Tema 2. Modelos matemáticos de los sistemas físicos

Transcripción

1 Tema. Modelos maemáicos de los sisemas físicos Objeivos Definir modelo maemáico en el ámbio de la ingeniería de sisemas Conocer la meodología de modelado de sisemas físicos Reconocer un modelo lineal de coeficienes consanes Desarrollar modelos maemáicos básicos en forma de ODEs de sisemas elécricos Desarrollar modelos maemáicos básicos en forma de ODEs de sisemas mecánicos Desarrollar modelos maemáicos básicos en forma de ODEs de sisemas hidráulicos Desarrollar modelos maemáicos básicos en forma de ODEs de sisemas érmicos Linealizar modelos no lineales Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

2 Tema. Modelado de sisemas coninuos Conenidos Concepo de modelo maemáico. Meodología de modelado. Ejemplos de modelado. Modelado de sisemas mecánicos raslacionales Modelado de sisemas mecánicos roacionales Modelado de sisemas elécricos Modelado de sisemas hidraúlicos Modelado de sisemas érmicos Linealización de modelos. Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

3 1. Concepo de modelo maemáico Definición desde el puno de visa de la regulación auomáica: El conjuno de ecuaciones que represenan la dinámica de un sisema con exaciud Pueden exisir diversos modelos de un sisema en función de: El objeivo para el que se diseñe El grado de dealle o complejidad Los aspecos de inerés Caracerísicas de los modelos a desarrollar Dinámicos Tiempo Relacionen enradas con salidas del sisema Tipos de modelos a desarrollar Basados en leyes físicas uso de EDOs Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

4 Caracerísicas duales de los modelos maemáicos Simplicidad versus exaciud En general, complejidad exaciud En general es preferible un modelo adecuado, que cumpla el principio de parsimonia que dice que: siendo iguales oras cosas, los modelos simples son preferibles a los complicados. Ejemplo:» Si se puede, no incluir no linealidades» Si se puede, despreciar dinámica rápidas no significaivas Sep Response 1 From: U1 Dinámica rápida, no significaiva Ampliude To: Y Regulación Auomáica I Tim e s e c. º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

5 Caracerísicas duales de los modelos maemáicos Linealidad versus no linealidad Se considera lineal a odo aquel sisema que se le puede aplicar el principio de superposición: La respuesa producida por la aplicación simulánea de dos funciones exciadoras disinas, es la suma de las dos respuesas individuales. Un modelo de EDOs es lineal cuando los coeficienes son consanes o funciones de la variable independiene y las sucesivas derivadas no forman pare de ninguna función maemáica Ejemplo de ecuaciones de modelos no lineales d x d d x d d x d dx d x 1 dx d x dx d Asen w Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica x = x = 0 x = 0.

6 En la realidad, aunque muchas relaciones físicas se represenen por ecuaciones lineales, no son así. De hecho, los sisemas considerados lineales, lo son solamene en un rango reducido. Ejemplos ípico de no linealidades son los siguienes: La salida de un componene puede saurarse a niveles alos de una señal de enrada. Ejemplo: un amplificador. V vols V vols Puede haber una zona muera rango de variaciones de enrada en las que el componene es insensible. Ejemplo: fuerzas de fricción esáicas que aparecen en el arranque de los moores DC del laboraorio. ω r.p.m V vols Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

7 Se pueden producir no linealidades cuadráicas en algunos componenes. Por ejemplo una fuerza de amoriguación que dependa del cuadrado de la velocidad, puede considerarse lineal para bajas velocidades y cuadráica a alas velocidades. F Nw V m/s Oro ipo de no linealidad es el huelgo esáico ípico enre moor y carga. y mm x mm Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

8 En general la solución de problemas no lineales es alamene complicada y se recurre a la linealización del modelo en orno a un puno de rabajo y resolver el problema de conrol con las écnicas de análisis y diseño lineal de las que se dispone. Coeficienes consanes versus variables en el iempo Ejemplo 1: modelo de una bobina elécrica coeficienes consanes Ejemplo : modelo de un cohee considerada variable la masa de combusible coeficiene variables en el iempo V = di L d d x m = F F propulsion gra d vedad F rozamieno Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

9 Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica Objeo de la asignaura: Sisemas lineales de coeficienes consanes Modelados mediane ecuaciones diferenciales lineales e invarianes en el iempo. A parir de esos modelos podemos llegar a: Modelos en el espacio de esados: descripción inerna» x =AxBu» y=cxdu Modelos de función de ransferencia descripción exerna, Gs u k y c d dy b d y d a = [ ] = = x x y u a k x x a c a b x x s u c b s s a k s y = [ ] D B A I S C s G = 1

10 . Obención de modelos maemáicos Modelado Se caracerizan por generar conjunos de ecuaciones diferenciales y algebraicas, normalmene no lineales, que se obienen a parir de un esudio analíico del sisema basado en: Una serie de hipóesis sobre dicho sisema. El uso de leyes de comporamieno físico-químicas leyes de conservación, equilibrio enre fases, dependencias enre variables,..., o bien expresiones obenidas a parir de daos experimenales. Idenificación Se caracerizan por considerar el sisema como una caja negra, sin hacer ninguna hipóesis ni ener en cuena los mecanismos inernos de funcionamieno del sisema, y se basan en medidas experimenales para deducir las relaciones enrada salida. Diferencias modelado/idenificación Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

11 Meodología de modelado Concepualización Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar Definir de los objeivos del modelo Realizar un modelo concepual basado en hipóesis sobre el sisema bajo esudio que debe ser an simple como sea posible. Conocer las leyes que rigen los fenómenos del sisema y su causalidad física leyes de conservación de la masa, energía y momeno Dividir el sisema en subsisemas inerconecados. Formalización Concepualización Formular el modelo en forma de ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de condiciones lógicas. Paramerización Deerminación de los parámeros del modelo y condiciones iniciales. Resolución del modelo en un ordenador Validar el modelo. Conocimieno, experiencia, bibliografía Daos écnicos y del proceso Lenguaje de simulación Daos experimenales Formalización Paramerización Resolución Validación Correco? NO Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica SI

12 Meodología de idenificación Seleccionar una clase de modelos: Coninuos o discreos, lineales o no. U Modelo de ODES Modelo de f.d. Modelo en el espacio de esados Parámeros? Y {UK} Ec. en diferencias Modelo de f.d. discrea... Parámeros? {YK} Obener un conjuno de daos experimenales. Seleccionar, de acuerdo con algunas de las caracerísicas de los daos experimenales y previo minucioso análisis de dichos daos, un modelo enre los de clase seleccionada. Traamieno de los daos experimenales filrado en un rango de frecuencias, eliminación de daos espureos,... y esimación de los parámeros del modelo. Las écnicas de esimación del modelo dependen de la clase de modelo a idenificar y de los daos de los que se dispongan. Probar la validez del modelo. Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

13 Venajas y desvenajas del modelado vs idenificación Venaja del modelado: Genera modelos aplicables en un exenso rango, debido a que llevan incorporados los mecanismos básicos que describen el comporamieno del sisema. Inconveniene del modelado El modelado suele ser una area larga que requiere un conocimieno preciso del sisema que se raa de modelar, además de experiencia en la area de modelado. Venaja de la idenificación Los modelos obenidos mediane las écnicas de idenificación suelen esar orienados a algorimos de conrol y deección de fallos. Suelen ser más sencillos de obener que los basados en écnicas de modelado. Inconveniene de la idenificación Su enorno de validez suele esar resringido a las condiciones en las que se omaron los daos experimenales eso es especialmene ciero para los modelos lineales, no debería ser así para los modelos basados en redes neuronales. Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

14 Sisemas mecánicos raslacionales: ejemplo amoriguador Objeivo: Conocer el desplazamieno del coche y1, en función de la posición del suelo y3 y de los parámeros de la rueda k, el amoriguador k1 y f y del cochem. Concepualización del sisema: Según el esquema Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica y 1 e y son el desplazamieno del coche y de la rueda, respecivamene, con respeco de su posición de equilibrio suponiendo ésa la que endrían en caso de que la masa del coche fuese cero y ambos "muelles" uviesen su elongación naural e y3 el del suelo.

15 Formalización Segunda ley de Newon: ma = F El comporamieno de un muelle sigue la ley de Hooke F = K x El amoriguamieno viscoso es proporcional a la velocidad y se puede modelar con la ecuación. F = f x& Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

16 Formalización: M && y = k y y f y& y& M g = k1 y1 y f y& 1 y& k y y3 Operando con las dos k k1 k k1 k k k1 ecuaciones: &&& y 1 && y1 y& 1 y& 3 y1 y3 g = 0. f M f M f Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

17 Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

18 Sisemas mecánicos roacionales Objeivo: Conocer la velocidad de giro del eje ω en función del par aplicado T y considerando que exise un rozamieno viscoso b y que el momeno de inercia del cilindro es conocido J. Concepualización del sisema: Según el esquema Formalización Segunda Ley de Newon aplicada a la roación Fricción viscosa proporcional a la velocidad de giro c.i.:si T = 0 = 0 enoncesω = 0 = 0 parámeros : b y J Susiuyendo Sabiendo que: Enonces: α es la aceleración angular Jα = τ T friccion = bω J α = T bω α = ω = θ J ω b ω = T T dω J b ω = T d Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica ω

19 Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica Sisemas elécricos Objeivo: Conocer la ensión de salida del circuio de la figura Us en función de la ensión de enrada Ui. Formalización: Uso de las leyes de Kirchhoff = = d i C U d i C R i L i U s i 1 1 = = C U i U R i L i U s s i U U R C U C U L i s s s =

20 Sisemas elécricos: amplificadores operacionales Volajes de enrada e1 y e con respeco a ierra, siendo inverida la enrada en el erminal negaivo e1 y la enrada en el erminal posiivo no A la salida se iene un volaje con respeco a ierra e0 de valor e0=ke-e1. K es la ganancia de ensión. K es de valores próximos a para frecuencias inferiores a 10Hz y uniaria a frecuencias próximas a 1 MHz-50 MHz. En un amplificador operacional ideal: No fluye corriene por los erminales de enrada impedancia de enrada infinia Tensión de salida no depende de la carga conecada impedancia de salida cero. Como K >> se diseñan dos monajes para garanizar la esabilidad Amplificador inversor Amplificador no inversor Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

23 Sisemas hidraúlicos Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

26 Sisemas érmicos Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

28 3. Linealización de modelos Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica

29 Regulación Auomáica I º Ingeniería Técnica Indusrial Elecrónica Ilusrar con ICools