Ing. Graciela Fasciolo

Transcripción

1 VALORACIÓN CONTINGENTE El Análss de Datos en el Enfoque de la Respuesta Dcotómca Ing. Gracela Fascolo Mendoza, setembre 2002

2 1. INTRODUCCIÓN La técnca de la respuestas dcotómca o de referéndum es uno de los enfoques más recomendadas para encarar la valoracón de un cambo ambental, utlzando el MVC, el que se utlza para realzar nferenca sobre la dsposcón a pagar de una poblacón de usuaros o benefcaros (Fascolo G. y V.Mendoza, 2002). Se realzan encuestas, selecconando a los entrevstados, medante muestreo probablístco. En el análss nferencal se utlzan las técncas estadístcas que proporcona el análss de regresón. El enfoque de respuesta dcotómca se le pregunta al encuestado s está dspuesto o no a pagar un monto específco por el ben ambental. Dcho monto corresponde a un valor puntual surgdo de un rango de valores. Se llama de respuesta dcotómca (ó bnara) debdo a que el encuestado tene solo dos posbldades de respuesta, S ó No. Se asgnan a cada entrevstados en forma aleatora, uno de los dferentes montos selecconados dentro del rango de valores. Estos son dseñados de manera que abarcan una gran gama de posbles valores para la máxma dsposcón a pagar. La gama "o rango" de valores se elge con trabajo de campo en "grupos focales" con un pequeño número de partcpantes, heterogéneos en cuanto a sus opnones y condcones socoeconómcas. Se dseñan cuestonaros "prelmnares" y se hace una dscusón aberta para fjar el límte superor e nferor del rango. Este se dvde en 6 a 8 valores sendo cada uno de ellos asgnado en forma aleatora a cada entrevstado. Para nferr el valor promedo de la máxma dsposcón a pagar, o el mínmo resarcmento exgdo, por el cambo ambental de la accón o proyecto que se evalúa, se utlza la funcón logt dentro del marco del análss de la regresón. La respuesta es la varable bnara, No, S, que se cuantfca como 0, 1 respectvamente y el preco por el que responde cada entrevstado es la varable ndependente o estímulo. El modelo pronostca la probabldad de rechazar la oferta para dferentes precos. El valor de máxma dsposcón a pagar que corresponde al 50% de la probabldad (P=0,50), mplca el 50% de la poblacón y corresponde a la estmacón del valor medo de dsposcón a pagar de la poblacón bajo estudo. Este monto multplcado por el número de benefcaros se utlza como el monto del benefco (o del costo) del proyecto. En el sguente punto se desarrolla un breve repaso de los conceptos ncludos en la teoría de la regresón y se derva la funcón logt. En el tem 3 se presenta un breve resumen de los pasos que se deben segur para realzar una modelacón estadístca para la aplcacón segura de la msma en la nferenca de valores poblaconales a partr de datos muestrales. En el tme 4 se presenta el modelo lneal general debdo a que éste es el enfoque actual para tratar el modelo logt y el que utlzan los software estadístcos, los que son necesaros para obtener, tanto las estmacones de los parámetros del modelo como las pruebas de nferenca. Fnalmente se presenta un ejemplo sencllo de ajustamento de un modelo logt con software estadístco. 3

3 VALORACIÓN CONTINGENTE El Análss de Datos en el Enfoque de la Respuesta Dcotómca Ing. Gracela Fascolo Setembre 2002 INDICE 1. INTRODUCCIÓN EL MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE LINEAL LA MODELACIÓN ESTADÍSTICA La postulacón de un modelo teórco La estmacón de los parámetros del modelo teórco La verfcacón del modelo medante nferenca estadístca EL MODELO LINEAL GENERAL (MLG) Componentes...9 El componente aleatoro o varable respuesta, Y....9 El componente sstemátco...9 El lnk o enlace Lnealzacón del modelo logt ALGUNAS PRUEBAS PARA LA VALIDACIÓN DEL MODELO EJEMPLIFICACIÓN DE LA ESTIMACIÓN E INTERPRETACIÓN DE UN MODELO LOGIT BIBLIOGRAFÍA

4 2. EL MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE LINEAL El análss de la regresón smple lneal (RSL) está drgdo a estmar o predecr el valor medo o promedo poblaconal de una varable dependente (Y) con base a valores fjos de la varable ndependente (X). Es así que el concepto de RSL de la poblacón es el sguente: µ = E( Y / X) f ( X) (1) y = En donde E( Y / X) representa el trazado sobre las medas condconales de Y dado X. (esperanza o valor promedo de la varable dependente para valores fjos de la varable ndependente). Es decr que la meda µ es funcón de X. S f es una funcón lneal se puede esquematzar en la sguente expresón: E( Y ) = β o + β1 Ó smplemente X X y µ = β 0 + β 1 x (2) El térmno de la derecha se conoce como el predctor lneal. En el caso de que Y sea varable dcotómca (con valores 0,1), la esperanza de Y dado X, puede nterpretarse como la probabldad condconal de que el evento ocurra (Y=1) dado X, o sea, E(Y X) = P(Y =1 X ). S P es la probabldad de que Y=1, entonces (1-P) es la probabldad de que Y=0 lo que corresponde a una dstrbucón de probabldades de tpo bnomal: Y 0 1 Probabldad (1-P ) P Entonces, E(Y X) = [ 0 x (1-P ) ] + [ 1 x P ] = P Y entonces, P β o + β1 = X (3) De este modo la esperanza condconada de Y dado X puede nterpretarse como la probabldad condconada de que Y=1 dado X. O sea que da la probabdad de que el evento ocurra para cada valor de la varable dependente. Por ejemplo, S Y representa la varable Tene Auto y X el Nvel de Ingreso, la E(Y =1 X) representa la probabldad de que una famla Tenga Auto, dado un Nvel de Ingreso, X. La encuesta para la recoleccón de datos orgnaría la varable dcotómca Y (tene, 1; no tene, 0) y la varable cuanttatva, ngreso famlar del encuestado, X. 4

5 Para que esto sea veraz, es necesaro que: 0 < E ( Y = 1 X ) < 1, para satsfacer el 1 ro y 2 do axoma de probabldad, o sea que Y esté entre 0 y 1 para que represente un valor de probabldad. Ahora, s para varos nveles de ngreso y varas respuestas de Y (0,1), se desea ajustar un modelo lneal, como en (3) la probabldad, resultará para algunos ngresos con valores negatvos y para otros valores superores a 1. Podría pensarse en un modelo truncado en 1; Sn embargo, tampoco satsface el hecho de que la tasa margnal de la probabldad para cambos en el ngreso, β 1 sea constante, como ocurre en el modelo lneal. Se necesta un modelo que, al gual que el lneal, la E(Y = 1X ), o sea la probabldad de tener auto, aumente cuando el ngreso X aumenta. Pero se necesta además que la relacón entre la probabldad de tener un auto y el ngreso no sea lneal; es decr que la tasa de crecmento de la probabldad no sea constante. Esto sgnfca que la probabldad se acerca a 0 a tasas cada vez menores, cuando el ngreso X es muy pequeño, y se acerca a 1 a tasas muy pequeñas, cuando X es muy grande. En defntva, se trata de un modelo de tasa de crecmento no constante, con un techo en 1. Este esquema puede proporconarlo la funcón logístca. En el caso de que Y sea varable dcotómca (0,1) el modelo se reconoce como logt y está representado en la Fg. 1a, su funcón es la sguente : P 1 = E( Y = 1/ X ) = (4) ( β 0 + β1x ) 1+ e En el ejemplo vsto representa la probabldad de tener auto, dado un nvel de ngreso, X. Puede nterpretarse como una funcón de dstrbucón acumulatva, que provene de una funcón de densdad smétrca y en donde la medana es gual a la meda. La medana X md puede despejarse de la ecuacón cuando el valor de probabldad es 0,5: 0,5 = ( β 0 +β1 Xmd ) 1+ e despejando X md se obtene: 1 X md β = β 0 1 (5) La medana es a su vez la meda, en el modelo logt. Por lo tanto habrá que obtener las estmacones de β 0 y β 1 para dervar la medana del ngreso de las personas. En el enfoque de la respuesta dcotómca del MVC, se le pregunta al encuestado s está dspuesto a pagar un determnado monto por el ben ambental y su respuesta será s o no; los valores que se fjan para X se orgnan a partr de un rango de dseño que surge del focus grup. En este caso cuando aumenta el preco o mpuesto, X, dsmnuye, teórcamente, la probabldad de aceptacón del monto ofertado, o sea que la curva logt tendrá pendente negatva, como en la Fg 1b. 5

6 G(x) 1 Probabldad G(x) Probabldad 0,5 0,5 0 x (preco) 0 x (preco) Fgura 1a Fgura 1b En la práctca, la encuesta brnda la base de datos correspondentes a cada valor ofertado y a su respuesta, a partr de los cuales deben obtenerse las estmacones de β 0 y β 1 para dervar la meda de la máxma dsposcón a pagar por el ben ambental. 3. LA MODELACIÓN ESTADÍSTICA Los pasos para obtener una ecuacón predctva para aplcar a un fenómeno económco o socal, que responde a un modelo teórco, son los sguentes: 3.1. La postulacón de un modelo teórco El modelo estadístco combna una parte sstemátca con una parte aleatora. Así para cada valor de la varable Y será: Y = f ( x) + ε (6) O sea que la varable aleatora Y se descompuso en una parte sstemátca, que es la funcón o ecuacón matemátca y en una parte aleatora. Entre los supuestos mportante para el modelo de RSL se destaca el que hace referenca a la dstrbucón de probabldades de Y por lo tanto del errorε. Para éste se acepta que tene la msma dstrbucón que Y, y que ésta es normal con meda 0 y varanzas constante. Por lo tanto al enuncar el modelo, es mportante especfcar la dstrbucón de probabldades de la varable respuesta Y. Las dstrbucones que más se utlzan en los modelos estadístcos son: 6

7 a) Dstrbucón bnomal. Las observacones son bnaras o dcotómcas en cada undad de análss 1 (éxto o fracaso, sí o no, defectuoso o no defectuoso, etc). b) Dstrbucón de Posson. Las observacones provenen de recuentos o conteos, en cada undad de análss (0,1, 2, 3,...). c) Dstrbucón normal. Las observacones provenen de varables cuanttatvas. Como se djo, el modelo logt está basado en la dstrbucón bnomal. En el método de respuesta dcotómca, se postula que la probabldad de pagar un monto determnado por un ben ambental dsmnuye a medda que el monto aumenta, pero no a una tasa constante sno a tasa varable, según un modelo logt, cuya funcón f(x) es (4) y β es negatva La estmacón de los parámetros del modelo teórco La funcón o parte sstemátca del modelo contene constantes β 0, β1,..., que son los parámetros del modelo y que hasta el momento son desconocdos. El paso sguente es estmarlos. Los valores que se obtenen se conocen como las estmacones y las funcones que se utlzan para obtenerlos como estmadores. Se utlzan prncpalmente dos métodos de estmacón: a) el Método de Mínmos Cuadrados (MC) y el Método de Máxma Verosmltud (MV). Para algunos modelos este últmo es mejor pero en muchos casos se obtene con ambos el msmo resultado. Los dos procedmentos dervan fórmulas o funcones (estmadores de los β ) que permtrán obtener las estmacones. El método de MC obtene los estmadores de β 0 y β 1 mnmzando la suma de cuadrados entre los valores observados y los valores estmados. El método de MV parte de la funcón de verosmltud. Esta es la funcón de densdad de probabldad conjunta que da la probabldad de un conjunto de datos observados, expresada en funcón de los parámetros, funcón de máxma verosmltud. Los estmadores de MV son aquellos que permten obtener los valores de los parámetros (estmacones) que maxmzan la probabldad (de que se presenten esos valores) para los datos observados. Para obtenerlos se maxmza el logartmo de la funcón de verosmltud medante las dervadas parcales con respecto a los parámetros. j 1 La undad de análss es la undad estadístca o de medcón. 7

8 3.3. La verfcacón del modelo medante nferenca estadístca Habendo obtendo las estmacones de los parámetros, es decr una vez que se ha cuantfcado la parte sstemátca de la ecuacón dándole valores a β 0 y β 1, la tarea sguente consste en desarrollar los crteros apropados para determnar s las estmacones obtendas están de acuerdo con lo que se espera de la teoría. La refutacón o confrmacón se fundamenta en la rama de la teoría estadístca conocda como nferenca estadístca. Se puede partconar la varabldad total observada en los datos en la porcón atrbuble a la parte sstemátca (medante un proceso algebraco que nvolucre a todas las observacones) y el resto se atrbuye a la parte aleatora, según (6). Un buen modelo será aquel que explque gran parte de la varabldad de Y. O sea que la varabldad de la parte sstemátca sea muy grande con relacón a la de la parte aleatora. Esto debe balancearse con el hecho deseado de tener un modelo smple. A veces se consguen modelos muy complejos que explcan gran parte de la varabldad pero en la práctca no son fácles de manejar. Una regla en estadístca aplcada es preferr modelos smples, que descrban adecuadamente los fenómenos. El proceso para obtener crteros que permtan tomar decsones con respecto a la utldad del modelo requere de la nferenca estadístca. Se pueden clasfcar las pruebas para la verfcacón de los modelos en dos grandes grupos: a) Pruebas de bondad de ajuste para el modelo global; la hpótess estadístca comprende a todos los parámetros. b) Pruebas de hpótess para cada uno de los parámetros. Para cada método de estmacón se han desarrollado una sere de pruebas de hpótess (o de sgnfcanca como se las conoce comúnmente) y cada paquete estadístco presenta alguna de ellas, generalmente con referencas bblográfcas para poder nterpretarlas. 4. EL MODELO LINEAL GENERAL (MLG) El modelo de RSL postula que la varable dependente Y tene dstrbucón Normal Se vó que en el modelo logt, ésta es bnomal. Los recentes avances en la teoría estadístca y en los software de computacón han permtdo usar métodos análogos a aquellos desarrollados para el modelo de RLS en las sguentes stuacones: a) Cuando las varables respuestas tenen dstrbucones dferentes que las de la dstrbucón normal y resultan ser categórcas en lugar de contnuas. Este avance se ha producdo al reconocer que muchas de las mportantes propedades de la dstrbucón normal se dan tambén en una ampla clase denomnada la famla exponencal. Esta famla comprende, además de la dstrbucón normal la dstrbucón bnomal y la dstrbucón de Posson. 8

9 b) Cuando la varable respuesta no es necesaramente, funcón lneal (en los parámetros), pero puede obtenerse una funcón de aquella que sí es lneal. Esto permte estmar parámetros de funcones de una combnacón lneal. Por otro lado, estas estmacones que comprenden una gran cantdad de cálculos hoy en día son posbles con los sofstcados software estadístcos para PC. Dentro de este contexto, la uncdad de muchas técncas estadístcas que comprenden combnacones lneales de los parámetros la da este modelo lneal general (MLG). Comprende una ampla clase de modelos que van desde la regresón lneal ordnara, ponderada y el análss de la varanza (ANOVA) para varables contnuas (datos cuanttatvos), hasta modelos para otras varables de tpo dscreta (datos categórcos) Componentes El modelo lneal general (MLG) tene 3 componentes báscos: El componente aleatoro o varable respuesta, Y. Su dstrbucón de probabldades debe pertenecer a la famla exponencal: dstrbucón Normal, Bnomal o Posson, orgnando cada una de ellas el tpo de datos que se menconó prevamente. El componente sstemátco Es una combnacón lneal de las varables explcatvas del tpo: β 0 + β 1 X +... y se lo conoce como el predctor lneal (en los parámetros). El lnk o enlace Une el componente aleatoro con el componente sstemátco. Especfca a que es gual la meda µ para cada valor observado. En RL se djo que la meda µ es gual a la E(Y ). El MLG permte que el componente sstemátco se relacones con la meda µ a través de una funcón g (µ), de la msma y el lnk es la funcón especfcada para la meda. De esta manera. g µ ) β + β X..., sendo g (µ ) la funcón lnk o enlace ( = La más smple de las funcones lnk es cuando g (µ ) g ( µ ) = µ = E( Y ) y se llama lnk dentdad ó dentty lnk es la meda msma o sea: Otros lnk permten que la meda se relacone en forma no lneal con el predctor. Cuando g ( µ ) = log( µ ) = log E( Y ). En este caso µ no puede ser negatvo. Este modelo se llama loglneal y se utlza en datos de recuentos provenentes de dstrbucón Posson. 9

10 µ La funcón lnk g ( µ ) = log (7) modela el logartmo natural de los odds que es la (1 µ ) relacón entre la probabldad favorable y la desfavorable. En este caso µ =P, probabldad. Se conoce como el logt lnk porque permte modelar la funcón logístca (4) cuando la varable respuesta es bnomal con respuestas 0,1 y se pronostcan valores de probabldad, P(Y=1/X) Lnealzacón del modelo logt El modelo logt es parte del MLG. El componente aleatoro responde a una varable respuesta bnomal, y la funcón lnk toma la forma expresada en (7), en donde log es logartmo natural. Expresa la relacón entre la probabldad favorable y la desfavorable. En este caso µ =P, P la probabldad de respuesta postva. Su ecuacón de predccón, log( ) = β 0 + β1x 1 P (8), permte pronostcar valores de probabldad. Esta funcón lnk surge de una transformacón logarítmca de la funcón logt. Medante un poco de álgebra en ( 4 ) se llega a la ecuacón (8). Esta ecuacón representa una funcón lneal en los parámetros. Actualmente son muchos los software estadístcos que permten ajustar esta funcón logt.en el MVC la base de nformacón aportada por la encuesta provee las respuestas de las personas en valores 0, 1 y los precos ofertados en cada una de ellas. La salda de este análss brndará los valores estmados para β 0 y para β 1. El cocente entre ambos, según (6), es la estmacón promedo de la máxma dsposcón a pagar. 5. ALGUNAS PRUEBAS PARA LA VALIDACIÓN DEL MODELO Con respecto a las pruebas de nferenca estadístca para verfcar el modelo, el método de MC, bajo el supuesto de dstrbucón normal para Y, utlza el Análss de la Varanza (ADEVA) para bondad de ajuste; la razón entre la varanza explcada por el modelo y la varanza del térmno aleatoro que tene una dstrbucón F (conocda como la Prueba de F) es el estadígrafo que se utlza. Tambén se presenta generalmente el coefcente de determnacón, R 2, que es una medda matemátca de la bondad de ajuste que da nformacón sobre que porcón de la varabldad total de la varable respuesta Y, está explcada por la varable ndependente 3. Los estadístcos z o t son utlzados para las pruebas de hpótess para cada uno de los parámetros. 2 3 La funcón logístca que no es lneal en los parámetros puede ser ntrínscamente lneal cuando el techo es 1 o sea la máxma probabldad acumulada. Pero es lneal no para la probabldad de ocurrenca sno para el log de la relacón entre la probabldad favorable y la desfavorable (odds = p/(1-p)). Se debe ser cudadoso en su nterpretacón porque s el cálculo de R 2 no está acompañada por su prueba de sgnfcanca pude llevar a conclusones rrelevantes. Por otro lado en los modelos lnealzados medante transformacones, la nterpretacón de R 2 es dferente. 10

11 El MLG, cuando utlza el método de MV, evalúa la bondad de ajuste del modelo medante la prueba de la razón de máxma verosmltud que tene una dstrbucón Jcuadrado. Para pruebas de hpótess para los parámetros tambén pruebas de z o el estadístco Wald (que es z 2 ) y tene dstrbucón J-cuadrado. Los software estadístcos (ó econométrcos) contene dferentes pruebas de bondad de ajuste. Generalmente se acompañan en los manuales de los msmos ó en las funcones de ayuda ejemplos, que mostrarán como nterpretar las saldas. Tambén es mportante destacar que la mayoría de los software presentan dos alternatva para ngresar la base de datos. Una de ellas es utlzando la nformacón prmara, tal como fue recolectada, es decr el valor del preco ofertado y la respuesta cuantfcada como 0 ó 1. La otra es con los datos de la encuesta semprocesados, es decr, para cada preco la cantdad de respuestas postvas y la cantdad de negatvas. 6. EJEMPLIFICACIÓN DE LA ESTIMACIÓN E INTERPRETACIÓN DE UN MODELO LOGIT A contnuacón se presenta la salda de dos software estadístcos (Stata y Statgraph) para el análss logt. El ejemplo completo se verá por separado y pertenece a la tesna de la lcencatura en Economía del Alejandro Gallego, drgda por el Dr. Armando Llop (Gallego, A, 1999). El objetvo del estudo es la evaluacón económca del proyecto de parquzar un terreno de 19 has ubcado en la estacón del Ferrocarrl General San Martín en la cudad de Mendoza. La pregunta de valoracón fue : S se realza el proyecto, estaría dspuesto a pagar una tasa Ecológca bmestral, para su construccón y mantenmento durante 10 años de...? El vehículo de pago es la tasa muncpal y los valores ofertados son $ : 1, 3, 5, 7 y 9. La varable respuesta es PAGA (0,1), sendo PRECIO la varable estímulo (1, 3, 5 y, 7 y 9). Se realzaron 80 encuestas; la base de datos presenta (parcalmente, pues hubo más preguntas) esta forma: 11

12 noenc drecc tasa preco paga noenc drecc tasa preco paga

13 1) Salda del Programa Stata logt paga preco Iteraton 0: log lkelhood = Iteraton 1: log lkelhood = Iteraton 2: log lkelhood = Iteraton 3: log lkelhood = Logt estmates Number of obs = 82 LR ch2(1) = 7.36 Prob > ch2 = Log lkelhood = Pseudo R2 = paga Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] preco cons El estadígrafo para la bondad de ajuste del modelo es J cuadrados cuya probabldad es 0,007, valor sufcentemente pequeño para consderar que el modelo se ajusta. En el cuadro precedente se presentan las estmacones para los coefcente de regresón sendo, β ˆ1 = 0, 223 (preco) y β ˆ0 = 1, 721(cons). Las pruebas de hpótess para los dos coefcentes muestran valores sgnfcatvos, ya que sus valores de probabldad son pequeños (0,009 y 0,001 respectvamente). El modelo ajustado es: P log( ) = 1,721 0,223PRECIO. 1 P Por lo tanto se puede utlzar para nferr el valor promedo o medana utlzando la ecuacón (6): X md = 1,721 0,223 = 7,718 Este valor promedo de $7,7 multplcado por el tamaño de la poblacón de nferenca o sea de la poblacón benefcara da el benefco del proyecto. El programa da la posbldad de realzar el gráfco como tambén de estmar las probabldades de máxma dsposcón a pagar (P), para cada preco. 2) Salda del Programa Statgraph En este programa se ha utlzado la columna 1 para la varable PRECIO y no se le ha desgnando nombre por lo tanto el programa la denomna Col_1. Los resultados y los ndcadores son los msmos que en el Stata. Este programa trae al fnal una nterpretacón en Stata Advsor. 13

14 Logstc Regresson Dependent varable: Col_2 Factors: Col_1 Estmated Regresson Model (Maxmum Lkelhood) Standard Estmated Parameter Estmate Error Odds Rato CONSTANT 1, , Col_1-0, , , Analyss of Devance Source Devance Df P-Value Model 7, ,0067 Resdual 100, , Total (corr.) 107, Percentage of devance explaned by model = 6,83781 Adjusted percentage = 3,12382 Lkelhood Rato Tests Factor Ch-Square Df P-Value Col_1 7, , Resdual Analyss Estmaton Valdaton n 82 MSE 0, MAE 0, MAPE ME -0, MPE The StatAdvsor The output shows the results of fttng a logstc regresson model to descrbe the relatonshp between Col_2 and 1 ndependent varable(s). The equaton of the ftted model s Col_2 = exp(eta)/(1+exp(eta)) where eta = 1, ,223037*Col_1 Because the P-value for the model n the Analyss of Devance table s less than 0.01, there s a statstcally sgnfcant relatonshp between the varables at the 99% confdence level. In addton, the P-value for the resduals s less than 0.10, ndcatng that the model s sgnfcantly worse than the best possble model for ths data at the 90% confdence level. The pane also shows that the percentage of devance n Col_2 explaned by the model equals 6,83781%. Ths statstc s smlar to the usual R-Squared statstc. The adjusted percentage, whch s more sutable for comparng models wth dfferent numbers of ndependent varables, s 3,12382%. In determnng whether the model can be smplfed, notce that the hghest P-value for the lkelhood rato tests s 0,0067, belongng to Col_1. Because the P-value s less than 0.01, that term s statstcally sgnfcant at the 99% confdence level. Consequently, you probably don't want to remove any varables from the model. 14

15 2. Porque la funcón Probabldad vs Preco es la curva de demanda estmada? En la funcón logt grafcada en la Fgura 1b, en las ordenadas están ndcadas las probabldades P y en abscsas los valores de máxma dsposcón a pagar. S la probabldad se multplca por el tamaño de la poblacón de nferenca (N) se obtene para cada valor de preco la cantdad de gente que está dspuesto a pagar ese monto. En la funcón de demanda agregada estudada, se ha grafcado en ordenadas el preco y la cantdad en abscsas. S se ntercamban los ejes de ordenadas y abscsas, como se lo ha hecho en la Fgura 2, se obtene bajo la curva, el benefco del proyecto. Para obtener su valor se utlza el Preco promedo, que es el que está dspuesto a pagar el 50% de la poblacón y se lo multplca por N, sendo dcha área equvalente al área bajo la curva. FIGURA 2. Curva de demanda estmada con MVC. Respuesta Dcotómca 7. BIBLIOGRAFÍA Agrest, A., An Introducton to Categorcal Data Análss. John Wley and Sons, INC. New York, etc. 294 p. Dobson, A An ntroducton to generalzed lnear models. Chapman and Hall. London, etc. 171p. Fascolo G. y V. Mendoza, El método de la valoracón contngente. Apuntes nédtos. INA. CELA. 6p. Gallego, A., Valoracón contngente de un espaco verde. Trabajo de nvestgacón. Facultad de Cencas Económcas. UNCuyo. 83 p. Gujarat, D.N., Econometría. Cap da edcón. Mc. Graw Hll Interamercana de Méxco S.A. 597 p. Software estadístcos: 1) Stata 6 for wndows 2) Statgrphcs Plus 4. 15