siendo ij los coeficientes del sistem, b i los términos independientes y x j ls incógnits del sistem. Un solución del sistem es un conjunto de vlores de ls incógnits, s j, que stisfcen simultánemente tods ls ecuciones del sistem. Un sistem es homogéneo si todos los términos independientes son nulos.. Clsificción de un sistem Un sistem de ecuciones lineles puede tener o no solución. Según ls soluciones será: Incomptible: Si no existe solución Comptible determindo: Si l solución es únic Comptible indetermindo: Si existen infinits soluciones. EJEMPLOS. Averigu si los sistems siguientes son lineles: x + y = x + y = ) b) x + y = x y = ÁLGEBRA

46 Sí lo es el sistem ) y que en mbs ecuciones ls incógnits son de primer grdo. No lo es el sistem b) y que en l primer ecución existe el término x que es de segundo grdo y en l segund existe el término y que es de tercer grdo.. Averigu si los sistems siguientes son equivlentes: x + y = x + y = ) b) x + y = x y = Sí lo son y que l primer ecución del sistem (I) multiplicd por se trnsform en l primer ecución del sistem (II). l segund ecución del sistem (I) multiplicd por se trnsform en l segund ecución del sistem (II).. Pon en form mtricil el sistem: x + y z = x + y + z = x + y = Expresdo mtricilmente qued: x. y = z. Pon en l form norml el sistem mtricil: x. y = z Operndo en ls mtrices qued el sistem: x + y z = x + y + z =. Mezclndo tres productos, digmos X, Y y Z, debemos obtener kg de pienso que conteng 9 uniddes de hidrtos de crbono y uniddes de grs. Sbiendo que cd kilo del producto X contiene un unidd de hidrtos de crbono y dos uniddes de grs, cd kilo del producto Y contiene dos uniddes de hidrtos de crbono y un unidd de grs, y cd kilo del producto Z contiene cutro uniddes de hidrtos de crbono y nd de grs, cuántos kilos de cd producto debemos poner? Si relizmos un tbl con estos dtos tendremos: ÁLGEBRA 6

47 Producto X Producto Y Producto Z Totles Hidrtos Crbono 9 Grs y llmmos: x l número de kilos del producto X y l número de kilos del producto Y z l número de kilos del producto Z Obtendremos el siguiente sistem de ecuciones: x + y + z = x + y + z =9 x + y = que resolvemos obteniendo un sistem tringulr equivlente: x + y + z = x + y + z = x + 6 += x = y + z = 9 y + z = 9 y z = 8 y + = 9 z = y = 6 Luego utilizmos Kg de producto X, 6 Kg de producto Y, Kg de producto Z. 6. Dos mrcs de detergente, Blncol y Límpez, se disputn el mercdo de un ciert región. A comienzos de ño mbs lnzn sends cmpñs de publicidd con objeto de cptr clientes. A lo lrgo de l cmpñ, Blncol logr trer l % de los clientes que tení Límpez comienzos del ño. A su vez, Límpez consigue cptr el % de los clientes que tení Blncol comienzs del ño. Si l finl de ls cmpñs l mrc Límpez tiene el % del mercdo, qué porcentje tení l comienzo? Sen: X el número de clientes iniciles de Blncol l comienzo del ño. Y el número de clientes iniciles de Límpez l comienzo del ño. Representmos el problem en el siguiente esquem: Situción inicil Finl de cmpñ BLANCOL X X +,Y,X LIMPEZ Y Y,Y+,X Evidentemente x + y es el número totl de clientes iniciles y finles. Al finl de l cmpñ tenemos el siguiente sistem de ecuciones: x +, y,x =,7 x +, y =,(x+ y) y, y +,x =,8 y +,x =,(x+ y) Siendo mbs ecuciones equivlentes. De l ª ecución obtenemos:,x +,8y =,x +,y x +8y x y = obtenemos de l primer:,7x +,y =,x +,y 7x +y x y = xy = x = y Al inicio de l cmpñ tenín igul número de clientes con porcentje %. ÁLGEBRA 7

48 EJERCICIOS PROPUESTOS. Indic qué ecuciones de ls siguientes son lineles. Por qué?. ) x +y x y + =, b) x +x y + =, c) x y + =, d) y +x= Solución: c) y d).. Averigu si los sistems siguientes son equivlentes: x + y + z = x + y + z = x + y + z = x + y + z = ) x + y z =, ; b) x + y z =, y z = x + z = x + y z = x + z = x + z = Solución: ) Sí, b) No.. Indic si es válido pr trnsformr un sistem en otro equivlente: ) Sustituir tods ls ecuciones por l resultnte de sumr tods ells. b) Sustituir ls dos primers ecuciones por l resultnte de sumrls. c) Sustituir l primer ecución por l resultnte de sumrl l segund. Solución: Es válid c).. Rzon si ls siguientes firmciones son cierts. Pon un ejemplo en los csos de flsedd: ) Un sistem de cutro ecuciones con dos incógnits es siempre incomptible. b) Un sistem de dos ecuciones con cutro incógnits y comptible h de ser indetermindo. c) Pr que un sistem se incomptible h de tener distinto número de ecuciones que de incógnits. Solución: ) Fls, b) Ciert, c) Fls.. Expres en form mtricil el sistem: x + y = x + y = x Solución:. = y. Expres en l form norml el sistem mtricil: x. y = z x + y z = Solución: x + y + z = y z = 6. L sum de ls tres cifrs de un número es 7. L cifr de ls centens es igul l sum de ls decens más el doble de ls uniddes. Si se invierte el orden de ls cifrs el número disminuye en 97 uniddes. Clculr dicho número. Solución: N = 7. L sum de ls eddes de un pdre y sus dos hijos es de 7 ños en el momento ctul. Dentro de ños l edd del pdre será el doble de l del hijo menor. Hce ños l edd del hijo myor er el doble de l edd de su hermno Hllr l edd de cd uno. Solución:, 8 ños los hijos; ños, el pdre. 8. Un señor certó cinco números en l loterí primitiv, dos de los cules ern el y el. Propuso su hijos que si verigubn los otros tres se podrín quedr con el premio. L sum del primero con el segundo excedí en dos uniddes l tercero; el segundo menos el doble del primero er diez uniddes menor que el tercero, y l sum de los otros tres er. Cuáles ern los tres números que fltn?. Solución:, 9 y ÁLGEBRA 8

49 .. CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA. Definición Ddo un sistem de ecuciones lineles: x + x n xn = b x + x xn = b n... x + x mn xn = b m m m se pueden formr l mtriz del sistem, A, con los coeficientes de ls incógnits y l mtriz mplid, A*, con los coeficientes de ls incógnits y los términos independientes: b n n... A = n, A* =... b n m m mn... b m m mn m Clsificr un sistem consiste en verigur que tipo de soluciones tiene el sistem medinte el estudio de l mtriz de coeficientes del sistem y mplid.. Teorem de Rouché El Teorem de RouchéFrobenius se utiliz pr verigur si un sistem es comptible (tiene o no solución). "L condición necesri y suficiente pr que un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits se comptible es que el rngo(a) =rngo(a*)". El teorem permite discutir y clsificr un sistem sin necesidd de resolver el sistem: Si rg(a) = rg(a*) = n, el sistem es comptible determindo (SCD). Si rg(a) = rg(a*) < n, el sistem es comptible indetermindo (SCI). Si rg(a) rg(a*), el sistem es incomptible, no tiene solución (SI).. Sistems homogéneos Un sistem es linelmente homogéneo cundo todos los términos independientes son nulos. Son siempre sistems comptibles teniendo como mínimo l solución trivil o impropi, es decir x =,..., x =. Aplicndo el teorem de RouchéFrobenius, podemos firmr que: Si rg(a) = rg(a*) = n, el sistem es comptible determindo y su solución es l trivil. Si rg(a) = rg(a*) < n, el sistem es comptible indetermindo y dmite infinits soluciones. Si A = el sistem dmite soluciones distints de l trivil, en cso contrrio, l trivil. EJEMPLOS. Estudi l comptibilidd y número de soluciones del sistem: x + y + z = x + y + z = x + y + z = L mtriz del sistem y l mtriz mplid son: A = A* = El sistem es comptible indetermindo y que rg(a) = y rg(a*) =. ÁLGEBRA 9

50 . Estudi l comptibilidd y número de soluciones del sistem: x + y + z = x + y + z = x + y + z = L mtriz del sistem y l mtriz mplid son: A = A* = El sistem es incomptible y que rg(a) = y rg(a') =.. Estudi l comptibilidd y número de soluciones del sistem: x + y + z = x + y + z = x + y + z = A = = 6 El sistem es comptible determindo y que rg(a) = rg(a*) =.. Estudi l comptibilidd y número de soluciones del sistem: x + y + z = x + y + z = x + y + z = Es un sistem homogéneo y por tnto comptible. Como determinnte de A es: A = = 6 El sistem es comptible determindo con solución trivil.. Estudi l comptibilidd del siguiente sistem de ecuciones dependiendo del prámetro : x + y z = x + y z = x y z = L mtriz del sistem y l mtriz mplid son: A = A* = ÁLGEBRA

51 El rg(a) y que A = ( ) que es nulo pr =, =. y. Como rg(a) = rg(a*) =. Sistem comptible determindo. = A = A* = rg(a) = y rg(a*) =. El sistem es incomptible = A = A* = rg(a) = rg(a*) =. El sistem es comptible indetermindo. 6. Discute, según los vlores de, el sistem de ecuciones = x + y + z = x + y + z = x + y + z A = = += ().(+) Si =, quedn ls mtrices: A = A* = rg(a) =, rg(a*)=, y que ls tres fils son igules. Tenemos un sistem de ecución con incógnits, el sistem es comptible indetermindo Si =, quedn ls mtrices: A = A* = rg(a) =, y que el menor. Por otro ldo rg(a*)=, y que:. Tenemos un sistem incomptible. Si y, rg(a) = rg(a*) =. Tenemos un sistem de ecuciones con incógnits, el sistem es comptible determindo. ÁLGEBRA

52 EJERCICIOS PROPUESTOS.Estudi l comptibilidd y número de soluciones del sistem: x + y + z = x + y + z = x + y + z = Solución: SCI homogéneo, Infinits soluciones distints de l trivil.. Estudi l comptibilidd y número de soluciones del sistem: x + y + z = x + y + z = x + y + z = Solución: Sistem incomptible.. Estudi l comptibilidd y número de soluciones del sistem: x + y + z = x + y + z = x + y + z = Solución: Sistem comptible determindo, solución únic.. Estudi l comptibilidd y número de soluciones del sistem: x + y + z = x + y + z = 8x + 8y + z = Solución: Sistem comptible indetermindo, infinits soluciones.. Estudi l comptibilidd del siguiente sistem de ecuciones dependiendo del prámetro : x y+ z = x y z = x+ y z = Solución: 8, SCD, = 8 SCI 6. Discute, en función de l solución del sistem x+ y+ z = + x y+ z = x+ y+ z = Solución:, SCD; =, SCI. 7. Ddo el siguiente sistem de ecuciones discute ls soluciones según los diversos vlores del prámetro, utilizndo el teorem de RouchéFrobenius. x+ z = x y+ z = ( )x+ ( ) y = Solución:, SCD; =, SI. 8. Ddo el siguiente sistem de ecuciones discute ls soluciones según los diversos vlores del prámetro, utilizndo el teorem de RouchéFrobenius. x+ y+ z = x+ y+ z = + x+ y+ z = (+) Solución: y SCD, = SI, Si = SCI. ÁLGEBRA

53 .. MÉTODO DE CRAMER. Definición El método de Crmer permite obtener l solución de un sistem de ecuciones expresdo en form mtricil. A.X = B. L solución se obtiene medinte el producto mtricil X = A.B Sólo es plicble cundo el rngo del sistem es igul l número de ecuciones.. Cálculo de soluciones Cd solución será igul l cociente entre el determinnte del sistem donde se h cmbido l column correspondiente por l column de términos independientes y el determinnte del sistem. Es decir: x i = Ai A. Soluciones prmétrics Si el número de ecuciones es menor que el rngo del sistem se tomn ls incógnits restntes como prámetros y se resuelve el sistem en función de ésts. EJEMPLOS. Resuelve, por el método de Crmer, el sistem de ecuciones x y = x + y = 7 Clculmos el vlor del determinnte: A = = Como rg(a) = rg(a') =, el sistem es comptible determindo y se puede resolver plicndo l regl de Crmer: x = y = Ax A Ay A = = 7 7 = = 9 Que geométricmente es el punto: 9 P =,. Resuelve el sistem de ecuciones siguiente: ÁLGEBRA

54 x + y + z = x + y + z = x + y + z = Clculmos el determinnte: A = = 6 Como el determinnte de A es no nulo, el sistem es comptible determindo, con solución únic que obtenemos plicndo l regl de Crmer: x = Ax A = 6 = 8 = 6 9 y = Ay A = 6 = 8 = 6 9 z = Az A = 6 = 8 = 6 9 Que geométricmente es el punto: P =,, Resuelve, plicndo el método de Crmer, el sistem de ecuciones x y + z = x + y z = x y = Como existe un menor de orden no nulo y el determinnte es: A = =. El rngo(a) =. El rngo de A* lo clculmos medinte el determinnte formdo por ls columns ª, ª y ª. ÁLGEBRA

55 =. Por lo tnto, rg(a') =. Ahor podemos prescindir de l segund ecución y psr l y l segundo miembro (en este cso concreto podímos hberlo hecho con culquier ecución y culquier incógnit). Qued el sistem: x+ z = + y x = + y Con determinnte A = =. Con soluciones: + y x = z = Ax A Az A = = + y + y + y = = + y = 9y = + y 9 y Tomndo, y = λ, qued l solución : + λ 9λ, λ,. Aplic l regl de Crmer pr resolver el sistem x y + z = x y + z = y + 7z = Resolu ción: Clculemos los rngos de l mtriz de coeficientes y l mtriz mplid: A = = rg(a) = A* = 7 = rg(a*) =. Como rg() = < rg(a*), el sistem es incomptible. No tiene solución.. Discute el sistem siguiente según los vlores del prámetro y clcul l solución pr =. ÁLGEBRA

56 x + y + z = x + y + z = + x + y + z = ( + ) Formmos ls mtrices del sistem y mplid: A = A* = + ( + ) Hllmos el vlor del determinnte de A: A = = + = () (+) Aplicndo el teorem de RouchéFrobenius obtenemos que: Si y el sistem es comptible determindo rg(a) =rg(a*) =. Si = el sistem es incomptible y que rg(a) = y rg(a*) =. Si = el sistem es comptible indetermindo y que rg(a)= =rg(a*)=. Pr = el sistem es comptible determindo y lo resolvemos utilizndo el método de Crmer. El determinnte es: A = + =() () + = Ls soluciones son: x = AX = = = A Ay y = = = = A Az z = = = = A Determinndo el punto P =,, 6. Discute el siguiente sistem según los vlores del prámetro y resuélvelo cundo se posible. ÁLGEBRA 6