ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

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1 José A. Jiménez Nieto ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES. ECUACIONES LOGARÍTMICAS Ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita figura en un logaritmo. Para resolver una ecuación logarítmica se aplican las propiedades de los logaritmos: M n log a ( M N ) loga M loga N loga loga M - loga N log a M n loga M N la relación log a M loga N M N (si los logaritmos de dos números en la misma base son iguales, entonces los números han de ser también iguales). De esta forma, la ecuación dada se debe epresar en la forma ecuación algebraica M N, que se resuelve como a sabemos. log M log N, pues de esta ecuación se pasa a la a a Resolvamos las siguientes ecuaciones logarítmicas. log log 0 Logaritmo de un producto: log 0 Como log.000, escribimos la ecuación así: log 0 log.000 Por la igualdad de logaritmos: Resolvemos esta ecuación algebraica:.000/0 0 Observa que, también, la ecuación log 0 se puede resolver directamente aplicando la definición de logaritmo: log /0 0 log log (4 ) Logaritmo de una potencia: log log (4 ) Por la igualdad de logaritmos: 4 Resolvemos esta ecuación de º grado: Atención: 4 0 6, Al resolver una ecuación logarítmica pueden aparecer soluciones no válidas como sucede en el ejemplo anterior. La raíz no es válida a que log () no eiste (recuerda que en la definición de logaritmo de un número N se eigía N > 0). Por lo tanto, la única solución válida es 6. log log 6 log Logaritmo de una potencia: log log 6 log Pasamos la incógnita al primer miembro: log log log 6 Operamos: log log 6 Por la igualdad de logaritmos: 6 Matemáticas 4 o ESO (Opción B) Ecuaciones logarítmicas eponenciales

2 José A. Jiménez Nieto log log ( 6) Logaritmo de una potencia: log log ( 6) Como log 00, escribimos la ecuación así: log log ( 6) log 00 Logaritmo de un cociente: log log 00 6 Por la igualdad de logaritmos: 00 6 Operamos: 00( 6) Se resuelve esta ecuación algebraica: 0, 80 Nuevamente, esta ecuación también se podría haber resuelto aplicando la definición de logaritmo: log log ( 6) log EJERCICIOS. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. a) log 4 b) log c) log d) log 0 e) log log 0 f) log log ( ) g) log log h) log log 0 4. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. a) log ( ) log ( ) b) log log ( 6) c) log ( ) log (7 ) d) 4 log log log 4 e) log log (6 ) log 8 log f) log ( 4). Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. 0 a) log log b) log log( ) 7 c) log(0 ) log d) log ( ) log ( ) log. SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema de ecuaciones en el que una al menos de las ecuaciones es logarítmica. Para resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas se aplican los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales las ecuaciones logarítmicas. Primer método: aplicar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Resolvamos el sistema de ecuaciones logarítmicas log log a) Dividimos la ª ecuación por, obteniendo: log log Se suman las dos ecuaciones: log Dividimos por se resuelve: log 0 0 Matemáticas 4 o ESO (Opción B) Ecuaciones logarítmicas eponenciales

3 José A. Jiménez Nieto Sustituimos 0 (ó log ) en cualquiera de las dos ecuaciones hallamos el valor de la otra incógnita; por ejemplo, en la ª ecuación: log Resolvemos: log 0 00 b) Algunas veces es cómodo considerar log, log, como incógnitas, haciendo la sustitución o cambio de variable a log, b log, a b Con dicho cambio obtenemos el sistema lineal: a b Resolviendo se obtiene: a, b Se deshace el cambio: a log, de donde 0 b log, de donde 00 Segundo método: resolvamos, de maneras distintas, el siguiente sistema formado por una ecuación algebraica otra logarítmica. log a) Aplicando las propiedades de los logaritmos para transformar el sistema en otro algebraico. Aplicamos el logaritmo de un producto en la ª ecuación: log Como log 00, escribimos la ecuación así: log log 00, de donde 00 Pasamos así al sistema algebraico siguiente: 00 Para resolverlo, despejamos en la ª ecuación: [] Y sustituimos en la segunda: ( ) 00 Resolvemos la ecuación algebraica correspondiente: 00 4, La raíz 4 no es válida. Obtenemos de []: 4 La solución del sistema es:, 4 b) Aplicando los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales para resolver una ecuación logarítmica. Despejamos la variable en la primera ecuación: Sustituimos en la segunda ecuación: log log ( ) Resolvemos dicha ecuación logarítmica: log [( )] Mediante la definición de logaritmo: ( ) , Al igual que anteriormente:, 4 Ejemplo. log Resuelve el sistema log El sistema es equivalente a: log log Restando las dos ecuaciones: 4 log 4 Dividimos por 4 resolvemos: log 0 Sustituendo en la segunda: log log 00 La solución del sistema es: 00, 0 Matemáticas 4 o ESO (Opción B) Ecuaciones logarítmicas eponenciales

4 José A. Jiménez Nieto EJERCICIOS 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas. 64 log log 00 a) b) log log. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas. log 7 log a) b) log log 6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas. log 7 a) log log b) 4 c) c) c) 8 log 7 log log log log. ECUACIONES EXPONENCIALES Ecuaciones eponenciales son aquellas en las que la incógnita se encuentra en el eponente. Para resolver una ecuación eponencial se aplican las propiedades de las potencias: a n a m a nm a n : a m a n-m a n b n (a b) n a n : b n (a : b) n (a n ) m a n m la relación a m a n ser también iguales). m n (si dos potencias que tienen la misma base son iguales, entonces sus eponentes han de Así, la ecuación dada se intenta epresar en la forma a m a n, de esta ecuación pasamos, por la unicidad de las potencias, a la ecuación algebraica m n, que se resuelve. Resolvamos las siguientes ecuaciones eponenciales. 6 0 Producto de potencias de la misma base: 6 0 Pasamos 6 al segundo miembro se factoriza: 6 Por la igualdad de potencias: 8 Resolvemos la ecuación de segundo grado: 8 0 4, que son ambas válidas Factorizamos 4 8: ( ) Potencia de una potencia: Por la igualdad de potencias: Resolvemos la ecuación correspondiente: / Matemáticas 4 o ESO (Opción B) Ecuaciones logarítmicas eponenciales 4

5 José A. Jiménez Nieto Algunas ecuaciones eponenciales son difíciles de resolver al no poder epresar fácilmente un número como potencia de otro. Esta situación se solventa tomando logaritmos en ambos miembros. En la ecuación 7 no es posible epresar 7 como potencia de. La resolvemos así: Tomamos logaritmos en ambos miembros: log log 7 Logaritmo de una potencia: log log 7 Resolvemos: log 7 ' 080 6' log 0'009 En otros casos puede resultar cómodo considerar,, como incógnitas, haciendo la sustitución o cambio de variable a, b, Se descomponen las potencias: Se divide por 4: Se sustitue 4 por ( ) : ( ) 80 0 Cambio de variable a : a a 80 0 a a 80 0 Resolvemos esta ecuación de segundo grado: a 8, a 0 Deshacemos el cambio: a 8 a 0 0, ecuación que no tiene solución, a que es positivo EJERCICIOS 7. Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales. a) 7 49 b) 7 c). d) 0.76 e) 64 f) 8 g) 6 h) Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales. 7 a) b) 4 4/ 64 c) 49 d) 8 e) 7 9. Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales. a) 0 b) c) 80 d) 6 0 e) 7 0. Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales. a) 7 b) 7 c) 480 d) Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales. a) 0 0 b) c) 8 0 d) Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales. a) b) c) 9 4 d) Matemáticas 4 o ESO (Opción B) Ecuaciones logarítmicas eponenciales

6 José A. Jiménez Nieto 4. SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Un sistema de ecuaciones eponenciales es un sistema de ecuaciones en el que una al menos de las ecuaciones es eponencial. Para resolver un sistema de ecuaciones eponenciales se aplican los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales las ecuaciones eponenciales. Primer método: aplicar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Resolvamos el sistema de ecuaciones eponenciales. a) Sumamos las dos ecuaciones: 8 Dividimos por se resuelve: 4 Resolvemos: Sustituimos (ó 4) en cualquiera de las dos ecuaciones hallamos el valor de la otra incógnita; por ejemplo, en la ª ecuación: 4 Resolvemos: 0 b) Podemos también resolverlo mediante la sustitución o cambio de variable a, b. Con dicho cambio obtenemos el sistema lineal: a b a b Resolviendo se obtiene: a 4, b Deshacemos el cambio: a 4, de donde b, de donde 0 Segundo método: aplicar las propiedades de las potencias para transformar el sistema en otro algebraico. Por ejemplo, resolvamos el sistema 6 8 Descomponemos en factores los segundos miembros: 4 Por la igualdad de potencias, resulta: 4 Resolvemos este sistema lineal:, Ejemplo. Resuelve el sistema Se factorizan las potencias: Hacemos un cambio de variable: a, b 6 El sistema resultante es: a b 807 a b 9 Resolvemos: a, b Matemáticas 4 o ESO (Opción B) Ecuaciones logarítmicas eponenciales 6

7 José A. Jiménez Nieto Matemáticas 4 o ESO (Opción B) Ecuaciones logarítmicas eponenciales 7 Deshacemos el cambio: a b Ejemplo. Resuelve el sistema 6, en el que aparece una sola ecuación eponencial. Despejamos en la ª ecuación: [] Sustituimos [] en la ª ecuación: 6 Se factorizan las potencias: Resolvemos la anterior ecuación: 6 Sustituendo en [] obtenemos : La solución del sistema es:, Ejemplo. Resuelve el sistema 8, en el que nuevamente aparece una sola ecuación eponencial. De la ª ecuación obtenemos: Pasamos así al sistema algebraico siguiente: Resolvemos obtenemos la solución: /, / EJERCICIOS. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones eponenciales. a) 7 b) c) d) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. a) 4 b) /7 7 /7 7 4 c) log ) ( log ) ( log e e e d) e) 4 7

8 José A. Jiménez Nieto. APLICACIONES: INTERÉS COMPUESTO Una persona ingresa de euros en un banco al 7 % anual. Los intereses producidos al final de cada año no se retiran, sino que se acumulan al capital para producir nuevos intereses al año siguiente, así sucesivamente. a) Qué capital tendrá al año, a los dos años, tres años, etc.? b) Cuánto tiempo tendrá que transcurrir para duplicar el dinero que ingresó? 7 a) Los intereses que produce un millón al 7 % al final del primer año son: ' Al final del año tendrá el capital más los interese producidos: ( 0 07) ( 07) Al final del segundo año tendrá este último capital más los nuevos interese producidos: ( 0 07) ( 07) ( 07) Para los años sucesivos formamos la siguiente tabla: Años transcurridos Capital formado ( 07) ( 07) ( 07) ( 07) ( 07) A la vista de la tabla se deduce que el capital formado al cabo de años será: C ( 07) b) Para saber el tiempo en qué duplicará el capital basta con resolver la ecuación ( 07) '07 '07 log Tomamos logaritmos en ambos miembros: log log'07 log log'07 0' log'07 Luego en 0 años 7 días duplicará el capital ingresado. En general, un capital inicial C 0 a un rédito r (epresado en tanto por uno anual) a un interés compuesto que se abona anualmente, se convierte al cabo de t años en el capital C t siguiente: Al final del primer año: C C 0 C 0 r C 0 ( r) Al final del segundo año: C C C r C ( r) C 0 ( r) Al final del tercer año: C C C r C ( r) C 0 ( r) Al final del año t-ésimo: C t C 0 ( r) t Interés compuesto es una le de capitalización tal que los intereses producidos al final de cada periodo se acumulan al capital para producir nuevos intereses en el periodo siguiente. Un capital inicial C 0 a un rédito r (epresado en tanto por uno) a un interés compuesto se convierte al cabo de t periodos de tiempo en el siguiente capital: C t C 0 ( r) t Matemáticas 4 o ESO (Opción B) Ecuaciones logarítmicas eponenciales 8

9 José A. Jiménez Nieto Otras aplicaciones Muchos fenómenos siguen lees análogas a la del interés compuesto; por ejemplo, el crecimiento de poblaciones, a sean personas, animales, bacterias, madera de un bosque, etc. Ejemplo. Una ciudad tiene en la actualidad un censo de personas. Si la tasa de crecimiento anual es del %, cuántas personas habrá dentro de 0 años? Si denotamos por P 0 a la población inicial, P t a la población eistente dentro de t periodos de tiempo, por t c a la tasa de crecimiento, tenemos que la población al cabo de 0 años será de: P 0 P 0 ( t c ) ( 0 0) personas EJERCICIOS. Un fabricante aumenta el precio de sus productos según el IPC, que en los últimos 0 años ha tenido un crecimiento anual medio del 4 %. Cuál es el precio actual de un producto que hace 0 años costaba 00 euros? 6. Se calcula que un bosque tiene m de madera que aumenta un % al año. Cuánto tiempo tardará en duplicarse la cantidad de madera si sigue creciendo en estas condiciones? Otro bosque tiene m la misma tasa de crecimiento. Tardará el mismo tiempo en duplicarse? Depende el tiempo de duplicación de la cantidad de madera inicial? 7. Se dice que en 66 Peter Minuit compró la isla de Manhattan a los indios por 4 dólares. Imagínate que Minuit hubiera puesto en el banco los 4 dólares al 6% de interés compuesto. Cuánto dinero hubiera tenido en 990? 8. Una persona coloca un determinado capital al % durante 0 años a interés compuesto; al cabo del tiempo le entregaron euros. Qué capital ingresó hace 0 años? 9. Un banco nos presta dinero nos comprometemos a devolverlo todo a los años. Nos dicen que habremos de devolver eactamente el doble de lo que nos dieron. Qué intereses nos están cobrando? 0. Lucía ingresa en el banco 00 euros a un interés compuesto del % mensual. Su hermano ingresa la misma cantidad al % de interés anual. Al cabo de un año, qué capital tendrá cada uno?. Un pueblo creció en forma eponencial de habitantes en 980 a habitantes en 990. Suponiendo que continúe el mismo ritmo de crecimiento, cuál será la población en el año 00?. Un ordenador se deprecia de forma gradual a razón del % anual. Si ho compramos un ordenador que cuesta.000 euros: a) Cuál será su valor dentro de años medio? b) Cuál será su valor dentro de meses?. Una población tiene una tasa de crecimiento anual del %. Se pide: a) La función eponencial del crecimiento. b) Si se mantiene este ritmo de crecimiento, cuánto tiempo tardará en duplicarse la población? 4. Las tasas de interés en los préstamos se camuflan muchas veces poniendo tasas mensuales. Equivale un % de interés mensual a un % de interés anual? Razónalo aplicando la fórmula del interés compuesto.. Cuántos años necesita un capital para duplicarse, según que esté colocado al %, al 7 % o al 0 %? Puedes obtener alguna le para que un capital se duplique en función de la tasa de crecimiento? 6. Se calcula que la población en el año 00 será el doble que en 97. Cuál es la tasa de crecimiento anual? Matemáticas 4 o ESO (Opción B) Ecuaciones logarítmicas eponenciales 9

10 José A. Jiménez Nieto Soluciones a los ejercicios propuestos. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. a) log 4 b) log c) log d) log 0 e) log log 0 f) log log ( ) g) log log h) log log 0 4 a) 8 b) / c) 0 d) / e) /6 f) 0 g).000 h).000/. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. a) log ( ) log ( ) b) log log ( 6) c) log ( ) log (7 ) d) 4 log log log 4 e) log log (6 ) log 8 log f) log ( 4) a), b), c), 6 d) 0 ( -0 no es válida) e) f) / ( 0 no es válida). Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. 0 a) log log b) log log( ) 7 c) log(0 ) log d) log ( ) log ( ) log a) 0 b) 0 c) 4 d) 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas. 64 log log 00 8 a) b) c) log log log a) 0, b), 40 c) 6, 8. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas. log 7 log a) b) log log a) 00, /0 b) 6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas. 7 log c) log , c).000 0, 0 log 7 log log log a) b) c) log 4 log a) 00, 0 b) 0,.000 c) 00, 0 7. Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales. a) 7 49 b) 7 c). d) 0.76 e) 64 f) 8 g) 6 h) 7.40 a) b) c) d) 4 e) 7 f) g) h) 6 8. Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales. a) b) 4 4/ 64 c) 7 49 d) 8 e) 7 49 a) b) /4 c), - d) 4, - e), / 9. Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales. a) 0 b) c) 80 d) 6 0 e) 7 log log 80 ' 407 4' 649 c) ' 9887 log log log Matemáticas 4 o ESO (Opción B) Ecuaciones logarítmicas eponenciales 0

11 José A. Jiménez Nieto log 7 log log 0' 864 ' log 0. Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales. a) 7 b) 7 c) 480 d) a) b) c) d) 0. Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales. a) 0 0 b) c) 8 0 d) a), b) /, 0 c), - d), 0. Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales. a) b) c) 9 4 d) a) - b) c) - d) log 4, /. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones eponenciales. 9 a) b) c) d) 7 4 log a), b), c), d), log 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. a) 4 7 b) 7 4 /7 /7 log ( ) log ( ) log c) e e e 4 d) e) a) 4, b) 4, - c) 7, 4 d), e), -. Un fabricante aumenta el precio de sus productos según el IPC, que en los últimos 0 años ha tenido un crecimiento anual medio del 4 %. Cuál es el precio actual de un producto que hace 0 años costaba 00 euros? Se calcula que un bosque tiene m de madera que aumenta un % al año. Cuánto tiempo tardará en duplicarse la cantidad de madera si sigue creciendo en estas condiciones? Otro bosque tiene m la misma tasa de crecimiento. Tardará el mismo tiempo en duplicarse? Depende el tiempo de duplicación de la cantidad de madera inicial? Ambos bosques tardan el mismo tiempo en duplicar su capacidad de madera, 0 años días. Por tanto, el tiempo que tarda es independiente de la madera que tiene al principio. 7. Se dice que en 66 Peter Minuit compró la isla de Manhattan a los indios por 4 dólares. Imagínate que Minuit hubiera puesto en el banco los 4 dólares al 6% de interés compuesto. Cuánto dinero hubiera tenido en 990? $ 8. Una persona coloca un determinado capital al % durante 0 años a interés compuesto; al cabo del tiempo le entregaron euros. Qué capital ingresó hace 0 años? Un banco nos presta dinero nos comprometemos a devolverlo todo a los años. Nos dicen que habremos de devolver eactamente el doble de lo que nos dieron. Qué intereses nos están cobrando? Un interés anual del 4 87 % 0. Lucía ingresa en el banco 00 euros a un interés compuesto del % mensual. Su hermano ingresa la misma cantidad al % de interés anual. Al cabo de un año, qué capital tendrá cada uno? Lucía tendrá 68 su hermano Matemáticas 4 o ESO (Opción B) Ecuaciones logarítmicas eponenciales

12 José A. Jiménez Nieto. Un pueblo creció en forma eponencial de habitantes en 980 a habitantes en 990. Suponiendo que continúe el mismo ritmo de crecimiento, cuál será la población en el año 00? La tasa de crecimiento actual es, aproimadamente, del 4969 %. Por tanto, la población en el año 00 será de habitantes.. Un ordenador se deprecia de forma gradual a razón del % anual. Si ho compramos un ordenador que cuesta.000 euros: a) Cuál será su valor dentro de años medio? b) Cuál será su valor dentro de meses? a) 70 7 b).9 9. Una población tiene una tasa de crecimiento anual del %. Se pide: a) La función eponencial del crecimiento. b) Si se mantiene este ritmo de crecimiento, cuánto tiempo tardará en duplicarse la población? a) P t P 0 0 t (t años) b) años 4. Las tasas de interés en los préstamos se camuflan muchas veces poniendo tasas mensuales. Equivale un % de interés mensual a un % de interés anual? Razónalo aplicando la fórmula del interés compuesto. Se deja para el alumno que comprueba que ambos intereses no son equivalentes. La razón de ello es que si el abono de intereses se realiza anualmente, hasta finalizar el primer año el capital no se incrementa con los intereses; en cambio, si el abono de intereses se realiza mensualmente, al finalizar el primer mes a se ve incrementado el capital con los intereses producidos.. Cuántos años necesita un capital para duplicarse, según que esté colocado al %, al 7 % o al 0 %? Puedes obtener alguna le para que un capital se duplique en función de la tasa de crecimiento? Aproimadamente, 4, 0 7 años, respectivamente. Se deja para el alumno que obtenga una le eperimental aproimada para ello. 6. Se calcula que la población en el año 00 será el doble que en 97. Cuál es la tasa de crecimiento anual? t c % Matemáticas 4 o ESO (Opción B) Ecuaciones logarítmicas eponenciales