Introducción a las Funciones Logarítmicas MATE 3171

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1 Introducción a las Funciones Logarítmicas MATE 3171

2 Logaritmos de base a Anteriormente repasamos que para 0 < a < 1 o a > 1, la función exponencial f(x) = a x es uno-a-uno, y por lo tanto tiene una función inversa. Sea a un número real positivo distinto de 1. El logaritmo base a de x se define como y = log a x si y solo si x = a y para cada x > 0 y cada número real y.

3 Forma Logarítmica vs. Forma Exponential Note que las dos ecuaciones mencionadas en la definición anterior son equivalentes. y = log a x y x = a y. El diagrama muestra que el logaritmo es un exponente.

4 Ejemplos A continuación se muestran varios ejemplos de formas equivalentes: log 3 81 = = 81 log = = 13 1 log 5 5 = = 1 5 log 2 1 = = 1

5 Ejemplos Determine el número si es posible: Debemos encontrar el exponente tal que a y = x.

6 Propiedades de log a x Visualizar el log a x como un exponente nos lleva a las propiedades generales siguientes: (La propiedad 4 sale directamente de la definición de log a x como la inversa de a x. Noten la composición f(g(x))= a log ax )

7 Gráfica de log a x Como log a x es la función inversa de a x, la gráfica de log a x es una reflexión de la gráfica de a x sobre la línea y = x. Aquí se muestran las formas generales de las gráficas para a > 1 :

8 Gráfica de log a x Ambas gráficas son crecientes. Dominio a x : R Rango: (0, ) Dominio log a x: (0, ) Rango: R Ambas gráficas tiene asíntotas. a x : asíntota horizontal y = 0 log a x: asíntota vertical x = 0

9 Gráfica de 2 x y log 2 x

10 Gráfica de 2 x y log 2 x

11 Teorema: log a x es uno-a-uno Cuando a > 1 la función log a x es creciente. Se muestra f(x)=log 2 (x) Cuando 0 < a < 1, log a x es decreciente. Se muestra f(x)=log 1/2 (x) Por lo tanto la función log a x es uno-a-uno.

12 Ejemplo El teorema anterior es especialmente útil al resolver ecuaciones logarítmicas. Resolver:

13 Ejemplo Resolver:

14 Práctica Resolver usando la definición de logaritmos o el teorema de funciones unoa-uno: a) log 3 (x+2) 2 = 1 b) log 2 (x 2 2x) = 3 c) log 3 (2x 2 ) = log 3 (5x + 3) d) log b (x 2 30) = log b (x)

15 Casos Especiales Cuando la base a es 10, llamamos log 10 x el logaritmo común de x ; normalmente se escribe log x en vez de log 10 x. e, llamamos log e x el logaritmo natural de x ; normalmente escribimos ln x en vez de log e x. Algunos ejemplos:

16 Ejemplos Determinar x si:

17 Propiedades para ln y log Aquí se presentan las propiedades de logaritmos discutidos anteriormente, expresadas para los casos especiales a = 10 y a = e :

18 Fórmula para cambiar de base Las propiedades de logaritmos se pueden usar para derivar una fórmula para cambiar de base. La fórmula es útil ya que muchas calculadoras sólo incluyen formas para determinar el logaritmo común y el logaritmo natural. Sea u > 0 y a,b números reales positivos distintos de 1, entonces log b u = log au log a b

19 Formula para cambiar de base Determine el valor, redondeado a 2 lugares decimales, de log Usando la fórmula para cambiar de base log b u = log au log a b log = log 100 log 3 = 2 log Nota que si utilizamos el logaritmo natural log = ln 100 ln

20 Formula para cambiar de base Trazar la gráfica de f(x)= log 4 (x+2) 2 con calculadora gráfica Usando la fórmula para cambiar de base: f(x)= log 4 (x+2) 2 f x = log(x + 2) log (4) 2

21

22 Determinar dominio, rango e interceptos para: g(x) = log 2 (x) 1 Primeramente, recordemos que esta función es una traslación vertical en el plano de f(x) = log 2 (x). dominio: para la funciones logarítmicas lo importante es que el argumento no puede ser negativo. en este caso el argumento es x, así que los valores posibles para x son x > 0. campo de valores: aunque la gráfica haya sido traslada hacia arriba, el campo de valores sigue siendo todos los reales; (, ).

23 Determinar dominio, rango e interceptos para: g(x) = log 2 (x) 1 intercepto en y: g(0) no existe por que 0 NO pertenece al dominio de la función. intercepto en x: y=0 log 2 (x) 1 = 0 int-x ocurre cuando y=0 log 2 (x) = 1 x = 2 1 x = 2 ( 2,0) sumar 1 a ambos lados para dejar la expresión logarítmica sola. Usar la definición de logaritmo para hallar la forma exponencial equivalente. Simplificación Expresar como un punto

24 Determinar dominio, rango e interceptos de h x = log 3 x Observación: h(x) es una traslación vertical y horizontal en el plano de f(x) = log 3 (x). dominio: campo de valores: Nota: La asíntota vertical también se ha trasladado a x = - 3

25 Determinar dominio, rango e interceptos de h x = log 3 x (continuación) intercepto en y: intercepto en x: y=0

26 Práctica Hallar el dominio y los interceptos, si existen, de las siguientes ecuaciones. h x = log 2 x f x = log 4 x + 2 g x = log x p(x) = 3log 2 (x + 8) 4

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