=lim h 0. )=lim h 0 h. (2+h 2)2 2+h 4 ( 4)

Transcripción

1 Tema 4 Derivación Ejercicios resueltos Derivación Ejercicio Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función: ½ f () = si ( ) en el punto =. 4 si > Estudiemos primero los límites laterales en =: f ( )=lim 0 f ( ) = lim 0 ( ) = lim = 4 f ( + )=lim 0 f ( + ) = lim 0 ( + ) + 4= lim 0 + 4= 4 Por tanto f ( )=f( + )=f(), y la función es continua en = Derivadas laterales en =: f 0 ( f( ) f() ) = lim 0 lim 0 4+ = 4 f 0 ( + f(+) f() )=lim 0 lim 0 + =4 = lim 0 ( ) 4 = lim 0 4 = = lim 0 (+ ) + 4 ( 4) =lim 0 + = Las derivadas laterales son distinitas por lo que la función carece de derivada en =, esto significa que ay dos tangentes distintas en el punto (, 4)

2 TEMA Ejercicio Calcular la derivada de y =.Sesupone>0. Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros: ln y = ln Derivando ambos miembros respecto de, teniendo en cuenta la regla de la cadena, que nos dice que al ser y función de : y 0 y =ln + =ln + Despejando y 0 : y 0 =(+ln) y Finalmente reemplazando el valor de y: y 0 = ( + ln ) Ejercicio Una epidemia, al cabo de t días de su inicio, infecta a un número de personas dado por p =0t +00t. Cuantas personas infecta el 5 o día? dp El número de personas infectado por día vendrá dado por: =60t +00, dt por lo que en el día t =5, el número de infectados será = 400 personas. Ejercicio 4 La curva de ecuación y = +6,pasaporlospuntos P (, 0) y Q (4, 6),SielsegmentoPQse desplaza paralelamente a sí mismo, corta a la curva en varios puntos, o en ninguno; si la corta en un único punto cual es?

3 4.0 Podría solucionarse determinando la ecuación de la recta PQ, resolver el sistema de dos ecuaciones formado por esta ecuación y la de la curva, e igualar las posibles soluciones. Otra posibilidad es usar el teorema de valor medio de Lagrange, que asegura que la tangente en un punto de la curva, es paralela a la cuerda que une los etremos del arco en cuestión: Si P (, 0), yq (4, 6) son los etremos del arco de curva, el teorema afirma que la abscisa c del punto mencionado, verifica f 0 (c) = f(4) f() = 4 q 6 0 =6y, dado que f 0 () =, f 0 (c) =c 6 =6 c = = 4.94, elpuntobuscadoes(.94, 5.6) Ejercicio 5 Mediante la derivación de la función inversa, allar la derivada de y = arccos y = f () = arccos cos y = cosy = = cosy Por tanto y = f () es la función inversa de g (y) = cosy, asíquesi g 0 (y) = será f 0 () = = f 0 () g 0 (y) g 0 (f()) obien:y0 = siny = cos = y r ³ = q ( ) = q + = +.

4 4 TEMA 4 Representación gráfica de funciones y optimización. Ejercicio q 6 Determinar los etremos, si los ay, de la función f () = ( ) f () = q( ) = ( ) f 0 () = ( ) = Esta derivada nunca se anula, y en ausencia de puntos críticos, debe estudiarse el comportamiento de la derivada, en torno a los puntos de discontinuidad de la derivada, en este caso =. f 0 ( + f(+) f() )=lim q 0 lim 0 = =lim 0 (+ ) = lim 0 = f 0 ( f( ) f() )=lim 0 =lim ( ) 0 = lim 0 = q lim 0 =+ Así esta función carece de derivada en =por lo que: f 0 () = ( ) = si 6=. Pero antes del punto de discontinuidad, es decir para <: < =, ( >0), y f 0 ( ) = = = > 0 Después del punto de discontinuidad, es decir para >: > =+, ( >0), y f 0 ( + ) = + = + = < 0 Por tanto f crece antes de =, y decrece con >, por lo que, siendo continua en =, podemos asegurar que f tiene un máimo en = y Ejercicio 7 Determinarlosetremosdelafunciónf () = 4 e, supuesto que eistan, no usar el criterio de la a derivada.

5 4.0 5 f está definida y es derivable, para todo. Losposiblesetremoscorrespondenavaloresqueanulanla a derivada: f 0 () =4 e 4 e = e (4 ) Por tanto puede aber etremos en =4, y =0 f 00 () = e (4 ) e (4 ) e = e ( 8 + ) f 00 (0) = 0, f 00 (4) = 6e ( 4) > 0 Así ay un mínimo en (4, 56e ). Respecto de =0son nulas todas las derivadas en las que aparece, como factor, con eponente > 0: f 000 () =e ( 8 + ) e ( 8 + )+ e ( 8+) = e [ ( 8 + ) ( )] = e (4 6 + ) f iv () =e (4 6 + ) e (4 6 + )+ e ( )= e [4 6 + ( )] = e [ ] Resulta que f iv (0) = 4e >0, por tanto ay un mínimo en (0, 0), cosa que era de esperar ya que 4 e 0 Ejercicio 8 Determinar las dimensiones del cono de volumen mínimo circunscrito a una esfera de radio R. A l O R B D r C El volumen del cono es v = πr. Los triángulos AOB y ADC son semejantes, la relación de semejanza: DC = AD, puede escribirse r = OB AB R OA OB ó r = q ó r R ( AD OD) = con ello r = R R R ( R),y R R

6 6 TEMA 4 v = π R = πr R Etremos de v: v 0 = πr R ( R) ( R) = πr ( R) v 0 =0 ( 4R) = ½ 0 4R ( 6R +R) = πr ( R) ( 4R) ( R) Dado que, evidentemente >0, debe ecluirse =0, y el signo de v 0 depende de 4R: Para <4R v 0 < 0, porloquev decrece Para >4R v 0 > 0, porloquev crece Portanto,usandoelcriteriodelaprimeraderivada,en =4R ay un mínimo. =4R r = R4R 6R 8R = R = R, Con ello el volumen del cono será v = πr ³ doble del volumen de la esfera. 4πR = π (R )(4R) = 8πR, que es el Ejercicio 9 Un servicio de correos acepta paquetes, en forma de paralelepípedo, a condición de que la suma de la longitud y el doble de la suma de ancura y altura, sea de un máimo de 8 cm. Suponiendo igual ancura que altura Cuáles deben ser las dimensiones del paquete para que tenga la máima capacidad? Si la capacidad, o volumen del paquete es v, laancura y la longitud y, tendremos: v = y,ademásdebeser8 = + y, por tanto: v = (8 ) =8. Determinación del máimo de v: v 0 =66 6, v 0 =0 =0ó =6 La solución =0está ecluída (no abría caja), para =6,dadoque v 00 =66 tenemos v 00 (6) = 66 6 = 66 < 0, que efectivamente corresponde a un máimo, con y =8 6 = 6. Elvolumenmáimo permitido en las condiciones dadas es = 6 98cm Ejercicio 0 Estudiar continuidad, puntos de corte con los ejes, asíntotas, e intervalos de monotonía de la función de ecuación f () = ( )e e Se trata de una función continua, y derivable, en todo R {0}. Es posible que sea discontinua en =0,cosaquesedebeverificar estudiando los límites laterales: lim 0 + f () = lim 0 f () = lim 0 ( )e e = 0 =

7 4.0 7 lim 0 f () =lim 0 f ( ) = lim 0 ( )e e = lim 0 e = + lim 0 = e Así que efectivamente es discontinua en =0, por tanto tampoco será derivable en tal punto. Puntos de corte con los ejes: corta a OX en = Asíntotas: Es claro que ay una asíntota vertical en =0 lim + f () =lim + ( )e e e = lim + =+ e Esto significa que no ay asíntota orizontal para >0. ( )e lim f () =lim + f ( ) = lim + = e + lim + = lim e + =lim e + =0 e Así pues ay una asíntota orizontal y =0,en = m = lim + f() lim + e e = ( )e e = lim + = lim + ( )e (e ) = n = lim + f () = lim + ( )e e =lim + ( )e (e ) lim + e e =lim + e = e e = Por tanto ay asíntota oblícua (en ): y = Debe quedar claro que el eco de aber asíntota orizontal imposibilita la eistencia de asíntota oblícua, pero sólo por el lado donde ay asíntota orizontal, en este caso la ay en =, y no puede aber asíntota oblícua por este lado; pero no en =, porloquesícabeasíntotaoblícuaporeste lado. Cortes de la curva y = ( )e con las asíntotas: (, 0), (0 +, ) y e (0, + ), ½ y = ( )e e y = ( )e = ( ) e =( ) e + e =,y=0 Posición respecto de la asíntota oblícua: ( )e ( ) = ( )(e ) = e e La ordenada de la curva es mayor que la de la asíntota para > La ordenada de la curva es menor que la de la asíntota para < Intervalos de monotonía: y 0 = e (e ) e ( ) = e (e ) > 0 R { }, y la función es (e ) (e ) siempre creciente. La curva viene dada por la gráfica siguiente:

8 8 TEMA 4 Ejercicio Estudiar y representar gráficamente f () =( +)e Dominio R {0} lim 0 + f () = lim 0 ( +)e =+ lim 0 f () = lim 0 ( +)e = + lim 0 =0 e De lo anterior resulta que ay una asíntota vertical en =0 Asíntotas orizontales: lim + f () = lim + ( +)e = e 0 = lim f () = lim ( +)e = lim + ( +)e + lim + = e Asíntotas oblícuas: (+)e m =lim + =lim + + e = ³ n = lim + ( +)e = lim + e +e = e lim + +e = lim e + Así y = +es una asíntota oblícua (+)e m =lim Queeslamismam que antes. f 0 () = d d ( +)e ( +)e =lim = e = +=lim + e += = lim e = + = e = e ( ) = e ( +)( ) La función crece en (, ) (, + ) y decrece en (, ), ycomoes continua en todo el dominio, ay máimo en = y mínimo en =. f 00 () = d e ( ) = d 4 e ( ) e ( ) + e ( ) = e 5+ 4

9 4.0 9 () < 0 para < 5 con- f 00 () > 0 para > 5 cavidad concavidad, f y

10 0 TEMA 4 Ejercicios propuestos Lassolucionesseencuentranalfinal Derivación. Hallar por medio de la definición de derivada, la derivada de y =. Hallar las derivadas laterales de y = q + en =.. Hallar la derivada de y =ln(ln(ln)) supuesto >0. 4. Comprobar que, siendo u, u, v, v, funciones de, laderivadade y = u u v v es y0 = u0 u 0 v v + u u v 0 v 0. Este resultado es válido para determinantes de orden arbitrario (finito). 5. Dar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = en el punto (, 4). e 6. Calcular: lim e + 0 cos +( ) sin 7. Calcular: lim 0 8. Calcular: lim π sin π tan 9. Calcular: lim 0,con>0 0. Hallar la derivada de y = aa + a a + a a supuesto a constante y a>0.. Mediante la derivación de la función inversa, allar la derivada de y = arctan a Representación gráfica de funciones y optimización.. Dar las dimensiones del cilindro recto, de volumen máimo, inscrito en una esfera de radio R. Dar las dimensiones del cilindro recto de volumen máimo inscrito en un cono circular de altura, yradior. 4. Un barco a de remontar una distancia d en un rio, si la velocidad de la corriente es u, y el consumo de combustible es directamente proporcional al tiempo empleado y al cubo de u; determinar la velocidad v, del barco, que implica el mínimo gasto de combustible.

11 Se pretende construir un campo de deportes, cuyo perímetro sea una pista de 400 m. Si el campo a de tener forma de rectángulo con un semicírculo adosado a cada uno de los lados menores Con qué dimensiones se consigue el campo de mayor superficie? 6. Se permite ocupar uno o dos terrenos, en caso de ser dos uno cuadrado y otro circular, separados; con la condición de que la cerca que limite el conjunto de los dos tenga una longitud l dada. Cuales son las dimensiones que dan máima y mínima superficiedeterreno? Estudiar y representar gráficamente las curvas cuyas ecuaciones se dan a continuación: 7. y = y = + q ( ) q 9. y = y = + Soluciones a los ejercicios propuestos. y 0 = 8 6. y 0 ( + )= q q 5 y0 ( + )=,gráfica: ln ln(ln ) y 4=4(+ln)( )

12 TEMA 4 0. a a aa + a a a a ln a + a a a a a ln a. a 4 +a. Altura R, radio de la base R. Altura r,radio 4. v = u 5. Lados del rectángulo 00m., radio de semicírculo 00m π 6. Máimo: un círculo de radio l l, mínimo: círculo de radio cuadrado de lado l π+4 π,y π s