Modelos de Programación Matemática

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1 Modelos de Programación Matemática Las proposiciones matemáticas, en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad A. Einstein 1

2 Modelos de Programación Matemática Una clasificación de los modelos de Programación Matemática podría tener en cuenta las siguientes características: Estructura obetivos y restricciones (lineal o no lineal) Características de las Variables (Reales, Discretas -enteras-, Binarias) Certidumbre de los Parámetros (Ciertos e Inciertos) Número de Obetivos (Ninguno, Uno o más de Uno) Número de Restricciones (Ninguna, Más de Cero) 2

3 Pasos en la Construcción de un Modelo de Programación Matemático Análisis de Problema Conuntos de Datos, y por tanto de Índices Parámetros Obetivo Variables de Control Variables de Decisión Restricciones Más Variables de Control Modelo Completo Validación 3

4 Validaciones de los Modelos Validación del Modelo Modelos Incompatibles Modelos no acotados Modelos Resolubles Resultados Lógicos Comparación con resultados reales Modificación de Coeficientes en la función obetivo Cómo construir un buen modelo Facilidad para entender el modelo Facilidad para detectar errores en el modelo Facilidad para computar la solución 4

5 Programación Lineal Se denomina Programación Lineal a aquel problema definido por un obetivo y un conunto de restricciones, en los que cada una de ellas es una función lineal de variables reales. Algunos de los problemas clásicos de Programación Lineal son: Blending (Mezcla). Product Mi (Catálogo de Productos). Decisión de Inversiones. Problema del Transporte min s. a. a b i i i 0 c i i i, i 5

6 Interpretación y Uso de la Solución de un Modelo de Programación Lineal Interpretaciones Económicas El Modelo Dual Precios Sombra Costes Reducidos Análisis de Sensibilidad y Estabilidad de un Modelo Rangos en las restricciones Rangos en el obetivo Modelos Estables 6

7 Programación Entera Programación Entera se produce cuando el dominio de las variables no es real sino discreto. Diferentes áreas dónde se aplica la PE Problemas con inputs o outputs discretos Problemas con condiciones lógicas Problemas de combinatorias Problemas No-Lineales Problemas de Redes El uso de variables discretas Cantidades indivisibles Variables de decisión Variables Indicadoras (,, ) (0.714,1.5,2) 1 Subproblema 4 z Subproblema 2 (,, ) (1,1.5,2.667) 1 z Problema 1,, ) (1.1428,0,3) ( z ( 1 1) ( 1 2) ( 3 2) ( 3 3) Subproblema 5 (,, ) (1,0,3) 1 z Subproblema 3 No factible En programación lineal cuantas más restricciones, en general, peor. En programación Entera cuantas más restricciones en general meor. 7

8 Programación No-Lineal Obetivos y Restricciones No Lineales Economías de Escala y Elasticidad de Precios Relaciones entre variables Funciones y Regiones Conveas Región Convea: Región del espacio entre el segmento que une dos puntos cualesquiera está en la región Función Convea: Una función es convea si el conunto de puntos (,y) donde y f() forma una región convea Modelo de PM conveo: Se dice que un modelo de Programación Matemática es conveo si implica la minimización de una función convea sobre una región convea. Óptimos Locales y Globales Programación Separable Se dice que una función es separable si puede epresarse como la suma de funciones de una única var. La mayor parte de las funciones pueden separarse. Convertir un modelo no-lineal en modelo separable 8

9 Programación Lineal 0-1 Es un tipo especial de Programación Entera donde las variables sólo pueden adoptar 0 o 1. Reciben también el nombre de Problemas de Combinatoria. Suelen ser de muy difícil resolución. Algunos de los problemas clásicos son: Problema de la Mochila Cubrimiento Partición Empaquetado Viaante de Comercio Problemas de Corte 9

10 Programación Estocástica La Programación Estocástica concentra el estudio, formulación y resolución de modelos de optimización que incorporan eplícitamente parámetros aleatorios, ya sea a través de diferentes escenarios o de variables aleatorias con distribuciones de probabilidad discreta o continua. En particular, los modelos con recurso comprende una clase especial de modelos de programación estocástica que permiten enfrentar la presencia de parámetros aleatorios mediante el uso de dos grupos de variables de decisión, un primer grupo eligido entre aquellas variables cuyo valor se toma independiente de la realización (futura) de los parámetros y, el otro, entre aquellas decisiones en respuesta a esa realización (recurso), que permiten dar la fleibilidad necesaria al modelo, tomando en cuenta para la elección de una solución óptima las desviaciones o el valor esperado asociado a este recurso

11 Definición de Obetivos Lineales Obetivos Simples Minimizar el valor absoluto Min y Minimizar el Máimo (o Maimizar el Mínimo) Min Ma i a i Ma Obetivos de Ratio t a i b i w b w 1 b t 1 Ma a w 11 d d w et e 0

12 Programación Multiobetivo y Obetivos No Optimizables Múltiples Obetivos Combinación Lineal de Obetivos: Programación Multinivel. Goal Programming min Ob3: s. t. Ob2 1.1* Cota2 s. t. Ob1 1.01* Cota1 s. t El resto de restricciones min OBJ Ob1 Ob2 Ob3 s. t El resto de restricciones Soluciones No-Dominadas. Optimos de Pareto. Obetivos no optimizables: Por eemplo Sobrevivir 12

13 Restricciones según su relación con la realidad. Restricciones de capacidad Disponibilidad de materia prima Limitaciones en la demanda del mercado Continuidad o Balance Restricciones de Calidad. Restricciones Lógicas 13

14 Linealizando relaciones Lógicas. 1 a b a M M b a b 1 a m b a b 1 a ( m ) b 1 a b a b 1 a m m b a M b a b 1 a ( M ) b 14

15 Restricciones según su relación con otras restricciones. Restricciones Duras y Blandas b Restricciones Conflictivas a Restricciones Redundantes (precio sombra nulo) Cotas Simples y Generalizadas. a u b Restricciones de Rango. 15

16 Un problema sencillo? Una empresa fabrica 2 productos P y Q. P se vende a 90 y Q a 100. La demanda de cada producto es de P=100 unidades/semana y de Q=50 unidades/semana. Los dos productos requieren de una misma pieza central, la Materia Prima de la cual vale a 20 la unidad. Para fabricar la pieza central hacen falta 15 minutos del recurso B y 5 minutos del recurso C. Para fabricar el componente 1 del producto P hace falta materia prima por valor de 20 /unidad, 15 minutos del recurso A y 10 minutos del recurso C. Al ensamblar la pieza central con el componente 1 utilizamos otro componente 3 que se compra al precio de 5 /unidad, lo ensambla el recurso D en 15 minutos cada unidad. El producto Q sigue un procedimiento similar. El componente 2 utiliza Materia Prima por valor de 20 /unidad, pasa por el recurso A donde está 10 minutos y luego por el proceso B donde está 15 minutos. Finalmente es ensamblado por el recurso D en 5 minutos. El mes tiene 20 días de 8 horas. Los gastos totales son 3600 /semana 16 Cual es el meor plan de producción para la empresa? Qué beneficio le aporta? Cuál es el valor de una hora más de cada recurso productivo? Establecer un obetivo que pretenda maimizar el ratio beneficio entre horas totales de trabao. Establecer un obetivo que pretenda Cómo incorporar limitaciones en la disponibilidad de materia prima? Cómo incorporar un número indefinido de productos al modelo?

17 Problemas de Programación Lineal Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montae. La fabricación de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montae. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montae. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un máimo de horas cada mes, y la de montae de 600.Si el modelo Bae se vende a 10 y el modelo Viz a 12 qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maimizar el beneficio mensual? 17

18 Problemas de Programación Lineal Una persona tiene para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. Decide invertir como máimo en A y como mínimo en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. Cómo deberá invertir sus para maimizar sus intereses anuales? 18

19 Problemas de Programación Lineal Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son 10, 9, 12 unidades respectivamente. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la tabla Cuántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo? Proteínas Hidratos Grasas Coste(kg) Producto A Producto B

20 Problemas de Programación Lineal Una empresa fabrica 7 productos distintos, para los que utiliza 5 tipos de Máquinas (Fresas(4), Tornos(2), Sierras(3), Soldadoras(1) y Rectificadoras(1)). Aunque la cantidad de ellas puede variar a lo largo del tiempo. También varía el número de días en cada uno de los meses Se trabaa 16 horas al día y no es posible utilizar horas etras. Cada producto utiliza cada máquina durante una cierta cantidad de tiempo. Cada unidad de producto aporta un determinado beneficio. La demanda de cada producto es variable según los meses, cómo también lo son el número de días laborables en cada uno de ellos. Consideramos un horizonte de planificación de 6 meses. Inicialmente no se dispone de stock de ningún producto, y el número total de unidades al final de cada mes almacenadas está limitado a 400 unidades. El coste de almacén de cada unidad que quede al final de mes es

21 Mezcla de Productos Una empresa con tres secciones productivas (tornos(3), fresas(2), Montae (8 montadores por turno)) fabrica 5 productos distintos 6 días a la semana, 2 turnos de 8 horas al día. Los beneficios de los productos, y la necesidad en horas de cada recurso, se epresa en la siguiente tabla PR1 PR2 PR3 PR4 PR5 Beneficio unit Requerimientos Torno Fresa Montae

22 El modelo MPL Mezcla de Productos INDEX i= 1..5 = (torno,fresa,montae) DATA benef[i] := (550,600,350,400,200) prodhoras[,i] :=(12,20,0,25,15, 10,8,6,0,0, 20,20,20,20,20) rechoras[] := (288,192,384) VARIABLES [i] MAX SUM( i : benef*) SUBJECT TO restr[] : SUM(i : prodhoras*)<=rechoras 22

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