Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Investigación de Operaciones

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1 Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Investigación de Operaciones Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Estudiantes: FAREM-Carazo IV Unidad UnidadIV Análisis Dualidad de Sensibilidad y Análisis de y Sensibilidad Dualidad Año Académico: II Semestre 2010

2 Objetivos: Los participantes al finalizar la unidad serán capaces de: Analizar la importancia del problema Dual y su relación con el Primal. Comprender el principio de solución del Método Simplex Dual. Resolver problemas de Programación Lineal mediante el Simplex Dual. Efectuar Análisis de Sensibilidad a una solución dada de un PPL. Hacer valoraciones cuando los recursos de un PPL cambian, ya

3 Dualidad y análisis de sensibilidad Introducción. La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil que muchos gerentes pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos casos prefieren decir creo que la probabilidad de que este evento ocurra está entre 0.5 y 0.7. Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades.

4 Dualidad y análisis de sensibilidad Introducción. El análisis de sensibilidad concierne al estudio de posibles cambios en la solución óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original.

5 Variaciones que podemos realizar en el modelo general: Mediante el análisis de sensibilidad pueden existir diferentes tipos de cambios en el modelo original como: 1. Cambios en los coeficientes de la función objetivo, C ij 2. Cambios en los recursos, b i 3. Cambios en los coeficientes tecnológicos, a ij 4. Adición de una nueva variable y X i 5. Adición de una nueva restricción. a ij >= b i

6 WinQSB

7

8 Dualidad y análisis de sensibilidad Teoría de dualidad: La teoría de dualidad parte de que asociado a todo problema de PL, existe otro problema lineal llamado Dual. Las relaciones entre el problema dual y el problema original o (primal) son en extremos útiles en una gran variedad de situaciones. Uno de los aspectos más importantes de la teoría de dualidad es la interpretación y realización del análisis de sensibilidad.

9 Dualidad y análisis de sensibilidad Esencia de la teoría de dualidad: Dada la forma estándar para el problema primal (izquierda), su problema dual tiene la forma que se muestra a la derecha. Max Min 0 : 1 1 j i n j j ij n j j j x b x a a sujeto x c Z 0 : 1 1 i j n j i ij m i i i y c y a a sujeto y b W El problema dual usa exactamente los mismos parámetros que el problema primal, pero en diferentes lugares.

10 Dualidad y análisis de sensibilidad Esencia de la teoría de dualidad: Dada la forma matricial del problema primal (izquierda), y del problema dual. Max Z c x sujeto a : Min W yb sujeto a : Ax b ya c x 0 y 0 Donde C y Y son vectores fila y b y x son vectores columna.

11 Dualidad y análisis de sensibilidad

12 Dualidad y análisis de sensibilidad La Wyndor lass Co. Produce artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres. Plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2; la planta 3 produce el vidrio y ensambla los productos. Debido a una reducción de las ganancias, la alta gerencia ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía. Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos nuevos que tienen ventas potenciales grandes:

13 Dualidad y análisis de sensibilidad Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio. Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 pies x 6. El producto 1 requiere capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2, solo necesita trabaja en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha concluido que la compañía pede vender todos los productos que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como ambos productos competirán por la misma capacidad de producción en la planta 3, no se está claro cual es la mezcla de productos que sería mas rentable.

14 Dualidad y análisis de sensibilidad Se conoce que el número de horas disponible en la semana para las plantas 1,2 y 3, para los nuevos productos son las siguientes: Planta 1: 4 horas; planta 2: 12 horas y planta 3: 18 horas. Cada producto se fabricará en lotes de 20 unidades totales. En la tabla siguiente se detalla el tiempo requerido en horas en cada planta para producir un lote de cada producto.

15 Dualidad y análisis de sensibilidad Tiempo de producción por lote en hrs Tiempo disponible semanal Planta Producto 1 Producto 2 (horas) Ganancia x lote $3000 $5000

16 Dualidad y análisis de sensibilidad X1: número de lotes del producto 1 ( puertas de vidrios) X2: número de lotes del producto 2 (ventas corredizas) Z= ganancia semanal total (miles de dólares) al producir puertas y ventas de vidrio. Es un problema típico de mezcla de programación lineal de maximización.

17 Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co : x x x x x x a sujeta x x Z Max : y y y y y y y a sujeta y y y W Min A la izquierda se muestra el problema primal en forma algebraica y a la derecha el problema dual en forma algebraica.

18 Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co : x x x x a sujeta x x Z Max : y y y y y y a sujeta y y y W Min A la izquierda se muestra el problema primal en forma matricial y a la derecha el problema dual en forma matricial.

19 Solución del P. dual, para el ejemplo Wyndor Glass Co. La solución óptima es: Y1=0, Y2=1.5, Y3=1 para z= 36

20 Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co. Precio sombra La solución óptima es: x1=2 y x2=6 para z= 36 Esto es, se debe producir 40 puertas(dos lotes) y 120( 6 lotes) ventanas para una utilidad máxima de U$36,000.

21 Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co. El costo reducido identifica el costo que genera incrementar una unidad para cada variable no básica. La columna Déficit o Superávit muestra los valores de las variables de holgura. La columna precio sombra: esto es, cuanto se estaría dispuesto a pagar por una hora extra para producir mas puertas y/o ventanas.

22 Interpretación económica del Dual Problema primal Problema Dual

23 Dualidad y análisis de sensibilidad

24 Ejemplo 2: La empresa KZ se dedica a la fabricación de tres producto; A, B y C. El procedimiento de producción involucra tres operaciones: formación, acabado e inspección. El departamento de ingeniería industrial, ha establecido los siguientes estándares de producción en cada operación. Datos de producción para la compañía (minutos por producto) El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e ingresos para la compañía. Datos de costo e ingreso para la compañía Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de tal manera que se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del día. Considerando la información, se planteó el modelo de programación lineal: Z 20x sujeto a : 2x 3x 2x x 1 2x 2 2 2x 2 35x 2x 2x 3 3 4x x formación inspección acabado

25 Dual del Problema Min W= 480Y Y y3 Sujeto a: 2y1 + 3y2 + 2y3 20 6y1 + 2y2 + 2y3 35 2y1 + 2y2 + 4y3 45 y1 0 y2 0 y3 0

26 Ejemplo 1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en donde la base actual permanece 2. Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual permanece? 3. En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo extra y por que? 4. Que pasaría si se programaran 20 minutos extras en el departamento de inspección, cambiaría la función objetivo? 5. En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 50 minutos en el departamento de formado? 6. Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30 minutos de mantenimiento en el departamento de

27 Dualidad y análisis de sensibilidad 6. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un 25%, cómo se afecta la base actual y el objetivo? 7. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de $5/minuto, recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en que departamento y cuanto tiempo extra puede programarse sin cambiar la mezcla actual? 8. Que pasearía si se programara la producción de 10 unidades del producto A? 9. Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos el producto A cambiara sus tiempos de fabricación en 10. a. a 1 = (2,3,2) 11. b. a 1 = (1,2,2) T 12. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes características C 4 =60, a 4 = (2,1,3) T, Qué recomendaría?

28 Solución Inicial del modelo (winqsb)

29 3. Ken & Larry Inc. surte su helado a los expendios en cuatro sabores: chocolate, vainilla, chicle y banano. Debido al calor extremo y la alta demanda, la compañía tiene un déficit en el abastecimiento de los ingredientes: leche, azúcar y crema. Esto no le permite satisfacer todas las órdenes recibidas de sus expendios. Por estas circunstancias, la compañía a decidido seleccionar la cantidad que debe producir de cada sabor para maximizar la ganancia total, dadas las restricciones en las cantidades de ingredientes básicos. 29

30 Sujeto a: La compañía tiene solo 220 galones de leche, 170 libras de azúcar y 70 galones de crema. (por mes) Un galón de helado de chocolate consume: 0.45 galón de leche, 0.5 libra de azúcar y 0.10 galón de crema. Un galón de helado de Vainilla consume: 0.5 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.15 galón de crema. Un galón de helado de banano consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.2 galón de crema. Un galón de helado de chicle consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.3 galón de crema. 30

31 Sujeto a: La compañía para mantener su mercado cautivo de sabores a decidido también producir al menos 30 galones de helados de cada uno de los cuatro sabores. Los sabores de chocolate, vainilla, banano y chicle generan ganancias respectivas de $1.10, $1.0, $0.9, y $.95 por galón. 220 gls 170 lbs 70 gls 31

32 Variables de decisión X 1 = Números de Galones de helados de chocolate X 2 = Números de Galones de helados de vainilla X 3 = Números de Galones de helados de plátano X 4 = Números de Galones de helados de chicle 32

33 Función objetivo Max. Z = 1.1 X X X X 4 $ = ($/galón de chocolate) x (Número galones chocolate) + ($/galón de vainilla) x (Número galones vainilla) + ($/galón de plátano) x (Número galones plátano) + ($/galón de chicle) x (Número galones chicle) 33

34 Restricción de producción(leche) 0.45X 1 es el total de galones de leche que se requieren para producir X 1 galones de chocolates 0.5X 2 es el total de galones de leche que se requieren para producir X 2 galones de vainilla 0.4X 3 es el total de galones de leche que se requieren para producir X 3 galones de banano 0.4X 4 es el total de galones de leche que se requieren para producir X 4 galones de chicle 0.45X X X X

35 Restricción de producción(azúcar) 0.5X 1 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X 1 galones de chocolates 0.4X 2 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X 2 galones de vainilla 0.4X 3 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X 3 galones de banano 0.4X 4 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X 4 galones de chicle 0.5X X X X

36 Restricción de producción(crema) 0.1X 1 es el total de galones de crema que se requieren para producir X 1 galones de chocolates 0.15X 2 es el total de galones de crema que se requieren para producir X 2 galones de vainilla 0.2X 3 es el total de galones de crema que se requieren para producir X 3 galones de banano 0.3X 4 es el total de galones de crema que se requieren para producir X 4 galones de chicle 0.1X X X X

37 Compromisos de demanda X 1 galones de chocolate 30 galones X 2 galones de vainilla 30 galones X 3 galones de Banano 30 galones X 4 galones de chicles 30 galones 37

38 Max. Z = 1.1 X X X X 4 Sujeto a: 0.45X X X X X X X X X X X X 4 70 X 1 30 X 2 30 X 3 30 X 4 30 No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de 38 demanda mayores que cero para todas las variables de decisión.

39 Coeficientes del modelo matemático SIGUE 39

40 Solución SIGUE 40

41 PREGUNTAS ADICIONALES Suponga que la ganancia por galón de banano es $1.00 cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total? -Cambia la ganancia total Cambia la solución óptima. 41

42 PREGUNTAS ADICIONALES Suponga que la ganancia por galón de banano es $0.92 cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total? -Cambia levemente la ganancia total No cambia la solución óptima Se podría decir que no hay cambios relevantes 42 en la optimización.

43 PREGUNTAS ADICIONALES Suponga que descubren tres galones de crema agrio que tienen que tirarse cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total? Se podría decir que no hay cambios en la optimización ni en la ganancia, eran sobrantes. 43

44 PREGUNTAS ADICIONALES Suponga que tienen la oportunidad de comprar 15 libras adicionales de azúcar por un costo total de $15.00 Deben comprarlas? explique Con 15 libras de azúcar adicionales 44

45 4. Constructora. Qué cantidad de grava enviar de cada distribuidor(tres) a cada proyecto(tres) con el objeto de minimizar los costos totales? Sujeto a: No enviar más de; 150 tons. del distribuidor 1; 175 tons. del distribuidor 2 y 275 tons. del distribuidor 3. Enviar 200 tons. al proyecto 1; 100 tons. al proyecto 2 y 300 tons. al proyecto 3. 45

46 Los costos de envío del distribuidor i al proyecto j son los siguientes: Costo del distribuidor 1 al proyecto 1, C 11 =$6 Costo del distribuidor 1 al proyecto 2, C12=$8 Costo del distribuidor 1 al proyecto 3, C13=$10 Costo del distribuidor 2 al proyecto 1, C 21 =$7 Costo del distribuidor 2 al proyecto 2, C 22 =$11 Costo del distribuidor 2 al proyecto 3, C 23 =$11 Costo del distribuidor 3 al proyecto 1, C 31 =$4 Costo del distribuidor 3 al proyecto 2, C 32 =$5 Costo del distribuidor 3 al proyecto 3, C 33 =$12 46

47 Costos de Envío Costos de Envío (por tonelada) Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Distribuidor Distribuidor Distribuidor Cuánto enviar a cada proyecto? Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Distribuidor 1 X 11 X 12 X 13 Distribuidor 2 X 21 X 22 X 23 Distribuidor 3 X 31 X 32 X 33 47

48 Formulación de la Función Objetivo Variables de decisión X IJ = Número de toneladas a enviar del distribuidor I al proyecto J. X 11 = Número de toneladas a enviar del distribuidor 1 al proyecto 1. Función objetivo Min. Z = 6X X X X X X X X X 33 48

49 Restricciones de disponibilidad X 11 + X 12 + X X 21 + X 22 + X X 31 + X 32 + X Restricciones de requerimientos X 11 + X 21 + X 31 = 200 X 12 + X 22 + X 32 = 100 X 13 + X 23 + X 33 =

50 Min. Z = 6X X X X X X X X X 33 Sujeto a: X 11 + X 12 + X X 21 + X 22 + X X 31 + X 32 + X X 11 + X 21 + X 31 = 200 X 12 + X 22 + X 32 = 100 X 13 + X 23 + X 33 = 300 X 11, X 12, X X

51 INGRESO DE LOS COEFICIENTES DEL MODELO MATEMATICO EN EL WINDQSB 51

52 Solución 52

53 Solución 53

54 Red de Distribución 54

55 Cuánto se envió a cada proyecto y de que distribuidor? Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Oferta Distribuidor Distribuidor Distribuidor Demanda Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Distribuidor Distribuidor Distribuidor

56 5. Mezcla de minerales. Qué porcentaje de la composición del nuevo producto provendrá de cada una de las cuatro minas con el objeto de minimizar su costo. Sujeto a: El contenido del elemento básico A en el nuevo producto no sea menor de 5 lb s/ton. El contenido del elemento básico B en el nuevo producto no sea menor de 100 lb s/ton. El contenido del elemento básico C en el nuevo 56 producto no sea menor de 30 lb s/ton.

57 Variables de decisión X 1 = porcentaje que provendrá de la mina 1 X 2 = porcentaje que provendrá de la mina 2 X 3 = porcentaje que provendrá de la mina 3 X 4 = porcentaje que provendrá de la mina 4 57

58 Función objetivo Min. Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 + C 4 X 4 $ = ($/ton. mina 1) x (% de la mina 1) + ($/ton. mina 2) x (% de la mina 2) + ($/ton. mina 3) x (% de la mina 3) + ($/ton. mina 4) x (% de la mina 4) Min. Z = 800X X X X 4 58

59 Restricción de elemento básico A 10X 1 + 3X 2 + 8X 3 + 2X 4 5 Restricción de elemento básico B 90X X X X Restricción de elemento básico C 45X X X X

60 Min. Z = 800X X X X 4 Sujeto a: 10X 1 + 3X 2 + 8X 3 + 2X X X X X X X X X 4 30 X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 1 X 1, X 2, X 3, X

61 INGRESO DE COEFICIENTES EN WINQSB 61

62 SOLUCIÓN DEL MODELO LINEAL (EN WINQSB) 62

63 6. Orsini. Fabrica tres tipos de zapatos. Qué cantidad de cada estilo debe fabricar durante el mes con el objeto de maximizar las utilidades? Sujeto a: No deben asignarse más de 1,200 horas de tiempo de producción. Todos los costos de producción, de materiales y costos fijos deben cubrirse con el efectivo disponible durante el mes que es de $16,560. Satisfacer ciertos compromisos de demanda: estilo 1, 55 estilo 2 y 32 estilo 3.

64 Variables de decisión X 1 = Número de pares de zapatos estilo 1 que deben fabricarse durante el mes. X 2 = Número de pares de zapatos estilo 2 que deben fabricarse durante el mes. X 3 = Número de pares de zapatos estilo 3 que deben fabricarse durante el mes. 64

65 Función objetivo Max. Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 $ = ($/par de zap. estilo 1) x (pares de zap. estilo 1) + ($/par de zap. estilo 2) x (pares de zap. estilo 2) + ($/par de zap. estilo 3) x (pares de zap. estilo 3) Cálculo de C 1 (3.5 horas/par) x ($10/hora) = $35/par (3.25 U. piel/par) x ($4/U. piel) = $13/par $48/par 65

66 C 1 = $60/par - $48/par = $12/par de zap. estilo 1 de forma similar, C 2 = $64/par - $43/par = $21/par de zap. estilo 2 C 3 = $50/par - $28/par = $22/par de zap. estilo 3 Max. Z = 12X X 2 +22X 3 66

67 Restricción de producción 3.5X 1 es el total de horas que se requieren para fabricar el estilo 1 2.5X 2 es el total de horas que se requieren para fabricar el estilo 2 2.0X 3 es el total de horas que se requieren para fabricar el estilo 3 3.5X X X 3 1,200 67

68 Restricción de efectivo Costo fijo = $3,000 Existen disponibles $16,560 - $3,000 = $13,560 para cubrir los costos variables. 48X X X 3 13,560 Compromisos de demanda X 1 pares de zap. estilo 1 30 pares de zap. estilo 1 X 2 pares de zap. estilo 2 55 pares de zap. estilo 2 X 68 3 pares de zap. estilo 3 32 pares de zap. estilo 3

69 Max. Z = 12X X 2 +22X 3 Sujeto a: 3.5X X X 3 1,200 48X X X 3 13,560 X 1 30 X 2 55 X 3 32 No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de demanda para todas las variables. 69

70 Solución 70

71 7. CSL es una cadena de tiendas de servicios para computadoras. La cantidad de horas de tiempo de reparación calificada que CSL requiere durante los cincos meses siguientes es como sigue: Mes 1 (enero) : 6,000 horas Mes 2 (febrero) : 7,000 horas Mes 3 (marzo) : 8,000 horas Mes 4 (abril) : 9,500 horas Mes 5 (mayo) : 11,000 horas A principios de enero 50 técnicos calificados trabajan para CSL. Cada técnico calificado puede trabajar hasta 160 horas por mes. Para cumplir con las demandas en el futuro, es necesario capacitar a nuevos técnicos. Toma un mes capacitar un nuevo técnico. 71

72 Durante el mes de capacitación, un técnico experimentado debe supervisar al aprendiz durante 50 horas. Cada técnico experimentado gana U$2,000 al mes (incluso si no trabaja las 160 horas completas). Además durante el mes de entretenimiento, el aprendiz recibe U$1,000. Al final de cada mes, 5% de los técnicos experimentados de CSL abandonan el trabajo para unirse a otra empresa de la competencia. Formule un PL con cuya solución CSL minimiza el costo de mano de obra en el que incurre para cumplir con el servicio de reparación en los cinco meses siguientes: 72

73 Solución: -CSL debe determinar la cantidad de técnicos durante el mes t. (t=1,2,3,4,5). Por tanto se define. X t : cantidad de técnicos capacitados durante un mes t (t=1,2,3,4,5) CSL desea minimizar el costo total de la mano de obra durante los cinco meses siguientes. Obsérvese que: Costo total de mano de obra=costo por pagar a los aprendices + costo por pagar a los técnicos experimentados. Para expresar el costo por pagar a los técnicos experimentados es necesario definir para t=1,2,3,4,5. Y t : cantidad de técnicos experimentados al inicio del mes t 73

74 Solución: Entonces Costo total de mano de obra=(1000x x x x x 5 ) + (2000y y y y y 5 ) Por tanto la función objetivo de CSL es: Min z= 1000x x x x x y y y y y 5 Cuales son las restricciones de CSL? Nótese que y 1 =50, y que para t=1,2,3,4,5 CSL debe tener la certeza de que. Número de horas-técnicos disponibles durante el mes t 160y 1-50x 1 Entonces: 160y 1-50x y 2-50x

75 160y 3-50x y 4-50x y 5-50x Técnicos experimentados al principio del mes t: recordemos que el 5% de los técnicos experimentados al final de mes abandonan la empresa. y 1 =50 y 2 = y 1 + x y 1 =0.95 y 1 +x 1 y 3 = =0.95 y 2 +x 2 y 4 = 0.95 y 3 +x 3 y 5 = 0.95 y 4 +x 4 75

76 Min z= 1000x x x x x y y y y y 5 s.a: 160y 1-50x y 2-50x y 3-50x y 4-50x y 5-50x y 1 =50 y 2 = y 1 + x y 1 =0.95 y 1 +x 1 y 3 = =0.95 y 2 +x 2 y 4 = 0.95 y 3 +x 3 y 5 = 0.95 y 4 +x 4 ; x i 0; y i 0; i=1,2,3,4,5 76

77 Solución: 77

78 8. Una compañía fabrica escritorios, mesas y sillas. Para la manufactura de cada tipo de muebles se requiere madera y dos tipos de mano de obra calificada: acabado y carpintería. La cantidad de recursos necesarios para elaborar cada tipo de muebles se proporciona en la siguiente tabla. Recurso Escritorio Mesa Silla Madera(pie tablón) Horas de acabado Horas de carpintería

79 Se cuenta en la actualidad con 48 pie de tablón de madera, 20 horas de acabado y 8 horas de carpintería. La cantidad de recursos necesarios. Un escritorio se vende a U$60, una mesa en U$30 y una silla en U$20. La compañía sabe que la demanda de escritorios y silla es ilimitada, pero cuando mucho se pueden vender 5 mesas. Puesto que los recursos disponibles ya se compraron, la compañía quiere maximizar el ingreso total. Si se definen las variables de decisión como: X 1 : cantidad de escritorios fabricados X 2 : cantidad de mesas fabricados X 3 : cantidad de sillas fabricados 79

80 Ahora formulamos el modelo matemático del PPL Max z=60x x x 3 S.a: 8x 1 + 6x 2 + x x 1 + 2x x x x x 3 8 x 2 5 x 1,x 2, x

81 Solución P. Lineal: Análisis de Sensibilidad 81

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