Una inecuación lineal con 2 incógnitas puede tener uno de los siguientes aspectos:

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1 TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL ÍNDICE Ineuaiones lineales on 2 inógnitas Sistemas de ineuaiones lineales on 2 inógnitas La programaión lineal Soluión gráfia de un problema de programaión lineal soluión gráfia (método gráfio) de un problema de p.l soluión algebraia de un problema de p.l Albunos asos partiulares Problemas de programaión lineal on múltiples óptimos Problemas de programaión lineal on región fatible no aotada Problemas de programaión lineal on región fatible vaía Programaión lineal entera INECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS. Una ineuaión lineal on 2 inógnitas puede tener uno de los siguientes aspetos: by by < by by > La resoluión de este tipo de ineuaiones es siempre gráfia (ya lo onoes por el urso pasado), y responde al siguiente esquema prátio: o Considero la reta by = y proedo a representarla, teniendo en uenta que el trazo empleado será ontinuo si la desigualdad fuese de la forma o, y será disontinuo en los otros dos asos. o Se determinará uál de los dos semiplanos originados es la soluión; para ello bastará on omprobar un punto ualquier de uno de los 2 semiplanos (sustituyendo para ello sus oordenadas en la ineuaión). EJEMPLO: Resuelve 2x + y - 3. SOLUCIÓN: En primer lugar onsidero la reta de la forma 2x + y = 3. Seguidamente, mediante una tabla de valores, obtenemos 2 puntos de diha reta y la dibujamos (on trazo ontinuo porque la desigualdad que aparee es ). Esa reta ha dividido al plano en 2 semiplanos, para ver uál es la soluión se ha de tomar un punto que no esté en la reta, por ejemplo, el (0, 0). Se proede así: (0, 0) FALSO! Luego el semiplano soluión es el que no ontiene a este punto y la soluión queda omo en el dibujo. Tema 3, 1

2 3.2.- SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS. Para resolver un sistema de ineuaiones on 2 inógnitas se aplia el siguiente esquema: 1º.- Se numeran todas las ineuaiones. 2º.- Se resuelven una a una, dibujando las regiones soluión sobre el mismo eje de oordenadas (habrá que uidar la esala en ambos ejes). 3º.- La interseión de todas las regiones soluión será la soluión al sistema. EJEMPLO: Resuelve el sistema x y 0. y 2x SOLUCIÓN: Numeramos las ineuaiones del sistema (para evitar onfusiones a la hora de dibujar las soluiones): x y 0 y 2x (1) (2) ( 1) x - y 0 La reta es x y = 0 ( 2) y 2x La reta es y = 2x ( 0,1) CIERTO ( 1,1) FALSO LA PROGRAMACIÓN LINEAL. Seguramente te habrás pasado toda la E.S.O. y lo que llevas de Bahillerato repitiendo sin esar la siguiente pregunta a tu sufrido profesor de Mate: Y esto. Para qué sirve? Posiblemente serás uno mas de los que engordan las estadístias que reogen las opiniones de aquellos que dudan de la apliaión prátia de las Matemátias Y sin embargo día a día intentas estudiar lo menos posible, gastar lo máximo posible de tu paga (ahorrando a la vez lo máximo posible), maximizar el tiempo que pasas on tus amigos, o tu novio o tu novia En fin, resolviendo problemas de programaión lineal ( Matemátias al fin y al abo!!). Qué es la programaión lineal? Se puede definir la programaión lineal omo una ténia de optimizaión que permite distribuir los reursos de la mejor forma posible. Optimizar un determinado reurso supone obtener lo mejor de él; la programaión lineal omprende, por ello, dos tipos diferentes de problemas: - MAXIMIZAR: Existen oasiones en las que lo mejor que se puede onseguir es obtener lo máximo. Por ejemplo: El dinero que te gastas los fines de semana, el número de minutos que hablas por el móvil Tema 3, 2

3 - MINIMIZAR: Existen otras oasiones en las que lo mejor que se puede onseguir es lo mínimo. Por ejemplo: El oste de la fatura del móvil, el número de suspensos, Pero, Cuál es el aspeto de un problema de programaión lineal? La verdad es que no son tan diferentes en su enuniado a los problemas de toda la vida que han amenizado muhas de tus tardes de estudio a lo largo de tu trayetoria omo estudiante. Sin embargo, resultan fáilmente identifiables; en el enuniado del problema apareerá en algún momento maximizar, minimizar, o ualquier sinónimo. A ontinuaión vamos a mostrar un ejemplo que nos servirá para saber más sobre ómo resolverlos: EJEMPLO: Las restriiones pesqueras impuestas por la CEE obligan a ierta empresa a pesar omo máximo toneladas de merluza y toneladas de rape, además, en total, las apturas de estas dos espeies no pueden pasar de las toneladas. Si el preio de la merluza es de ts/kg y el preio del rape es de ts/kg, Qué antidades debe pesar para obtener el máximo benefiio? En un problema de programaión lineal apareen una serie de elementos que debes onoer. Reuerda que la estruturaión orreta de tu problema hará que sumes puntos en la puntuaión final del mismo. VARIABLES DE DECISIÓN: Son el onjunto de variables o inógnitas que representan las deisiones que se deben tomar. Se designan habitualmente por x e y. En el ejemplo: X = número de toneladas de merluza. y = número de toneladas de rape. FUNCIÓN OBJETIVO: Las deisiones que se deben tomar van enaminadas a maximizar o minimizar algo que tomaremos omo objetivo. Ese objetivo será una funión que relaionará a las dos variables de deisión; tendrá el siguiente aspeto: z = f ( x, y). En el ejemplo lo que busamos maximizar es el benefiio, por lo que z = f(x,y) = 1000x y. RESTRICCIONES: A lo largo de un problema de programaión lineal apareerán una serie de ondiiones que han de satisfaer las variables de deisión y que se expresarán por medio de ineuaiones lineales que reibirán el nombre de restriiones. En el ejemplo: Como máximo 2000 toneladas de merluza: luego x 2000 Como máximo 2000 toneladas de rape: luego y 2000 Las apturas de estas dos espeies no pueden pasar de las 3000 toneladas: x + y 3000 Además, las horas que dedique a estudiar y divertirse serán siempre positivas, luego x 0 e y 0 (estás dos desigualdades son muy omunes). Tema 3, 3

4 REGIÓN FACTIBLE: La región del plano que sea soluión del sistema de ineuaiones formado por el onjunto de restriiones reibe el nombre de región fatible. Las oordenadas de los puntos que forman parte de diha región son posibles soluiones del problema. Lo únio que hae falta es determinar uál o uáles de ellos son soluiones óptimas. La región fatible puede ser de 2 tipos: REGIÓN FACTIBLE ACOTADA REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA La región fatible inluye o no los lados y los vérties, según que las desigualdades sean en sentido amplio ( o ) o en sentido estrito (< o >). Si la región fatible está aotada, su representaión gráfia es un polígono onvexo ( que no tiene pios haia adentro ) on un número de lados menor o igual que el número de restriiones En el ejemplo anterior, al resolver el sistema de ineuaiones que se obtiene a partir de las restriiones, es deir: Se obtiene omo región fatible: x 2000 y 2000 x + y 3000 Cada uno de los puntos que omponen la región fatible son soluiones posibles al sistema. Pero, Cómo determinar uál de ellos es el mejor? NOTA: Un problema de P.L. se puede reduir a la mínima expresión indiando úniamente la funión a optimizar y las restriiones a umplir. En el ejemplo anterior, el enuniado se podría reesribir de la siguiente manera: Max z = 1000x y s.a. x y 2000 x 0 y x + y 3000 Tema 3, 4

5 3.4.- SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL. SOLUCIÓN ÓPTIMA: La soluión óptima de un problema de programaión lineal es un punto en el ual la funión objetivo alanza el máximo o el mínimo valor, según sea un problema de maximizaión o minimizaión. PRIMER RESULTADO FUNDAMENTAL DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL: Si un problema de programaión lineal tiene soluión óptima, ésta se enuentra en uno de los bordes de la región fatible SOLUCIÓN GRÁFICA (MÉTODO GRÁFICO) DE UN PROBLEMA DE P.L. Se trata de un método relativamente rápido. A través de un dibujo se busará la soluión ideal al problema. Tiene un handiap: Depende en exeso de la exatitud del dibujo y puede induir a errores. Es aonsejable apliarlo y valorar si el resultado obtenido no plantea dudas de ningún tipo, en aso ontrario se deberá audir a otro método para asegurar el resultado. El proedimiento es el siguiente: 1. Se toma la funión objetivo, f(x, y), y se iguala a 0. f(x, y) = 0 De este modo se obtiene la euaión de una reta. 2. Se dibuja esta reta on trazo disontinuo sobre el mismo gráfio en el que tenemos la región fatible. 3. Se trazan paralelas a la misma (retas de nivel) que pasen por ada uno de los vérties de la región fatible y alulamos el valor del orte de estas retas de nivel on OY. Si se trata de un problema de maximizaión entones la soluión óptima será aquel punto en el que la reta de nivel orrespondiente orte al eje OY en el valor mas alto. Si el problema fuese de minimizaión entones se ha de busar el orte mas bajo SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE UN PROBLEMA DE P.L. Existe un segundo método para determinar la soluión óptima de un problema de P.L. El método analítio no es tan rápido omo el anterior pero, a ambio, es muho mas fiable. Se aplia así: 1. Se determina la región fatible. 2. Se hallan las oordenadas de todos los vérties de la región fatible. 3. Se sustituyen dihas oordenadas en la x y la y de la funión objetivo, z = f(x,y), obteniéndose así un valor para z. 4. La soluión óptima será el punto que arroje el valor mas alto para z en el aso de problemas de maximizaión o el que de el mínimo valor de z para los problemas de minimizaión ALGUNOS CASOS PARTICULARES PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON MÚLTIPLES ÓPTIMOS. Existen problemas de P.L. (maximizaión o minimizaión) en los uales hay 2 o mas vérties para los uáles se alanza un valor óptimo. En ese aso se ha de apliar lo que india el siguiente resultado: Tema 3, 5

6 SEGUNDO RESULTADO FUNDAMENTAL DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL: Si la región fatible está aotada, entones el máximo o el mínimo de la funión objetivo se enuentra en uno de los vérties de la región fatible. Pero si el máximo o el mínimo se enuentran en 2 vérties adyaentes de la región fatible entones la soluión fatibles serán ada uno de los infinitos puntos que forman la arista que une dihos vérties. EJEMPLO: Max z s.a. x + y 6 x - y 0 3x + 2y 6 x 0 y 0 SOLUCIÓN: La soluión óptima son las oordenadas de los infinitos puntos que omponen la arista de la región fatible que une (6, 0) y (3, 3) PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA. Ya vimos en apartados anteriores que la región fatible en un problema de P.L. puede no ser aotada. Este tipo de problema requiere, además del estudio de la funión objetivo en los vérties de la región fatible, el análisis del omportamiento de la funión objetivo en los puntos que omponen los lados abiertos de la región. Pudiera ser que en alguno de esos lados la funión objetivo no lorara estabilizarse, por lo que habría que onsiderar la no existenia de soluión óptima al problema. EJEMPLO: x y Min z = 7x + 10y s.a. 3x + 2x + 2y 18 8y 32 x 0 y 0 x, y Ζ SOLUCIÓN: El mínimo valor de z se alanza en el punto (4, 3) PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON REGIÓN FACTIBLE VACÍA. Un problema de P.L. enierra en su interior un problema de resoluión de sistema de ineuaiones (la determinaión de la región fatible). Ya onoer por el urso pasado que estos sistemas de ineuaiones pueden no tener soluión, o lo que es lo mismo, que lno exista región alguna en el plano que satisfaga simultáneamente todas las ineuaiones. Cuando en un problema de P.L. ourre lo anterior entones este problema no tiene soluión; no quiere deir que no exista la soluión óptima, sino que ni siquiera existe soluión alguna. Tema 3, 6

7 EJEMPLO: max z = 2x + 5y s.a. 2x + y 4 x + 3y 3 x 4 y PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA. Un número importante de problemas de P.L. han de arrojar omo soluión final un par de valores que no pueden ser deimales (si quiero optimizar número de trabajadores, autoares ). A este tipo de problemas se les llama programaión lineal entera ( entera porque los resultados han de ser enteros). En estos problemas, a la hora de esribir las restriiones, se añade a la dereha la expresión x, y Ζ. FIN TEMA Tema 3, 7