Método de Volumen Finito en la Simulación de Yacimientos

Transcripción

1 Método de Volumen Finito en la Simulación de Yacimientos Seminarios de Modelación Matemática y Computacional : 6to Ciclo Luis Miguel de la Cruz Unidad de Investigación en Cómputo Aplicado DGSCA UNAM luiggi@unam.mx LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 1 / 66

2 Contenido 1 MMC en la producción del petróleo Modelo físico Modelo matemático Modelo discreto 2 Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases 3 Conclusiones LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 2 / 66

3 Proceso general de la MMC La modelación matemática y computacional (MMC) consiste de la construcción de modelos matemáticos de fenómenos que ocurren en la naturaleza y en procesos industriales, y de la solución de éstos mediante el uso de técnicas numéricas y computacionales LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 3 / 66

4 1 MMC en la producción del petróleo Modelo físico Modelo matemático Modelo discreto 2 Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases 3 Conclusiones LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 4 / 66

5 Modelo Físico Un yacimiento petrolero está constituido de un material sólido y poroso (la matriz), cuyos huecos están llenos de fluidos que se separan en tres fases: agua, aceite y gas. En la fase agua sólo hay H2O, pero tanto en la fase de aceite como en la fase de gas hay muchos hidrocarburos de distinta composición LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 5 / 66

6 Modelo Físico En la simulación de yacimientos petroleros (SYP) Rasgos geológicos y estructurales del yacimiento. Fallas, delimitación de unidades geológicas, tipos de rocas y su distribución, etc. Distribución de las propiedades petrofísicas de roca y fluidos. Porosidad, permeabilidad, saturación, etc. Tipo de modelo Una, dos o tres fases (petróleo, agua, aceite). Composicional Modelos térmicos. Reacciones químicas LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 6 / 66

7 Modelo Físico En un sistema multifásico, se tienen dos o más fluidos llenando un volumen, los cuales son inmiscibles y están separados por una interfase bien definida, a cada fluido se le llama fases. Las fases se dividen en mojadoras (wetting) y no mojadoras (non-wetting). En general se considera el agua como fase mojadora y el petróleo (aceite) como fase no mojadora. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 7 / 66

8 Modelo Físico Un medio poroso consiste de una matriz sólida y de los poros. La porosidad se define como: φ = Volumen del espacio del poro Volumen representativo (VR) φ e = Volumen del espacio del poro disponible VR φ e φ LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 8 / 66

9 Modelo Físico Las interacciones entre un fluido y la matriz sólida, en un medio poroso, se toman en cuenta mediante la conductividad hidráulica, que para dos o más fluidos se escribe como K = k rαk ραg µ α En esta relación k es la permeabilidad intrínseca de la roca y k rα es la permeabilidad relativa de la fase α. µ α es la viscosidad. En general k es un tensor. En un sistema anisotrópico donde el sistema de coordenadas coincide con las direcciones del flujo principales se tiene: «kxx 0 k = ( en 2D) 0 k yy Si el medio es isotrópico k xx = k yy. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 9 / 66

10 Modelo Físico La saturación de cada fase es: S α = Volumen de la fase α dentro en VR Volumen del espacio del poro en VR Se asume que el VR se llena completamente por las fases de tal manera que se cumple: S α = 1 α En la interfase entre un fluido mojador y uno no mojador ocurren fuerzas interfaciales, las cuales se rigen por la presión capilar: p c = p n p w LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 10 / 66

11 Modelo Físico En la explotación y modelación de un yacimiento petrolero se tienen tres etapas: Producción primaria (10 12 %) Se bombea a través de pozos aprovechando la presión natural del yacimiento. Se modela el movimiento de una o dos fases. Producción secundaria Se inyecta agua para desplazar al petróleo Se modelan tres fases: agua, aceite y gas (al caer la presión parte del petróleo pasa a ser gas) Producción terciaria (EOR) Se inyecta vapor, aditivos químicos, calor, y se hace combustión in situ. Se modela el movimiento del vapor y los aditivos químicos; los cambios de composición química de las fases; el transporte y difusión del calor; la combustión in situ del petróleo. Prod. secundaria + prod. terciaria 40 % LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 11 / 66

12 1 MMC en la producción del petróleo Modelo físico Modelo matemático Modelo discreto 2 Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases 3 Conclusiones LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 12 / 66

13 Modelo Matemático La formulación matemática que se presenta a continuación se hace usando el método axiomático presentado en: 1 Allen, Herrera, y Pinder, Numerical modeling in science and engineering, John Wiley, Herrera y Pinder, General principles of mathematical computational modeling, John Wiley, a ser publicado. En este método se identifican: Propiedades extensivas : aquellas que se pueden expresar como una integral de volumen. Propiedades intensivas : cualquier extensiva por unidad de volumen. E(t) = ψ(x, t)dx B(t) LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 13 / 66

14 Modelo Matemático Al transcurrir el tiempo las propiedades extensivas solamente varían por que se producen en el interior del sistema o porque entran por la frontera. de dt = B(t) g(x, t)dx + τ(x, t) ndx B(t) g(x, t) es la generación de la propiedad extensiva τ(x, t) es el vector de flujo de la propiedad extensiva Ecuación diferencial de balance (ec. gral. de transporte): ψ t + (vψ) = τ + g LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 14 / 66

15 Modelo Matemático Este proceso es sistemático: 1 Identificar una familia de propiedades extensivas. 2 Se expresa la condición de balance de cada una de ellas en términos de las propiedades intensivas correspondientes. 3 Las propiedades asociadas a una misma fase se mueven con la misma velocidad. 4 Se incorporan leyes constitutivas. Modelo unificado de los sistemas multifásicos ψ α t + (v α ψ α ) = τ α + g α α = 1,..., m LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 15 / 66

16 Modelo Matemático: recuperación secundaria Modelo de petróleo negro (beta). Tres fases: agua, aceite y gas. Estas fases están separadas en los poros. En la fase aceite hay dos componentes: aceite no volátil y gas disuelto. En las otras fases hay una sola componente. Hay intercambio entre las fases aceite y gas: el gas disuelto puede pasar a ser gas. El medio está completamente saturado. El medio está en equilibrio térmico. No hay difusión. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 16 / 66

17 Modelo Matemático: recuperación secundaria Propiedades extensivas: La masa del agua La masa del aceite no volatil (fase aceite) La masa del gas disuelto (fase aceite) La masa del gas Propiedades extensivas M w (t) = φs w ρ w dx Propiedades intensivas M o (t) = M dg (t) = M g (t) = B(t) B(t) B(t) B(t) φs o ρ o dx φs o ρ dg dx φs g ρ g dx ψ w = φs w ρ w dx ψ o = φs o ρ o dx ψ dg = φs o ρ dg dx ψ g = φs g ρ g dx ρ o = ρ o + ρ dg LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 17 / 66

18 Modelo Matemático: recuperación secundaria Ecuaciones de balance global dm w Z (t) = g w dx dt B(t) d M o Z (t) = ḡ o dx dt B(t) dm dg Z (t) = g dg + gg o dx dt dm g (t) dt = Z B(t) B(t) g dg + g g o dx Ecuaciones diferenciales de balance (φs wρ w) + (φs wρ wv w ) t = g w (φs o ρ o) + (φs o ρ ov o ) t = ḡ o (φs o RS ρ o) + (φs o ρ dg v o ) t = g dg + gg o (φs gρ g) + (φs gρ gv g ) t = g g + g g o S w + S o + S g = 1 y g o g + g g o = 0 Las g α corresponden a la extracción de cada fase; g o g es la masa de gas que se disuelve en la fase aceite; g g o es la masa de gas disuelto que se volatiliza pasando a la fase gas. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 18 / 66

19 Modelo Matemático: recuperación secundaria Velocidad de Darcy para flujo multifásico u α = φs α v α, α = w, o, g Sustituyendo la velocidad de Darcy se obtiene: (φs w ρ w ) + (ρ w u t w ) = g w (φs o ρ o ) + ( ρ o u t o ) = ḡ o φ(s g ρ g + S o RS ρ o ) + (ρ g u t g + ρ o RS u o ) = g g + R S ḡ o S w + S o + S g = 1 LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 19 / 66

20 Modelo Matemático: recuperación secundaria Ley de Darcy : Flujo multifásico u α = kk rα µ α ( pα + ρ α γ ) donde γ representa la fuerza de la gravedad. Solubilidad: Presiones capilares: ρ dg = R S ρ o p cgo (S g ) = p g p o p cow (S w ) = p o p w LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 20 / 66

21 1 MMC en la producción del petróleo Modelo físico Modelo matemático Modelo discreto 2 Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases 3 Conclusiones LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 21 / 66

22 Modelo discreto Modelo petróleo negro: 9 ecs. por nodo de la malla y el mismo número de incógnitas, (ρ w, ρ o, ρ g, S w, S o, S g, u w, u o, u g ). Modelo composicional: 2 N c + 9 ecuaciones en cada nodo, con el mismo número de incógnitas. N c es el número de componentes. Para 80,000 nodos: Petróleo negro: 7, Composicional: N c = 5; 1, LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 22 / 66

23 Modelo discreto En general no existe solución analítica del modelo matemático. Se usan métodos numéricos para aproximar las soluciones bajo diferentes circunstancias. El problema se transforma en un modelo discreto: Discretización del espacio Discretización de las ecuaciones matemáticas continuas. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 23 / 66

24 Modelo discreto: espacio En los métodos numéricos tradicionales se requiere de la construcción de una malla sobre el dominio físico de estudio. En SYP la generación de la malla es un proceso muy complejo, pues las mallas son irregulares y con fallas. Otra opción son los métodos libres de malla. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 24 / 66

25 Modelo discreto: ecuaciones Algunos métodos de discretización de las ecuaciones son: Diferencias finitas (MDF), Volumen finito (MVF), Elemento finito (MEF), Métodos espectrales, Métodos libres de malla, entre otros. En años recientes el método de MVF, originalmente desarrollado para mallas estructuradas, ha sido adaptado a mallas no estructuradas para geometrías complejas. Debido a esto el MVF ha sido utilizado en SNY, y de acuerdo con varios autores, es actualmente una buena opción a MDF y MEF. Bondades del MVF Menos grados de libertad Conservativo Más fácil de implementar que MEF. Menos esfuerzo computacional que MEF. Más preciso que MDF. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 25 / 66

26 Método de Volumen Finito (MVF) Existen dos posibilidades para ubicar las variables sobre la malla: (a) Cell-Centered (CC) (b) Vertex-Centered (VC) LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 26 / 66

27 Método de Volumen Finito (MVF) El MVF se deriva del método de residuos pesados: L(φ) = 0 Ecuación diferencial φ = a 0 + a 1 x + a 2 x a m x m La substitución de φ produce un residuo R = L( φ) Una solución aproximada Se desea que este residuo sea pequeño en algún sentido WRdx = 0 Ω donde W es un función de peso y la integración se realiza sobre el dominio de interés Ω. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 27 / 66

28 Método de Volumen Finito (MVF) Diferentes versiones del método resultan de la selección de diferentes tipos de funciones de peso. La función de peso más simple es { 1 si x está en el volumen de control W i (x) = 0 en otro caso Esta variante del método de residuos pesados es conocida como método de volumen de control o de volumen finito. Esta formulación implica que la integral del residuo sobre cada volumen de control debe ser cero. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 28 / 66

29 Método de Volumen Finito (MVF) El método de volumen finito ha sido usado con éxito en la aproximación de soluciones de una amplia variedad de problemas en dinámica de fluidos, electromagnetismo, modelos biológicos y muchas otras áreas gobernadas por leyes de conservación. Los esquemas numéricos resultantes del FVM poseen propiedades de conservación locales intrínsecas. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 29 / 66

30 Etapas del MVF 1 Generación de la malla. El dominio de estudio se discretiza en un número de volúmenes de control no sobrepuestos, de tal manera que existe un volumen rodeando a cada punto de la malla. 2 Integración. Se realiza una integración de las ecuaciones gobernantes del problema sobre cada volumen de control del dominio de estudio. 3 Discretización. Se discretiza cada uno de los diferentes términos resultantes de la integración usando diferentes esquemas numéricos. Esto produce un sistema algebraico de ecuaciones. 4 Solución. Se utiliza algún algoritmo para resolver el sistema algebraico de ecuaciones. Dado que las matrices son en general dispersas, se prefieren algortimos iterativos. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 30 / 66

31 Malla del dominio LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 31 / 66

32 MVF : Integración La ecuación general de transporte se puede escribir como sigue: ψ t + x (uψ) + y (vψ) + z (wψ) = x Γ ψ x + y Γ ψ y + z Γ ψ z + S ψ Integrando la ecuación anterior en un volumen de control, V, y en un intervalo de tiempo, t, se obtiene Z V Z k+1 k ψ t dtdv + Z k+1 k Z k+1 k Z Z V V h x (uψ) + y (vψ) + i z (wψ) dvdt = Γ ψ + Γ ψ + Γ ψ x y y z z h x donde k t y k + 1 t + t. + S ψ i dvdt LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 32 / 66

33 MVF : Integración Considerando que el valor de ψ prevalece sobre todo el volumen, es posible escribir: h i ψ k+1 ψ k V + I I Z k+1 k Cdt = Z k+1 k [D + S] dt. donde se han agrupado los términos convectivos, difusivos y el fuente en C, D y S, respectivamente. Esquema θ = donde θ [0, 1]. Z k+1 k Z k+1 k fdt = h θf k+1 + (1 θ)f ki t 8 >< f k t para θ = 0 fdt = f k+1 t para θ = 1 >: ˆf k+1 + f k t para θ = LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 33 / 66

34 MVF Ahora, tomando en cuenta que el término fuente se linealiza mediante S V = S u + S P ψ k, se tiene: P [ ] V ψ k+1 ψ k I I t [ ] = θ D(ψ k+1 ) C(ψ k+1 ) + S nb nb u + S P ψ k+1 I [ ] +(1 θ) D(ψnb k ) C(ψk nb ) + S u + S P ψ k P C y D son funciones de ψ nb evaluado en el instante k y/o k + 1, dependiendo del valor de θ. La forma de dichas funciones depende de los esquemas numéricos que se usen en la aproximación de los diferentes términos. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 34 / 66

35 Sistema de ecuaciones algebráicas Ecuación general discreta en 3D: a P ψ P = a W ψ W + a E ψ E + a S ψ S + a N ψ N + a B ψ F + a B ψ B + S u. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 35 / 66

36 LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 36 / 66

37 1 MMC en la producción del petróleo Modelo físico Modelo matemático Modelo discreto 2 Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases 3 Conclusiones LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 37 / 66

38 TUNA::FVM Template Units for Numerical Applications: Finite Volume Method Building blocks para el MVF Funciones, Clases, Espacios de nombres en C++ Parametrizados: dimension, precisión, esquemas numéricos Código abierto, GPL. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 38 / 66

39 TUNA::FVM LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 39 / 66

40 TUNA::FVM Ecuación general de transporte: ψ t Versión discreta usando FVM: + (vψ) = τ + g a P ψ P = a W ψ W + a E ψ E + a S ψ S + a N ψ N + a B ψ F + a B ψ B + S u. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 40 / 66

41 1 MMC en la producción del petróleo Modelo físico Modelo matemático Modelo discreto 2 Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases 3 Conclusiones LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 41 / 66

42 TUNA::FVM - Extensión LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 42 / 66

43 Test: flujo en una fase Se considera un dominio horizontal de material poroso, donde la presión inicial es p 0. Luego, la presión en un extremo se eleva a p L. La ecuación lineal, 1D, una fase, asumiendo permeabilidad, viscosidad y compresibilidad constantes, es: φµc k p t = 2 p 2 x con condiciones dirichlet en los extremos. Los datos para este ejemplo de prueba son: φ = 0,2; µ = 1,0; k = 1,0; c = 10 4 ; L = 100; N = 10; p L = 2; P R = 1; T m ax = 0,2; p 0 = 1 LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 43 / 66

44 Usando TUNA::FVM Construcción de la malla: StructuredMesh<Uniform<double, 1> > mesh(length, num_nodes); float dx = mesh.getdelta(x); Campos escalares: ScalarField1D p ( mesh.getextentvolumes() ); Sistema lineal: DiagonalMatrix< double, 1> A(num_nodes); ScalarField1D b(num_nodes); LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 44 / 66

45 Usando TUNA::FVM Ecuación a resolver: ScalarEquation< CDS<double, 1> > single_phase(p, A, b, mesh.getdeltas()); single_phase.setdeltatime(dt); single_phase.setgamma(gamma); single_phase.setdirichlet(left_wall); single_phase.setdirichlet(right_wall); Ciclo de solución: while (t <= Tmax) { single_phase.calccoefficients(); Solver::TDMA1D(single_phase); error = single_phase.calcerrorl1(); single_phase.update(); t += dt; } LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 45 / 66

46 Resultados: flujo en una fase LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 46 / 66

47 Resultados: flujo en una fase LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 47 / 66

48 Resultados: flujo en una fase LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 48 / 66

49 1 MMC en la producción del petróleo Modelo físico Modelo matemático Modelo discreto 2 Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases 3 Conclusiones LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 49 / 66

50 La siguiente formulación se basa en la presión del aceite y la velocidad total, véase COMSOL Implementation of Multiphase Fluid Flow Model in Porous Media, M.A. Viera, D.A. Lopez, A. Moctezuma y A. Ortiz, IMP. Se define lo siguiente: λ α = k rα /µ α funciones de movilidad de fase, para α = w, o, g λ = λ α, movilidad total. fα = λ α /λ, funciones de flujo fraccional. Se cumple fα = 1. ū = ū α, velocidad total. La fase de aceite es continua y bien comportada, por lo que se define p o como la variable de la presión p. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 50 / 66

51 Algunas consideraciones: Se considera solo las fases de agua y aceite, ambas incompresibles. El gas no se disuelve en la fase aceite ( RS = 0). Se ignora el efecto de la gravedad. El medio poroso es homogéneo e isotrópico. Las ecuaciones que resultan son: ( ) dp cow (kλ p) + kλ w S w = q w + q o ds w ( ) + (kλ w p)+ = q w φ S w t dp cow kλ w S w ds w LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 51 / 66

52 Para completar el modelo solo falta definir leyes constitutivas para las permeabilidades relativas (k rw, k ro ) y para la presión capilar aceite-agua p c. donde ω = 1, 2. k rw = S ω e y k ro = (1 S e ) ω S e es la saturación efectiva que se define como: S e = S w S rw 1 S rw S ro donde S rw y S ro son las saturaciones residuales. Entonces la mobilidad total es función de S w : λ = k rw + k ro = 1 ( ) Sw S ω rw + 1 ( 1 S w S rw µ w µ o µ w 1 S rw S ro µ o 1 S rw S ro ) ω LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 52 / 66

53 Se considera un dominio horizontal en 1D, homogéneo y p cow = 0. No hay fuentes, es decir q w = q o = 0 Las ecuaciones con estas condiciones son: (kλ p) = 0 φ S w t (kλ w p) = 0 LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 53 / 66

54 En el trabajo de Viera et al. los datos para esta simulación son: Las condiciones inciales son: p(t 0 ) = 1e + 7Pa; S w (t 0 ) = 0 Condiciones de frontera: S in w = 0,8; p out = 1e + 7Pa LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 54 / 66

55 IMPES Se usa un método tipo IMPES para desacoplar las ecuaciones: Se inicia con una saturación inicial. Se calcula la movilidad total λ. Se resuelve implícitamente la ecuación para la presión. Se calcula la movilidad del agua λ w Se usa la presión calculada antes para resolver la ecuación para la saturación de manera explícita. En cálculo de las movilidades se debe hacer en las caras de los volúmenes de control. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 55 / 66

56 El cálculo de las movilidades se hace usando un esquema Upwind: { usar Sw λ e = P si p P p E, usar Sw E si p P < p E, { usar Sw λ w = W si p P p E, usar Sw P si p P < p E, El uso de promedios pesados causa inestabilidades. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 56 / 66

57 Usando TUNA::FVM Ecuación de presión TwoPhaseEquation< MyScheme<double, 1> > pressure(p, A, b, mesh.getdeltas()); pressure.setdeltatime(dt); pressure.setpermeability(permeability); etc... pressure.setneumann (LEFT_WALL, -injection * mu_w / permeability); pressure.setdirichlet(right_wall); pressure.setsaturation(sw); Ecuación de saturación TwoPhaseEquation< MySchemeExp<double, 1> > saturation(sw, A, b, mesh.getdeltas()); etc... saturation.setdirichlet(left_wall); saturation.setdirichlet(right_wall); saturation.setpressure(p); LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 57 / 66

58 Usando TUNA::FVM IMPES while (t <= Tmax) { pressure.calccoefficients(); Solver::TDMA1D(pressure); error = pressure.calcerrorl1(); pressure.update(); saturation.calccoefficients(); Solver::solExplicit(saturation); error = saturation.calcerrorl1(); saturation.update(); } t += dt; LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 58 / 66

59 ω = 1; µ w /µ o = 1; t max = 300 días; δt = 1da; N = 120. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 59 / 66

60 ω = 1; µ w /µ o = 2; t max = días; δt = 1da; N = 120. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 60 / 66

61 Resultado de Viera et al. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 61 / 66

62 ω = 1; µ w /µ o = 2/3; t max = días; δt = 1da; N = 120. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 62 / 66

63 Resultado de Viera et al. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 63 / 66

64 ω = 2; µ w /µ o = 2/3; t max = días; δt = 1da; N = 120. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 64 / 66

65 Resultado de Viera et al. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 65 / 66

66 Conclusiones Se resolvió Buckley-Leverett en 1D. Se uso MVF estándar. Se usó Upwind para el cálculo de las movilidades en las caras Los resultados son cualitativamente similares a los obtenidos por Viera et al.. Se agregaron nuevas unidades a TUNA::FVM Trabajo futuro: Considerar el caso donde la presión capilar no es cero (Water Flooding) Modelo de petróleo negro: tres fases. Extensión a 2D y 3D. LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 66 / 66