Análisis Funcional Álvaro Rovella Andrés Sambarino 31 de agosto de 2005

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1 Análisis Funcional Álvaro Rovella Andrés Sambarino 31 de agosto de 2005

2 Índice general 1. Espacios vectoriales topológicos Espacios vectoriales Convexidad Topologías lineales Topologías débiles Construcción de topologías localmente convexas Topologías débil y débil estrella Convexos compactos Teorema de Stone-Weierstrass Espacios de Hilbert Teoría Básica El operador adjunto Operadores Acotación uniforme Aplicación abierta Gráfico cerrado Fredholm y operadores compactos Operadores compactos Perturbados compactos de la identidad El álgebra de Calkin Teorema Espectral Operadores normales y autoadjuntos Teorema Espectral Teorema de Lomonosov Teorema de Schauder Subespacios invariantes A. Teorema de von-neumann 53 1

3 Capítulo 1 Espacios vectoriales topológicos 1.1. Espacios vectoriales Un espacio vectorial es un grupo abeliano sobre el cual actúa un cuerpo. Básicamente tenemos un conjunto X, un cuerpo K y dos operaciones, suma, + : X X X, y producto por escalares, : K X X que verifican ciertas propiedades. Si tenemos un subconjunto, {x i } i I, de un espacio vectorial X el espacio generado por él es {x i } i I = a j x j : a j K y J I finito j J En pocas palabras, el espacio generado por {x i } es el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos de {x i } con escalares en K. Una base algebraica, o de Hamel, de un espacio vectorial es un subconjunto linealmente independiente, que genera todo el espacio. El siguiente teorema se prueba a partir del lema de Zorn. Teorema 1.1. Todo espacio vectorial tiene una base y dado cualquier subconjunto L.i. hay una base que lo contiene. Definición 1.1. Sea X un espacio vectorial, la dimensión de X es el número de elementos de una base y la notamos dim X. A partir de ahora siempre nos referiremos a K como R o C, y a X como un espacio vectorial, o sea, siempre estaremos asumiendo que X es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales o de los complejos. 2

4 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS 3 Definición 1.2. Sea X un espacio vectorial. X, el dual algebraico, es el conjunto de todas las funcionales lineales en X, o sea X = {ϕ : X K lineal } Obviamente es también un espacio vectorial de modo que podemos llamar X, el bidual algebraico de X, al dual algebraico de X. Ejercicio. Sea J : X X dada por J(x)(ϕ) = ϕ(x), probar que J es lineal e inyectiva y es sobreyectiva si y solo si X tiene dimension finita. Dada una base algebraica {x α } α I de un espacio vectorial X, y dado un conjunto {b α } α I K existe una única funcional lineal tal que ϕ(x α ) = b α α I. El conjunto dual de una base {x α } α I es {ϕ α } α I tal que { 1 si α = β ϕ α (x β ) = δ αβ = 0 en otro caso {ϕ α } es claramente L.i. pero si X tiene dimensión infinita no genera X. Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial dotado de una topología T 1 de forma que las operaciones suma y producto por escalares sean funciones continuas. Por ejemplo, si tenemos un espacio vectorial X normado, esto es dotado de una función : X R tal que: 1. x 0 x X 2. x + y x + y x, y X 3. λx = λ x λ K y x X 4. x = 0 x = 0, tenemos un espacio vectorial topológico ya que la norma induce una distancia como d(x, y) = x y y esta una topología que obviamente hace continuas a las operaciones + y (R ó C con la topología usual). Vale observar que la distancia inducida por una norma es invariante por traslaciones. Definición 1.3. Decimos que un espacio vectorial normado es de Banach si es completo con la métrica inducida por la norma. Supongamos que tenemos dos normas en un mismo espacio vectorial X, 1 y 2. Decimos que son equivalentes si existen constantes c 1 y c 2 tales que (1.) x 1 c 2 x 2 y (2.) x 2 c 1 x 1 La condición (1.) dice que 2 domina a 1, o sea que la topología que define 2 es mas fuerte que la que define 1, o sea que tiene mas abiertos. Teorema 1.2. Dos normas son equivalentes si y solo si inducen la misma topología.

5 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS 4 Supongamos que tenemos un operador, i.e. una transformación lineal, entre espacios normados, A : X Y. Decimos que A está acotado si existe k > 0 tal que A(x) k x tal que x 1. Proposición 1.3. Un operador entre espacios normados es acotado si y solo si es continuo si y solo si es uniformemente continuo. Si X e Y son espacios vectoriales normados notamos B(X, Y ) al espacio de los operadores acotados de X en Y, este es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo que Y, si para A B(X, Y ) definimos A = sup{ Ax : x 1} tenemos que B(X, Y ) es normado. Se deja como ejercicio probar que si A n A con esta norma entonces A n converge uniformemente a A en cualquier bola de X. Teorema 1.4. B(X, Y ) es un espacio de Banach si Y lo es. Definición 1.4. El dual de un espacio normado X, X, es B(X, K), o sea, el conjunto de las funcionales lineales y continuas. Ejemplos. Veamos dos ejemplos de funcionales lineales no continuos. i) Tomemos X = C([0, 1]) = {f : [0, 1] C continuas } con la norma 1, o sea, f 1 = f El funcional ψ(f) = f(0) es obviamente lineal pero no acotado. Observemos que ker ϕ = {f C([0, 1]) : f(0) = 0} es denso en este espacio con 1. ii) Sea l (N) = {x : N C : acotadas} tomamos X como aquellas sucesiones de l (N) que convergen y ponemos x = n x n 2 n Consideramos ahora el funcional ψ(x) = lím x y la sucesión de elementos de X, x (n) = (0,..., 0, 1, 1,...) donde el primer 1 ocurre en el lugar n, entonces ψ(x (n) ) = 1 n, pero es claro que x (n) 0, por tanto ψ no es continuo. Sea c 0 = ker ψ = {x : N C : x n 0}. Este conjunto es denso en X ya que dada y = (y 1,..., y n,... ) X y ε > 0 tomamos x = (y 1,..., y N, 0, 0,... ) c 0 y tenemos que x y = N y n 2 n < ε.

6 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS 5 Sea X el bidual de X, o sea, el dual de X. Hay una forma natural de encajar X en su bidual, consideramos J : X X como J(x)(ϕ) = ϕ(x), o sea, las evaluaciones. J es lineal y es una isometría (esto se deducirá del teorema de Hahn-Banach), si es sobreyectiva decimos que X es reflexivo. Notemos que para que un espacio sea reflexivo pedimos que J, el encaje natural, sea sobreyectivo. Hay ejemplos de espacios isomorfos a su bidual que no son reflexivos. Definición 1.5. Sean X e Y espacios normados y A B(X, Y ), decimos que A es un isomorfismo si es biyectiva y tiene inversa continua. Dos espacios son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos y son isométricamente isomorfos si existe un isomorfismo que es además una isometría, i.e. un operador que preserva la norma. Observemos que si dos espacios son isomorfos y uno de ellos es completo entonces el otro también lo es, por lo tanto hay espacios vectoriales que no son isomorfos a un dual ya que éste siempre es un espacio de Banach. Ejercicios. 1. X es un espacio de Banach si y solo si dada {x n } X tal que x n < entonces x n converge en X. 2. Sea T B(X) con X Banach. Si T < 1 entonces T I tiene inversa continua, su inversa será n (T I)n. 3. Sean A, B B(X) con X Banach. Si B tiene inversa continua y A < 1/ B 1 entonces A + B tiene inversa continua. S es un subespacio de codimension 1 si existe v X\S tal que S, v = X. El núcleo o kernel de un operador A es ker A = A 1 ({0}). Observación. Dado un subespacio de codimension 1, S, existe ϕ X tal que ker(ϕ) = S, recíprocamente, dada ϕ X ker(ϕ) es un subespacio de codimension 1. Demostración. La primer afirmación es trivial, para la otra supongamos que ϕ(x 0 ) 0, entonces dado x X escribimos y tenemos que O sea que X = ker(ϕ), x 0. x = x ϕ(x) ϕ(x 0 ) x 0 + ϕ(x) ϕ(x 0 ) x 0 ( ϕ x ϕ(x) ) ϕ(x 0 ) x 0 = 0 La continuidad de un funcional lineal queda determinada a partir de su núcleo, por ejemplo, ambos funcionales no continuos que vimos en el ejemplo anterior tienen núcleo denso.

7 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS 6 Teorema 1.5. Sea X un espacio normado y ϕ un funcional lineal no nulo, entonces ϕ es continua si y solo si su núcleo no es denso si y solo si su núcleo es cerrado. Demostración. Es claro que si ϕ es continua su núcleo no es denso ya que es un cerrado de codimensión 1. Supongamos que ker(ϕ) no es denso, entonces existe x 0 tal que ϕ(x) 0 x tal que x x 0 < δ, o sea que ϕ(y) ϕ(x 0 ) y B(0, δ). Ahora, si z ϕ(b(0, δ)) entonces todo el segmento [0, z] está contenido en ϕ(b(0, δ)), además, si λ = 1 entonces λz ϕ(b(0, δ)) ya que si ϕ(x) = z entonces λx B(0, δ) y ϕ(λx) = λz. O sea que la imagen de una bola, por un funcional lineal, es una bola de K. Como ϕ(x 0 ) / ϕ(b(0, δ)) tenemos que C ϕ(b(0, δ)) o sea que existe k > 0 tal que ϕ(x) k x δ, o sea, ϕ es un funcional acotado. Corolario 1.6. Todo subespacio de codimension 1 en un espacio normado es cerrado o denso. Teorema 1.7. Dos espacios normados de dimensión n son isomorfos. Demostración. Sea ϕ : K n X tal que ϕ(a 1,..., a n ) = n a i x i donde {x 1,..., x n } es una base de X. Claramente ϕ es biyectiva lineal y continua. Sea S la esfera en K n, entonces existe δ tal que B(0, δ) ϕ(s) =, pero ϕ 1 (B(0, δ)) es un convexo que contiene al 0 y no intersecta a S, de modo que ϕ 1 (B(0, δ)) B(0, 1), por tanto, ϕ 1 es continua. Corolario 1.8. i) En espacios de dimensión finita todas las normas con equivalentes. ii) Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach. i=1 iii) Todo subespacio de dimensión finita es cerrado. Teorema 1.9. Un espacio normado X es de dimensión finita si y solo si la clausura de la bola unidad es compacta. La demonstración se deduce a partir del siguiente lema. Lema 1.10 (Riesz). Sea X un espacio normado e Y un subespacio cerrado, entonces dado ε > 0 existe x de norma 1 tal que d(x, Y ) 1 ε. Demostración. Existe x tal que d(x, Y ) = d > 0, dado d > d x 0 Y tal que x x 0 < d, tomando x = x x 0 x x 0 y eligiendo d convenientemente queda concluida la prueba.

8 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS Convexidad Decimos que un conjunto K es convexo si para todo par x, y K el segmento [x, y] = {ty + (1 t)x : t [0, 1]} está totalmente contenido en K. Dados x 1,..., x n X una combinación lineal convexa es un elemento x X tal que n x = t i x i i=1 donde 0 t i 1 i = 1... n y t t n = 1. Dado A X se define co A, la envolvente convexa de A, como el conjunto de todas las combinaciones lineales convexas de elementos de A, equivalentemente co A es la intersección de todos los convexos que contienen a A. Mas adelante veremos que bajo ciertas condiciones podremos recuperar un convexo a partir de ciertos puntos, ver el teorema 2.9. Definición 1.6. Sea A un subconjunto de un espacio vectorial X. Decimos que a es un punto algebraicamente interior o que pertenece al interior algebraico de A si dado x X ε > 0 tal que {(1 t)a + tx : t (0, ε)} está contenido en A. Al interior algebraico de A lo notamos por ia A. Los conjuntos algebraicamente abiertos no son necesariamente topológicamente abiertos. Consideremos P = {(x, x 2 ) : x > 0}, entonces A = C\P es algebraicamente abierto, porque 0 pertenece al interior algebraico de A pero no es abierto. Un conjunto A se dice absorbente si para cada x X existe λ > 0 tal que λ 1 x A, para que un convexo sea absorbente es necesario y suficiente que el cero este en su interior algebraico. Una funcional real q : X R es subaditiva si q(x + y) q(x) + q(y), q es una funcional sublineal si además verifica que q(ax) = aq(x) a > 0. La relación entre convexos y funcionales sublineales viene dada por la siguiente proposición. Proposición Sea K un convexo absorbente entonces q K (x) = ínf {t > 0 : x } t K es una funcional sublineal no negativa tal que q K (x) < 1 x ia K. Recíprocamente, si q es una funcional sublineal no negativa entonces K = {x : q(x) < 1} es un convexo absorbente algebraicamente abierto y q = q K. Demostración. Probemos que q K (x + y) q K (x) + q K (y). Sean a > q K (x) y b > q K (y) x/a e y/b son elementos de K, entonces ax/a + by/b a + b es una combinación convexa de x/a e y/b por tanto pertenece a K, de donde a + b q K (x + y), conlcuimos de aqui que q K (x + y) q K (x) + q K (y).

9 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS 8 Definición 1.7. Una funcional como en la proposición anterior se llama funcional de Minkowski para el convexo K. Teorema 1.12 (Hahn-Banach). Sea f una funcional lineal real en un subespacio M X y q una funcional sublineal tal que f(x) q(x) x M, entonces existe una extensión lineal, f, de f a todo X tal que f(x) q(x) x X. Demostración. Sea F = {g : H R funcionales lineales extensiones de f donde H es un subespacio tales que g(x) q(x) x H}. En F ponemos el orden g < h si h es extensión de g, obviamente toda cadena tiene una cota así que tenemos un elemento maximal f 0 : M 0 R, tenemos que probar que M 0 = X. Basta probar que si v X\M 0 podemos extender f 0 a M 0, v pero eso lo hacemos de la siguiente manera, necesitamos definir f 0 (v) de forma que para todo λ, µ R + y x, y M 0 se cumpla que f 0 (x) + λf 0 (v) q(x + λv) o sea que y f 0 (y) µf 0 (v) q(y µv) f 0 (v) 1 λ (q(x + λv) f 0(x)) λ > 0 x M 0 Basta observar que sup y M 0 µ>0 f 0 (v) 1 µ (f 0(y) q(y µv)) µ > 0 y M 0 { 1 µ (f 0(y) q(y µv)) } { } 1 ínf x M λ>0 λ (q(x + λv) f 0(x)) Corolario Sea p una seminorma en X y f una funcional lineal definida en un subespacio M de X que cumple f(x) < p(x) x M. Entonces existe una funcional lineal, f, que extiende a f y cumple que f(x) p(x) x X. Demostración. Como una seminorma es un funcional sublineal el corolario es obvio para funcionales reales sustituyendo x por x. Si X es un espacio vectorial sobre C entonces alcanza con extender g = Re f a una g tal que g(x) p(x) y después tomar f(x) = g(x) ig(ix) ya que, como existe α C de módulo 1 tal que f(x) = αf(x) tenemos que f(x) = αf(x) = g(αx) p(αx) = α p(x) = p(x) Corolario Sea X un espacio normado y f una funcional definida en un subespacio M, lineal y continua. Entonces f tiene una extensión f a X que verifica f = f.

10 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS 9 Corolario Sea X un espacio normado y x 0 0, entonces existe f X tal que f(x 0 ) = x 0 y f = 1. El corolario anterior podría reformularse de esta manera mas general. Corolario Si q es un funcional sublineal positiva y q(x 0 ) 0 entonces existe una funcional lineal real f tal que f(x 0 ) = q(x 0 ) y f(x) q(x) x X. Cualquiera de los corolarios anteriores merece el nombre de teorema de Hahn- Banach. Consideremos el operador J : X X tal que J(x)(ϕ) = ϕ(x), es consecuencia inmediata del corolario 1.15 que J es una isometría. Decimos que H es un hiperplano si S = {v v : v, v H} es un subespacio de codimensión 1. Cualquier hiperplano podemos escribirlo como S + v donde S es un subespacio de codimension 1. Sea H = S +v un hiperplano del espacio vectorial X sobre R, tomamos ϕ tal que ker ϕ = S entonces H = {ϕ 1 (ϕ(v))}. Definimos H + = {x : ϕ(x) > ϕ(v)} y por analogía definimos H. H + y H son los semiespacios determinados por H, son algebraicamente abiertos pero no son necesariamente topológicamente abiertos, para ver esto basta tomar S denso. Se deja como ejercicio probar que la partición X = H + H H no depende de la ϕ elegida. La clausura algebraica de H + es ca(h + ) = H + H. Decimos que H separa los conjuntos A y B si A H + y B ca(h ) o viceversa. Teorema 1.17 (Hahn-Banach). Sea X un e.v. real, A convexo algebraicamente abierto y B convexo disjunto de A entonces existe un hiperplano H que separa A y B. Demostración. Tomamos x 0 A e y 0 B y definimos Z = A B + z 0 donde z 0 = y 0 x 0. Entonces Z es un convexo algebraicamente abierto y 0 Z, tomamos q la funcional de Minkowski para Z, entonces, por el corolario 1.16 existe ϕ una funcional lineal tal que ϕ(z 0 ) = q(z 0 ) 1 (z 0 / Z). Para x A e y B tenemos que ϕ(x) ϕ(y) + ϕ(z 0 ) q(x y + z 0 ) < 1 entonces ϕ(x) ϕ(y) < 1 ϕ(z 0 ) 0 α = sup{ϕ(x) : x A} ínf{ϕ(y) : y B} como A es algebraicamente abierto ϕ(x) < α x A, entonces el hiperplano H = ϕ 1 (α) separa A y B. Corolario Todo convexo algebraicamente abierto es la intersección de todos los semiespacios que lo contienen.

11 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS Topologías lineales Ya hablamos de espacios vectoriales topológicos al principio del capítulo, vamos ahora a dar una definición formal de topología lineal y estudiar los espacios vectoriales topológicos. Definición 1.8. Sea X un espacio vectorial, una topología en X es una topología vectorial, o lineal, si la aplicación + : X X X, (x, y) x + y, es continua, el mapa : K X X, (k, x) kx es continuo y la topología es T 1. Un espacio vectorial con una topología lineal es un espacio vectorial topológico (e.v.t.). Definición 1.9. Si X es un e.v.t. definimos el dual de X, X, como el conjunto de todas las funcionales lineales y continuas. Ejercicio. Es la topología de los algebraicamente abiertos una topología lineal?. Ejemplos. 1. Cualquier subespacio de un e.v.t. es un e.v.t.. 2. Las topología discreta e indiscreta no son lineales ya que una no hace continuo al producto por escalares y la otra no es T Sea S un conjunto arbitrario y K = R ó C, entonces la topología producto en K S es lineal y corresponde, como es sabido, a la convergencia puntual. Consideremos el subespacio (K S ) 0 = {ϕ : sop ϕ es finito} o sea, aquellas ϕ que se anulan salvo en una cantidad finita de puntos. (K S ) 0 hereda una topología vectorial de K S. Deducimos de aquí que todo espacio vectorial puede ser dotado de una topología lineal, basta observar que si β es una base de X entonces X es isomorfo, como e.v., a (K β ) Todo espacio vectorial normado es un e.v.t.. Esto no es necesariamente cierto cuando tenemos una métrica, incluso si es invariante por traslaciones, basta tomar la métrica discreta. Ejercicios. 1. Toda topología lineal es Hausdorff. 2. Basta conocer una base de entornos de 0 para conocer la topología. 3. Para que una métrica invariante por traslaciones induzca un topología lineal es suficiente que λ n 0 λ n x 0 x X λ n K. Definición Un e.v.t. X es metrizable si existe una métrica invariante por traslaciones que induce su topología. Si en e.v.t. es metrizable y es completo decimos que es un espacio de Frechet. Observar que la completitud no depende de la métrica ya que podemos expresarla en términos de la topología vectorial: {x n } es de Cauchy si dado U entorno de 0 existe n 0 tal que si n, m n 0 entonces x n x m U además, x n x si x n x U para todo n n 0.

12 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS 11 Teorema 1.19 (Birkhoff-Kakutani). Un espacio vectorial topológico es metrizable sii satisface el primer axioma de numerabilidad. Convexidad local Definición Un espacio vectorial topológico es localmente convexo si el cero tiene una base de entornos convexos. Como en un espacio vectorial topológico X el interior de un conjunto está contenido en su interior algebraico, resulta bien definida la funcional de Minkowski para un entorno convexo del 0. A partir de este hecho comienza la construcción de funcionales lineales y continuos en espacios localmente convexos. Agregando hipótesis la funcional de Minkowski podría llegar a ser una seminorma, o una norma. El siguiente ejemplo nos muestra que la convexidad local es una hipótesis mínima para asegurarnos una cantidad suficiente de funcionales lineales y continuas. Ejemplo. Para p (0, 1) se define L p (µ) = {f : f p < }. Vamos a tomar µ como la medida de Lebesgue en el [0, 1]. Se verifica fácilmente que (a + b) p a p + b p p (0, 1) por lo tanto definiendo d(f, g) = f g p obtenemos una métrica en L p invariante por traslaciones que induce una topología lineal, además, L p es completo con esta distancia. Es claro que esta métrica no proviene de una norma ya que d(λf, 0) = λ p d(f, 0), se podría tratar de arreglar este inconveniente elevando todo a 1/p (como en el caso p 1) pero como p (0, 1) perderíamos la desigualdad triangular. Veamos que hay solo dos convexos abiertos: L p y. Sea V un convexo abierto y f L p, podemos suponer que 0 V así que B(0, r) V. Sea n > 0 tal que n p 1 f p < r Existe una partición del [0, 1] 0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1 tales que xi f f p p = x i 1 n Definimos g i = nx (xi 1,x i]f, cada g i V porque g i p < r, pero como f = 1 n deducimos que f V, por tanto V = L p. n i=1 g i Sea ϕ : L p K una funcional lineal y continua, entonces si D denota el disco unidad en K tenemos que ϕ 1 (D) es un abierto convexo que contiene al cero, por tanto ϕ 1 (D) = L p, por tanto ϕ 0. O sea, (L p ) = {0}.

13 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS 12 Definición Sea X un e.v.t., A X se dice acotado si U entorno del cero λ 0 tal que A λu para todo λ λ 0. Si 0 tiene un entorno acotado se dice que X es localmente acotado. Definición A X se dice equilibrado o balanceado si λa A λ 1. Ejercicios. 1. Si U es un entorno acotado balanceado de 0 entonces {U/n} n N es una base decreciente de entornos de Metrizable no implica localmente acotado. Lema Sea X un e.v.t., entonces 0 tiene una base de entornos equilibrados, si además X es localmente convexo el cero tiene una base de entornos convexos y equilibrados. Demostración. Sea U = {U entornos del 0} y sea U U. Como la multiplicación por escalares es continua existen ε > 0 y V U tales que si λ < ε y v V λv U, o sea, λv U. Entonces W = λv U λ <ε es un entorno equilibrado del cero. Supongamos ahora que U es un entorno convexo y tomemos W como recién, tomando la envolvente convexa de W, co W, obtenemos un entorno convexo y equilibrado de 0 contenido en U. Proposición Sean X, Y un espacios vectoriales topológicos y sea A : X Y un operador. Si existe un entorno U del origen tal que A(U) es acotado entonces es continua. El recíproco es cierto agregando la hipótesis de Y localmente acotado. Corolario Seam X un e.v.t. y ϕ : X K lineal, entonces ϕ es continua sii su núcleo no es denso sii su núcleo es cerrado sii ϕ está acotada en algún entorno de 0. Corolario Un funcional no continuo es sobreyectivo en cualquier abierto de X. Decimos que una familia de funciones F definidas en algún espacio Y, separa puntos si dados x, y Y existe f F tal que f(x) f(y). Si la familia F consiste de transformaciones lineales entonces es equivalente que separe puntos a que si x 0 0 entonces f F tal que f(x 0 ) 0. Corolario Si X es un e.v.t. localmente convexo entonces X separa puntos.

14 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS 13 Demostración. Hay que probar que si x 0 0 entonces existe ϕ X tal que ϕ(x 0 ) 0. Existe un entorno convexo del 0, U, tal que x 0 / U, como 0 pertenece al interior algebraico de U la funcional de Minkowski para U, q U, es una funcional sublineal tal que q U (x) 1. Por el corolario 1.16 existe ϕ X tal que ϕ(x) q U (x) y ϕ(x 0 ) = q U (x 0 ). Entonces ϕ(x) 1 en U. Como ϕ no es sobreyectiva en U tendrá que ser continua. Teorema 1.25 (Kolmogorov). Un e.v.t. X es normable si y solo si el localmente convexo y localmente acotado. Demostración. Si X es localmente acotado y localmente convexo existe un abierto acotado V que contiene al origen. Por el lema 1.20 existe un entorno U V, convexo equilibrado y obviamente acotado, del cero. Sea q la funcional de Minkowski de U, como 0 es interior a U es interior algebraico de U, por tanto vale que: q(x + y) q(x) + q(y) x, y X y q(tx) = tq(x) si t > 0. Veamos que q(αx) = α q(x) x X y α K\{0}. { q(αx) = ínf t > 0 : αx } { U = ínf t > 0 : α t t x α } α U Ahora, como α /αu = U porque U es equilibrado tenemos que q(αx) = q( α x) = α q(x). Esto prueba que q es una seminorma en X, y por tanto induce una topología τ. Una base de entornos del origen es U n = {x : q(x) < 1/n}. Veamos que al topología τ es la topología τ del espacio. x U n q(x) < 1/n q(nx) < 1 nx U x 1/nU, y como U es acotado y balanceado 1/nU es una base de entornos decrecientes. Probamos entonces que hay un único punto donde q se anula. Por tanto es una norma y su topología inducida queda determniada por la base de entornos decrecientes encontrada. Teorema Si X es un espacio vectorial topológico de dimensión finita sobre K entonces X es isomorfo a K n. La prueba de este teorema es muy similar a la vista en espacios normados, por lo que será omitida. Corolario En K n hay una única topología vectorial.

15 Capítulo 2 Topologías débiles Informalmente, si tenemos un espacio vectorial topológico X, y notamos X por su dual, vamos a definir la topología débil en X como la topología más débil en X que nos da el mismo dual, o sea, si notamos por τ ω a la topología débil entonces tenemos que (X, τ ω ) = X. La topología débil siempre va a ser localmente convexa, esto nos va a permitir usar muchos resultados del capítulo anterior. Lo interesante es que el estudio de ésta topología nos va dar resultados sobre la topología original Construcción de topologías localmente convexas Sea X un espacio vectorial y P una familia de seminormas que separa puntos, i.e. dado x 0 p P tal que p(x) 0. Para p P y n N definimos { U(p, n) = x X : p(x) < 1 } n Sea β la familia de intersecciones finitas de conjuntos U(p, n). Proposición 2.1. β es base de una topología τ en X lineal y localmente convexa, además τ es la mínima topología que hace continuos a todos los elementos de P. Si P = {p n } es numerable entonces τ es metrizable y viene dada por la métrica d(x, y) = 1 p n (x y) 2 n 1 + p n n (x y) Demostración. Un conjunto A es abierto según τ si para todo x 0 A existen p 1,..., p k P y n 1,..., n k N tales que x 0 + j U(p j, n j ) A 14

16 CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES 15 Observemos que x 0 + j U(p j, n j ) = {x : p j (x x 0 ) < 1/n j j = 1... k} Se deja como ejercicio probar que las operaciones son continuas. Que la topología es T 1 se deduce inmediatamente del hecho de que P separa puntos, si p(x) 0 entonces U(p, p(x)/2) es un entorno del origen que no contiene a x. Como P es una familia de seminormas U(p, n) es convexo y la intersección de convexos es convexa, así que τ es localmente convexa. Obviamente cada p P es continua, sea τ otra topología que verifica esta misma condición, para cada p P y n N existe un entorno del origen V según τ tal que x V p(x) < 1/n V U(p, n), por lo tanto, τ τ. Vale un recíproco de la proposición anterior, si tenemos una topología vectorial localmente convexa, tomamos β una base de entornos convexos y equilibrados del origen y formamos la familia de seminormas P = {p U : U β} donde p U es la funcional de Minkowski para U, entonces P separa puntos y si notamos por τ P la topología inducida por P entonces τ P es la topología original. Observación. Un conjunto es acotado con la topología inducida por una familia de seminormas si y solo si toda seminorma de la familia está acotada en ese conjunto: Si toda p está acotada en A entonces dado V entorno del origen existen n i y p i tales que {x : p i (x) < 1/n i } V, si p i (A) M i tomando M > M i n i i = 1... n se tendrá que A MV. Veamos dos ejemplos. Sea Ω un abierto de R n y C(Ω) = {f : Ω C continuas} y sea K n una sucesión de compactos crecientes a Ω. Sea p n (f) = sup{ f(x) : x K n }. Ésta es una familia de seminormas que separa puntos y por tanto genera una topología localmente convexa y metrizable que viene dada por d(f, g) = 1 p n (f g) 2 n 1 + p n n (f g) (C(Ω), d) es completo porque cada C(K n ) lo es, además no es localmente acotado: Sea U un entorno del cero, U= {f : p n (f) < ε}, si x 0 Ω\K n existe f M C(Ω) tal que f M (x 0 ) = M y f M Kn = 0. Si x 0 K j y V = {f : p j (f) < δ} entonces como f M U para todo M > 0 podemos tomar M para que f M (x 0 )/t = M/t δ o sea f M /t / V, por tanto U no está acotado. Concluimos que metrizable no implica localmente acotado y aplicando el teorema de Kolmogorov tenemos que C(Ω) no es normable. Observar que la topología inducida es la topología de convergencia uniforme sobre compactos. Supongamos ahora Ω un abierto de R 2 y consideremos H(Ω) las funciones holomorfas definidas en Ω, con la topología relativa a C(Ω). Sea A H(Ω) acotado, esto significa que dado n existe M n tal que p n (f) M n f A, o sea

17 CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES 16 que f(z) M n z y para toda f A, o sea que A es una familia uniformemente acotada sobre compactos, aplicando el teorema de Montel tenemos que toda sucesión tiene una subsucesión convergente, o sea, A es compacto. Por lo tanto H(Ω) no es localmente acotado, si lo fuera H(Ω) sería localmente compacto y por tanto de dimensión finita Topologías débil y débil estrella Lema 2.2. Sean ϕ 1,..., ϕ n, ψ funcionales lineales en un espacio vectorial X, entonces son equivalentes 1. Dado ε > 0 existen constantes k 1,..., k n tales que ϕ i (x) < k i implica ψ(x) < ε, 2. ψ es combinación lineal de ϕ 1,..., ϕ n, 3. ker ψ ker ϕ i. Demostración. Es claro que 1) implica 3) y que 2) implica 1). Probemos entonces que 3) implica 2). Podemos suponer que para todo j {1... n} se tiene que k j ker ϕ k k ker ϕ k, aquella ϕ j que no lo verifica tendrá coeficiente 0 en la combinación lineal que encontremos. Tenemos entonces que para cada j existe x j tal que ϕ k (x j ) = 0 si k j y ϕ j (x j ) = 1. Dado x X escribimos y = x n ϕ j (x)x j j=1 entonces ϕ j (y) = 0 j = 1... n por tanto y k ker ϕ k y ker ψ entonces 0 = ψ(x) n ψ(x j )ϕ j (x) j=1 de donde ψ es combinación lineal de ϕ 1,..., ϕ n. Proposición 2.3. Sea X un espacio vectorial y φ un subespacio de X, el dual algebraico de X, que separa puntos. La mínima topología lineal que hace continuos a todos los elementos de φ es una topología localmente convexa y su dual es φ. Demostración. Consideremos la siguiente familia de seminormas P = { ϕ : ϕ φ} Ésta familia separa puntos de X, por la proposición 2.1 P induce una topología lineal localmente convexa, resta ver que φ es su dual. Obviamente cualquier

18 CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES 17 elemento de φ va a ser un operador continuo, sea ahora ψ X continuo, o sea que dado ε > 0 existen k 1,..., k n K y ϕ 1,..., ϕ n tales que ϕ i (x) < 1/k i implica ψ(x) < ε, entonces ψ es una combinación lineal de ϕ 1,..., ϕ n y por tanto un elemento de φ. Definición 2.1. Sea (X, τ) un e.v.t. tal que X separa puntos, la topología de la proposición anterior para X se llama topología débil de (X, τ) y la denotamos por τ ω o simplemente ω. Si (X, τ) es de dimensión finita entonces τ = τ ω porque hay una única topología vectorial. Éste es raramente el caso, si X es normable y de dimensión infinita siempre la topología débil es estrictamente mas débil que la topología original. Un conjunto A es ω-acotado si ϕ(a) está acotado para toda ϕ X. Si U es un entorno de 0 entonces U contiene un conjunto de la forma V = {x : ϕ i (x) < ε i } donde ϕ i X y ε i > 0, si toda ϕ X está acotada en V entonces toda ϕ es combinación lineal de ϕ 1,..., ϕ n o sea que X es de dimensión finita. Concluimos que (X, τ ω ) no es localmente acotado, mas aún, el conjunto V contiene un subespacio de codimension finita, ker ϕ i. Ejemplo. Sea l 1 = {x : N C : x n < } con la norma x = x n. Entonces un sucesión converge débilmente si y solo si lo hace con la norma, por tanto (l 1, τ ω ) no es primer axioma y por tanto no es metrizable. Consideremos J : X (X ) dada por J(x)(ϕ) = ϕ(x) donde ϕ X. J(X) es un subespacio de (X ) que separa puntos, aplicando la proposición 2.3 obtenemos una topología lineal localmente convexa en X. Definición 2.2. La topología inducida por J(X) en X es llamada topología débil estrella y denotada ω. ω es la mínima topología vectorial que hace continuas a todas las evaluaciones, además se deduce que el dual es J(X). Observemos que X es un subconjunto de K X y que la topología ω es la topología relativa del producto ya que un ω -entorno del origen es de la forma {ϕ X : ϕ(x i ) < ε i i = 1... n} donde x 1,..., x n X. O sea, la topología débil estrella es la de la convergencia puntual. Teorema 2.4 (Banach-Alaoglu). Sea X un espacio vectorial topológico, U entorno del 0 entonces es débil -compacto C = {ϕ X : ϕ(x) 1 x U}

19 CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES 18 Demostración. Por ser U entorno del cero existe α(x) tal que x α(x)u o sea que ϕ(x) α(x) si ϕ C por tanto C {ϕ K X : ϕ(x) α(x) x X} = x X D(0, α(x)) que es compacto, donde D(0, α(x)) es el disco de centro 0 y radio α(x) en K. Falta probar que C es cerrado. Sea ϕ 0 en la clausura de C, con la topología producto, x, y X, α K y ε > 0, un entorno de ϕ 0 es {ϕ : (ϕ ϕ 0 )(x) < ε, (ϕ ϕ 0 )(y) < ε y (ϕ ϕ 0 )(x + αy) < ε} Tomamos ϕ en ese entorno y en C, como ϕ es lineal tenemos que ϕ 0 (x + αy) ϕ 0 (x) αϕ 0 (y) = (ϕ 0 ϕ)(x+αy) (ϕ 0 ϕ)(x) α(ϕ 0 ϕ)(y) ε+ε+ α ε = (2 + α )ε, por tanto ϕ 0 es lineal. Sea x U y ε > 0, un entorno de ϕ 0 es {ϕ : ϕ(x) ϕ 0 (x) < ε} si ϕ C es ese entorno entonces ϕ 0 (x) ϕ(x) + ε 1 + ε, por tanto ϕ 0 (x) 1. Concluimos que C = C, como la topología débil estrella en C es la relativa de la producto tenemos que C es ω -compacto. Lema 2.5. Sean τ y τ dos topologías en un conjunto Z, si τ τ, (Z, τ ) es Hausdorff y (Z, τ ) es compacto entonces τ = τ. Corolario 2.6. Sea X es un e.v.t. separable entonces todo subconjunto de X ω -compacto es metrizable. Demostración. La prueba se deduce inmediatamente del hecho que si la familia de seminormas es numerable entonces la topología que inducen es metrizable, y del lema anterior. Por ejemplo, si X es normado entonces B = {ϕ X : ϕ 1} es ω -compacto, por tanto no es un entorno débil del origen, salvo en dimensión finita. Si además X es separable entonces B es metrizable, sin embargo (X, ω ) no tiene que ser metrizable para esto. Medidas invariantes Sea S un espacio topológico localmente compacto y Hausdorff, denotamos por C 0 (S) a aquellas funciones continuas de S C cuyo módulo es pequeño fuera de un compacto. Teorema 2.7 (Riesz). Si dotamos a C 0 (S) con la norma del supremo entonces C 0 (S) es isométricamente isomorfo a M = {medidas complejas regulares de Borel} con la norma µ = µ (S) donde µ denota la variación total de µ. Si S es compacto y ϕ C 0 (S) = C(S) es tal que ϕ(f) 0 si f 0 y ϕ(1) = 1 entonces la medida asociada es una medida de probabilidad.

20 CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES 19 El isomorfismo del teorema de Riesz viene dado por ϕ µ donde ϕ(f) = fdµ. Al identificar C 0 (S) con M tenemos una topología débil estrella en M, a saber, µ n µ en ω si fdµ n fdµ f C 0 (S). Aplicando el teorema de Banach-Alaoglu tenemos que B = {µ M : µ 1} es ω -compacto. Además las medida de probabilidad son un ω -cerrado de B, de donde concluimos que es ω -compacto. M P = {µ M : µ 0 y µ(s) = 1} Supondremos de ahora en más que S es un espacio compacto y Hausdorff. Definición 2.3. Sea F : S S una función continua, decimos que una medida de probabilidad µ es invariante para F si µ(a) = µ(f 1 (A)) para todo A Boreliano. Una medida µ es invariante para F si y solo si hdµ = h F dµ para toda h C(S). El conjunto de las medidas invariantes para F es un convexo ω -compacto, vamos a mostrar que es no vacío. Para x S definimos µ n = 1 n n 1 δ F i (x) i=0 donde δ x (A) = 0 si x / A y δ x (A) = 1 si x A. Como cada µ n es de probabilidad tenemos una subsucesión convergente en ω, µ nk µ. Sea f C(S), entonces entonces fdµ nk = 1 n k 1 n k i=0 fdµ nk f(f i (x)) y f F dµ nk = 1 n k 1 n k i=0 f F dµ nk = 1 n k (f(x) f(f n k (x))) 0 porque f está acotada, por lo tanto fdµ = f F dµ. f(f i+1 (x)) Concluimos que si F : S S es continua entonces el conjunto de las medidas de probabilidad invariantes sobre F es un compacto convexo no vacío. A continuación estudiamos convexos compactos.

21 CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES Convexos compactos En esta sección probaremos el teorema de Krein-Milman que enuncia que podemos recuperar cualquier compacto convexo como la clausura de la envolvente de sus puntos extremales. Teorema 2.8. Sean A y B convexos disjuntos no vacíos de un espacio vectorial topológico X. i) Si A abierto entonces existe ψ X y α R tal que Re ψ(x) < α Re ψ(y) x A y B ii) Si A es compacto, B es cerrado y X es localmente convexo entonces existen ψ X α 1 y α 2 R tales que Re ψ(x) α 1 < α 2 Re ψ(y) x A y B iii) Si X separa puntos, A y B son convexos compactos entonces existe ψ X tal que sup Re ψ(x) < ínf Re ψ(y) x A y B Demostración. La primer parte es un leve refinamiento del teorema de Hahn- Banach ( 1.17). Para la segunda parte usamos el siguiente hecho, válido en cualquier e.v.t.: Si A es un compacto y B es cerrado entonces existe V entorno de 0 tal que (A+V ) B =, si X es localmente convexo podemos tomar V convexo y por tanto A + V es convexo. Aplicando la parte i) y usando el hecho de que A es compacto obtenemos el resultado. Para la última parte tomamos la topología débil en X, ésta es localmente convexa, aplicando la parte ii) obtenemos una ψ (X, ω) que satisface la tesis, como la topología débil no aumenta el dual tenemos que ψ X. Definición 2.4. Sea K un subconjunto de X, un punto x K es extremal si cada vez que escribimos x = ty 0 + (1 t)y 1 con y 0 y 1 K y t [0, 1] entonces t = 0 o t = 1. Un punto x es extremal de K si cada vez que hay un segmento contenido en K que lo contiene, él es extremo del segmento. Si K es convexo es equivalente decir que x es extremal a decir que K\{x} continua siendo convexo. Notamos por ext(k) al conjunto de los puntos extremales de K. Ejemplos. 1. El conjunto de los puntos extremales no es necesariamente cerrado, mismo en dimensión finita, basta tomar un círculo en el plano z = 0 y un segmento vertical en R 3 que intersecta al círculo en un punto. Éste punto no es extremal. 2. En C([0, 1], R) la bola unidad B = { f 1} tiene solo dos puntos extremales f = 1 y f = 1.

22 CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES La envolvente convexa de un cerrado puede no ser cerrada, tomar {(x, x 2 ) : x 0}. 4. Existen ejemplos de compactos convexos en espacios vectoriales topológicos que no tienen puntos extremales. Una variedad afín A es un subespacio corrido del origen. Es decir, para todo v A se tiene que A v es un subespacio de X. Si A es una variedad afín entonces S = {v v : v, v A} es un subespacio de X. Una variedad se dice extremal respecto de K X si A K y siempre que un segmento de K tiene un punto interior en A el segmento está totalmente contenido en A. Observación. La intersección decreciente de variedades afines extremales cerradas respecto de un compacto K es no vacía, ya que, como cada una intersecta a K tenemos una sucesión decreciente de compactos contenidos en K y la intersección de compactos decrecientes es no vacía. Teorema 2.9 (Krein-Milman). Sea X un espacio vectorial topológico tal que X separa puntos y K X un compacto convexo, entonces K es la clausura de la envolvente convexa de sus puntos extremales, o sea, K = co(ext K) Demostración. Sea C = co(ext K). Es obvio que C K, supongamos que hay un punto z K\C. Por el teorema 2.8 existe una funcional lineal real y continua tal que ϕ(z) > ϕ(x) x C. Sea β = máx{ϕ(y) : y K} y H = ϕ 1 (β), obviamente este hiperplano no contiene puntos de C, y por tanto no tiene puntos extremales de K. Ahora, H es una variedad afín extremal ya que si un segmento s K tiene un punto interior en H entonces restringimos ϕ a s y tenemos una función lineal afín de [0, 1] R que toma su máximo en su interior, por lo tanto es contante, o sea s H. Por el lema de Zorn tenemos una variedad extremal afín minimal M H. Ésta M es no vacía por la observación anterior y no podrá contener a más de un punto, de no ser así habrá una ψ X real no constante en M porque X separa puntos. Luego si γ = máx{ψ(y) : y K M} entonces ψ 1 (γ) es una variedad afín extremal estrictamente contenida en M. Como M = {x 0 } éste deberá ser un punto extremal de K, esto contradice el hecho de que en H no había puntos extremales de K, por tanto K C entonces K = C. Corolario Si X es localmente convexo y K X es compacto entonces K co(ext K). Para probar este corolario hay que observar que en la prueba del teorema anterior el único momento donde usamos la convexidad de K era en el hecho de que co(ext K) K. Ahora esto no es necesariamente cierto ya que K no es convexo. Pero la demostración sigue así: si x K\C tenemos que C es un convexo cerrado y {x} es convexo compacto, la hipótesis de convexidad local nos permite usar el item ii) del teorema 2.8. A partir de aquí la prueba sigue

23 CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES 22 igual. Sea F : S S una función continua de un espacio topológico Hausdorff y compacto. Ya vimos que el conjunto de las medidas invariantes sobre F es un convexo compacto no vacío. Veamos ahora que los puntos extremales de este conjunto son medidas ergódicas. Definición 2.5. Una medida µ invariante sobre F es ergódica si cada vez que F 1 (A) = A tenemos que µ(a) = 0 ó µ(a) = 1. La ergodicidad de una medida mide cuan bien distribuye F los puntos de S. Supongamos que µ es un punto extremal de las medida invariantes sobre F, si µ no es ergódica entonces existe A invariante por F tal que µ(a) (0, 1), tomamos µ 0 (E) = µ(e A) µ(a) y µ 1 (E) = µ(e Ac ) µ(a c ) entonces µ = µ(a)µ 0 + µ(a c )µ 1, ésta es una combinación lineal convexa de µ, por tanto µ no es extremal Teorema de Stone-Weierstrass Culminamos el capítulo con la prueba del teorema de Stone-Weierstrass. Weierstrass probó algunos casos particulares y Stone probó finalmente la versión general. Vamos con algunos preliminares. Sea X un espacio vectorial topológico y A X un subespacio. Definimos el anulador de A como A = {ϕ X : ϕ A 0} Por el teorema de Hahn-Banach tenemos que si A = {0} entonces A es denso en X. Definición 2.6. Un álgebra es un espacio vectorial X dotado de un producto : X X X asociativo y distributivo respecto de la suma. Obviamente una subalgebra es un subespacio que continua siendo un álgebra. Un álgebra es normada si X es un espacio normado y xy x y. Sea X un espacio de Banach, si es además un álgebra normada decimos que X es un álgebra de Banach. Si S es compacto y Hausdorff entonces C 0 (S) = C(S) es un álgebra de Banach con el producto punto a punto. Abusaremos notación y escribiremos C(S) = M según el teorema de Riesz ( 2.7). Definición 2.7. Sea µ una medida. El soporte de µ es el complemento de aquellos puntos que tienen un entorno que mide 0 según µ. O sea Obviamente sop µ es cerrado. sop µ = {x : U entorno de x / µ (U) = 0}

24 CAPÍTULO 2. TOPOLOGÍAS DÉBILES 23 Lema Sea A una subalgebra cerrada de C(S) y µ un punto extremal de K = {ν A : ν 1}. Si f A verifica que 0 f 1 entonces f es constante en el soporte de µ. Demostración. Sean las medidas ν(e) = fdµ y σ(e) = E E (1 f)dµ Vamos a probar que µ = ν/ ν ó µ = σ/ σ. Como µ es extremal de K tenemos que µ = 1. Ahora, ν/ ν K ya que si g A entonces gdν = gfdµ = 0 S S porque gf A, de la misma forma σ/ σ K. Escribimos µ = ν ν/ ν + σ σ/ σ ésta es una combinación convexa porque ν + σ = µ = 1, como µ es extremal tenemos que µ = ν/ ν ó µ = σ/ σ. Supongamos que µ = ν/ ν, la otra opción es totalmente análoga, y tomemos un Boreliano E, entonces fdµ = ν(e) = ν µ(e) = ν dµ E por lo tanto f = ν c.t.p., como f es continua tendrá que coincidir con ν en todo punto de sop µ. Teorema 2.12 (Stone-Weierstrass). Sea A una subálgebra cerrada de C(S) que contiene a las constantes y es cerrada por conjugaciones. Si A separa puntos de S entonces A = C(S) Demostración. Sea K = {ν A : ν 1}. K es un convexo ω -cerrado, por Banach-Alaoglu es ω -compacto y no vacío (0 K). Aplicamos Krein-Milman y obtenemos un punto extremal de K, µ. Sea t 0 sop µ, entonces dado s S tomamos f A tal que 0 f 1 y f(s) f(t 0 ) (para esto usamos todas las propiedades de A), aplicando el lema tenemos que s / sop µ, por tanto sop µ = {t 0 } entonces µ = αδ t0 con α C y α = 1. Como µ A tenemos que α = 1dµ = 0 por tanto µ = 0. Concluimos que {0} es el único punto extremal de K, así A = {0} y por tanto A es denso en C(S), como A es cerrado tenemos que A = C(S). E

25 Capítulo 3 Espacios de Hilbert 3.1. Teoría Básica Un producto interno (p.i.) en un espacio vectorial H es un mapa, ; H H C que verifica: 1. αx + βy, z = α x, z + β y, z x, y, z H y α, β C. 2. x, y = y, x x, y H y α C. 3. x, x 0 y es nulo sii x = 0. Si H es un espacio vectorial dotado de un producto interno decimos que es un espacio pre-hilbertiano. Todo producto interno induce una norma en H de la forma x = x, x. Si (H, ) es un espacio de Banach decimos que (H,, ) es un espacio de Hilbert. Observación. 1. En un espacio pre-hilbertiano se verifica la desigualdad de Schwartz i.e.: x, y x y y x, y = x y implica x = λy. Demostración. 0 x + λy, x + λy = x 2 + λ 2 y Re λy, x Elegimos λ = x, y / y 2 entonces 0 x 2 + x, y 2 x, y 2 y 2 2 y 2 2. Hay una condición necesaria y suficiente para que una norma sea proveniente de un producto interno: La ley del paralelogramo: x + y x y 2 2 = x 2 + y 2 24

26 CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT 25 Definición 3.1. Dados x e y en un espacio pre-hilbertiano decimos que x es ortogonal a y si x, y = 0 y lo notamos x y. Un conjunto es ortogonal si todos sus elementos son ortogonales dos a dos, y es ortonormal si además todos tienen norma 1. Observación. (Teorema de Pitágoras) Si x y entonces x y 2 = x 2 + y 2. Teorema 3.1 (Gram-Schmidt). Si {x 1,..., x n } es linealmente independiente entonces existe {e 1,..., e n } ortonormal tal que {e i } i=1...k = {x i } i=1...k k = 1... n. Proposición 3.2. Sea H un espacio pre-hilbertiano y sea {e 1,..., e n } un conjunto ortonormal. Escribimos V = {e i } n i=1, entonces dado x H existe un único P V (x) V que verifica x P V (x) x y y V. Además x 2 P V (x) 2. Demostración. Tal P V (x) tendrá que escribirse de la forma λ 1 e λ n e n y x P V (x) será ortonormal a todos los e i entonces n 0 = x λ i e i, e j = x, e j λ j e j, e j i Así obtenemos nuestro candidato, P V (x) = n i=1 x, e i e i. Sea y V, por Pitágoras tenemos que x P V (x) 2 + P V (x) y 2 = x y 2 Por tanto x P V (x) x y y la igualdad es válida solamente cuando P V (x) = y. Es claro que x P V (x) P V (x), así, nuevamente por Pitágoras, x 2 = P V (x) 2 x P V (x) 2. Como corolario obtenemos la desigualdad de Bessel. Corolario 3.3 (Desigualdad de Bessel). Sea {e α } α I un conjunto ortonormal, entonces sup x, e i 2 x 2 F I finito i F Sean I un conjunto arbitrario y {x i } i I X espacio vectorial topológico. Definimos el conjunto dirigido D = {F I : F finito} ordenado con la inclusión. Si la red S : D X definida por S(F ) = i F x i es convergente denotamos su limite como i I Ejemplos. x i

27 CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT 26 Si X = R y x i no negativos entonces S converge si y solo si sup x i < y el límite es el mismo. F I:F finito i F X = R y x i cualesquiera entonces S converge los x i son nulos salvo una cantidad numerable y la serie de los x i s converge absolutamente. En el caso X = C o R podemos pensar que en I consideramos la medida del conteo y I x i = I x donde x : I X está definido por x(i) = x i. Hechas estas consideraciones observemos lo siguiente. Supongamos que tenemos un conjunto ortonormal {e i } i I y para cada x consideramos el mapa ˆx : I C definido por ˆx(i) = x, e i. Si dotamos I con la medida del conteo la desigualdad de Bessel dice que ˆx 2 = ˆx(i) 2 = x, e i 2 x 2 < I I I Así tenemos que ˆx L 2 (I, conteo). La pregunta es que condiciones hay que pedirle al conjunto ortonormal {e i } y al espacio H para que la aplicación x ˆx sea un isomorfismo lineal. Proposición 3.4. Sea {e i } i I un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H, entonces x, e i e i converge en H. Demostración. Por la desigualdad de Bessel, solo una cantidad numerables de x, e i son no nulos, por ejemplo x, e n n N. Solo resta ver que S N = N n=1 x, e n e n es de Cauchy. Ahora S N S M 2 = por la desigualdad de Bessel. N n=m+1 x, e n 2 0 El siguiente teorema clasifica los espacios de Hilbert. Teorema 3.5. Sea H un espacio de Hilbert y {e i } un conjunto ortonormal, las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. {e i } i I = H. 2. {e i } i I es ortonormal maximal. 3. x H se tiene que x = x, e i e i. 4. x 2 = x, e i H es isomorfo a L 2 (I), I con la medida del conteo.

28 CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT 27 Demostración. 1) implica 2). Sea x H ortogonal a todos los e i s, sabemos que dado ε > 0 existe k N tal que x k 1 α ne n < ε. Entonces x 2 = x, x α n e n x x k α n e n 1 Así x < ε ε. Concluimos entonces que x = 0 y por tanto {e i } es ortonormal maximal. 2) implica 3). Sabemos que dicha suma converge por la proposición 3.4, pongamos y = x, e i e i, es una simple cuenta verificar que x y e i para todo i I. 2) implica que x y = 0 y por tanto 3). 3) implica 4). Fácil. 4) implica 5). Para x H definimos ˆx : I C dado por ˆx(i) = x, e i entonces ˆx L 2 (I) y x = ˆx. Tenemos que ϕ : H L 2 (I) donde ϕ(x) = ˆx es una isometría lineal, resta ver al sobreyectividad. Sea y L 2 (I), la suma y(i)ei es convergente en H, es claro entonces que si definimos x = y(i)e i tenemos ϕ(x) = y. 5) implica 1). Basta probar que el espacio generado por los elementos {ê i } es denso en L 2 (I). Observemos que ê i (j) = δ ij. Tomemos x L 2 (I) entonces x(i) = 0 salvo para una cantidad numerable de i s pongamos i 1,..., i n,... entonces n x x(i J )ê ij = x(i j ) 2 0 j=1 j=n Tenemos entonces un todo espacio de Hilbert podemos recuperarlo a partir de un conjunto ortonormal maximal, por esto decimos que un conjunto ortonormal maximal es una base de Hilbert. Teorema 3.6. Dos bases de Hilbert tienen el mismo cardinal. Demostración. Sean A y B dos bases de Hilbert de H, ambas de cardinal infinito. Para cada b B definimos A b = {a A : a, b 0} este conjunto es numerable ya que son los coeficientes de b en la base A. Ahora, como B es base tenemos que A = b A b, luego #(A) #(B). repitiendo el razonamiento para B obtenemos que #(B) #(A). Teorema 3.7. La completación de un espacio pre-hilbertiano es un espacio de Hilbert.

29 CAPÍTULO 3. ESPACIOS DE HILBERT 28 Teorema 3.8. H es un espacio de Hilbert separable H tiene una base de Hilbert numerable. Demostración. Si {e n } n N es una base de Hilbert entonces el conjunto de las combinaciones finitas de coeficientes racionales de {e n } es un subconjunto denso numerable. Si no tuviéramos una base de Hilbert numerable consideremos la siguiente base, e α (β) = δ αβ. e α : I C y e α e β 2 = e α 2 + e β 2 = 2 entonces 1 {B(e α, 2 )} α I es una familia no numerable de abiertos disjuntos. Sea H un espacio de Hilbert e y H. Definimos ϕ y (x) = x, y, es claro que ϕ y es lineal y la continuidad se deduce inmediatamente de la desigualdad de Schwartz, además ϕ y (y/ y ) = y así ϕ y = y. El siguiente teorema nos dice que todo funcional en un espacio de Hilbert es de esta forma. Teorema 3.9 (De representación de Riesz). El mapa Θ : H H definido por Θ(y) = ϕ y es una isometría sobreyectiva. Demostración. Sea ψ H \{0}, ker ψ es un hiperplano cerrado por tanto existe y 0 H ortogonal a ker ψ. Buscamos λ C para que ψ(x) = x, λy 0, si la igualdad fuera cierta entonces ψ(y 0 ) = λ y 0 2, escribimos entonces λ = ψ(y 0) y 0 2 Para verificar la igualdad en todos los puntos basta escribir x = m + ay 0 con m ker ψ. Esto prueba la existencia de algún y tal que ψ(x) = x, y. Para la unicidad tenemos que si x, y = x, y x entonces x, y y = 0 x y por tanto y y = 0. Observemos que el mapa Θ no es una isomorfismo porque no es lineal, Θ(αy) = αθ(y). De todos modos, si dotamos a H del siguiente producto interno: ϕ y, ϕ z = z, y, tenemos que todo espacio de Hilbert es isomorfo a su dual ya que si {e i } es una base de Hilbert de H entonces {ϕ ei } es una base de Hilbert de H. Tenemos también que todo espacio de Hilbert es reflexivo, aunque esto no es consecuencia de lo dicho en el párrafo anterior. El teorema 3.5 nos dice quienes son todos los espacios de Hilbert, aunque esto puede resultar en cierta perdida de información. Consideremos L 2 (S 1, m), donde m denota la medida de Lebesgue, con el producto interno f, g = S 1 fgd m. Este es un espacio de Hilbert y el teorema de Fejer acierta que {z n : n Z} es una base de Hilbert de L 2 (S 1 ) (también podemos observar esto a partir del teorema de Stone-Weierstrass). Por tanto tenemos un isomorfismo L 2 (S 1 ) = l 2 (N). De aquí nace la teoría de las series de Fourier.