Ordenación parcial Conjunto parcialmente ordenado Diagrama de Hasse
|
|
- Natalia Bustamante Blanco
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Ordenación parcial Un orden parcial es una relación binaria R sobre un conjunto X, que cumple las propiedades: Reflexiva: R es reflexiva sii para todo a A ara Antisimétrica: R es antisimétrica sii para todo a, b A, existe arb y a!=b entonces bra no Transitiva: R es transitiva sii para todo a, b, c A, existe arb y brc entonces arc Conjunto parcialmente ordenado Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado o poset. Formalmente, un conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.) es un par (X, ) donde es un orden parcial en X. Usualmente se usa la notación de " " en lugar de "R" para el orden parcial. Observación: Si (X, ) es un c.p.o., dos elementos x, y X son comparables si x y o y x. Si todos los pares de elementos de X son comparables entonces se dice que es un orden lineal (o total) y que (X, ) es un conjunto linealmente ordenado. El conjunto de los naturales con su orden usual (la relación menor o igual). Este orden es además un orden total. El conjunto de los enteros con su orden usual. Este orden es también total. Un subconjunto finito {1, 2,..., n} de los naturales. Este orden es también total. El conjunto de naturales ordenado por la relación de divisibilidad. Ejercicio: Sea T={a,b,c,d,e,f,g} la lista de tareas para realizar un trabajo, de las que se sabe que unas preceden inmediatamente a otras de la siguiente forma: f a, f d, e b, c f, e c, b f, e g,g f. Hallar el orden parcial. Qué tareas pueden realizarse independientemente?. Construir un orden si el trabajo lo realiza sólo una persona. Diagrama de Hasse El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado finito es una representación del mismo en la que cada elemento se representa por un punto del plano. Si arb se dibuja a por debajo y se une por medio de un segmento. Finalmente se suprimen los segmentos que corresponden a la propiedad transitiva, es decir, si arb y brc se suprime el segmento correspondiente a arc.
2 1.- Consideramos el conjunto ordenado {1,2}. Entonces el diagrama de Hasse sería: Figura 1. Diagrama de Hasse para el conjunto {1,2} 2.- Diagramas de Hasse del conjunto ordenado {1,2,3}: Figura 2. Diagrama de Hasse para el conjunto {1,2} 3.- Diagramas de Hasse del conjunto ordenado D(30). Figura 3. Diagrama de Hasse para el conjunto D(30) Ejercicios: Representar el diagrama de Hasse de los siguientes conjuntos ordenados y hallar los elementos notables de los subconjuntos señalados: a) (D60, ), A={2,5,6,10,12,30} y B={2,3,6,10,15,30} b) (D48, ), A={2,4,6,12} y B={3,6,8,16} c) (D40, ), A={4,5,10} y B={2,4,8,20} Elementos maximales y minimales Sea (X; ) un conjunto ordenado: 1. Un elemento x X se dice que es maximal, si no existe y X tal que x y y x!=y. 2. Un elemento x X se dice que es minimal, si no existe y X tal que y x y x!=y.
3 Ejemplo: Para el diagrama de Hasse de la Figura 4, señale los elementos maximales y minimales. Figura 4. Diagrama de Hasse para el conjunto {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j} Con este orden definido, se tiene que: h e pues tenemos un camino h-f-e que empieza en h y termina en e. i a, pues el camino i-g-d-a que empieza en i y termina en a. i e, pues ningún camino empieza en i y termina en e. Se tiene además, que a y b son elementos maximales, pues no hay ningún elemento que sea mayor que ellos. Por su parte, el elemento j es un elemento minimal. Ejercicios: Hallar los elementos maximales y minimales para los conjuntos con el orden dado por el diagrama de Hasse de los ejercicios definidos en la sección Diagrama de Hasse. Cota superior, cota inferior, supremo e ínfimo Sea (X; ) un conjunto ordenado, e Y un subconjunto de X. Consideramos en Y el orden inducido de X. 1. Un elemento x X se dice que es cota superior de Y si x y para todo y Y. 2. Un elemento x X se dice que es supremo de Y si es el mínimo del conjunto de las cotas superiores de Y. De la misma forma se define lo que es una cota inferior y un ínfimo. Ejemplo: Si X = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j }con el orden dado en la figura 4, e Y ={c,d,f,g,h} entonces: El conjunto de las cotas superiores de Y es {a}. Puesto que este conjunto tiene mínimo, que es a, entonces a es el supremo de Y. Los elementos c y d son elementos maximales de Y. El conjunto de las cotas inferiores es {h,j}. De estas, h es el máximo, luego h es el ínfimo de Y. h es además el único elemento minimal de Y.
4 Ejercicios: Hallar la cota superior, inferior, supremo e ínfimo, de los ejercicios descritos en la sección Diagrama de Hasse, respecto al subconjunto B. Reticulados Es un tipo especial de orden, en que cada conjunto finito no vacío tiene supremo e ínfimo. Formalmente, se deice que, un retículo es un conjunto ordenado, (L; ) en el que cualquier conjunto finito tiene supremo e ínfimo. Si (L; ) es un retículo y x,y L, denotaremos por x y al supremo del conjunto {x,y} y por x y al ínfimo del conjunto {x,y}. Observación Si (L; ) es un retículo, las operaciones y satisfacen las siguientes propiedades: Si X es un conjunto totalmente ordenado, entonces X es un retículo. El conjunto ordenado (N, ) es un retículo. En este caso se tiene que x y = mcm(x,y) mientras que x y = mcd(x,y). Si V es un K-espacio vectorial, el conjunto de los subespacios vectoriales de V es un retículo, con el orden dado por la inclusión. Aquí, dado dos subespacios vectoriales V1 y V2 se tiene que V1 V2 = V1+V2 mientras que V1 V2 = V1 V2. El conjunto representado por el diagrama de Hasse de la figura 5, es un retículo. Se tiene, por ejemplo: c d = f, c d = a, b c = f, b c = 0, c e = 1, c e = 0. Figura 5. Diagrama de Hasse
5 El diagrama de Hasse de la Figura 4, no es un retículo, pues por ejemplo, no existe el supremo del conjunto {a,e}. Sin embargo, el conjunto {f,i} sí tiene supremo (d) e ínfimo (j). Subretículos Sea (L; ) un retículo, y L contenido en L un subconjunto de L. Entonces L es un subretículo si para cualesquiera x,y L se verifica que x y L y x y L. También se puede decir que un subretículo es un conjunto cerrado bajo los operadopres meet (operaciones de intersección) y join (operaciones de unión) del conjunto original. Figura 6. Diagramas de Hasse Entonces L1 y L4 son subretículos de D(30), mientras que L2 y L3 no lo son. L2 no es subretículo porque el supremo de 2 y 3 es 6, que no pertenece a L2. L3 no es subretículo porque el ínfimo de 6 y 10 vale 2, que no pertenece a L3. Nótese que L3, con el orden que hereda de D(30) es un retículo, pero no es subretículo de L3. Retículos distributivos Sea L un retículo. Se dice que L es distributivo si para cualesquiera x,y,z L se verifica que sus operaciones son doblemente distributivas: x (y z) = (x y) (x z) x (y z) = (x y) (x z) Se dice que en un retículo distributivo las operaciones de union (join) e intersección (meet) se distribuyen la una sobre la otra. El ejemplo típico es una colección de conjuntos donde los operadores quedan dados por la unión e intersección de conjuntos. Los conjuntos totalmente ordenados con el máximo como join y el mínimos como meet. Álgebra de Boole, Álgebra de Heyting, Espacio de Riesz y Retículo de Young.
6 Ejercicio: Investigar que son el Álgebra de Boole, Álgebra de Heyting, Espacio de Riesz y Retículo de Young y porqué se consideran retículos distributivos. Teoremas sobre retículos Sea (L, ) un retículo y sean a,b, elementos de L, entonces: (a b)=b entonces a b (a b)=a entonces a b (a b)=b entonces (a b)=a Dados dos retículos (L, ) y (L, `), una función biyectiva f de L en L': f l->l' es un isomorfismo si para todo a,b que L: f(a b)=f(a) ' f(b) f(a b)=f(a) ' f(b) Además, si L y L' son isomorfos, sus diagramas de Hasse son idénticos. Fuentes García Jesús. Conjuntos ordenados, retículos y algebra de Boole. Matemáticas discretas. García Muñoz, M.A. Retículos y álgebra de Boole. Algebra I. Ingeniería Técnica en álgebra de gestión. P. Jara, F. J. Lobillo, J. García, J. C. Rosales, J. Urbano. Conjuntos ordenados, retículos y algebra de Boole. Matemáticas discretas. Sierra Miguel. Retículos. Curso Estructuras Discretas. PUCP.
Definiciones Una relación R en un conjunto A es una relación de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.
RELACIONES DE ORDEN Definiciones Una relación R en un conjunto A es una relación de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un conjunto parcialmente ordenado ( A, R ) es
Más detallesRelaciones Binarias. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL. Relaciones Binarias
UNSL Relaciones Binarias Relaciones Binarias (Sección 3.1 del libro) Definición Una relación (binaria) R de un conjunto X a un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X Y. Si (x,y) R, escribimos
Más detallesRelaciones de orden. Álgebras de Boole
Relaciones de orden. Álgebras de Boole MATEMÁTICA DISCRETA I F. Informática. UPM MATEMÁTICA DISCRETA I () Relaciones de orden. Álgebras de Boole F. Informática. UPM 1 / 52 Conjuntos y relaciones entre
Más detallesConjuntos y relaciones entre conjuntos
Conjuntos Conjuntos y relaciones entre conjuntos Conjuntos Un conjunto es una colección bien definida de objetos en la que el orden es irrelevante. Dichos objetos pueden ser reales o conceptuales y se
Más detallesÁLGEBRA I. Curso Grado en Matemáticas
ÁLGEBRA I. Curso 2012-13 Grado en Matemáticas Relación 1: Lógica Proposicional y Teoría de Conjuntos 1. Establecer las siguientes tautologías: (a) A A A (b) A A A (c) A B B A (d) A B B A (e) (A B) C A
Más detalles1 Relaciones de orden
1 Relaciones de orden Sea R una relación binaria en un conjunto A. Si R satisface las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice que R es una relación de orden. En este caso si a y b son
Más detallesRelación de Orden Parcial
Relación de Orden Parcial Una relación de orden parcial R sobre un conjunto A es una relación que satisface las propiedades de reflexividad, antisimetría y transitividad Relación de Orden Parcial Una relación
Más detallesRelaciones de orden. Definición 1. Llamamos conjunto ordenado a un par (E, ) donde E es un conjunto y es un orden definido en E
Relaciones de orden Diremos que una relación R es de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Generalmente usaremos la notación en lugar de R para expresar relaciones de
Más detallesMatemáticas Discretas Relaciones y funciones
Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE Matemáticas Discretas y funciones Cursos Propedéuticos 2010 Ciencias Computacionales INAOE y funciones Propiedades de relaciones Clases de equivalencia
Más detallesTEMA 1. Teoría de Conjuntos. Ejercicio 1.1. Decidir si A = B, A B ó A B en los siguientes casos:
TEMA 1 Teoría de Conjuntos Ejercicio 1.1. Decidir si A = B, A B ó A B en los siguientes casos: i) A = { }, B = {{ }} ii) A = {, { }}, B = {, {, { }}} iii) A = {{ }, {, { }}}, B = {{ }} Ejercicio 1.2. Dar
Más detallesMatemáticas Discretas
Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE Matemáticas Discretas Cursos Propedéuticos 2011 Ciencias Computacionales INAOE Dr. Enrique Muñoz de Cote jemc@inaoep.mx http://ccc.inaoep.mx/~jemc Oficina
Más detalles1. Conjuntos y funciones
PRACTICO 1: CONJUNTOS. 1. Conjuntos y funciones Es útil saber de memoria las siguientes propiedades de conjuntos y funciones. Tanto como saber las tablas. Ejercicio 1. Si I es un conjunto y A α es un conjunto
Más detallesPRELIMINARES. En este capítulo vamos a dar, sin ser muy estrictos, algunas nociones necesarias para la compresión de la asignatura.
1 PRELIMINARES 1. CONJUNTOS En este capítulo vamos a dar, sin ser muy estrictos, algunas nociones necesarias para la compresión de la asignatura. 1.1 Def:. Se define un conjunto como una colección de objetos.
Más detallesy exámenes. Temas 3 y 4
U N I V E R S I D A D D E M U R C I A Ejercicios DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONJUNTOS Y NÚMEROS 2016/2017. de talleres y exámenes. Temas 3 y 4 Se recuerda que la resolución de algunos de estos ejercicios
Más detalles1. Conjuntos y funciones
Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Introducción a la Topología Curso 2016 PRACTICO 1: CONJUNTOS. 1 1. Conjuntos y funciones Ejercicio 1. Si I es un conjunto y A α es
Más detallesy exámenes. Temas 3 y 4
U N I V E R S I D A D D E M U R C I A Ejercicios DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONJUNTOS Y NÚMEROS 2017/2018. de talleres y exámenes. Temas 3 y 4 Se recuerda que la resolución de algunos de estos ejercicios
Más detallesAnálisis Matemático I: Numeros Reales y Complejos
Contents : Numeros Reales y Complejos Universidad de Murcia Curso 2008-2009 Contents 1 Definición axiomática de R Objetivos Definición axiomática de R Objetivos 1 Definir (y entender) R introducido axiomáticamente.
Más detallesDEFINICIÓN: Se define el conjunto vacio como el complementario de en, don de es un conjunto. Se representa por :
CONJUNTOS Y APLICACIONES CONCEPTOS BÁSICOS: DEFINICIÓN: Conjunto es una colección de objetos a los que llamo elementos. n dos conjuntos, entonces se dice que es un subconjunto de, se escribe, si para todo
Más detalles2. Estructuras Algebraicas
2. Estructuras Algebraicas 2.1. Conjuntos Un conjunto es una reunión en un todo de determinados objetos bien definidos y diferentes entre sí. Llamamos elementos a los objetos que lo forman. Requisitos:
Más detalles7. Seguiría siendo válida la proposición anterior si algunos de los conjuntos A, B, C y D son vacíos?
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN Y TECNOLOGÍA DE LA INFROMACIÓN ESTRUCTURAS DISCRETAS I GUÍA PRÁCTICA Nº 2. Demuestre lo siguiente mediante inducción matemática: a) 3 + 2 4 + 3 5 +...
Más detallesBLOQUE 1. LOS NÚMEROS
BLOQUE 1. LOS NÚMEROS Números naturales, enteros y racionales. El número real. Intervalos. Valor absoluto. Tanto el Cálculo como el Álgebra que estudiaremos en esta asignatura, descansan en los números
Más detallesCapítulo 4: Conjuntos
Capítulo 4: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2014 Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Conjuntos Septiembre de
Más detallesTEMA 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
TEMA 2. TEORÍA DE CONJUNTOS 1. Introducciónalalógica de proposiciones 1.1 Definición. Una proposición es una oración declarativa de la cual se puede decir sin ambigüedad si es verdadera o falsa. 1.2 Definición.
Más detallesIntroducción a la Lógica y la Computación
Clase del 21 de agosto de 2015 Estructura Algebraica Esta formada por un conjunto con operaciones Por ejemplo, los números enteros dotados de las operaciones suma, producto y las constantes 0 y 1 tienen
Más detallesReticulados y Álgebras de Boole
Reticulados y Álgebras de Boole Héctor Gramaglia y Alejandro Tiraboschi 1 Relaciones 1.1 El concepto de relación Según la Real Academia Española, el término relación remite a: 1. Exposición que se hace
Más detallesTEMA II TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS
TEMA II TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS Policarpo Abascal Fuentes TEMA II Teoría intuitiva de conjuntos p. 1/4 TEMA II 2. TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS 2.1 CONJUNTOS 2.1.1 Operaciones con conjuntos 2.2 RELACIONES
Más detallesCAPÍTULO III RELACIONES Y FUNCIONES
RELACIONES Y FUNCIONES 41 CAPÍTULO III RELACIONES Y FUNCIONES 3.1 RELACIONES 1 Una relación R de un conjunto A a un conjunto B asigna a cada par (a,b) en A x B exactamente uno de los enunciados siguientes:
Más detallesTema 1: Conjuntos. Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla. Septiembre de 2017
Tema 1: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2017 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Conjuntos Septiembre de 2017 1
Más detallesTema 1: Conjuntos. Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla. Septiembre de 2016
Tema 1: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2016 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Conjuntos Septiembre de 2016 1
Más detallesCONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS.
TEMA 11 ÍNDICE CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. 1. INTRODUCCIÓN 2. CONJUNTOS 3. SUBCONJUNTOS 4. OPERACIONES 4.1 UNIÓN 4.2 INTERSECCIÓN 4.3 COMPLEMENTO 4.4 DIFERENCIA
Más detallesMatemáticas Discretas
Matemáticas Discretas Relaciones (1) Curso Propedéutico 2009 Maestría en Ciencias Computacionales, INAOE Relaciones & Funciones (1) Dr Luis Enrique Sucar Succar esucar@inaoep.mx Dra Angélica Muñoz Meléndez
Más detallesMATEMATICAS DISCRETAS
MTEMTICS DISCRETS Propiedad reflexiva Sea R una relación binaria R en, ( ). Definición: Diremos que R es reflexiva si a, a R a Ejemplo: 1) En N la relación R definida por: x R y x divide a y es reflexiva
Más detallesLa propiedad de Distributividad
La propiedad de Distributividad Lema: Sea L un reticulado; entonces son equivalentes: 1 Para todo x, y, z L, x (y z) = (x y) (x z) 2 Para todo x, y, z L, x (y z) = (x y) (x z) Reticulados Distributivos
Más detallesLección No.4: Relación de equivalencia
Sol: B-A1, c, (A B) c 3, e y (A B) c 1, c, 3, d, 4, e,5 Ejercicio 2: Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A 3,7,9, B 1,3,4,5 y C 1, 5,8 encontrar (A B) (BC) -A y C c Sol: A B BC -A1,5} y C c = {2,3,4,6,7,9}. Lección
Más detallesMatemáticas Discretas TC1003
Matemáticas Discretas TC1003 Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p.
Más detallesIntroducción a la Matemática Discreta
Introducción a la Matemática Discreta Teoría de Conjuntos Luisa María Camacho Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 20 Introducción a la Matemática Discreta Temario Tema 1. Teoría de Conjuntos.
Más detallesPráctica 2 -Cardinalidad- A. Propiedades básicas de los Conjuntos
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2012 Práctica 2 -Cardinalidad- A. Propiedades básicas de los Conjuntos Ejercicio 1. Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos: i) B i I A i = i I(B A i ).
Más detallesMatemáticas Discretas TC1003
Matemáticas Discretas TC1003 Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p.
Más detallesCapítulo 6. Relaciones. Continuar
Capítulo 6. Relaciones Continuar Introducción Una relación es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación las relaciones se utilizan en base de datos,
Más detallesEs trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Repaso de Estructuras Algebraicas 1. Producto cartesiano de conjuntos. Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, y se denota por A B al conjunto
Más detallesIntroducción a los números reales
Grado en Matemáticas Curso 2009-2010 Índice Conjuntos numéricos 1 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas 2 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración 3 El axioma fundamental
Más detallesEspacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas se han escrito con el ánimo de facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y no como un libro de texto o manual de Álgebra
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden
Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 7 Relaciones de Orden Contenido
Más detallesÁlgebra de Boole. Retículos.
CAPÍTULO 4. Álgebra de Boole. Retículos. Este capítulo introduce dos estructuras algebraicas muy importantes : la estructura de álgebra de Boole y la de retículo. Estas estructuras constituyen una parte
Más detallesConjuntos ordenados. Retículos y álgebras de Boole.
Capítulo 3 Conjuntos ordenados Retículos y álgebras de Boole 31 Conjuntos ordenados Definición 32 Sea X un conjunto, y una relación binaria en X Se dice que es una relación de orden si se verifican las
Más detallesRelaciones binarias. Matemática discreta. Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones binarias Matemática discreta 1 Relación binaria en A Dados dos conjuntos A y B, una relación R binaria es cualquier subconjunto de AxB Dados a A y b B, a está relacionado con b por R si (a,b)
Más detallesUn panorama del álgebra universal
Miscelánea Matemática 40 (2004) 1 9 SMM Un panorama del álgebra universal Simone Hazan simhazan@prodigy.net.mx Resumen En este artículo panorámico, presentamos conceptos de base del álgebra universal tales
Más detallesÁlgebra Lineal y Estructuras Matemáticas. J. C. Rosales y P. A. García Sánchez. Departamento de Álgebra, Universidad de Granada
Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas J. C. Rosales y P. A. García Sánchez Departamento de Álgebra, Universidad de Granada Capítulo 1 Conjuntos, relaciones y aplicaciones 1. Conjuntos La idea de conjunto
Más detallesIntroducción a la Lógica y la Computación
Clase del 9 de septiembre de 2014 Cuestión a resolver Todas las Álgebras de Boole vistas (aunque estén camufladas como D 6 o D 30 ) son en definitiva (vía isomorfismo) de la forma P(X). O sea, son álgebras
Más detalles1 Introducción al Álgebra conmutativa
1 Introducción al Álgebra conmutativa Escrito por: Patrizio Guagliardo y Miguel Monsalve. A continuación, daremos algunas definiciones básicas de estructuras algebraicas para empezar a trabajar rápidamente
Más detallesÁlgebra Lineal. Tema 4. Espacios vectoriales de dimensión infinita
Álgebra Lineal Tema 4. Espacios vectoriales de dimensión infinita Grado en Ingeniería Informática Doble Grado en Ingeniería Informática y Administración de Empresas AUTORES: J. S ALAS, A. T ORRENTE Y E.J.S.
Más detallesRelaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad
Estructuras Discretas Relaciones Definición: relación Relaciones Claudio Lobos, Jocelyn Simmonds clobos,jsimmond@inf.utfsm.cl Universidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 152 Sean
Más detallesSESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES
SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES BINARIAS PAR ORDENADO Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde a es llamada al primera componente y b es llamada la
Más detalles520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición
Más detallesOrden y estructuras algebraicas mediante nuevas tecnologías
Orden y estructuras algebraicas mediante nuevas tecnologías Miguel A. García-Muñoz, Carmen Ordóñez y Juan F. Ruiz Departamento de Matemáticas (Área de Álgebra). Universidad de Jaén. Campus Las Lagunillas
Más detallesUniversidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de Computación. Lecturas en Ciencias de la Computación ISSN
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de Computación Lecturas en Ciencias de la Computación ISSN 1316-6239 Relaciones Prof. Luis Manuel Hernández R. ND 2006-02 Centro de Cálculo
Más detallesRelaciones Binarias. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL. Relaciones Binarias
UNSL Relaciones Binarias Relaciones Binarias (Sección 3.1 del libro) Definición Una relación (binaria) R de un conjunto X a un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X Y. Si (x,y) R, escribimos
Más detalles6 Relaciones Binarias
6 Relaciones Binarias 21 Sean A = {a, b, c, d}, B = {2, 3, 4, 5} y C = {6,, 8,, 10}. Sean R1 A B y R2 B C definidas por R1 = {(a, 2), (a, 5), (b, 4), (c, 2), (c, 3), (d, 3)} y x R2 y x divide a y. a) Hallar
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS A. 1 Conjuntos. A. TEORÍA DE CONJUNTOS. Un conjunto
Más detallesIntroducción a los números reales
Grado en Matemáticas Curso 2010-2011 Índice Conjuntos numéricos 1 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas 2 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración 3 4 Objetivos Objetivos
Más detallesDefinición 1 Un semigrupo es un conjunto E provisto de una operación binaria asociativa sobre E, se denota por (E, ).
ALGEBRA La primera parte del presente libro está dedicada a las estructuras algebraicas. En esta parte vamos a iniciar agregándole a los conjuntos operaciones. Cuando las operaciones tienen determinadas
Más detallesCAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS DE LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS DE LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS 1. Lógica 1.1 Definición. Una proposición es una oración declarativa de la cual se puede decir sin ambigüedad si es verdadera o falsa. 1.2 Definición.
Más detallesARITMÉTICA MODULAR. Unidad 1
Unidad 1 ARITMÉTICA MODULAR 9 Capítulo 1 DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Objetivo general Presentar y afianzar algunos conceptos de la Teoría de Conjuntos relacionados con el estudio de la matemática discreta.
Más detallesTEMA II: CONJUNTOS Y RELACIONES DE ORDEN. Álgebra II García Muñoz, M.A.
TEMA II: CONJUNTOS Y RELACIONES DE ORDEN OBJETIVOS GENERALES 1. Hacer que el alumno asimile el concepto de conjunto como la estructura algebraica más simple en la que se ambientarán el resto de las estructuras
Más detallesMatemática Discreta Curso 2004/05. Primer Parcial
Curso 2004/05 Primer Parcial Francisco José González Gutiérrez Cádiz, 20 de Noviembre de 2004 Curso 2004/05 Primer Parcial 1 En una encuesta realizada entre 30 espectadores acerca de sus preferencias cinematográficas
Más detallesALGEBRA LINEAL - 2do Cuatrimestre 2014 Práctica 2 - Espacios vectoriales
Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 1 ALGEBRA LINEAL - 2do Cuatrimestre 2014 Práctica 2 - Espacios vectoriales Espacios vectoriales 1. Sea V un espacio vectorial
Más detallesEjercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas
Ejercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas En los ejercicios 1, 2, 8 y 9 se utilizará que si G = {g 1,...,g n } es un conjunto finito y * una operación interna definida en G, podemos utilizar
Más detallesContenido. BLOQUE I: PRELIMINARES Tema 2 ALGUNAS NOCIONES DE TEORÍA DE CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES Lógica Grado en Ingeniería Informática
Contenido BLOQUE I: PRELIMINARES Tema 2 ALGUNAS NOCIONES DE TEORÍA DE CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES Lógica Grado en Ingeniería Informática Alessandra Gallinari URJC Nociones de teoría de conjuntos
Más detalles1. Espacios topológicos compactos.
PRACTICO 6. COMPACIDAD. 1. Espacios topológicos compactos. Definición 1 Un cubrimiento de un conjunto X es una familia de subconjuntos de X cuya unión da X. Un cubrimiento de un espacio es abierto si cada
Más detallesla matriz de cambio de base de B 1 en B 2. = M 1 B 2,B 1 [1 + x + x 2 ] B1 = M B2.
Práctica 2. Álgebra Lineal. Cambio de Base.Transformaciones Lineales. Matrices asociadas a una transformación lineal. 2do año: Lic. en Matemática y Profesorado. 1. (a) Sean B 1 = {(1, 0), (1, 1)} y B 2
Más detallesConjuntos. Un conjunto es una colección de objetos. Si a es un objeto y R es un conjunto entonces por. a R. se entiende que a pertenece a R.
Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos. Si a es un objeto y R es un conjunto entonces por se entiende que a pertenece a R. a R Normalmente, podremos definir a un conjunto de dos maneras: Por
Más detallesTemas 4 y 5: El espacio afín. Variedades lineales. Paralelismo.
ALGEBRA II: Temas 4-5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Temas 4 y 5: El espacio afín Variedades lineales Paralelismo 1 Introducción La Geometría afín sobre R tiene como objetos básicos los siguientes: un conjunto
Más detallesÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS. 1. Introducción
ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS ROBERTO PICHARDO-MENDOZA AND ÁNGEL TAMARIZ-MASCARÚA Resumen. En este texto desarrollamos la teoría básica de las álgebras booleanas y su relación con los espacios
Más detallesLEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS
LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS Sea una estructura formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley interna, comúnmente denotada por " * ", que
Más detallesCurso de conjuntos y números. Notas sobre el Lema de Zorn y la aritmética de cardinales arbitrarios
Curso de conjuntos y números. Notas sobre el Lema de Zorn y la aritmética de cardinales arbitrarios Juan Jacobo Simón Pinero Curso 2017/2018 1. Introducción y preliminares Como hemos visto, la Teoría de
Más detallesTEMA IV TEORÍA DE GRAFOS
TEMA IV TEORÍA DE GRAFOS Poli Abascal Fuentes TEMA IV Teoría de grafos p. 1/? TEMA IV 4. TEORÍA DE GRAFOS 4.1 GRAFOS 4.1.1 Introducción 4.1.2 Definiciones básicas 4.1.3 Caminos y recorridos 4.1.4 Subgrafos,
Más detallesEjemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas
Más detallesPráctica 2: Cardinalidad. Propiedades básicas de los conjuntos
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2014 Práctica 2: Cardinalidad Propiedades básicas de los conjuntos Ejercicio 1. Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos: i) B i I A i = i I(B A i ). ii)
Más detallesIng. Bruno López Takeyas. Relaciones
Relaciones Las relaciones son conjuntos, por lo tanto se puede usar la representación de conjuntos para representar relaciones. Una relación n-aria es un conjunto de n-tuplas. Las relaciones binarias con
Más detallesAlgebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21
Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)
Más detallesÁlgebras de Boole. Definición 1 Un álgebra de Boole es un conjunto parcialmente ordenado (B, ) que verifica las siguientes condiciones:
Álgebras de Boole Sea (P, ) un conjunto parcialmente ordenado y sea S un subconjunto de P. Una cota superior de S es un elemento c P tal que s c para todo s S. Una cota inferior de S es un elemento d P
Más detallesAlgebra I (Doble Grado Matemáticas-Informática)
Algebra I (Doble Grado Matemáticas-Informática) Relación 1 Curso 2017-2018 Conjuntos y aplicaciones. Ejercicio 1. Construir todas las aplicaciones del conjunto X = {a, b, c} en el conjunto Y = {1, 2} y
Más detallesAlgebra Lineal y Geometría.
Algebra Lineal y Geometría. Unidad n 6: Subespacios Vectoriales. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos. Subespacios Vectoriales. Operaciones con Subespacios: Intersección, unión,
Más detallesParte 2: Definición y ejemplos de topologías.
Parte 2: Definición y ejemplos de topologías. 22 de marzo de 2014 1. Definiciones y propiedades básicas. Definición 1 Sea X un conjunto. Una familia T de subconjuntos de X es una topología de X si se cumplen:
Más detalles1. Espacios Vectoriales Reales.
. Espacios Vectoriales Reales. El Álgebra Lineal es una rama de la Matemática que trata las propiedades comunes de todos los sistemas algebráicos donde tiene sentido las combinaciones lineales y sus consecuencias.
Más detallesTema 2: Espacios Vectoriales
Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.
Más detalles1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES
1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES 1. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS Definición. Sea H un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos, un producto escalar sobre H es una aplicación
Más detallesFundamentos ba sicos de las A lgebras Booleanas. Informe Final de Pasantı a
Universidad de Carabobo Facultad Experimental de Ciencias y Tecnologı a Departamento de Matema ticas Fundamentos ba sicos de las A lgebras Booleanas Informe Final de Pasantı a Br. Ce sar Luna Lic.Oreste
Más detallesESTRUCTURAS ORDENADAS Ordenes y Retículos
ESTRUCTURAS ORDENADAS Ordenes y Retículos Renato Lewin Pontificia Universidad Católica de Chile Julio de 1998 1 Conjuntos Ordenados 1.1 Definición y Ejemplos Un conjunto parcialmente ordenado, o simplemente
Más detallesPreliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones.
Preliminares: conjuntos, operaciones con conjuntos, aplicaciones, relaciones. En este tema expondremos nociones y notaciones fundamentales que se emplearán cotidianamente en cualquier desarrollo matemático.
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesUNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
UNIVERSIDAD DON BOSCO - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ÁLGEBRA LINEAL - GUIÓN DE CLASE - SEMANA 10 - CICLO 01-2015 Estudiante: Grupo: 1. Aplicaciones 1.1. Aplicaciones.
Más detallesOperaciones extendidas de conjuntos
234 A. GENERALIDADES DE TEORÍA DE CONJUNTOS Tema 3. Operaciones extendidas de conjuntos En este tema extenderemos las operaciones de conjuntos anteriormente definidas a familias arbitrarias de conjuntos.
Más detallesFundamentos de Lógica y Teoría de Conjuntos
Índice general 1. Lógica y Teoría de conjuntos 3 1.1. Introducción a la Lógica............................ 3 1.1.1. Repaso histórico (Ref. Grimaldi pág. 187).............. 3 1.1.2. Conceptos básicos (Ref.
Más detallesInducción Matemática Conjuntos Funciones. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL. Repaso de Inducción, Conjuntos y Funciones
UNSL Repaso de Inducción, y Inducción Matemática (Sección 1.7 del libro) Supongamos que queremos demostrar enunciados del siguiente tipo: P(n) : La suma de los primeros n números naturales es n(n+1)
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios
Más detallesConjuntos, relaciones y grafos
Capítulo 2 Conjuntos, relaciones y grafos 2.1. Conjuntos Se partirá de la noción intuitiva de objeto y de unos entes matemáticos que se denominarán conjuntos. Definición 12. Un conjunto es una colección
Más detallesTEMA 5: NÚMEROS RACIONALES ÍNDICE:
TEMA 5: NÚMEROS RACIONALES ÍNDICE: 1 INTRODUCCIÓN 2 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES 3 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS RACIONALES 4 SUMA DE NÚMEROS RACIONALES 5 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS
Más detallesb) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A
APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica:
Más detallesÁlgebra Booleana y Circuitos Lógicos. UCR ECCI CI-1204 Matemáticas Discretas Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides
Álgebra Booleana Circuitos Lógicos UCR ECCI CI-1204 Matemáticas Discretas Prof. M.Sc. Krscia Daviana Ramíre Benavides Álgebra Booleana Tanto los conjuntos como las proposiciones tienen propiedades similares.
Más detalles