REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)

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1 TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución polinómic es el grdo del término que teng myor grdo Rcionles: En ells hy frcciones lgebrics y l incógnit prece en lgún denomindor. Irrcionles: L incógnit está dentro de un ríz. Eponenciles: L incógnit está en el eponente. Logrítmics: L incógnit está en el rgumento o en l bse del logritmo. ECUACIONES POLINÓMICAS.- ECUACIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO Y DE º GRADO.- Son de nivel básico. ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A DOS.- Son ecuciones polinómics en ls que el término de myor grdo tiene grdo myor o igul que tres. Se resuelven de l siguiente form: 1º. Se epresn con el segundo miembro igul 0: ( ) 0 P en cso de que no esté epresd sí. º.Se fctoriz el polinomio P ( ) en fctores de grdo 1 y y se escribe l ecución fctorizd: (...) (...)... (...) 0 º. Pr que un producto de vrios fctores se 0, es necesrio que se 0 culquier de ellos (...) 0 ; (...) 0 ;..; (...) 0. Se despej l de cd uno de los fctores, escribiendo tods sus soluciones º ( + 1) ( ) ( 5 + ) ( + 1) 0 1 ( doble) 0 0 º ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE º GRADO.- Hy ecuciones que, sin ser de primer ni de segundo grdo, se pueden resolver utilizndo los recursos que y tenemos: ECUACIONES BICUADRADAS Y BICÚBICAS.- Son ecuciones polinómics que se pueden epresr de l form: 6 + b + c 0 (bicudrds) y + b + c 0 (bicúbics) con 0. Pr resolverls: Se hce un cmbio de vrible de l form siguiente:

2 Bicudrds: t, con lo que ( ) t, quedndo: t + bt + c 0 (ecución de º grdo en t). Se despej t con el procedimiento que proced según el tipo de ecución deº grdo que se y un vez obtenido t, se deshce el cmbio pr conseguir los vlores de con: ± t. + 0 ; hcemos: t, quedndo: t t + 0 ; despejmos t: + ± 16 1 ± ± t deshciendo el cmbio: 1 t t 1 ± 1 ± 1 ± 1 Bicúbics: t 6, con lo que ( ) t, quedndo: t + bt + c 0 (ecución de º grdo en t). Se despej t con el procedimiento que proced según el tipo de ecución deº grdo que se y un vez obtenido t, se deshce el cmbio pr conseguir los vlores de con: t ; hcemos: t, quedndo: t 7t 8 0 ; despejmos t: ( ) 8 7 ± ± 81 7 ± 9 t deshciendo el cmbio: t t ECUACIONES RACIONALES.- Ls ecuciones en ls que precen frcciones lgebrics, se denominn ecuciones rcionles. Pr resolver este tipo de ecuciones, se multiplicn sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denomindores. Un vez elimindos los denomindores se resuelve l ecución polinómic obtenid. Al multiplicr los dos miembros de l ecución por un mism epresión lgebric, debemos suponer que est es distint de 0. Si entre ls soluciones obtenids hy lgun que nule lgún denomindor, debemos rechzrl, por eso se debe comprobr que ls soluciones obtenids no nuln los denomindores que intervienen en l ecución.

3 + 1 1 ( 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ± ± 6 ± 6 0 y 1/ 1 1 nul los dos denomindores, sí que h que rechzrl. L solución es: ECUACIONES IRRACIONALES.- Ls ecuciones irrcionles, o ecuciones con rdicles, son quells que tienen l incógnit en el rdicndo (bjo el signo rdicl) Pr resolver un ecución irrcionl, se siguen los siguientes psos: 1º Si l ecución tiene un solo rdicl: Se ísl el rdicl en uno de los dos miembros, psndo l otro miembro el resto de los términos. Si l ecución tiene dos o más rdicles: Se ísl uno culquier de ellos en uno de los dos miembros, psndo l otro miembro el resto de los términos, unque tengn tmbién rdicles. º Se elevn l cudrdo los dos miembros de l ecución. º Si l ecución tiene vrios rdicles, se repiten ls dos primers fses del proceso hst eliminrlos todos. Se resuelve l ecución obtenid. 5º Es imprescindible, en este tipo de ecuciones, comprobr si ls soluciones obtenids verificn l ecución inicil, y que hy que tener en cuent que l elevr l cudrdo un ecución se obtiene otr que tiene ls misms soluciones que l dd y, demás ls de l ecución que se obtiene cmbindo el signo de uno de los miembros de l ecución. Elevr l cudrdo los dos miembros de l ecución, no es un trnsformción que permit psr de un ecución otr equivlente en todos los csos; por ejemplo: L ecución: tiene como solución: Al elevr sus dos miembros l cudrdo: que tiene como soluciones: Observmos que no tienen ectmente ls misms soluciones; sin embrgo, l solución de l primer ecución ( ) se encuentr entre ls soluciones de l segund ( y ), por eso bst con

4 resolver l segund ecución y rechzr ls soluciones de dich ecución que no cumpln l ecución inicil ( / ). 1º º ( 9) ( + ) ( + ) (posibles soluciones) 9 Descrtmos ls soluciones no válids (5º): Pr 5 : Luego 5 es solución de l ecución inicil. Pr : + 9 Luego no es solución. 9 En ls ecuciones irrcionles, l comprobción de ls soluciones form prte de su resolución En este tipo de ecuciones, ls soluciones no se compruebn pr estr seguros de que no nos hemos equivocdo l resolverls, sino pr descrtr ls soluciones etrñs que se hn podido introducir l elevr los dos miembros l cudrdo. ECUACIONES CON VALOR ABOLUTO b b ó y se despej de cd un de ells. b 5 5 ó 5 1 ECUACIONES EXPONENCIALES Ecuciones eponenciles son quells en ls que l incógnit está en el eponente. Pr resolver ests ecuciones se plicn ls propieddes de ls potencis (leíds en los dos sentidos) y se tiene en cuent que: y y

5 En lguns ecuciones result útil tomr logritmos en mbos miembros de l ecución; o plicr l definición de logritmo. En otrs es conveniente relizr un cmbio de incógnit del tipo epresión. Ejemplos: Resolver ls ecuciones: t, pr que simplifique l 1 1 ) ± b) Hcemos el cmbio de vrible: + 7 t t + t + t 1 + t + t 7 7t 1 t Deshcemos el cmbio de vrible: t 1 t ECUACIONES LOGARÍTMICAS Ecuciones logrítmics son quells en ls que l incógnit prece en l bse o en el rgumento de un logritmo. Pr resolverls se modificn sus dos miembros con l yud de ls propieddes de los logritmos, y se tiene en cuent que: log M log N M Es necesrio comprobr si ls soluciones obtenids son válids, teniendo en cuent solo que no están definidos los logritmos de cero ni de los números negtivos, y demás l bse tiene que ser positiv y distint de 1. log + log( + 5) log[ ( + 5)] log100 ( + 5) N 5 ± (5) ( 100) 5 ± ( válid) 5 ± (no vle) 6

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