PRÉSTAMOS. 1. Devolver el CAPITAL PRESTADO o PRINCIPAL en un plazo concreto de tiempo, bien en UN SOLO PAGO, o bien en VARIOS PAGOS, y además a

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1 PRÉSTAMOS I. CONCEPTO. Un PRÉSTAMO FINANCIERO es una operación financiera en la que el PRESTAMISTA entrega al PRESTATARIO una disponibilidad económica representada por el capital financiero ( ; O). En contraprestación, el PRESTATARIO se compromete a: 1. Devolver el CAPITAL PRESTADO o PRINCIPAL en un plazo concreto de tiempo, bien en UN SOLO PAGO, o bien en VARIOS PAGOS, y además a 2. Pagar un PRECIO FINANCIERO, que denominamos tipo de interés del préstamo (i). II. CLASIFICACIÓN. A) Préstamos con devolución del PRINCIPAL ( ) EN UN SOLO PAGO. 1. Préstamos con devolución del PRINCIPAL e INTERESES en un solo pago. Ejemplo: Bonos y obligaciones CUPÓN CERO. 2. Préstamo con PAGO PERIÓDICO DE INTERESES y devolución del principal en un solo pago. Ejemplo: Certificados de depósito y bonos y obligaciones americanas. 3. Préstamos con PAGO PERIÓDICO DE INTERESES y devolución del principal en un solo pago, mediante la constitución de un Fondo de Amortización. B) Préstamos con devolución del PRINCIPAL ( ) EN VARIOS PAGOS. 1. Préstamos francés. 2. Préstamo de cuota constante. 3. Préstamo de términos variables linealmente. 4. Préstamo de términos variables acumulativamente. 5. Préstamo alemán. Antes de entrar a estudiar cada uno de los préstamos antes citados, hay que aclarar dos conceptos que sirven para TODOS los préstamos: A) A los PAGOS que realiza el PRESTATARIO al PRESTAMISTA, se les denominan TÉRMINOS AMORTIZATIVOS, y los representaremos por a i. Si la periodicidad de dicho término amortizativo es anual se le denomina ANUALIDAD; si la periodicidad es semestral se le denomina SEMESTRALIDAD,... Unidad 3 Préstamos Pág. 1

2 B) El TÉRMINO AMORTIZATIVO (a i ) se DESGLOSA siempre en la SUMA de 2 componentes: 1. INTERESES (I i ): se calcula aplicando el TIPO DE INTERÉS del préstamo (i) sobre el CAPITAL VIVO (capital del préstamo pendiente de devolver) al INICIO de dicho período. Por lo tanto, al FINAL del período t = i, el prestatario pagará de INTERESES: I i = C i x i siendo C i el CAPITAL VIVO al INICIO del período t = i, e i el tipo de interés del préstamo. 2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN (A i ): es una parte del CAPITAL PRESTADO (C i ), de tal forma que la suma de todas las CUOTAS DE AMORTIZACIÓN contenida en cada término amortizativo, es igual al capital inicial prestado: n A i = 1 Por tanto, el término amortizativo del período i, será: a i = I i + A i III. PRÉSTAMOS CON DEVOLUCIÓN DE PRINCIPAL E INTERESES EN UN SOLO PAGO. Estos préstamos se caraterizan porque el PRESTATARIO no realiza ningún pago durante la vida del préstamo, salvo al final de la misma. En dicho momento (t = n), el PRESTATARIO devolverá tanto el CAPITAL PRESTADO (C i ), como los INTERESES que se han ido generando y acumulando a lo largo de la vida del préstamo [(1 + i) n ]. A) La estructura del préstamo será: Intereses n períodos Es decir, en t = 0 el PRESTATARIO recibe un capital de cuantía. Unidad 3 Préstamos Pág. 2

3 Durante los períodos 0<= t <= (n-1), el PRESTATARIO no realiza ningún pago, por lo que los términos amortizativos de dichos períodos son igual a 0. Al final de los n períodos, devuelve tanto el capital prestado ( ), como los intereses acumulados hasta la fecha. Es decir, realiza un solo pago en t = n, por importe de: a = (1+ i) n B) Un valor mobiliario representativo de este tipo de préstamos, son las OBLIGACIONES y BONOS CUPÓN CERO. En este caso, el adquirente de dichas OBLIGACIONES y BONOS es el que actúa como PRESTAMISTA respecto a la sociedad que emite dichos títulos. La sociedad emisora, en la fecha de amortización de las obligaciones y bonos, se compromete a reembolsar a su titular: por una parte, el valor nominal del título; y por otra parte, los intereses acumulados desde la fecha de emisión hasta la fecha de reembolso, siguiendo por lo tanto, la misma dinámica antes descrita para los préstamos con devolución del principal e intereses en un solo pago. Ejemplo: Una sociedad emite BONOS CUPÓN CERO con las siguientes características: valor nominal /bono; la duración de la emisión es de 4 años; y el valor de emisión de los títulos es del 90%. Los títulos se amortizan anualmente por SORTEO por los siguientes valores de reembolso: 110% para los amortizados en el año 1; 115% para los amortizados en el año 2; 121% para los amortizados en el año 3; y 128% para los amortizados en el año 4. Si un inversor adquiere en el momento de la emisión títulos, los cuales son amortizados de la siguiente manera: títulos al final del año 1 y títulos al final del año 3, cuál es la rentabilidad obtenida por el inversor?. Solución 1º. Como ya apuntamos en el epígrafe V del tema 1, cuando se habla de RENTABILIDAD, en realidad de lo que se trata es de calcular el TANTO DE INTERÉS (i), que iguala los importes monetarios ENTREGADOS y RECIBIDOS por el inversor con ocasión de la inversión, en un determinado momento temporal. En el caso de este inversor, la duración de su inversión es de un total de 3 años (año en el que se amortizan los últimos títulos adquiridos). Por lo tanto, el cálculo de la RENTABILIDAD (i), se realizará en el ámbito de la CAPITALIZACIÓN COMPUESTA. 2º. En segundo lugar, se ha de proceder al cálculo de los importes monetarios ENTREGADOS y RECIBIDOS por el inversor. ENTREGADO En el momento temporal t = 0 (momento de emisión de los títulos), el inversor desembolsa el precio de compra de los mismos. Unidad 3 Préstamos Pág. 3

4 Precio de compra = Valor de emisión x número de títulos adquiridos = 90% x x = RECIBIDO Al tratarse de BONOS CUPÓN CERO, el inversor NO RECIBE nada hasta la fecha de amortización de los mismos. En dicha fecha, el inversor recibirá, tanto el NOMINAL (6.000 ), como los INTERESES ACUMULADOS desde la fecha de emisión hasta la fecha de amortización (PRIMA DE AMORTIZACIÓN). Por lo tanto, al final de año 1 recibirá: Al final del año 3, recibirá: VR = títulos x 110% x = VR = títulos x 121% x = º. Enfrentando lo ENTREGADO con lo RECIBIDO en t = 0, obtenemos la rentabilidad del inversor (i): = x (1 + i) x (1 + i) -3 ENTREGADO RECIBIDO siendo i la RENTABILIDAD DEL INVERSOR. IV. PRÉSTAMOS CON PAGO PERIÓDICO DE INTERESES Y DEVOLUCIÓN DEL PRINCIPAL EN UN SOLO PAGO. Estos préstamos se caracterizan porque, al igual que en el caso anterior, el PRESTATARIO no devuelve el CAPITAL PRESTADO ( ), hasta el final de la vida del préstamo (t = n). Sin embargo, a diferencia del caso anterior, al final de cada período de tiempo el PRESTATARIO satisface los INTERESES devengados en dicho período. A) A este tipo de préstamos se les denomina PRÉSTAMOS AMERICANOS. La estructura de estos préstamos es: I n-1 n Unidad 3 Préstamos Pág. 4

5 En este tipo de préstamo el PRESTATARIO paga al FINAL de cada período los INTERESES devengados durante dicho período y solo al final de la vida del préstamo, paga además el CAPITAL PRESTADO. Como en cada período el PRESTATARIO no devuelve nada del PRINCIPAL, el CAPITAL VIVO al inicio de cada uno de los períodos es exactamente el mismo. Por lo tanto, los INTERESES que paga el prestatario en cada período son cuantitativamente iguales y de importe: I 1 = I 2 =...I n = x i Por tanto, los términos amortizativos que paga el PRESTATARIO al final de cada período, son: 0 <= t <= n-1 a t = I t = x i (Solo intereses) t = n a n = A + I = + x i = (1+ i) (Amortización ( ) MÁS los intereses del período n ) B) Los CERTIFICADOS DE DEPÓSITO son instrumentos bancarios de financiación, representativos de este tipo de préstamos AMERICANOS: Son títulos emitidos por una entidad financiera y adquiridos por un tercero a cambio de una cantidad de dinero (PRINCIPAL). Estos títulos son transferibles por endoso. La entidad financiera emisora del Certificado de Depósito paga a lo largo de la vida del título, INTERESES PERIÓDICOS al tenedor del mismo. Al final de la vida del título, la entidad financiera pagará a su tenedor además del INTERÉS, el PRINCIPAL. Las OBLIGACIONES y BONOS AMERICANOS, son otro valor mobiliario representativo de este tipo de préstamos. Funcionan exactamente igual que los Certificados de Depósito, con la única diferencia de que las OBLIGACIONES y BONOS son emitidos normalmente o bien por el Tesoro Público, o bien por las empresas privadas. V. PRÉSTAMOS CON PAGO PERIÓDICO DE INTERESES Y DEVOLUCIÓN DEL PRINCIPAL EN UN SOLO PAGO, MEDIANTE LA CONSTRUCCIÓN DE UN FONDO DE AMORTIZACIÓN. Estos préstamos son IDÉNTICOS a los del epígrafe IV. Es decir, a lo largo de la vida del préstamo el PRESTATARIO paga: - Al final de cada período de tiempo: los INTERESES generados en dicho período. - Al final de la vida del préstamo (t = n): la totalidad del CAPITAL PRESTADO ( ). La única diferencia con los préstamos del apartado anterior, es que el PRESTATARIO con la finalidad de disponer de la liquidez necesaria al final de la vida del préstamo para devolver el PRINCIPAL ( ), va realizando a lo largo de la vida del préstamo aportaciones a un FONDO, de Unidad 3 Préstamos Pág. 5

6 manera tal que dichas aportaciones junto con los intereses que generan, constituyan un montante igual a en t = n. A) También se le denomina PRÉSTAMO SINKING-FUND. La estructura de estos préstamos es: I F F F n-1 n En este tipo de préstamos, el término amortizativo que paga el PRESTATARIO en cada período se desglosa en dos sumandos: 1. INTERESES (I). Al FINAL de cada período, el prestatario paga los intereses (igual que ocurría en el PRÉSTAMO AMERICANO): I = x i, siendo idénticos en todos los períodos. 2. FONDO (F). Al FINAL de cada período, el prestatario deposita en una cuenta corriente una cantidad F a un tipo de interés r. Al final de la vida del préstamo, la suma de estas cantidades depositadas (F), junto con los intereses por ellos generados, han de ser igual a la cuantía del capital prestado. = F x S n r. Por tanto: F = - S n r Es decir, la estructura del término amortizativo en cada período, será: 0 <= t <= n a = I + F Ejemplo: Un individuo solicita un préstamo de a un TAE del 9%. El préstamo se amortizará en un período de 6 años por el sistema del FONDO DE AMORTIZACIÓN, rentabilizando las cantidades depositadas en el mismo a un TAE del 5%. Unidad 3 Préstamos Pág. 6

7 Se pide: Calcular la cuantía del FONDO ANUAL en los dos siguientes casos: a) Las aportaciones son constantes y vencidas. b) Las aportaciones crecen geométricamente en un 10% anual. Solución Como ya se ha apuntado en el epígrafe V del presente tema, en este tipo de préstamos, el PRESTATARIO paga: - Al final de cada año: los INTERESES generados en dicho período de tiempo. Es decir, al final de cada año, el prestatario satisface en concepto de INTERESES: I 1 = I 2 =... = I 6 = x i = x 0,09 = Además, al final de cada año: realiza APORTACIONES a un FONDO (F k ), de manera tal, que al final de la vida del préstamo (año 6), dichas APORTACIONES junto con los INTERESES que generan (5% anual), constituyan un FONDO FINAL igual al CAPTIAL PRESTADO ( ): 6 F k x (1 + i) 6-k = 1 a) Aportaciones constantes y vencidas. - La estructura del FONDO DE AMORTIZACIÓN sería: = F F F F F F años i = 5% - Planteando el equilibrio financiero en t = 6 años (final del préstamo) y teniendo en cuenta que las aportaciones al fondo constituyen una RENTA ANUAL CONSTANTE Y POSPAGABLE: = F x S 6 i Es decir: = F x S 6 i F = 3.675,43 Unidad 3 Préstamos Pág. 7

8 - Así, el prestatario al FINAL de cada año satisface en concepto de término amortizativo : a = F + I = 3.675, = 5.925,43 b) Aportaciones crecen geométricamente en un 10% anual. - La estructura del FONDO DE AMORTIZACIÓN sería: = F Fxq Fxq 2 Fxq 3 Fxq 4 Fxq años i = 5% - Planteando el equilibrio financiero en t = 6 años (final del préstamo) y teniendo en cuenta que las aportaciones al fondo constituyen una RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DE RAZÓN q = 1,10: = A (F ; q) 6 i x (1 + i) 6 Es decir: q i = F x x (1 + i) 6 (1 + i) - q 6 6 1,10 1 1, = F x x (1 + 0,05) 6 F = 2.897,1039 1,05 1,10 - Así, el prestatario satisface, por ejemplo, al final del año 4 en concepto de término amortizativo : a 4 = F 4 + I = F x q 3 + I = 2.897,1039 x 1, = 6.106,04 Unidad 3 Préstamos Pág. 8

9 VI. CARENCIA EN LOS PRÉSTAMOS. A) Se dice que en un préstamo existe CARENCIA, cuando se retrasa el PAGO DE LA PRIMERA CUOTA DE AMORTIZACIÓN S períodos desde la fecha de concesión del préstamo. Así, un préstamo con S períodos de CARENCIA tendría la forma: A s+1 A s+2 A n s s+1 s+2. n s períodos de carencia B) Existen dos tipos de PRÉSTAMOS CON CARENCIA: 1. PRÉSTAMOS CON CARENCIA SIN PAGO DE INTERESES DURANTE EL PERÍODO DE CARENCIA: En este tipo de préstamos, el PRESTATARIO no paga nada hasta el final del período t = s+1. Por lo tanto, los INTERESES de los períodos de 0 a s, se habrán ACUMULADO hasta el inicio del período t = s+1. Por todo lo expuesto, es por lo que en este tipo de préstamos, se considera que: 1. El préstamo es como si se iniciase al INICIO del período t = s La cuantía del capital prestado al inicio del período t = s+1, se considera que es el PRINCIPAL inicial, más los INTERESES acumulados hasta el inicio de t = s+1. Es decir: C s+1 = (1+i) s, y 3. Se considera que el préstamo tiene una DURACIÓN de (n-s) períodos. (1+i) s a 1 a 2 a (n-s) s s+1 s+2... n s períodos de carencia sin pago de intereses Unidad 3 Préstamos Pág. 9

10 2. PRÉSTAMOS CON CARENCIA CON PAGO DE INTERESES DURANTE EL PERÍODO DE CARENCIA: En este tipo de préstamos, el PRESTATARIO paga al final de cada período de carencia los INTERESES generados durante dicho período. Por lo tanto, en este tipo de préstamos, se considera que: 1. El préstamo es como si se iniciara al INICIO del período t = s La cuantía del capital prestado al inicio del período t = s+1, es exactamente igual que el PRINCIPAL inicial concedido. Es decir,. 3. Se considera que el préstamo tiene una DURACIÓN de (n-s) períodos. x i x i x i x i a 1 a 2 a ( n-s) s s+1 s+2. n s períodos de carencia con pago de intereses C) El concepto de CARENCIA es aplicable a cualquier tipo de préstamo. VII. PRÉSTAMO FRANCÉS. A) La estructura de este préstamo es: I 1 A 1 a I 2 a A 2 I n A n a n-1 n B) Este tipo de PRÉSTAMO se caracteriza porque el PRESTATARIO, paga al final de cada período, un término amortizativo (a), cuantitativamente igual en cada período. Así: a 1 = a 2 = a 3 =...= a n = a, conteniendo cada término amortizativo (a), una parte de CUOTA DE AMORTIZACIÓN (A k ) y otra parte de INTERESES (I k ): a = A k + I k Unidad 3 Préstamos Pág. 10

11 Planteando el equilibrio financiero en t = 0, el valor actual de dichos términos amortizativos, debe ser igual al importe del capital inicial prestado ( ): = a x a n i Por tanto, cada término amortizativo será igual a: a = a n i C) Como ya hemos visto anteriormente, cada término amortizativo consta de dos sumandos: 1. INTERESES (I k ): Los INTERESES a pagar al final de cada período se calculan, aplicando el TIPO DE INTERÉS del préstamo, sobre el CAPITAL VIVO al inicio de dicho período. I k = C k x i Para calcular el CAPITAL VIVO al INICIO del período k, podemos plantear el equilibrio financiero al INICIO de dicho período, y calcular el valor actualizado de los términos amortizativos que faltan por pagar: a a a k-1 k k+1... n t = k C k = a x a n- (k-1) i 2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN ( A k): En el caso del préstamo francés las cuotas de amortización a pagar al FINAL de cada período, varían respecto a la del año anterior, en progresión geométrica de razón (1+i). Es decir: A k = A k-1 x (1+i) Cualquier cuota de amortización, la podemos expresar en función de la cuota de amortización del PRIMER AÑO, de forma que: A k = A 1 x (1+i) (k-1) Unidad 3 Préstamos Pág. 11

12 La CUOTA DE AMORTIZACIÓN DEL PRIMER AÑO (A 1 ) la podemos calcular de dos formas: - Primera forma: Puesto que el término amortizativo del primer año es: a = x i + A 1 y una vez calculado a y puesto que e i son datos del problema, podemos calcular A 1 como: A 1 = a x i - Segunda forma: Puesto que la suma aritmética de las cuotas de amortización tiene que ser igual a la cuantía del capital prestado ( ) y puesto que dichas cuotas de amortización varían en progresión geométrica de razón (1+i) entonces: Por tanto: = A 1 +A 1 (1+i)+A 1 (1+i) A 1 (1+i) n-1 = A 1 x S n i A 1 = S n i D) Por último, si el problema nos pide calcular el CAPITAL AMORTIZADO hasta el período k (M k ), habrán de sumarse las cuotas de amortización satisfechas desde el inicio del préstamo, hasta el final del período k : M k = A 1 + A 1 (1+i) + A 1 (1+i) A 1 (1+i) (k-1) = A 1 x S k i Como A 1 =, entonces nos queda que: S n i M k = x S K i S n i Unidad 3 Préstamos Pág. 12

13 Ejemplo: Un individuo solicita un préstamo de a amortizar en 8 años por anualidades constantes, a un TAE del 7%. Se pide: a) Término amortizativo anual. b) Capital vivo al inicio del año 4. c) Componentes del cuadro de amortización del año 6. Solución a) Término amortizativo anual (a). - Como ya se ha apuntado en el presente epígrafe, el PRESTATARIO paga al final de cada año un importe IDÉNTICO (término amortizativo), estando contenido en dicho importe, tanto los INTERESES generados durante el año, como la CUOTA DE AMORTIZACIÓN (A k ) correspondiente: - La estructura de este préstamo es: a = A k + I k a a a a a a a a años i = 7% - Como ocurre en todos los préstamos, el CAPITAL RECIBIDO en t = 0 ( = ), tiene que ser IGUAL al VALOR ACTUAL de las cantidades a ENTREGAR (a) a cambio, a lo largo de la vida del préstamo. Por lo tanto, planteando el equilibrio financiero en t = 0. De donde: = a x a 8 i = a x a 8 0,07 a = ,77 TÉRMINO AMORTIZATIVO ANUAL Unidad 3 Préstamos Pág. 13

14 b) Capital vivo al inicio del año 4. - El planteamietno sería el siguiente: C 4 a a a a a años - Como ocurre en todos los tipos de préstamo, el CAPITAL VIVO al inicio de un período (es decir, el capital PENDIENTE DE AMORTIZAR), tiene que ser IGUAL al VALOR ACTUAL de las cantidades PENDIENTES DE ENTREGAR (a) hasta el final de la vida del mismo. Por lo tanto, planteando el equilibrio financiero en t = 3 (inicio del período 4): De donde: C 4 = a x a 5 0,07 C 4 = ,77 x a 5 0,07 = ,09 c) Componentes del cuadro de amortización del año 6. TÉRMINO CUOTA TOTAL AÑO AMORTIZATIVO INTERESES AMORTIZACIÓN AMORTIZADO CAPITAL (a) (I 4 ) (A 4 ) VIVO (C (M 4 ) 7 ) , , , , ,53 1. INTERESES (I 4 ) Los intereses SIEMPRE se calculan sobre el CAPITAL VIVO al inicio del período. Por ello, lo primero que tengo que calcular es el CAPITAL VIVO AL INICIO DEL AÑO 6 (C 6 ): C 6 a a a años - Como ya hemos apuntado antes, el CAPITAL VIVO al inicio de un período tiene que ser igual al VALOR ACTUAL de las cantidades PENDIENTES DE ENTREGAR (a) hasta el final de la vida del mismo. Por lo tanto planteando el equilibrio financiero en t = 5 (inicio del período 6): C 6 = a x a 3 0,07 = ,77 x a 3 0,07 = ,81 - Una vez calculado el CAPITAL VIVO AL INICIO DEL AÑO 6 (C 6 ), podemos calcular los INTERESES generados a lo largo de ese año: I 6 = C 6 x i = ,81 x 0,07 = 3.076,42 Unidad 3 Préstamos Pág. 14

15 2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN (A 6 ) La puedo calcular de 2 FORMAS: 1ª FORMA: Puesto que el término amortizativo del año 6 es: a = A 6 + I 6 Entonces (dado que son conocidos a e I 6 ) por diferencia obtendré la cuota de amotización : A 6 = a - I 6 = , ,42 = ,35 2ª FORMA: Como ya se ha expuesto en el epígrafe VII del presente tema: A 1 = S n i A 6 = A 1 x (1 + i) 5 Por lo tanto: A 6 = A 1 x (1 + i) 5 = x (1 + i) 5 = x (1,07) 5 = ,35 S n i S 8 0,07 3. TOTAL AMORTIZADO (M 6 ) Como ya se ha expuesto en el epígrafe VII del presente tema: A 1 = S n i M 6 = A 1 x S k i M 6 = A 1 x S 6 i = x S 6 i = x S 6 0,07 = ,47 S n i S 8 0,07 Unidad 3 Préstamos Pág. 15

16 4. CAPITAL VIVO AL FINAL DEL AÑO 6 (C 7 ) Lo puedo calcular de 2 FORMAS: 1ª FORMA: El CAPITAL VIVO AL INICIO DEL PERÍODO 7 (final del año 6) tiene que ser IGUAL al VALOR ACTUAL de las cantidades PENDIENTES DE ENTREGAR (a) hasta el final de la vida del mismo. Por lo tanto, planteando el equilibrio financiero en t = 6 (final del año 6): C 7 a a C 7 = a x a 2 0,07 = ,77 x a 2 0,07 = ,53 2ª FORMA: Si el capital inicialmente prestado ( ) fue de , y al final del año 6 se ha amortizado (devuelto) un total de ,47 (M 6 ), quiere decir que falta por amortizar (CAPITAL VIVO): C 7 = x M 6 = ,47 = ,53 VIII. PRÉSTAMO DE CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE. A) Este tipo de préstamos se caracteriza porque las CUOTAS DE AMORTIZACIÓN que el PRESTATARIO paga al final de cada período, son cuantitativamente iguales. Así: A 1 = A 2 = A 3 =... A n = A Puesto que la suma aritmética de las cuotas de amortización, contenidas en cada término amortizativo, tiene que ser igual al importe del capital prestado ( ), entonces: = A 1 + A 2 + A A n = n x A Por lo tanto, cada cuota de amortización será igual a: A = n Unidad 3 Préstamos Pág. 16

17 B) Para calcular el CAPITAL VIVO al INICIO del período k (C k ), basta con sumar aritméticamente las cuotas de amortización que faltan por pagar desde el inicio del período k hasta el final del préstamo. t = k C k = A k + A k A n = [n - (k-1)] x A C) Los INTERESES que el prestatario tiene que pagar al FINAL del período k, se calculan aplicando el TIPO DE INTERÉS del préstamo (i) sobre el CAPITAL VIVO al inicio del período k : t = k I k = C K x i D) Por último, por lo que respecta a los TÉRMINOS AMORTIZATIVOS (a k ), hay que señalar que en este tipo de préstamos la CUANTÍA del TÉRMINO AMORTIZATIVO de un período, varía respecto a la del año anterior, en progresión aritmética de razón: d = - x i = - A x i n De tal forma que: a k = a k-1 - x i ó a k = a k-1 Ax i n Cualquier TÉRMINO AMORTIZATIVO lo podemos expresar en función del TÉRMINO AMORTIZATIVO del PRIMER AÑO, de forma que: a k = a 1 (k - 1) x i ó a k = a 1 -(k - 1) x A x i n Ejemplo: Un individuo solicita un préstamo de La duración del préstamo es de 6 años. Existe una CARENCIA SIN PAGO DE INTERESES de 3 años. El préstamo se concede a un tanto semestral del 2% y se amortiza por el sistema de cuota de amortización constante anual. Se pide: a) Anualidad del año 2 y 5. b) Capital vivo al inicio del año 5. Unidad 3 Préstamos Pág. 17

18 Solución a) Anualidad del año 2 y 5. - La estructura del préstamo es: C 4 = x (1 + i) 3 a 4 a 5 a años CARENCIA SIN PAGO DE INTERESES - Como los TÉRMINOS AMORTIZATIVOS son ANUALES y sin embargo el TANTO DE INTERÉS es SEMESTRAL, lo primero que hay que hacer es calcular el TANTO DE INTERÉS ANUAL, para que podamos aplicar las fórmulas conocidas: i = (1 + i) 2 1 = (1 + 0,02) 2 1 = 0,0404 anual - En segundo lugar, hay que destacar que se trata de un préstamo con CARENCIA SIN PAGO DE INTERÉS durante los 3 primeros años, por lo tanto, los INTERESES NO PAGADOS en dicho período se ACUMULAN hasta el inicio del año 4, tal y como ya se expuso en el epígrafe VI del presente tema. Así, al inicio del año 4, el CAPITAL VIVO (C 4 ) (es decir, el capital pendiente de devolver) sería de: C 4 = x (1 + i) 3 = x (1 + 0,0404) 3 = ,62 - Por todo lo expuesto hasta el momento, a efectos de calcular los términos amortizativos (a k ) y las cuotas de amortización (A), habrá de considerarse COMO si el préstamo dado fuera: C 4 = ,62 a 4 a 5 a Por lo tanto, la CUOTA DE AMORTIZACIÓN (A) a satisfacer a partir del año 4, será de: C ,62 A 4 = A 5 = A 6 = A = = = 3.753, Unidad 3 Préstamos Pág. 18

19 - Puesto que en este tipo de préstamos, los términos amortizativos DECRECEN EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA de razón - A x i, la anualidad del año 6 será de: a 6 = a 4 (6 4) A x i Por ello, lo primero que tenemos que hacer, es calcular la cuota de amortización del año 4 (a 4 ). a 4 = C 4 x i + A = ,62 x 0, ,87 = 4.208,84 Por lo tanto: Intereses Amortización a 6 = a 4 (6 4) x A x i = 4.208,84-2 x 3.753,87 x 0,0404 = 3.905,52 - La anualidad del año 2 será igual a CERO, ya que en dicho período existe CARENCIA SIN PAGO DE INTERESES, es decir, el prestatario no paga nada, ni en concepto de INTERESES, ni en concepto de AMORTIZACIÓN. b) Capital vivo al inicio del año 5. - El planteamiento es el siguiente: C 5 A A Es decir, al inicio del año 5, el CAPTIAL VIVO (C 5 ) tiene que ser igual a la suma aritmética de las CUOTAS DE AMORTIZACIÓN (A) que faltan por pagar hasta el final de la vida del préstamo: C 5 = A 5 + A 6 = 2 x 3.753,87 = 7.507,74 IX. PRÉSTAMOS DE TÉRMINOS VARIABLES LINEALMENTE. A) Este tipo de préstamos, se caracteriza porque los TÉRMINOS AMORTIZATIVOS que el PRESTATARIO paga al FINAL de cada período, varían respecto al del período anterior, en progresión aritmética de razón d. Es decir: t = k a k = a k-1 + d Cualquier término amortizativo, lo podemos expresa en función del término amortizativo del PRIMER AÑO, de forma que: a k = a 1 + (k - 1) x d Unidad 3 Préstamos Pág. 19

20 B) Este tipo de préstamos, tiene la forma: a 1 a 1 + d a x d... a 1 + (n-1) x d n Planteando el equilibrio financiero en t = 0, el valor actual de todos los términos amortizativos, debe ser igual al importe del capital prestado ( ): d = A (a 1 ; d) n i = a d x n x a n i - i d x n i Puesto que el importe de ; d ; n e i serán datos del problema, de la expresión anterior despajaremos a 1 para obtener el importe del PRIMER TÉRMINO AMORTIZATIVO, y a partir del mismo, poder obtener el resto de TÉRMINOS AMORTIZATIVOS. Por lo tanto: + d x n/i d a 1 = - - d x n a n i i El resto de términos amortizativos será: a k = a 1 + (k - 1) x d C) Como ya hemos visto anteriormente cada TÉRMINO AMORTIZATIVO consta de dos sumandos: 1. INTERESES (I k ): Los INTERESES a pagar al FINAL de cada período se calculan aplicando el TIPO DE INTERÉS del préstamo, sobre el CAPITAL VIVO al INICIO de dicho período: I k = C k x i Para calcular el CAPITAL VIVO al INICIO del período k, podemos plantear el equilibrio financiero al INICIO de dicho período, y calcular el valor actualizado de los términos amortizativos que faltan por pagar: C k a k a k+1... a n k+1 k k+1... n t = k C k = A (a k ; d) n (k-1) i, siendo a k = a 1 + (k - 1) x d Unidad 3 Préstamos Pág. 20

21 2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN (A k ): Las cuotas de amortización a pagar por el PRESTATARIO al FINAL de cada período, k pueden calcularse de dos formas: - Primera forma: Puesto que el término amortizativo del año k es: a k = C k x i + A k una vez calculado a k y C k como ya hemos indicado anteriormente, podemos calcular A k como: A k = a k C k x i - Segunda forma: Si conocemos la cuota de amortización del período anterior, podemos calcular la del período k, ya que: A k = A k-1 x (1 + i) + d Normalmente las cuotas de amortización de este tipo de préstamos, se calculará por la primera de las formas señaladas, al fin de evitar memorizar más fórmulas. D) Por último si el problema nos pide calcular el CAPITAL AMORTIZADO hasta el período k (M k ), lo más sencillo es calcularlo por diferencia entre el CAPITAL INICIAL PRESTADO ( ) y el CAPITAL VIVO al INICIO del período k + 1. Es decir: M k = C k+1, siendo C k+1 = A (a k+1 ; d) n-k i Ejemplo: Se solicita un préstamo de a amortizar en 8 años a un 10% efectivo anual. Los términos amortizados son anules, aumentando cada año en 200. Determinar: a) Término amortizativo del año 3. b) Intereses del año 5. c) Cuota de amortización del año 5. d) Total amortizado hasta el año 4. Unidad 3 Préstamos Pág. 21

22 Solución a) Término amortizativo del año 3. La estructura del préstamos es: a 1 a 1 +d a 1 +2d a 1 +3d a 1 +4d a 1 +5d a 1 +6d a 1 +7d años - Es decir, se trata de un préstamo cuyos términos amortizativos varían en progresión aritmética de razón d = 200. Por lo tanto, dichos términos amortizativos forman una RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA de razón 200, cuyo valor actualizado en t = 0 viene representado por la expresión: A (a 1 ; 200) 8 0,10. - Como ocurre en todos los préstamos, el CAPITAL RECIBIDO en t = 0 ( = ), tiene que ser IGUAL al VALOR ACTUAL de las cantidades a entregar (a k ) a cambio a lo largo de la vida del préstamo. Por lo tanto, planteando el equilibrio financiero en t = 0: De donde: = A (a 1 ;200) 8 0,10 = A (a 1 ;200) 8 0, x = a x 8 x a 8 0,10-0,10 0,10 a 1 = 1.648,43 - Por lo tanto, el término amortizativo del año 3, será: a 3 = a x d = 1.648, x 200 = 2.048,43 b) Intereses del año 5 (I 5 ). Los intereses SIEMPRE se calculan sobre el CAPITAL VIVO al inicio del período. Por ello, lo primero que hay que calcular es el CAPITAL VIVO al INICIO DEL AÑO 5º (C 5 ): C 5 a 1 +4xd a 1 +5xd a 1 +6xd a 1 +7xd años Unidad 3 Préstamos Pág. 22

23 - Como ya se ha apuntado anteriormente, el CAPITAL VIVO al inicio de un período, tiene que ser igual al VALOR ACTUAL de las CANTIDADES PENDIENTES DE ENTREGAR (a k ) hasta el final de la vida del mismo. Teniendo en cuenta que los términos amortizativos forman una RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, y planteando el equilibrio financiero en t = 4 (inicio del año 5): C 5 = A (a x d; 200) 4 0,10 = A (1.648, x 200 ; 200) 4 0, x 4 C 5 = (1.648, x 200) x 4 x a 4 0,10-0,10 0,10 C 5 = 8.636,81 - Una vez calculado el CAPITAL VIVO AL INICIO DEL AÑO 5 (C 5 ), podemos calcular los INTERESES generados a lo largo de dicho año: I 5 = C 5 x i = 8.636,81 x 0,10 = 863,68 c) Cuota de amortización del año 5 (A 5 ). - Puesto que el término amortizativo del año 5 es: a 5 = a x d = 1.648, x 200 = 2.448,43 - Dado que: a 5 = A 5 + I 5 Y dado que son conocidos a 5 e I 5, entonces por diferencia obtendré la cuota de amortización. A 5 = a 5 + I 5 = 2.448,43 863,68 = 1.584,75 Unidad 3 Préstamos Pág. 23

24 d) Total amortizado hasta el año 4 (M 4 ). Si el capital inicialmente prestado ( ) fue de , y al inicio del año 5 aún me queda pendiente de amortizar (C 5 ) la cantidad de 8.636,81, quiere decir que hasta dicha fecha había amortizado un total de: M 4 = - C 5 = ,81 = 3.363,19 X. PRÉSTAMOS DE TÉRMINOS VARIABLES ACUMULATIVAMENTE. A) Este tipo de préstamos se caracteriza porque los TÉRMINOS AMORTIZATIVOS que el PRESTATARIO paga al FINAL de cada período, varían respecto al del período anterior, en progresión geométrica de razón q. Es decir: t = k a k = a k-1 x q Cualquier término amortizativo, lo podemos expresar en función del término amortizativo del PRIMER AÑO, de forma que: a k = a 1 x q (k-1) B) Este tipo de préstamos tiene la forma: a 1 a 1 x q a 1 x q 2... a 1 x q (n-1) n Planteando el equilibrio financiero en t = 0, el valor actual de todos los términos amortizativos, debe ser igual al importe del capital prestado ( ). = A (a 1 ; q) n i En el caso de que q no sea igual a (1 + i), entonces: = A (a 1 ; q) n i = a 1 x q 1 - (1 + i) (1 + i) - q n Unidad 3 Préstamos Pág. 24

25 En el caso de que q = (1 + i), entonces: = a 1 x n x (1 + i) 1 En cualquiera de los casos, puesto que el importe de ; d ; n e i serán datos del problema, de las expresiones anteriores despejaremos a 1 para obtener el importe del PRIMER TÉRMINO AMORTIZATIVO y a partir del mismo, poder obtener el resto de términos amortizativos. Si q no es igual a (1+i), entonces: a 1 = x [(1 + i) q] q i n Si q = (1 + i), entonces: a 1 = x (1 + i) n El resto de términos amortizativos será: a k = a 1 x q (k-1) C) Como ya hemos visto anteriormente, cada TÉRMINO AMORTIZATIVO consta de dos sumandos: 1. INTERESES (I k ): Los INTERESES a pagar al FINAL de cada período, se calculan aplicando el TIPO DE INTERÉS del préstamo, sobre el CAPITAL VIVO al INICIO de dicho período: I k = C k x i Para calcular el CAPITAL VIVO al INICIO del período k, podemos plantear el equilibrio financiero al INICIO de dicho período, y calcular el valor actualizado de los términos amortizativo que faltan por pagar. C k a k a k+1... a n k+1 k k+1... n t = k C k = A (a k ; q) n (k-1) i, siendo a k = a 1 x q (k-1) Unidad 3 Préstamos Pág. 25

26 2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN (A k ): Las cuotas de amortización a pagar por el PRESTARIO al FINAL de cada período, se pueden calcular de dos formas: - Primera forma: Puesto que el término amortizativo del año k es: a k = C k x i + A k una vez calculado a k y C k como ya hemos indicado anteriormente, podemos calcular A k como: A k = a k C k x i - Segunda forma: Si conocemos la cuota de amortización del período anterior, podemos calcular la del período k, ya que: A k = A k-1 (1 + i) a 1 x q (k-2) x (1 - q) Dada la complejidad de cálculo de las cuotas de amortización por la segunda forma señalada, normalmente calcularemos las mismas por el primero de los sistemas indicados, al fin de evitar memorizar más fórmulas. D) Por último, si el problema nos pide calcular el CAPITAL AMORTIZADO hasta el período k (M k ), lo más sencillo es calcularlo por diferencia entre el CAPITAL INICIAL PRESTADO ( ) y el CAPITAL VIVO al INICIO del período k + 1. Es decir: M k = C k+1, siendo C k+1 = A (a k+1 ; q) n-k i Ejemplo: Se concede un préstamo de a amortizar en 7 años a un TAE del 8%, y de forma que los términos amortizativos aumenten cada año en un 3% sobre los del año anterior. Se pide: a) Anualidad del año 4. b) Cuota de amortización del año 6. c) Total amortizado al final del año 5. Unidad 3 Préstamos Pág. 26

27 Solución a) Anualidad del año 4. a 1 a 1 xq a 1 xq 2 a 1 xq 3 a 1 xq 4 a 1 xq 5 a 1 xq años - Es decir, se trata de un préstamo cuyos términos amortizativos varían en progresión geométrica de razón q = 1,03. Por lo tanto, dichos términos amortizativos forman una RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA de razón 1,03, cuyo valor amortizativo en t = 0, viene representado por la expresión A (a 1 ; 1,03) 7 0,08. - Como ocurre en todos los préstamos, el CAPITAL RECIBIDO en t = 0 ( = ), tiene que ser IGUAL al VALOR ACTUAL de las cantidades a entregar (a k ) a cambio a lo largo de la vida del préstamo. Por lo tanto, planteando el equilibrio financiero en t = 0: = A (a 1 ;1,03) 7 0,08 1,03 1-1, = a 1 x 1,08 1,03 7 a 1 = 3.187,19 - Por lo tanto, la anualidad del año 4, será: a 4 = a 1 x q 3 = 3.187,19 x 1,03 3 = 3.482,72 b) Cuota de amortización del año 6. 1º. Puesto que el término amortizativo del año 6 es: a 6 = A 6 + I 6 Entonces la cuota de amortización, la obtendré por diferencia: A 6 = a 6 - I 6 Unidad 3 Préstamos Pág. 27

28 2º. Así, lo primero que hay que calcular es el término amortizativo del año 6: a 6 = a 6 x q 5 = 3.187,19 x 1,035= 3.694,82 3º. En segundo lugar, deberemos de calcular los intereses del año 6 (I 6 ). Los intereses SIEMPRE se calculan sobre el CAPITAL VIVO al inicio del período. Por ello, debemos calcular el CAPITAL VIVO AL INICIO DEL PERÍODIO 6 (C 6 ): C 6 axq 5 axq Como ya se ha apuntado anteriormente, el CAPITAL VIVO al inicio de un período, tiene que ser igual al VALOR ACTUAL de las CANTIDADES PENDIENTES DE ENTREGAR (a k ) hasta el final de la vida del mismo. Teniendo en cuenta que los términos amortizativos forman una RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, y planteando el equilibrio financiero en t = 5 (inicio del año 5): C 6 = A (a 1 + q 5 ; 1,03) 2 0,08 = A (3.694,82; 1,03) 2 0,08 = 1,03 1-1, ,82 x = 6.683,87 1,08 1, Una vez calculado el CAPITAL VIVO AL INICIO DEL AÑO 6 (C 6 ), podemos calcular los INTERESES generados a lo largo de dicho año: I 6 = C 6 x i = 6.683,87 x 0,08 = 534,71 4º. Una vez calculado el término amortizativo del año 6 (a 6 ) y los intereses del año 6 (I 6 ), la cuota de amortización (A 6 ) será: A 6 = a 6 - I 6 = 3.694,82-534,71 = 3.160,11 Unidad 3 Préstamos Pág. 28

29 c) Total amortizado al final del año 5. Si el capital inicialmente prestado ( ) fue de , y al inicio del año 6 aún me queda pendiente de amortizar (C 6 ) la cantidad de 6.683,87, quiere decir que hasta dicha fecha había amortizado un total de: M 5 = C 6 = ,87 = ,13 XI. PRÉSTAMO CON RÉDITO ANTICIPADO. APLICACIÓN AL MÉTODO ALEMÁN. A) Este tipo de préstamos se caracterizan porque el INTERÉS de cada período se paga al INICIO de dicho período (y no al FINAL como venía ocurriendo en los préstamos vistos hasta ahora). Así, el interés correspondiente al primer período de tiempo se paga en el momento t = 0 (momento de la concesión del préstamo). Es decir, si el capital solicitado en la póliza del préstamo es C x 1, el banco ingresará en la cuenta del prestatario C * 1 - I 1 =, siendo: el importe efectivo * ingresado por el prestamista al prestatario en el momento de la concesión del préstamo; el * importe de préstamo solicitado; I 1 el interés que corresponde pagar por utilizar el capital prestado durante el primer período de tiempo de duración del préstamo. Este interés, en lugar de pagarse al FINAL del período 1, se paga al INICIO del período 1, es decir, en el momento t = 0. Al final del año 1, el prestatario pagará: I 1 * = * x i * a) El interés anticipado del período 2: I 2 * = C 2 * x i *, y b) La cuota de amortización del período 1: A 1 Al final del año 2, el prestatario pagará: a) El interés anticipado del período 3: I 3 * = C 3 * x i *, y b) La cuota de amortización del período 2: A 2 Y así sucesivamente, de tal manera que al FINAL del último período de vigencia del préstamo, el prestatario solo pagará la cuota de amortización de dicho período (A n ), ya que el interés anticipado del período n ya se habrá pagado al final del período (n - 1). B) La estructura de este tipo de préstamos es: I 1 * I* 2 I* 3 I* 4 I* n a 1 a 2 a 3... a n-1 a n A 1 A 2 A 3 A n-1 A n * n 1 n Unidad 3 Préstamos Pág. 29

30 C) Para calcular el importe de los TÉRMINOS AMORTIZATIVOS seguiremos siempre los siguientes pasos: - Primero: Planteamos el equilibrio financiero en t = 0 sin aplicar fórmulas y considerando que no se trata de un préstamo de rédito anticipado: = a 1 (1 + i) 1 + a 2 (1 + i) a n (1 + i) -n - Segundo: Hacemos el cambio de las variables e i a las variables que tienen en cuenta la anticipación del rédito: C* 1 e i *. Las relaciones entre unas y otras variables son: = C* 1 (1 - i*) (1 + i) 1 = (1 - i*) Por lo tanto, sustituyendo las variables en la ecuación anterior nos queda: * (1 - i*) = a 1 (1 - i*) + a 2 (1 - i*) a n (1 - i*) n - Tercero: Simplificamos y sustituimos los datos de * e i* para después despejar a t. C* 1 = a 1 + a 2 (1 - i*) a n (1 - i*) n-1 D) Cada término amortizativo consta de dos sumandos. Así, el término amortizativo del período s estará integrado por la suma de: 1. INTERÉS DEL PERÍODO s+1 (I * s+1) y, 2. CUOTA DE AMORTIZACIÓN DEL PERÍODO s (A s ). Una vez calculados los términos amortizativos de cada período, debemos construir el cuadro de amortización de este tipo de préstamos a partir del ÚLTIMO PERÍODO de vida del mismo, ya que en dicho período: a n = A n, puesto que los intereses del período n se pagan al final del período n-1. En el período n - 1, se pagarán: a) los intereses anticipados del período n (I* n ), siendo estos: I* n = C * n x i * = A n x i * y, b) la cuota de amortización del período n-1 (A n-1 ), la cual se calcula por diferencia entre: A n-1 = a n-1 I* n Unidad 3 Préstamos Pág. 30

31 En el período n - 2 se pagarán: a) los intereses anticipados del período n - 1 (I* n-1 ), siendo éstos: I* n-1 = C* n-1 x i* = (A n + A n-1 ) x i* b) la cuota de amortización del período n - 2 (A n-2 ), la cual se calcula por diferencia entre: A n-2 = a n-2 - I* n-1 Y así sucesivamente hasta llegar al período primero de vida del préstamo. Ejemplo: Un individuo solicita un préstamo de a amortizar en 5 años por el sistema de amortización anticipada a un 8% anual, y de forma que los términos amortizativos sean: a ; 2a ; 4a ; 6a y a en cada año respectivamente. Se pide: a) Término amortizativo del año 3. b) Elementos del cuadro de amortización del año 3. Solución a) Término amortizativo del año 3. - La estructura de este préstamo es: I 1 * * a 2a 4a 6a a años Es decir, en el momento t = 0, el individuo ha solicitado un préstamo de ( *) y sin embargo, recibe líquido ( ): = * - I 1 *, siendo I* 1 los intereses anticipados del año 1. = * - * x i* = x 0,08 = I 1 * Por lo tanto, al individuo le llega un total de , pese a haber solicitado una cuantía de Sobre este último importe ( ) se cobran los INTERESES. Unidad 3 Préstamos Pág. 31

32 - A efectos de calcular el TÉRMINO AMORTIZATIVO del año 3, seguiremos los pasos indicados en el epígrafe XI del presente tema: 1º. Planteamos el equilibrio financiero en t = 0 sin aplicar fórmulas y considerando que no se trata de un préstamo de rédito anticipado: = a x (1 + i) a (1 + i) a (1 + i) a (1 + i) -4 + a (1 + i) -5 2º. Hacemos un cambio de variable = C* 1 (1 - i*) (1 + i) -1 = (1 - i*) C* 1 (1 - i*) = a (1 - i*) + 2a (1 - i*) 2 + 4a (1 - i*) 3 + 6a (1 - i*) 4 + a (1 - i*) 5 3º. Simplificamos: C* 1 = a x [1 + 2 x (1 - i*) + 4 x (1 - i*) x (1 - i*) 3 + (1 - i*) 4 ] 4º. Sustituimos los valores de C* 1 e i* : = a x [1 + 2 x (1-0,08) + 4 x (1-0,08) x (1-0,08) 3 + (1-0,08) 4 ] 5º. Despejamos a : a = 3.099,67 - Por lo tanto, el término amortizativo del año 3 será: a 3 = 4 x a = 4 x 3.099,67 = ,68 b) Elementos del cuadro de amortización del año 3. CAPITAL AÑO TÉRMINO INTERESES AMORTIZACIÓN AMORTIZADO CAPITAL AMORTIZATIVO (I* 4 ) (A 3 ) VIVO (C (M 3 ) 4 ) , , , , ,72 1. INTERESES (I* 4 ). Los intereses que se pagan al final del año 3, son los INTERESES ANTICIPADOS DEL AÑO 4. Por lo tanto, dichos intereses se calcularán sobre el CAPITAL VIVO AL INICIO DEL AÑO 4 (C 4 ). - Como ya hemos apuntado en anteriores ocasiones, el CAPITAL VIVO al inicio de un período tiene que ser igual al VALOR ACTUAL de las cantidades PENDIENTES DE ENTREGAR (a k ) hasta el final de la vida del mismo. Por lo tanto, planteando el equilibrio financiero en t = 3 (inicio del año 4) y siguiendo los mismos pasos antes señalados para el cálculo del término amortizado del año 3: C* 4 6a a Unidad 3 Préstamos Pág. 32

33 1º. Equilibrio financiero en t = 3 sin aplicar fórmulas y considerando que no se trata de un préstamo de rédito anticipado: C 4 = 6 a x (1 + i) -1 + a x (1 + i) -2 2º. Hacemos un cambio de variable = C* 1 (1 - i*) (1 + i) -1 = (1 - i*) C* 4 (1 - i*) = 6a (1 - i*) + a x (1 - i*) 2 3º. Simplificamos: 4º. Sustituimos los valores de a e i* : C* 4 = a x [6 x (1 - i*)] C* 4 = 3.099,67 x [6 + (1-0,08)] = ,72 - Una vez calculado el CAPITAL VIVO AL INICIO DEL AÑO 4 (C* 4 ), podemos calcular los INTERESES DEL AÑO 4 que se pagan ANTICIPADAMENTE al final del año 3: I* 4 = C* 4 x i* = ,72 x 0,08 = 1.715, CUOTA DE AMORTIZACIÓN (A 3 ): Puesto que el término amortizativo del año 3 es: a 3 = A 3 + I* 4 Entonces (dado que son conocidos a 3 e I* 4 ), por diferencia obtendré la cuota de amortización : A 3 = a 3 I* 4 = , , 97 = , CAPITAL AMORTIZADO HASTA t = 3 (M 3 ). Si el capital inicialmente percibido (C* 1 ) fue de euros, y al inicio del año 4 aún me queda pendiente de amortizar (C* 4 ) la cantidad de: ,72, quiere decir que hasta dicha fecha había amortizado un total de: M 3 = C* 1 C* 4 = ,72 = ,28 Unidad 3 Préstamos Pág. 33

34 E) Un tipo concreto de préstamos con rédito anticipado, son los PRÉSTAMOS ALEMANES, los cuales se caracterizan porque todos sus términos amortizativos son iguales: I 1 * C* 1 a a a... a n 1. En este caso, para calcular el importe de los términos amortizativos, seguimos las mismas reglas antes indicadas: - Primero: Planteo el equilibrio en t = 0 sin aplicar formulas y considerando que no se trata de un préstamo de rédito anticipado: = a (1 + i) 1 + a (1 + i) a (1 + i) -n - Segundo: Haremos el cambio de variables: = C* 1 (1 - i*) (1 + i) -1 = (1 - i*) - Tercero: Simplificamos: C* 1 (1 - i*) = a [(1 - i*) 1 + a (1 - i*) (1 - i*) n ] C* 1 = a [1+ (1 - i*) (1 - i*) n-1 ] (1) - Cuarto: El sumatorio que se encuentra dentro del corchete es la suma de una progresión geométrica de razón (1 - i*). Si llamamos: a 1 al primer término de la progresión geométrica; a n al último término de la progresión geométrica y r a la razón, la suma de una progresión geométrica es: S = a 1 - a n x r 1 - r En nuestro caso concreto: a 1 - a n x r 1- (1 - i*) n-1 x (1 - i*) 1 - (1 - i*) n S = = = 1 r 1 (1 - i*) i* Unidad 3 Préstamos Pág. 34

35 - Quinto: Puesto que C* 1 e i* son datos del problema, entonces: despejando a de la ecuación (1), nos queda: 1 (1 i*) n C* 1 = a [1 + (1 i*) (1 i*) n-1 ] = a x i* a = C* 1 x i* 1 (1 - i*) n 2. Además, en el caso de que el préstamo sea alemán, se sabe que las CUOTAS DE AMORTIZACIÓN varían en progresión geométrica de razón (1 - i). A s = A s+1 (1 i*) Cualquier cuota de amortización, se puede calcular en función de la del último año: A s = A n (1-i*) n-s, siendo A n = a 3. Por lo tanto los INTERESES de cada período los calcularemos por diferencia entre: I* s = a s-1 A s-1 Ejemplo: El señor X solicita un préstamo de con una duración de 3 años y a un rédito del 10% anual. El préstamo se amortiza por el sistema alemán. Se pide: a) Anualidades que amortizan el préstamo. b) Cuota de amortización del año 1. Unidad 3 Préstamos Pág. 35

36 Solución a) Anualidades que amortizan el préstamo. - La estructura del préstamos es: I* 1 C* 1 a a a A efectos de calcular la anualidad, seguiremos los pasos indicados en el epígrafe XI del presente tema: 1º. Planteamos el equilibrio financiero en t = 0 sin aplicar fórmulas y considerando que no se trata de un préstamo de rédito anticipado: = a x (1 + i) -1 + a x (1 + i) -2 + a x (1 + i) -3 2º. Hacemos un cambio de variable = C* 1 (1 - i*) (1 + i) -1 = (1 - i*) C* 1 (1 - i*) = a x (1 - i*) + a x (1 - i*) 2 + a x (1 i*) 3 3º. Simplificamos: C* 1 = a x [1 + (1 - i*) + (1 - i*) 2 ] 4º. Sustituimos los valores de C* 1 e i* : = a x [1 + (1-0,10) + (1-0,10) 2 ] 5º. Despejamos a : a = ,22 Por lo tanto, la anualidad que amortiza el préstamo es de ,22 anual. b) Cuota de amortización del año 1. - Puesto que se trata de un préstamo ALEMÁN (o de rédito anticipado ), los INTERESES de cada período se pagan ANTICIPADAMENTE en el año anterior. Por lo tanto, la anualidad del ÚLTIMO AÑO, se destinará a pagar EXCLUSIVAMENTE la CUOTA DE AMORTIZACIÓN de dicho año, ya que los INTERESES ya se habrán satisfecho el año anterior. Así: a 3 = A 3 = ,22 Unidad 3 Préstamos Pág. 36

37 - Por otro lado, sabemos que las CUOTAS DE AMORTIZACIÓN varían en progresión geométrica de razón (1 - i*). Por lo tanto: A 1 = A 3 x (1 - i*) 2 Así, la CUOTA DE AMORTIZACIÓN DEL AÑO 1 será: A 1 = A 3 x (1 - i*) 2 = ,22 x (1-0,10) 2 = ,57 XII. VALOR DEL PRÉSTAMO: USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD. A) Se denomina VALOR DE UN PRÉSTAMO AL INICIO DEL PERÍODO S+1 (V s+1 ) a la actualización de los términos amortizativos pendientes de pago, valorados al rédito de mercado existente en dicho momento (i ). Se denomina USUFRUCTO DE UN PRÉSTAMO AL INICIO DEL PERÍODO S+1 (U s+1 ) a la actualización de los INTERESES FUTUROS del préstamo contenidos en cada término amortizativo, valorados al rédito de mercado existente en dicho momento (i ). Se denomina NUDA PROPIEDAD DE UN PRÉSTAMO AL INICIO DEL PERÍODO s + 1 (N s+1 ) a la actualización de las CUOTAS DE AMORTIZACIÓN futuras del préstamo contenidos en cada término amortizativo valorados al rédito de mercado existente en dicho momento (i ). B) 1. Por lo tanto, la relación entre V s+1 ; U s+1 y N s+1 es: (1) V s+1 = U s+1 + N s+1 2. Por otro lado, la FÓRMULA DE MAKEHAN relaciona el U s+1 y N s+1 con el capital vivo al inicio del período s + 1 (C s+1 ): i (2) U s+1 = [C s+1 - N s+1 ] i Siendo i el tanto al que se concertó el préstamo e i el tanto de mercado existente en el período s + 1. C) Las fórmulas (1) y (2) permiten formar un sistema de 2 ecuaciones con 4 incógnitas (V s+1 ; U s+1 ; N s+1 y C s+1 ). Para poder resolver dicho sistema de ecuaciones, deberemos de calcular previamente dos de las cuatro incógnitas, para reducir dicho sistema a dos ecuaciones con dos incógnitas. Unidad 3 Préstamos Pág. 37

38 Las dos incógnitas a calcular con carácter previo a la resolución del sistema de ecuaciones, dependerá del tipo de préstamo de que se trate: 1. Si se trata de un PRÉSTAMO FRANCÉS, lo más sencillo es calcular previamente: C s+1 = a x a n-s i V s+1 = a x a n-s i 2. Si se trata de un PRÉSTAMO DE CUOTA CONSTANTE, lo más sencillo es calcular previamente: C s+1 = (n-s) x A N s+1 = A x a n-s i 3. Si se trata de un PRÉSTAMO VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, lo más sencillo es calcular previamente: C s+1 = A [a s+1 ; q n-s ] n-s i = A [a 1 x q s ; q] n-s i V s+1 = A [a s+1 ; q n-s ] n-s i = A [a 1 x q s ; q] n-s i 4. Si se trata de un PRÉSTAMO VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, es aplicable lo dicho en el punto anterior. 5. Si se trata de un PRÉSTAMO DE RÉDITO ANTICIPADO, lo más sencillo es calcular previamente: Cx s+1 = a S+1 + a s+2 (1 - ix) a n (1 - ix) n (s+1) Vx s+1 = a S+1 + a s+2 (1 - i x) a n (1 - i x) n (s+1) Unidad 3 Préstamos Pág. 38

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