ATD and other approaches to a classical problem posed by F. Klein. Carl Winsløw. Conference axis 1 (abstract) University of Copenhagen

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1 ATD and other approaches to a classical problem posed by F. Klein Conference axis 1 (abstract) Carl Winsløw University of Copenhagen In this lecture, I will try to situate the anthropological theory of the didactic in the didactic continent, by showing how it s origins in the problem of didactic transposition is related (and applies) to a much older problem, formulated forcefully by Felix Klein as early as This problem has to do with the relation between an academic research discipline (in casu, mathematics) and the corresponding school subject, and in particular, how learning the first may prepare students to teach the second. We will first consider how this problem was addressed by Klein himself (followed by generations of German didacticians). Then I will explain how ATD can help modeling the problem in modern terms, and how that model is currently used to address the problem in a specific setting (a capstone course in mathematics for future high school teachers). I also try to situate ATD along with more recent alternatives, not in terms of theoretical machinery but in terms of principal ways in which these alternatives have approached Klein s problem. Liste des éditeurs (Éds) Évolutions contemporaines du rapport aux mathématiques et aux autres savoirs à l école et dans la société (pp. xx-yy) IV e congrès international sur la TAD (Toulouse, avril 2013) Axe 1. Perspectives de la TAD, rapports avec d'autres approches Maison d édition, année 1

2 La noción de praxeología documental: Un puente entre la TAD y el Enfoque Documental Fernando Bifano CEDE, Universidad Nacional de San Martín, Argentina Jose Villella CEDE, Universidad Nacional de San Martín, Argentina Abstract. This paper seeks to establish a dialogue between the ATD and the contributions of other directions of research in mathematics education, in particular the documentary approach (Trouche, 2000, 2004). The purpose is to provide elements for the study of emerging issues to incorporate the TICE in teaching mathematics (Bifano et al, 2012), and its consequent impact on the professional development of teachers. Specifically we will work to give the theoretical foundations of the legitimacy of the creation of documentary praxeologies, and the description of their constituent elements. Résumé. Cet article cherche à établir un dialogue entre la TAD et les contributions d autres courants de recherche en didactique des mathématiques, en particulier l'approche documentaire (Trouche, 2000, 2004). Le but est de fournir des éléments pour l'étude de la problématique de l intégration des TICE dans l'enseignement des mathématiques (Bifano et al, 2012), et son incidence sur le développement professionnel des enseignants. Plus précisément, nous travaillons à apporter les fondements théoriques de la légitimité de la création des praxéologies documentaires, ainsi que de leurs constituants. Resumen. Este trabajo busca establecer un diálogo entre la TAD y los aportes de otras corrientes de investigación en didáctica de la matemática en particular el Enfoque Documental (Trouche, 2000, 2004). El propósito es brindar elementos para el estudio de la problemática que emerge al incorporar las TICE en la enseñanza de la matemática (Bifano et al, 2012), y su consecuente impacto en el desarrollo profesional de quienes enseñan. Específicamente nos abocaremos a dar los fundamentos teóricos de la legitimidad de la creación de praxeologías documentales, así como la descripción de sus elementos constitutivos. Liste des éditeurs (Éds) Évolutions contemporaines du rapport aux mathématiques et aux autres savoirs à l école et dans la société (pp. xx-yy) IV e congrès international sur la TAD (Toulouse, avril 2013) Axe 1. Perspectives de la TAD, rapports avec d autres approches Maison d édition, année 1

3 Bifano y Villella 1. Introducción En el núcleo mismo de la TAD, se encuentra una noción potente para explicar la actividad matemática: la praxeología matemática (PM). El conjunto de tipos de tareas, técnicas que se desarrollan para resolverlas, así como las tecnologías que justifican la aplicación de tales técnicas, fundadas en un corpus de teorías que dan sustento a las mismas, constituyen lo que Chevallard (1994, 1999) ha denominado PM. Frente a una determinada cuestión inicial a estudiar, la respuesta que se construye tiene una doble dimensión teórica-práctica, inseparable. Las tareas y técnicas (dimensión práctica) que se articulan como solución al problema inicial necesitan de un discurso tecnológico-teórico (dimensión teórica) de apoyatura que le dé fundamento y coherencia. Una característica de las PM es el aspecto institucional, puesto que las praxeologías surgen en el seno de una comunidad particular en las que a la vez se desarrollan y legitiman: así cobran un carácter situado y local. Las PM nacen como respuesta para explicar la doble estructura (de praxis y logos) que amalgama los aspectos teórico-prácticos que caracterizan toda organización matemática institucional en torno a una cuestión problemática inicial a la que intentan responder. Esta noción, a su vez, ha ido robusteciéndose y evolucionando (Artigue, Bosch & Gascón, 2011), lo que permite extrapolarla para entender otros fenómenos de la didáctica de la matemática cuando es concebida como programa epistemológico de investigación. Desde nuestra perspectiva, hay nociones de otras corrientes como las del enfoque documental (Trouche, 2004) que aportan elementos para el estudio de la problemática que se manifiesta en el entramado devenido de la incorporación de las TICE a la enseñanza de la matemática. En relación con el desarrollo profesional de los docentes que tratan de utilizar las tecnologías en forma reflexiva, los constructos de génesis instrumental y orquestación documental (Trouche, 2004) nos permiten explicar y estudiar los fenómenos propios que aparecen en la clase cuando las TICE intervienen en el aprendizaje: cómo un alumno se apropia de un recurso informático para resolver un problema, cómo un profesor gestiona la clase para que esa apropiación pueda o no darse, son 2

4 La noción de praxeología documental algunos ejemplos de interrogantes que podemos hacernos desde esta lectura. Hemos descripto nociones basales de ambas teorías con la intención de ponerlas en diálogo, en tanto requisito para definir un constructo original que permita caracterizar una metodología de análisis didáctico del trabajo del profesor de matemática cuando usa las TICE para la enseñanza. Definimos la noción de praxeología documental (PD) como ese constructo que permite describir el desarrollo del profesor con relación a su trabajo como profesional de la enseñanza, cuando planifica, organiza y estructura un acto de enseñanza de la matemática, en su fase a priori tanto como a posteriori; cuando analiza, reflexiona y re-estructura dicho acto para volverlo a poner en obra. La PD es una praxeología en tanto considera los componentes teóricos y prácticos que articulan y dan coherencia a las decisiones que toma el profesor (o el colectivo del que forma parte) en relación con el acto de enseñanza en sus dos fases. En tanto lo descripto implica un proceso de transformaciones que sufre un recurso pensado para la enseñanza para convertirse en un documento efectivo de trabajo del profesor, esta praxeología es documental. Dichas transformaciones y cambios se basan en un ejercicio de reflexión y análisis crítico de la experiencia (propia o colectiva) de la puesta en obra del documento elaborado. Por tanto conlleva no sólo una transformación del recurso sino un cambio en quien lo utiliza, y pueden ser tomados como evidencia para dar cuenta de una cierta modificación en su actuación en tanto profesional. Esta descripción puede hacerse en términos del tipo de tareas que desarrolla, de las técnicas que emplea para llevarla a cabo, de las tecnologías y teorías que evoca para sustentar sus decisiones, y de la reflexión práctica que genera la relectura permanente del proceso documental referido tanto a los recursos como al sujeto. 2. La búsqueda de una metodología para el análisis de datos Numerosas investigaciones han tenido interés en las repercusiones de la incursión de las TICE en la enseñanza de la matemática desde hace 3

5 Bifano y Villella más de una década (Artigue, 1997; Artigue et al, 1997; Laborde, 1998). Algunas de ellas se han centrado en los cambios que se evidencian en relación con los saberes que circulan en la clase, al mediar las tecnologías en los procesos de enseñanza (Balacheff, 1994). Nosotros hemos asumido la postura de considerar que con la introducción de las TICE, se modifica el tipo de saberes que se ponen en juego en la clase porque son otros los problemas que cobran sentido en la misma (Bifano & Villella, 2012). Esto conlleva necesariamente que el docente re-piense todos aquellos elementos que hacen a la gestión de la clase, pues el escenario donde ésta se desarrolla se ha modificado. Creemos que todo cambio no se da de forma abrupta ni necesariamente a partir de la incorporación de un artefacto 1 como medio para la enseñanza. Es común pensar que las TICE tiendan a mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática, pero es necesario poner en cuestión, desde un punto de vista didáctico, las posibilidades y limitaciones que ello conlleva. En países con recursos para implementar la conectividad uno a uno, ha habido profesores que se han negado a utilizarlas en clase y otros dedicados a producir adaptaciones a viejas prácticas, con lo cual podría discutirse en qué medida hablar de mejoras en la calidad de los aprendizajes resulta pertinente. Por ello diseñamos una metodología propia de análisis para caracterizar a quien enseña matemática con las TICE y poder contar con evidencias para dar cuenta no solamente de cambios de aspecto sino de las profundas modificaciones que permitan hablar en términos de evolución e innovación. De ahí las razones de la creación del constructo de PD. 3. Por qué un enfoque antropológico? La tendencia a adoptar una concepción antropológica (tanto para hablar de las TICE como de la matemática) no es casual. La misma 1 La utilización del término artefacto es intencional y está tomado en el sentido que ha sido acuñado por Rabardel (2011). La transformación y apropiación de parte de un sujeto de un artefacto es la que permite hablar de una evolución en términos de herramienta. 4

6 La noción de praxeología documental concepción sobre la tecnología 2 se centra en una mirada antropocéntrica (Sigaut 1991, Dubois 1992 y Deltor 1993, citados en Rabardel 2011). Esta postura obedece al lugar de privilegio que tales enfoques le dan a la dimensión humana en su relación con las técnicas. En posturas tecno-céntricas (Brodner 1987, Craven y Slatter 1998, Millot, 1991 y Clot 1992, citados en Rabardel 2011), generalmente el hombre ocupa una posición residual o periférica (p. 9), su actividad no tiene status propio; la técnica tiene sentido por la técnica en sí misma. En las concepciones antropocéntricas, los sistemas técnicos se piensan con relación al ser humano y no a la inversa. En cierto sentido, la matemática como actividad humana, también es considerada por nosotros en línea con la TAD desde una visión antropológica (Chevallard, 1999). Según esta perspectiva, el estudio de la matemática debe situarse en el amplio marco de las actividades humanas y de las instituciones escolares. En este enfoque, la noción de PM anteriormente descripta, aúna elementos prácticos y lógicos desde la centralidad de la persona humana situado en un espacio institucional. Considerar tanto la actividad matemática como lo relacionado con el uso de las tecnologías, desde una postura epistemológica que ubica al hombre en un lugar central, nos parece pertinente para poder comprender desde una mirada amplia el complejo proceso de enseñar matemática con la mediación de las TICE. 4. Por qué una aproximación documental? Como señalábamos, la incorporación de las TICE a la enseñanza, requiere de un proceso paulatino que comienza desde la apropiación de los artefactos para su transformación (evolución) en instrumento. El enfoque documental (Gueudet & Trouche, 2009) propone una serie de elementos de análisis que permiten dar cuenta de dicho proceso. El doble juego instrumentación-instrumentalización en la apropiación de un artefacto para su conversión a herramienta y su impacto en quien la utiliza; la misma noción de esquema para explicar los mecanismos que 2 La palabra tecnología no está considera aquí en el marco de la TAD; sino en un sentido amplio. 5

7 Bifano y Villella constituyen los invariantes de la acción de los sujetos en tales procesos de apropiación, etc. son constructos centrales del enfoque y permiten contar con argumentos para caracterizar el devenir de la transformación del profesor en la situación de enseñar matemática. Por otra parte, el enfoque documental no es contradictorio con una postura antropo-céntrica pues para definir aquellas nociones vinculadas con la dominación de lo instrumental, lo hace desde una aproximación interaccionista. El sujeto influye sobre el objeto y viceversa. Es un enfoque que a la vez contempla la posibilidad de la dimensión comunitaria. Por un lado, el trabajo humano se inscribe dentro de una institución (y en este caso está en plena consonancia con la TAD que subraya la dimensión institucional de toda PM); por otro el profesor no trabaja solo sino que lo hace en un ambiente de trabajo donde adquiere dimensión colectiva. Hasta aquí hemos dado cuenta de las razones de ser de, por un lado, considerar una mirada antropocéntrica para las cuestiones vinculadas tanto a la actividad matemática, como al trabajo con las TICE en la clase de matemática. Por otro, de adherir a enfoques interaccionistas entre los objetos y los sujetos, que permitan dar cuenta no sólo de la mutua influencia y dependencia de éstos sino que a la vez, conciban la idea de proceso por su compleja evolución y abran a la posibilidad de considerar un espacio privilegiada para la dimensión comunitaria. Para concluir, vamos a presentar los diferentes elementos que constituyen la noción de PD, a partir de la integración de algunos componentes de ambos marcos teóricos de referencia. 5. Categorización de la PD para la recolección de datos Definida la PD como punto de encuentro entre la TAD y el enfoque documental, para caracterizar la misma haremos uso de diferentes nociones de ambas aproximaciones teóricas. Dado que nuestro objetivo está puesto en la búsqueda de un modelo que permita caracterizar y explicar el comportamiento del profesor, muchas de las nociones tomadas exigirán cierta re-definición. A continuación describimos cada una de ellas, en el marco de nuestro modelo de análisis metodológico: 6

8 La noción de praxeología documental - Tipos de tareas: En el marco de la TAD, son acciones que lleva a cabo un individuo frente a una cuestión inicial a la que intenta dar respuesta. En el contexto de una clase de matemática, se trata de un conjunto de acciones (calcular, construir, conjeturar, probar, etc.) que constituyen un género que necesita de un determinativo preciso (calcular una raíz, probar que tal proposición es verdadera, por dar algunos ejemplos). Es en este mismo sentido en que nosotros haremos uso del término. Para nuestro análisis del trabajo del profesor, será importante considerar el tipo de tareas que le propone a sus alumnos para involucrarlos o no en una verdadera actividad matemática. - Técnicas: dentro de la TAD, se constituyen como la manera de hacer determinada tarea. Para nuestro modelo metodológico, en virtud de la necesidad de describir la acción docente, por técnicas entenderemos aquellas formas o maneras de hacer del profesor en relación con la gestión de la clase. Si promueve el debate con los alumnos, si lleva a cabo exposiciones teóricas, si interviene de forma de devolver el problema, etc. son algunos ejemplos. - Tecnologías y Teorías: en el sentido de la TAD, una tecnología justifica la aplicación de una determinada técnica; y una teoría da un sustento de legitimidad más amplio a dicha justificación. Para nuestro marco de referencia, y puesto el foco en el trabajo del profesor, las tecnologías y teorías serán consideradas con relación a las justificaciones de índole didáctico que legitiman las decisiones de gestión de la clase. En este sentido, creemos que estos aspectos de la dimensión praxeológica son de carácter implícito, por lo que requerirán de ciertos espacios de trabajo (diálogo) con el profesor para que puedan emerger a la superficie. Hasta aquí los componentes de la TAD que hacen a la dimensión praxeológica de la PD. Ahora definiremos aquellos componentes del enfoque documental que hacen a la otra dimensión. - Recursos: Aquí consideraremos el término en el mismo sentido que ha sido acuñado por Adler (2010), quien considera al recurso en sentido amplio: tanto los aspectos humanos, como los materiales y los socioculturales. Un recurso puede ser un libro de texto, un software, los apuntes del profesor, las conversaciones e intercambios con otros colegas, etc. En particular, dado que nuestro énfasis tiene que ver con la 7

9 Bifano y Villella incorporación de las TICE a la enseñanza, consideraremos algunas cuestiones específicas para indagar con relación a la utilización de las mismas en clase. - Componentes matemáticos: Para caracterizar el proceso de génesis documental, Gueudet & Trouche (2009, p. 207), hablan de tres conceptos: componentes, esquemas y usos. Es en el mismo sentido que definen los autores que hemos considerado la idea de componente matemático, para caracterizar las nociones matemáticas que se ponen en juego. Esta postura se complementa con la de objeto de saber de Chevallard (1991). En tanto nos interesan las condiciones que hacen a las transformaciones que los mismos puedan sufrir al trabajar en entornos informáticos. - Esquemas: Un esquema tiene un complejo entramado de componentes, pero una cuestión central son los invariantes operatorios que lo constituyen como tal. Los gestos, los objetivos, las acciones planificadas y las metas, también conforman un esquema, pero los invariantes quizás son complejos de dilucidar porque son implícitos. Hay una metáfora que implica la relación de los invariantes y los gestos en un esquema y es la del iceberg: lo que se ve (lo visible, valga la redundancia) de un iceberg es apenas los gestos del comportamiento, las acciones; pero lo que permanece invisible (sumergido) son los invariantes operatorios que constituyen dicho comportamiento. Esta relación dialéctica entre gestos e invariantes, entre actividad y pensamiento, es lo que en términos psicológicos define a un esquema. - Aspectos colectivos-comunitarios: Tal como hemos dicho, el proceso de génesis documental se da en consonancia con un proceso de génesis comunitaria (Gueudet & Trouche, 2010). El profesor está inmerso en una comunidad y de una u otra manera interactúa con sus pares, lo que puede considerarse un recurso como ya definiéramos. Interacciones que pueden ser presenciales y/o a través de plataformas virtuales. Todas estas cuestiones son de interés para analizar el trabajo del profesor en relación con el contexto institucional, que configura su práctica. En la tabla siguiente (ver tabla 1), se sintetizan y organizan las diferentes dimensiones y componentes de la PD, así como una serie de 8

10 La noción de praxeología documental preguntas orientadoras que permiten focalizar cuáles son los aspectos relevantes a considerar en la recolección de datos. Dimensión Praxeológica Dimensión Documental Tareas Técnicas Tecnologías y teorías Recursos (materiales, humanos, temporales) Componentes matemáticos Esquemas Aspectos Colectivos- Comunitarios Preguntas orientadoras Qué tipo de tareas propone el profesor a sus alumnos? Habilita que los alumnos se comprometan en un proceso de construcción de conocimiento matemático? De qué maneras o formas el profesor lleva a cabo la gestión de la clase? Cómo justifica las decisiones didácticas que toma? Con qué criterios el profesor los organiza? De qué hace uso el profesor en la clase? Con qué tiempos cuenta el profesor para implementarlos? Cómo evolucionan? En lo específicamente relacionado con las TICE: Utiliza software específico para trabajar en clase? Cómo? Lo usa ostensivamente o propone a los alumnos la exploración y la construcción de modelos? Cómo se presentan los contenidos matemáticos en la clase? Qué papel juega las TICE en la representación de los saberes puestos en juego? Cuáles son los objetivos con los que el profesor planifica la clase? Cuáles son las anticipaciones que el profesor realiza en relación con el desarrollo de la misma? Qué gestos realiza el profesor durante la clase? Qué elementos (gestos, intervenciones) se vuelven recurrentes? En qué espacios de intercambio con otros participa? Qué intervenciones realiza? Interactúa en espacios virtuales con otros colegas? Tabla 1. Síntesis de las dimensiones caracterizadoras de la PD 9

11 Bifano y Villella 6. Análisis y discusiones Hemos descripto el modelo de análisis metodológico, dando sus fundamentos epistemológicos y sus características. La intención ahora es ejemplificar a partir del análisis de bitácoras 3 de reuniones de capacitación y otros elementos recolectados (ver anexo) a lo largo de una serie de encuentros con profesores, para dar cuenta de cómo pueden aplicarse los elementos teóricos definidos previamente, para enriquecer la mirada sobre la práctica docente. También contamos con relecturas y subrayados de los profesores sobre las mismas bitácoras como parte de un proceso de auto-reflexión sobre la práctica. Comenzaremos por analizar el tipo de tareas que proponen el colectivo docente a sus alumnos. Se trata de una secuencia de problemas (ver anexo) planificados colectivamente, para abordar las relaciones entre el área y perímetro de figuras y las maneras de determinarlas sin apelar necesariamente a las fórmulas. Algunas de las consignas implican hacer una anticipación sobre la cantidad de hilo que se necesita para bordear una figura, en otros casos analizar qué sucede con el completamiento de una tabla en relación con la variación del perímetro de las figuras obtenidas con respecto a una original. En algunos problemas los alumnos deben dibujar, cortar, reorganizar, reflexionar sobre una figura obtenida, etc. También en otros casos, analizar si un argumento propuesto resulta correcto o no, conjeturar sobre posibles configuraciones de figuras que guarden la misma relación a una dada y buscar mecanismos para validar tales anticipaciones, etc. Todas estas actividades conforman un tipo de tareas en tanto que convocan a los alumnos a una genuina tarea de producción matemática a través de la construcción de conocimiento. Esta hipótesis se ve reforzada tanto por las intervenciones de los mismos docentes como las que dan cuenta los registros de clase así como por las reflexiones (aspectos 3 La bitácora recoge la memoria de lo discutido en reuniones de capacitación con profesores. La misma ha sido elaborada por el capacitador. En algunos casos recoge expresiones textuales y en otros parafrasea los dichos de los docentes. Por motivos de extensión no se incluye la bitácora completa en anexos, pero se recuperan los elementos sustanciales para el análisis en las correspondientes citas. 10

12 La noción de praxeología documental tecnológico-teóricos) que hacen los profesores sobre su propia praxis en el desarrollo de la misma: Queremos remarcar que ellos mismos fueron los que validaron cuáles eran las figuras que cumplían con las consignas. A continuación se calculó el perímetro de cada una de las figuras y resultó que eran diferentes, y se concluyó, con intervención del docente, que las figuras unidas por los vértices tenían el perímetro máximo y las que estaban unidas por los lados el mínimo. Esta idea no había sido prevista que surgiera con tanta naturalidad, quizás por subestimar la capacidad de los alumnos o por no ser una tarea habitual la de conjeturar. En lo que respecta a las técnicas del profesor, tal como la hemos definido en relación con el tipo de gestión de la clase, también podemos ver cómo están estrechamente vinculadas el tipo de tareas que les propone para la construcción de conocimiento; con el tipo de intervenciones que hace para devolverles el problema a los alumnos: Planteamos esta actividad como algo simple que conflictue al alumno en menor grado y nos dimos cuenta que ellos confundían la definición de área con perímetro, ya que al rodear la figura, sumaban sólo dos lados (el mayor y el menor) Se dio todo un proceso de negociación de la consigna: sostuvimos una y otra vez la intencionalidad del problema. Las intervenciones apuntaron a que los alumnos vuelvan al problema sin necesidad de caer en el típico volvé a leer. Al caracterizar la dimensión documental, consideramos centrales los recursos de los que hace uso el profesor y/o el grupo de profesores. En este caso, la planificación de la secuencia de enseñanza, elaborada en forma colaborativa, es una muestra prototípica de recurso material. Por otra parte, tal como han caracterizado Gueudet & Trouche (2009, 2010), el recurso no es una cuestión estática, sino que sufre un doble proceso de desarrollo, que hace que evolucione como producto para la enseñanza y a la vez, nutra el desarrollo del docente para que éste evolucione. En el caso de nuestro trabajo, se realizaron 3 versiones de planificaciones que decantan en una secuencia de problemas (ver anexo). 11

13 Bifano y Villella Son muchos los cambios que va sufriendo la planificación (así como ciertas constantes que se mantienen desde un principio). A modo de ejemplo, presentaremos una tabla (ver tabla 2) que compara la primera tarea en cada versión. El resto de las diferencias pueden apreciarse en los anexos. Planificación 1ra Planificación 2da Planificación versión versión versión definitiva Tarea inicial Análisis de la tarea propuesta Trabajar sobre relación área perímetro Es una idea no una tarea propuesta a los alumnos. Se propone, armar grupos de trabajo, se les entregará una misma figura Se les pide que acuerden la cantidad de hilo que necesitarán para bordear la figura, después se les propondrá que recorte y rearmen una nueva figura sin superponer y sin perder ninguna parte. El objetivo es definir el perímetro como el contorno que rodea una figura. Si bien hay algunos esbozos de la tarea que se les va a proponer a los alumnos, aún no está definida. Si está claro el propósito de la misma. Problema 1: a) Tienen dos figuras iguales. Una roja y una verde. Tomen la figura roja y pidan por escrito la cantidad necesaria de hilo para bordearla. Verificar el pedido pegando el mismo en el contorno de la figura. b) Ahora recorten la figura verde, y armen una nueva figura de manera tal de no superponer ni dejar de lado material. Necesitan la misma cantidad de hilo para bordearla? Anoten sus conclusiones. Así quedó definida la consigna de trabajo y por tanto la tarea que se propone a los alumnos. Tabla 2. Comparación de la primera tarea propuesta a los alumnos, a lo largo de las 3 versiones en que evolucionó el recurso. 12

14 La noción de praxeología documental En lo que respecta al uso de las TICE como recurso, analizaremos en caso de la actividad 3 (ver anexo) que fue la única prevista en esta secuencia para ser resuelta con computadora. Al hacer el análisis no hay que perder de vista el escaso manejo de los profesores con la computadora y que era la primera vez que se decidían a incorporarla como recurso para la enseñanza de un tema. De hecho la actividad no implica el uso de un software específico, sino más bien la manipulación de una figura elaborada con autoformas (en este caso cuadrados) dentro de un archivo de Word: 3) Para hacer en la computadora. Sabiendo que los figuras verde y naranja son iguales. Dejando fija la figura naranja, mover los cuadraditos verdes de forma tal de formar nuevas figuras. De hecho mover los cuadraditos podría haberse reemplazado por hacer nuevos dibujos. La evolución del recurso es tangible en el tipo de ideas que se van elaborando hasta madurar en un enunciado. Incluso en más de una oportunidad, en las diferentes versiones de la planificación, se entremezclan posibles enunciados con reflexiones y preguntas que los profesores se hacen a la hora de pensar el problema a proponer. Esto puede considerarse como indicios de la evolución del profesor. Sin embargo, para requiere de la inclusión en el análisis de otros elementos. Tales, por ejemplo, son la consideración de los componentes matemáticos que se ponen en juego en la secuencia de actividades. En ese caso, estudiar las relaciones entre área y perímetro de figuras y las ideas de independencia entre ambas o el hecho de encontrar alternativas a las fórmulas para las determinaciones del perímetro o el área de una figura, surgió luego de varias discusiones en reuniones y de lecturas con los profesores de investigaciones didácticas en ese sentido 4 : 4 Escapa en esta instancia hace una análisis exhaustivo de las nociones matemáticas que se ponen en juego, pero creemos que la herramientas teóricas brindadas por la TAD en términos de organizaciones matemáticas, pueden ser un aporte fecundo para su problematización didáctica. 13

15 Bifano y Villella Usan la palabra medida para significar cosas diferentes. Uno lo asocia con perímetro y otro con área. Dentro del mismo grupo discuten y uno dice debe tener la misma medida y otro dice nunca puede tener la misma medida. La hipótesis original de que si tenga dos figuras de igual cantidad de material (área), por más que tengan formas diferentes, se necesita la misma cantidad de hilo para contornearlas, es puesta en juego efectivamente por los alumnos. Luego será cuestión de ver la gestión hecha para desestabilizar esta idea. Uno de los aspectos centrales, retomados del enfoque documental, es la noción de esquemas. Los mismos autores (Gueudet & Trouche, 2009, op. cit. pp ) sostienen la necesidad de elaborar categorías para hacer poder hacer visibles los invariantes operacionales del profesor que se manifiestan en los gestos recurrentes en la enseñanza. En este sentido, creemos que la consideración de los aspectos praxeológicos (tipos de tareas, tecnologías, teorías) ejemplificados anteriormente, contribuyen un aporte concreto para poder explicar el desarrollo profesional del profesor en términos praxeológicos documentales. Finalmente, un aspecto sustancial de este desarrollo docente es la componente comunitaria. En nuestra experiencia, el hecho de haber conformado una comunidad de estudio, que se sostuvo en el tiempo, y que contó con un trabajo sistemático de reuniones y discusiones, fue un elemento que traccionó la práctica. Pasaron de una situación de comenzar a conocerse (había quienes a pesar de trabajar en la escuela no se conocían personalmente) a pensar juntos planificaciones de temas, a pesar de que el proyecto de trabajo había concluido. 7. A modo de síntesis Hasta aquí hemos caracterizado las posibilidades de diálogo entre la TAD y otros enfoques. Hemos dado cuenta de los fundamentos que justifican la creación de un constructo metodológico como el PD para analizar el desarrollo del docente como profesional. Hemos definido alcanlces y sentidos establecidos para cada uno de los componentes de la PD. Finalmente, hemos dados ejemplos a vida cuenta de dar elementos concretos de asidero del modelo para ir más allá de una mera declaración 14

16 La noción de praxeología documental de principios. En una instancia de presentación del modelo, pretendemos abrir a la discusión y el debate e intercambio, sobre las limitaciones y potencialidades del mismo, así como las posibilidades de incorporación de otros elementos teóricos que resulten pertinentes y fructíferos para su desarrollo. 8. Referencias Adler, J. (2010). La conceptualisation des ressources. Apports pour la formation des professeurs de mathématiques. In G. Guedeut & L. Trouche (eds.), Ressources vives : le travail documentaire des professeurs en mathématiques (pp ). Rennes, Francia: Presses Universitaires de Rennes. Artigue, M., Bosch, M. & Gascón, J. (2011). La TAD face au problème de l interaction entre cadre théoriques en didactique des mathématiques. In M. Bosch, J. Gascón, A. Ruiz Olarría, M. Artaud, A. Bronner, Y. Chevallard, G. Cirade, C. Ladage & M. Larguier (Eds.), Un panorama de la TAD (pp ). CRM Documents, vol. 10. Bellaterra (Barcelona): Centre de Recerca Matemática. Artigue, M. (1997). Le logiciel DERIVE comme révélateur de phénomènes didactiques liés à l utilisation d environnements informatiques pour l apprentissage. Educational Studies in Mathematics, 33(2), Artigue & al. (1997). Intégration de calculatrices complexes à l enseignement des mathématiques. Cahier DIDIREM spécial n 3. París: IREM Paris 7. Balacheff, N. (1994). La transposition informatique. Note sur un nouveau problème pour la didactique, in M. Atigue, R. Gras, C. Laborde, P. Tavignot (Eds.), Vingt ans de Didactique des Mathématiques en France (pp ). Grenoble, Francia: La Pensée sauvage. Bifano, F., Ferragina, R. & Lupinacci, L. (2012). Quels savoirs, pour de nouveaux environnements? Une étude de la dérivée dans des environnements dynamiques. En Actes de Journées mathématiques IFÉ, Lyon, France. Bifano, F. & Villella, J. (2012). Saberes construídos con (en) problemas dinámicos: otros objetos de saber? Poster presentado en Coloquio 15

17 Bifano y Villella Internacional, La didáctica de la matemática: enfoques y problemas. Homenaje a Michèle Artigue. Universidad Paris VII. Chevallard, Y. (1999). L analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19(2), Chevallard, Y. (1994). Nouveaux problèmes, nouveaux objets en didactique des mathématiques. In M. Artigue, R. Gras, C. Laborde, & P. Tavignot (Eds.), Vingt ans de didactique des mathématiques en France (pp ). Grenoble, Francia: La Pensée sauvage. Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Buenos Aires: Aique. Rabardel. P. (2011). Los hombres y las tecnologías: visión cognitiva de los instrumentos contemporáneos. [Traducido del original en francés: Les hommes & les technologies: approche cognitive des instruments contemporains. (1995). París: Armand Colin.] Gueudet, G. & Trouche, L. (2009). Towards new documentation systems for mathematics teachers? Educational Studies in Mathematics, 71(3), Gueudet, G. & Trouche, L. (2010). Genèses communautaires, genèses documentaires : histoires en miroir. In G. Guedeut & L. Trouche, (eds.), Ressources vives : le travail documentaire des professeurs en mathématiques (pp ). Rennes, Francia: Presses Universitaires de Rennes. Laborde, C. (1998) Cabri-Geómetra o una nueva relación con la geometría. In: Luis Puig (editor) Investigar y enseñar. Variedades de la educación matemática. Bogotá: Universidad de Los Andes. Trouche, L. (2000). La parabole du gaucher et de la casserole à bec verseur, éléments de méthode pour une étude des processus d apprentissage dans un environnement de calculatrices complexes, Educational Studies in Mathematics, 41(3), Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized learning environments: guiding students command process through instrumental orchestrations International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9 (3),

18 La noción de praxeología documental Anexo Planificación 1ra versión 5 IDEAS-PROBLEMAS BORRADOR DE TRABAJO Y DISCUSIÓN Trabajo sobre perímetro sin considerar el área, con recorte de figuras e hilos para recubrir contornos. Problema de cuadraditos 1 (tomada del libro de texto de GB) CONSIGNA: Dibujar 3 cuadrados iguales, construir diferentes figuras sin superponen ni realizar cortes ni dobleces y haciendo coincidir algún vértice o todo un lado. Algunas dudas que tenemos: DIBUJAR O CONSTRUIR. Hay una hipótesis latente de que manipular permite que surjan otras configuraciones que quizás no salgan a la luz si los alumnos dibujan. Dárselo dibujados nosotros y que ellos manipulen. Problema de cuadraditos 2 (tomado de Marina, para hacer con la pc) CONSIGNA 1: Son ambas imágenes iguales? Cómo me doy cuenta? CONSIGNA 2: Si muevo los cuadraditos que constituyen la imagen verde, las nuevas figuras que conformo cuántos rayitas constituyen su contorno? ocupan el mismo lugar? (Ver imágenes anexas) 5 Más allá de las cuestiones de edición, se ha optado por tratar de ser lo más fiel posible al proceso de trabajo del grupo de profesores. Es por ello, que en las planificaciones se pueden ver cómo se entremezclan tipografías de letra diferentes y a la vez, elaboraciones de corte reflexivo con por momentos redacciones de tipo consigna para los alumnos. 17

19 Bifano y Villella IMAGEN 1 IMAGEN 2 Cantidad de cuadros Líneas (perímetro) Completos ( área) IMAGEN 1 IMAGEN 2 Unidad de medida de superficie CONSIGNA 1: En un metro cuadrado, cuantos cuadrados de un centímetro de lado entran? Si con esa cantidad de cuadraditos armo una tira que tiene como ancho un centímetro de alto, cuantos cuadrados de un centímetro entran y cuanto mide de largo la tira formada? CONSIGNA 2: Ídem anterior pero con cuadraditos de 1 mm de lado Tablero de ajedrez (idea de Gustavo) 18

20 La noción de praxeología documental Si tengo un tablero de ajedrez (que tiene 64 casilleros, 32 de cada color) cuantas fichas de dominó, donde cada una cubre 2 casilleros, uno rojo y otro negro, necesito para cubrir todo el tablero. Si tapo 2 casilleros cualesquiera, sigo necesitando la misma cantidad? Por qué? Y si tapo dos extremos opuestos (en diagonal)? Problemas que todavía no sabemos dónde encajan: (banderas y cerámicos libro de texto Pág. 126) Planificación 2da versión IDEAS-PROBLEMAS BORRADOR DE TRABAJO Y DISCUSIÓN Encuadre general: vamos a trabajar con Geometría. Vamos a estudiar algunas ideas que posiblemente conozcan de años anteriores. Por ejemplo, vamos a estudiar cómo determinar el área y el perímetro de algunas figuras sin necesidad de recurrir a fórmulas. RECORRIDO: Conflictuar a los alumnos con las ideas en torno al área y al perímetro. Problemas de cubrimiento Trabajo sobre perímetro sin considerar el área: Se propone, armar grupos de trabajo, se les entregará una misma figura (puede ser rectángulo, cuadrado, triángulo, círculo, o figuras compuestas) a todos los grupos, (con la intención de trabajar en otra oportunidad con figuras distintas en forma individual). Se les pide que acuerden la cantidad de hilo que necesitarán para bordear la figura, después se les propondrá que recorte y rearmen una nueva figura sin superponer y sin perder ninguna parte. Ahora, necesitamos bordear la nueva figura, La cantidad de hilo es la misma? Por qué? Después de comprobar que la longitud del hilo no es la misma, el trabajo será individual utilizando diferentes figuras, para generalizar que el cambio no depende de la figura. Proponemos entregar figuras con forma de L, T, círculos, 19

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