UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERIA EN ELECTRONICA Y COMUNICACIONES

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1 UNIESIDAD EAUZANA FAULTAD DE INGENIEIA EN ELETONIA Y OMUNIAIONES Dieño y Simulación de un Selector de Frecuencia con Filtro Activo Tei preentada para obtener el titulo de Ingeniero en Electrónica y omunicacione Preenta: Jutina orté amírez Director de tei: M. en. oman Garcia amo Aeor de tei: M. en I. Luí David amírez González Poza ica de Hgo., er., Junio 7

2 INDIE APÍTULO INTODUIÓN. Antecedente. Jutificación. Alcance y limitacione APITULO SELETOES DE FEUENIAS. Introducción 4. Filtro ideale 5.. Paa baja 5.. Paa alta 6.. Paa banda 6..4 echazabanda 7. Aproximacione 8.4 Filtro Paivo 9.5 La función de Tranferencia 7.6 El amplificador operacional 9.6. Amplificador inveror 9.6. Amplificador no inveror.6. Amplificador umador.6.4 Diferenciador Integrador 5.7 Filtro Activo 7.7. Filtro paa baja de primer orden 8.7. Filtro paa alta de primer orden.7. Filtro paa banda de egundo orden i

3 APÍTULO DISEÑO DEL FILTO ATIO. Introducción 4. Funcione de tranferencia de egundo orden 5 9o.. Función paa baja 6.. Función Paa banda 7. Análii del filtro activo 8.. Función de tranferencia paabanda 9.. Función de tranferencia paabala 47.4 Técnica de dieño 5.4. Dieño del filtro activo paabanda 5.4. Dieño del filtro activo paabaja 54.5 Senibilidad del filtro Activo Análii de Senibilidad del filtro Activo 56 APÍTULO 4 SIMULAION Y ESULTADOS 4. Introducción Paabanda Paabaja 6 ONLUSIONES 67 APENDIE-A 69 APENDIE-B 75 BIBLIOGAFÍA 97 ii

4 apítulo Introducción APÍTULO INTODUIÓN. Antecedente El concepto de filtro eléctrico fue introducido en 95 imultáneamente en Etado Unido por ampbell y en Alemania por Wagner. En ee tiempo lo filtro eran realizado uando elemento paivo como inductore, reitore y capacitore. A lo filtro realizado con elemento paivo e le conoce como filtro paivo. En la década de lo e dearrolló la teoría matemática para el dieño de filtro conocida como íntei de inerción de pérdida. Eta teoría también apareció imultáneamente en Alemania, publicada por W. auer, y en Etado Unido publicada por S. Darlington. Eta teoría también era para dieñar filtro paivo y requiere de una gran cantidad de cálculo matemático. En ea época no había computadora digitale y e hata la década de lo 5 cuando eta técnica tiene un gran uo. Hoy en día exiten programa para P que realizan eto cálculo con una velocidad orprendente. Una de la má grande ventaja de lo filtro paivo e u baja enitividad. Eto quiere decir que i el valor de un elemento que compone al circuito e devía ligeramente de u valor nominal, entonce la caracterítica del filtro cambian en un menor porcentaje con repecto al cambio del elemento. Una de la deventaja má grande que tienen lo filtro paivo e el empleo de inductore lo cuale on cotoo, voluminoo y peado. Eto hecho llevaron a lo invetigadore a bucar olucione alternativa que permitieen realizar circuito con caracterítica iguale al de lo filtro paivo pero in emplear inductore. -

5 apítulo Introducción Uno de lo primero indicio de mejora de lo filtro, urge en 955 cuando do invetigadore: Sallen y Key, publicaron un articulo en el que e preentaban circuito que realizaban la mima caracterítica de lo circuito paivo L pero in emplear inductore. Eto circuito etaban compueto por reitencia, capacitore y amplificadore operacionale y e le conoce como filtro activo Sallen-Key en honor a u inventore.. Jutificación E difícil encontrar un itema o aparato electrónico en el que no e encuentre algún tipo de filtro. Lo itema donde má aplicacione tienen on en telecomunicacione, lo itema de audio, proceado de eñale, y en toda fuente de poder. En lo itema de telecomunicacione para decodificar tono en telefonía ya para eparar canale de voz, para el itema electivo de canale como en lo televiore o en canale de atélite. En lo itema de audio e emplean en lo controle de tono y en la etapa de ecualización. En proceado de eñale e pueden uar para mejorar imágene tranmitida por atélite. En la fuente de poder e uan para diminuir y eliminar el ruido debido a la frecuencia de lo 6 Hz. de línea. Dependiendo del uo que e le dará al filtro e deben dieñar lo parámetro adecuado para eleccionar u obtruir la frecuencia que e requieren. Ete trabajo preenta el análii y dieño de un filtro activo ya que on lo má uuale por u etabilidad, alta ganancia y bajo coto. Ete filtro elecciona la baja frecuencia y omite la alta, y i lo que el uuario neceita e un buen elector paabanda, olo e modifican u parámetro y el filtro etará funcionando adecuadamente. -

6 apítulo Introducción. Alcance y limitacione La finalidad de ete trabajo e dieñar un elector de frecuencia utilizando un filtro activo y demotrar u correcto funcionamiento mediante un imulador de circuito. El filtro eta proyectado para operar como paabanda y paabaja; pero u fortaleza e como filtro paabanda; en u implementación etaría afectado por la deviación ligera de lo componente de u valor nominal ya ea por caua del envejecimiento, a lo corrimiento térmico o por que mucha de la vece lo valore de lo elemento e tienen que aproximar ya que lo calculado no iempre coinciden con lo valore etándare exitente, y de eta manera la caracterítica del filtro cambian en un menor porcentaje con repecto al cambio del elemento. -

7 apítulo Selectore de Frecuencia APÍTULO SELETOES DE FEUENIAS. Introducción Un filtro e un circuito electivo en frecuencia, lo filtro e dieñan para dejar paar alguna frecuencia y rechazar otra. Hay numeroa forma para utilizar lo circuito de filtro. Lo filtro encillo creado con el uo de reitore y capacitare o con inductore y capacitore e denominan filtro paivo porque utilizan componente paivo que no amplifican. Un tipo epecial on lo filtro activo que emplean rede con realimentación en circuito con amplificadore operacionale que on caracterizado por ofrecer exactitud y etabilidad; in embargo, e difícil dieñar un elector de frecuencia ideal, para eto utilizamo la aproximacione de filtro pue entre má ea la aproximación que e deea, má elevado e el orden del filtro. Lo electore de frecuencia on filtro que permiten el pao de la frecuencia dentro de cierta banda, llamada banda de pao y bloquean la frecuencia en otra banda, denominada banda de corte. Idealmente en la banda de pao debería haber tranmiión in ditorión, y en la banda de corte la ganancia debería er nula. Exiten cuatro tipo báico de electore de frecuencia: paa baja, paa alta, paa banda y rechaza banda, que mencionaremo en la eccione iguiente. -4

8 apítulo Selectore de Frecuencia. Filtro ideale Lo filtro ideale on electore de frecuencia que permiten el pao in ditorión de la componente epectrale comprendida en la o la banda de pao, anulando completamente la componente ubicada fuera de ella... Paa baja La repueta paa baja e caracteriza por una frecuencia c, que e llama la frecuencia de corte, tal que H = para < y H = para > lo que indica que la eñale de c entrada con frecuencia menor que paan a travé del filtro in cambiar u amplitud, c mientra que la eñale con > ufren atenuación total. Una aplicación común de lo c filtro paa baja e la remoción de una eñal de ruido de alta frecuencia. c FIGUA - Diagrama de un filtro paa baja ideal. -5

9 apítulo Selectore de Frecuencia.. Paa alta La repueta paa alta e complementaria a la paa baja. La eñale con frecuencia mayor que la de corte reultan completamente bloqueada. emergen del filtro in atenuación, y la eñale con < c c Figura - Diagrama de un filtro paa alta ideal... Paa banda La repueta paa banda e caracteriza por una banda de frecuencia < <, que e llama banda de pao, tal que la eñale de entrada dentro de eta banda emergen in atenuación, mientra que la eñale con < o > e rechazan. Un filtro conocido e el circuito de intonía de un radio, que permite eleccionar una etación en particular y bloquear toda la demá. -6

10 apítulo Selectore de Frecuencia Figura - Diagrama de un filtro paa banda ideal...4 echazabanda La repueta rechaza banda e complementaria a la repueta paa banda porque bloquea lo componente de la frecuencia dentro de la banda de rechazo < <, al tiempo que paan toda la demá. uando la banda de rechazo e uficientemente etrecha, la repueta e llama notch. Una aplicación de lo filtro notch e la eliminación de la frecuencia de la línea de 6 Hz. en lo equipo médico. Figura -4 Diagrama de un filtro rechaza banda ideal. -7

11 apítulo Selectore de Frecuencia. Aproximacione Deafortunadamente no exite ningún circuito que pueda realizar alguna de la funcione cuya magnitude ideale e decribieron anteriormente. Lo único que e puede hacer e aproximar la magnitude ideale. La figura -5 preenta varia opcione para aproximar una función paa baja. a) b) c) FIGUA -5 Aproximacione de un filtro paa baja. La figura -5a muetra la aproximación Butterworth que correponde a una función cuya magnitud e monótona, e decir, u magnitud iempre diminuye (o aumenta) cuando la frecuencia aumenta. En la Fig. -5b e tiene la aproximación tipo hebyhev que preenta un rizo en la banda de pao y que e monótona en la banda de rechazo. La figura -5c muetra una función que tiene rizo tanto en la banda de Pao como en la banda de rechazo y recibe el nombre de aproximación elíptica o aproximación aurer. -8

12 apítulo Selectore de Frecuencia.4 Filtro Paivo Lo filtro encillo creado con el uo de reitore y capacitore o con inductore y capacitore e denominan filtro paivo porque utilizan componente paivo que no amplifican. Lo filtro utilizan una combinación de reitore y capacitore para obtener la repueta deeada. La mayoría de lo filtro on del tipo paa alta. Aunque filtro upreore de banda o filtro de mueca e contruyen también con circuito, lo filtro paa banda pueden obtenere combinando eccione de con filtro paa baja y paa alta, pero eto e hace en rara ocaione. Un filtro paa baja e un circuito que no introduce atenuación a frecuencia por debajo de la frecuencia de corte, pero que elimina por completo toda la eñale con frecuencia arriba de la frecuencia de corte. Alguna vece eto filtro e denominan filtro de corte en alta. La forma ma encilla de un filtro paa baja e el circuito que e muetra en la figura -6 El circuito forma un imple divior de voltaje con un componente enible a la frecuencia, en ete cao el capacitor. A frecuencia muy baja, el capacitor tiene una reactancia muy alta en comparación con la reitencia, por lo tanto, la atenuación e mínima. i o f co = FIGUA -6 ircuito Filtro paa baja -9

13 apítulo Selectore de Frecuencia de voltaje: En cualquier frecuencia e puede determinar la alida por medio de la regla diviora o Z c i (.a) Zc omo Z c, entonce e tiene: j o j j i (.b) Ademá X c (.c) Por lo que al utituir en.b e obtiene la iguiente ecuación: Xc 9i (.d) jxc para exprearlo en magnitud y en fae: A i Xc 9 jxc (.) -

14 apítulo Selectore de Frecuencia Separando en magnitud y fae A X Xc 9 c tan ( Xc / ) A i Xc X 9 tan ( Xc / ) Entonce la magnitud queda expreada como: A Xc (.) i X A un ángulo de fae: 9 tan ( Xc / ) (.4) La frecuencia de corte, e la frecuencia para la cual Xc e igual a X c (.5) y utituyendo la ecuación anterior en.c e obtiene: -

15 apítulo Selectore de Frecuencia O también f De donde la frecuencia de corte e entonce f (.6) al utituir X c por en la ecuación. la ganancia e ahora: A.77 (.7) i Eto e ilutra en la figura.7 FIGUA -7 grafica de repueta en frecuencia, del filtro paa baja. -

16 apítulo Selectore de Frecuencia El filtro paa baja también puede utilizare con un inductor y un reitor como muetra la figura -8.La frecuencia de corte e determina mediante la formula: f L (.8) L i FIGUA-8 Filtro paa baja uado con un inductor Un filtro paa alta, paa frecuencia uperiore a la frecuencia de corte con poca o nada de atenuación, pero atenúa en forma coniderable la eñale por abajo del corte, como e muetra en la figura -9. FIGUA -9 urva De repueta en frecuencia de un filtro paa alta -

17 apítulo Selectore de Frecuencia El filtro báico paa alta e muetra en la figura -a. De nuevo, no e algo ma que un divior de voltaje, el único cambio que preenta e la conexión de la alida, la cual en vez de tomare del capacitor e toma de la reitencia lo cual no provoca que en vez de dejar paar la frecuencia baja paen la frecuencia alta, cuando la frecuencia e demaiado baja, el voltaje e conume cai en u totalidad en el capacitor, el cual e comporta como una impedancia de valor muy alto, por lo que en la alida no e tiene cai voltaje, cuando la frecuencia aplicada e aumentada e tiene que el valor de la impedancia repreentada por el capacitor diminuye hata que cai no conume voltaje, y la mayoría del voltaje e tiene a la alida. El filtro paa alta también puede utilizare con un inductor y un reitor como e muetra en la figura -b. i i a) b) FIGUA - Filtro paa alta a) y b) L Lo filtro obre todo e utilizan en frecuencia baja. Son muy comune a frecuencia de audio pero rara vez e uan por arriba de khz. E má común ver filtro L contruido con inductore y capacitore. Lo inductore para frecuencia baja on grande, voluminoo y caro pero lo que e utilizan en frecuencia alta on muy pequeño, ligero y barato. -4

18 apítulo Selectore de Frecuencia Un Filtro paa banda, e el que permite el pao de un intervalo de frecuencia angoto alrededor de una frecuencia central, fo, con una atenuación mínima, pero que rechaza la frecuencia por arriba y por debajo de eta intervalo. El ancho de banda de ete filtro e la diferencia entre la frecuencia de corte uperior e inferior, o BW= f f, también e igual a fo/q. La frecuencia por arriba y por debajo de la frecuencia de corte e eliminan. La figura - muetra do tipo de filtro paa banda: En la -a un circuito reonante erie e conecta en erie con un reitor de alida, formando aí un divior de voltaje. En frecuencia por arriba y por debajo de la frecuencia de reonancia, la reactancia inductiva o la reactancia capacitiva erán alta en comparación con la reitencia de alida; por lo tanto, la amplitud de alida erá muy pequeña. Sin embargo a la frecuencia de reonancia, e cancelan la reactancia inductiva y capacitiva, dejando olo la reitencia pequeña del inductor. La mayor parte del voltaje de entrada aparece a travé de la reitencia de alida grande. En el circuito de la figura.a X X c L, por lo que: L c (.9) De donde e obtiene f L (.) -5

19 apítulo Selectore de Frecuencia L o /i L f o F a) b) c) FIGUA - filtro paa banda imple Lo filtro upreore de banda, rechazan una banda de frecuencia angota alrededor de una frecuencia central; en la figura - e muetra do filtro upreore de banda L típico ; en la figura -a el circuito L reonante erie forma un divior de voltaje con el reitor de entrada. En frecuencia por arriba y por debajo de la frecuencia central de upreión o de mueca, la impedancia del circuito L e alta en comparación con la de la reitencia; por lo tanto, la eñale por arriba y por abajo de la frecuencia central paarán con una atenuación mínima. En frecuencia central, el circuito intonizado reuena dejando ólo la pequeña reitencia del inductor, lo que forma un divior de voltaje con el reitor de entrada. omo la impedancia e muy baja en reonancia en relación con la reitencia, la eñal de alida erá muy pequeña en amplitud. En la figura -b muetra una verión en paralelo, donde el circuito reonante paralelo e conecta en erie con un reitor del cual e aca la alida en frecuencia por arriba y por abajo de la frecuencia de reonancia, la impedancia de el circuito en paralelo e muy pequeña; hay, in embargo, algo de atenuación en la eñal y la mayor parte del voltaje de entrada aparecerá a travé del reitor de alida. En frecuencia de reonancia el circuito en paralelo L tienen una impedancia reitiva batante alta en comparación con la reitencia de alida dando, por lo tanto, un voltaje mínimo ala frecuencia central. -6

20 apítulo Selectore de Frecuencia L o /i L F f o a) b) c) FIGUA - Filtro upreore de banda L: a) erie b) paralelo, c) curva de repueta.5 La función de Tranferencia Ya e menciono que lo filtro e realizan con dipoitivo que tienen caracterítica que dependen de la frecuencia, como lo capacitore e inductore. uando e ometen a eñale de ca, eto elemento e oponen al flujo de corriente de una manera que depende de la frecuencia, y también introducen un cambio de fae de 9 entre el voltaje y la corriente. Para tomar en cuenta ete comportamiento, e uan la impedancia compleja Z L = L Y Zc = l/, donde j e la frecuencia compleja y e la frecuencia angular, en radiane por egundo (rad/). El comportamiento de un circuito e caracteriza únicamente por u función de tranferencia H(). Para encontrar eta función, primero e obtiene una expreión para la alida o en término de la entrada i. Luego, eta razón eta dada por: -7

21 apítulo Selectore de Frecuencia ( (.) H ) i Y la función de tranferencia reulta er una función de H( ) N( ) D( ) am b n m n a b... a a m m (.) n n... b b Donde N() y D() on polinomio apropiado en función de con coeficiente reale y de grado m y el grado del denominador determina el orden del filtro (primer orden, egundo orden, etcétera). La raíce de la ecuacione N()= y D()= e llaman, repectivamente, lo cero y lo polo de H(), y e denotan como z, z, z m, y p, p p n. Al factorizar N() y D() en término de u raíce repectiva, e puede ecribir ( z)( z)...( zm) H( ) H (.) ( p )( p )...( p ) n Donde a H a / b e le llama factor de ecala. H() olo e determina una vez que o m n e conocen H y u cero y polo. -8

22 apítulo Selectore de Frecuencia.6 El amplificador operacional Un amplificador operacional e un circuito electrónico que tiene do entrada y una alida, la alida e la diferencia de la do entrada multiplicada por un factor de ganancia. Báicamente el Amplificador operacional e un dipoitivo amplificador de la diferencia de u do entrada, con alta ganancia, una impedancia de entrada muy alta y una baja impedancia de alida, con eta caracterítica e deduce que la corriente de entrada on prácticamente nula. Lo amplificadore operacionale e pueden conectar egún do circuito amplificadore báico: la configuracione inverora y no inverora. ai todo lo demá circuito con amplificadore operacionale etán baado, de alguna forma, en eta do configuracione báica..6. Amplificador inveror El circuito amplificador con ganancia contante que e utiliza comúnmente e el amplificador inveror, que e muetra en la figura -. Toda la tenión de entrada, deberá aparecer en, obteniendo una corriente en igual a: I (.4a) -9

23 apítulo Selectore de Frecuencia f n - + o FIGUA - Multiplicador inveror de ganancia contante. Si n eta a un potencial cero, e un punto de tierra virtual, entonce toda la corriente I que circula por paara por f, pueto que no e derivará ninguna corriente hacia la entrada del operacional (impedancia infinita), aí la corriente I f erá igual a : I f o (.4b) f Y como I e igual a I f e tiene: (.4c) f Por lo que (.5) f -

24 apítulo Selectore de Frecuencia Luego la ganancia del amplificador inveror e: f (.6).6. Amplificador no inveror La figura -4 muetra un circuito que funciona como un amplificador no inveror o multiplicador de ganancia contante. E neceario obervar que la conexión del amplificador inveror e generalmente la má utilizada, ya que cuenta con una mejor etabilidad de frecuencia. + - o f FIGUA -4 Multiplicador no inveror Del circuito de la figura -4 e obtiene: (.7) f -

25 apítulo Selectore de Frecuencia eacomodando término queda: f O bien: f (.8).6. Amplificador umador Otra ventaja del amplificador inveror de voltaje e la poibilidad de operar con má de una entrada a la vez. Oberve la figura -5 debido a la tierra virtual, lo tre reitore de entrada etán conectado efectivamente a tierra en el extremo derecho. f + - o FIGUA -5 Amplificador umador -

26 apítulo Selectore de Frecuencia La corriente de entrada a travé de e: i (.9a) la corriente en e: i (.9b) y la corriente que paa por e: i (.9c) Aí la uma de i + i + i, fluye a travé de f, por lo que el voltaje de alida e: i i i ) (.9d) ( f Y finalmente e obtiene: f f f (.) -

27 apítulo Selectore de Frecuencia.6.5 Diferenciador En la figura -6 e muetra un circuito con un capacitor conectado a la entrada del amplificador operacional y un reitor entre la entrada y la alida, a ete circuito e le conoce como diferenciador. - o + FIGUA -6 ircuito diferenciador. (.a) (.b) -4

28 apítulo Selectore de Frecuencia o (.c) o (.).6.4 Integrador Hata ahora lo componente de entrada y de retroalimentación han ido olo reitore. Si el componente de retroalimentación utilizado e un capacitor, como e muetra en la figura -7, a la conexión reultante e le denomina integrador. + o - Figura -7. El integrador -5

29 apítulo Selectore de Frecuencia Del circuito anterior obtenemo: (.a) (.b) Depejando : (.c) O bien: (.4) y la ganancia del integrador e: (.5) -6

30 apítulo Selectore de Frecuencia.7 Filtro Activo Lo filtro L on poco práctico en baja frecuencia debido al tamaño, coto y baja calidad de lo inductore, de allí la neceidad de contar con filtro in inductore. Podría penare en rede, pero como u polo etán en el eje real negativo, no permiten obtener la aproximacione cláica, ni tampoco filtro muy electivo. Surge la idea, entonce, de deplazar lo polo originale de una red para reubicarlo en poicione má favorable. Eto puede lograre aplicando el concepto de realimentación, para lo cual hace falta agregar amplificadore que aporten la ganancia de lazo necearia. Por ete motivo, lo filtro reultante e denominan activo. Lo Filtro Activo má encillo e obtienen a partir de configuracione báica de amplificadore operacionale, por medio de uar una capacitancia como uno de u componente externo. omo Zc=, el reultado e una ganancia con la j magnitud y la fae que dependen de la frecuencia. Una de la herramienta má valioa e la verificación aintótica, la cual e baa en la propiedade iguiente: lim Zc (.6) lim Zc (.7) -7

31 apítulo Selectore de Frecuencia Significa que a frecuencia baja, una capacitancia tiende a comportare como un circuito abierto en comparación con lo elemento circundante y, a frecuencia alta, tiende a comportare como un corto circuito..7. Filtro paa baja de primer orden. La colocación de un reitor en paralelo con el capacitor de retroalimentación, como en la figura -8a, convierte al integrador en un filtro paa baja con ganancia. - + o Figura -8 Filtro paa baja con ganancia. Si Z (.8a) -8

32 apítulo Selectore de Frecuencia Z ( ) (.8b) Entonce Z H o bien H ( ) (.9) Lo que indica un polo real en forma normalizada:. Si j, H() puede expreare en la H( j) H (.) j / H (.) (.) -9

33 apítulo Selectore de Frecuencia.7. Filtro paa alta de primer orden. Si al circuito inveror e coloca un capacitor en erie con el reitor de entrada, e convierte en un filtro paa alta con ganancia. - + o Figura -9 Filtro paa alta con ganancia Si Z (.a) Z ( ) (.b) y H ( ) Z (.c) -

34 apítulo Selectore de Frecuencia queda H (.4) Que indica un cero en el origen y un polo real en puede expreare en la forma normalizada:. Si j, H() H( j) j / H (.5) j / H (.6) (.7) Donde H e llama la ganancia de alta frecuencia, y de nuevo e la frecuencia de -db. -

35 apítulo Selectore de Frecuencia.7. Filtro paa banda de egundo orden Lo último do circuito pueden unire como en la figura - para obtener una repueta paa banda. - + o Figura - Filtro paa banda de banda ancha Si Z ( ) (.8a) y Z (.8b) ( -

36 apítulo Selectore de Frecuencia Por lo que e obtiene Z H ( ) Z o bien H ( ) (.9) Lo que indica un cero en el origen y do polo en obtiene que y. Si j, e H j / L j) H ( j / )( j / ) (.4) ( L H H (.4) L (.4) H (.4) L Donde H e denomina la ganancia de frecuencia media. El filtro e útil con <<, en cuyo cao H L y H e denominan la frecuencia de -db baja y alta. -

37 apitulo Dieño del Filtro Activo APÍTULO DISEÑO DEL FILTO ATIO. Introducción. Lo circuito integrado dieron un auge importante al dearrollo de lo filtro activo con la aparición de lo amplificadore operacionale monolítico, lo cuale irven como el elemento activo en lo filtro activo-, evitando el empleo de circuito dicreto con tranitore. El avance tecnológico ha hecho que el coto del elemento activo ea ma barato y por lo tanto ha permitido el uo de ma amplificadore para realizar una etapa activa- de egundo orden. A travé del tiempo e han dearrollado vario tipo de filtro que emplean tre amplificadore operacionale para realizar una etapa bicuadratica. Entre lo que e encuentran el Sallen-Key, el filtro de egundo orden de variable de etado también llamado KHN y el Tow-Thoma. La ventaja que e obtienen con ete tipo de filtro on varia entre la que e pueden detacar: encillez en la ecuacione de dieño y menor enitividad. En ete capitulo e exponen la bae analítica que e requieren para la implementación de un filtro con caracterítica Tow-Thoma. -4

38 apitulo Dieño del Filtro Activo. Funcione de tranferencia de egundo orden La función de tranferencia de egundo orden e de particular importancia en el etudio de filtro eléctrico ya que irve para formar funcione de orden mayor factorizando eta última en factore de egundo orden. Ademá lo filtro activo importante on iempre de egundo orden. La función de tranferencia N() de egundo orden e de la forma: A( ) A( ) N( ) (.) B( ) a a Otra forma de ecribir la función de tranferencia N() e ecribir el denominador en término de do variable llamado Q y n como: A( ) N( ) (.) n n Q elacionando la ecuacione (.) y (.) e tiene que: n a (.) Q y a (.4) n -5

39 apitulo Dieño del Filtro Activo al depejar n y Q e obtiene: (.5) n a Q (.6) a a.. Función paa baja Para la función de tranferencia paa baja el numerador debe er tal que la función N pl () atifaga la iguiente do condicione. Primera: Debe tener un valor de ganancia H a frecuencia baja ( ); egunda: Debe valer cero a frecuencia muy grande ( ). La función de tranferencia eta dada por: N pl ( ) H n (.7) n n Q De eta ecuación e oberva que el grado del numerador e cero. -6

40 apitulo Dieño del Filtro Activo.. Función Paa banda El numerador A() de una función de tranferencia paa banda N pb () debe hacer que N pb () valga cero tanto para baja frecuencia como para alta frecuencia ( ). De eta manera N pb () erá de la forma: H Q N pb ( ) (.8) Q Donde e oberva que e tiene do cero, uno en el origen y otro en el infinito. En la ecuación.8 e la frecuencia central del filtro paabanda y Q forma el ignificado de factor de calidad definido por: Q (.9) B Note que entre má pequeño e B, má electivo e el filtro paabanda y má grande erá el valor del factor de calidad Q. El valor del ancho de banda B eta definido entonce por: B (.) y por lo tanto el factor de calidad Q eta dada por: B Q (.) -7

41 apitulo Dieño del Filtro Activo. Análii del filtro activo. El circuito de la figura - muetra el filtro bae Tow-Thoma, eta formado por tre amplificadore operacionale y conite de do integradore y un amplificador de ganancia unitaria. omo e verá en la obtención de la ecuacione, podemo obtener una alida paabanda (PB) y otra paabaja (L) PB - + PL - + PL FIGUA - Filtro activo. -8

42 apitulo Dieño del Filtro Activo.. Función de tranferencia paabanda Para hacer má encillo el análii e divide el circuito de la figura - en tre eccione: En la figura - e preenta la primera ección: PL - PL + FIGUA - Del circuito e obtiene: PL PL PL PL (.) PL PL A continuación e analiza la egunda ección del filtro, eta e muetra en la figura -. -9

43 apitulo Dieño del Filtro Activo PB - PL + FIGUA - ección do del filtro activo Del circuito anterior y aplicando leye de corriente de Kirchhoff en la terminal inverora, e tiene: PB PL S PL PB S Y finalmente PL PB (.) S Ahora e analizará la última ección que correponde a entrada del filtro activo, tal como e oberva en la figura

44 apitulo Dieño del Filtro Activo PL PB FIGUA -4 ección tre La uma de corriente efectuada en la entrada inverora del circuito anterior da la iguiente ecuación: 4 PL PB PB S eacomodando término e tiene: 4 PB PB S PL Sutituyendo el valor de PL (ecuación.) en la ecuación anterior, reulta: -4

45 apitulo Dieño del Filtro Activo 4 PB PB S PL En eta expreión e utituye el valor de PL encontrado en la ecuación., quedando de la iguiente manera: 4 PB PB PB S S reacomodando término e obtiene: S PB 4 S Depejando: PB 4 / S S -4

46 apitulo Dieño del Filtro Activo -4 eolviendo y acomodando término, e obtiene la función de tranferencia paabaja: 4 S S PB o también e puede exprear como: 4 S PB factorizando : 4 PB 4 PB eacomodando término:

47 apitulo Dieño del Filtro Activo PB 4 PB Y finalmente obtenemo: 4 PB (.4) elacionando eta expreión con la obtenida en.8 e deduce que: (.5) y Q (.6)

48 apitulo Dieño del Filtro Activo De.5 e obtiene: (.7) omo Q Q (.8) entonce : Q (.9a) O también: Q (.9b) Q (.9c) -45

49 apitulo Dieño del Filtro Activo Otra deducción e: Q (.9d) Por lo que Q e: Q (.) Etableciendo nuevamente la relación entre la ecuacione.8 y.4 e deduce lo iguiente para H : H Q Q H (.a) Por lo tanto: 4 H (.b) eolviendo obtenemo: H (.) 4-46

50 apitulo Dieño del Filtro Activo.. Función de tranferencia paabaja En el circuito de la figura.5, e muetra nuevamente el circuito activo, que e ha etado analizando, ahora e va a deducir la función de tranferencia paabaja, aunque para el cao propueto e de importancia la alida paabanda; in embargo, e preenta con la finalidad de etablecer una comparación de funcionamiento entre eta alida y etablecer criterio de comportamiento. I 4 I I 6 I 8 4 i I a - + I b I 5 c - + d I 7 e - + f + o - Figura -5 filtro activo En eta ección e analizara el circuito mediante nodo. Si e tiene que: I I I I 4 (.) Se utituye y e obtiene: i a a b a b a 4 Z f (.4) -47

51 apitulo Dieño del Filtro Activo -48 Por corto virtual e abe que a = y de eta manera e obtiene: 4 Z f b b i omo f = o, entonce: 4 Z b i (.5) Ahora para I 5 tenemo: 5 I c b (.6) Y para I 6 : 6 d Z I (.7) Si I 5 =I 6 y e abe que c = por corto virtual; e reuelve (.6) y (.7) y e obtiene la ecuación: d b Z (.8)

52 apitulo Dieño del Filtro Activo A i mimo e tiene para I 7 e I 8 : d e I 7 (.9) e F I8 (.) uando I 7 = I 8 y por corto virtual e abe que e =, entonce e obtiene: d F (.) Y como F = o, entonce: (.) d O Aí la ecuación (.)e utituye en la ecuación (.8) y e obtiene: b = Z (.) Depejando b: Z (.4) b -49

53 apitulo Dieño del Filtro Activo -5 ya que e tiene el valor de b (ecuación.4) e utituye en la ecuación.5 de eta manera e tiene: 4 Z b i 4 Z Z i O 4 i o 4 i o o i 4 i o i o

54 apitulo Dieño del Filtro Activo i o 4 i o 4 i o (.5) Para el filtro de º orden la función paabaja e: ) ( n n n o i o Q H Y relacionando con la ecuación.5, e obtienen la iguiente ecuacione: n

55 apitulo Dieño del Filtro Activo O también: n (.6) Para obtener Q: n n Q Q (.7) Q (.8) Q (.9) H o H (.4) o n n 4 H o (.4) H o (.4) 4-5

56 apitulo Dieño del Filtro Activo.4 Técnica de dieño.4. Dieño del filtro activo paabanda on la finalidad de facilitar lo cálculo e emplea la iguiente técnica de dieño que conite en hacer y de eta manera la ecuacione quedan implificada como igue: (.4) Q (.44) De eta ecuacione e depejan lo valore de lo reitore: H (.45) 4 (.46) De la ecuación (.44) e obtiene el valor de : Q (.47) y 4 la obtenemo de la ecuación (.44): 4 (.48) H -5

57 apitulo Dieño del Filtro Activo.4. Dieño del filtro activo paabaja Al igual que en el cao del filtro paabanda, e toman la mima conideracione para ete filtro, y e conidera y, aí, la ecuacione para el filtro activo paabaja quedan de la iguiente manera: n (.49) Q (.5) H (.5) 4 De eta ecuacione depejamo lo valore de lo reitore: (.5) n El valor de queda de la mima manera que para el filtro paabanda ya que el valor de Q e el mimo para ambo circuito: Q La ganancia no da el valor de 4 de eta manera: 4 (.5) H -54

58 apitulo Dieño del Filtro Activo.5 Senibilidad del filtro Activo Debido a la tolerancia de lo componente y a factore no ideale de lo amplificadore operacionale, e probable que la repueta de un filtro práctico e devíe de lo que predice la teoría, e decir, i el valor de un elemento que compone el circuito e devía ligeramente de u valor nominal ya ea por caua del envejecimiento o a lo corrimiento térmico, entonce la caracterítica del filtro cambian en un menor porcentaje con repecto al cambio del elemento. Por lo tanto, e de interé conocer que tan enible e un filtro a la variacione de lo componente. Dado un parámetro del filtro tal como y Q y un componente x del filtro, tal como una reitencia o una capacitancia, la función cláica de enibilidad define como: y S x e S y x y / y x / x x y y x (.54) Donde la derivada parciale e uan para tomar en cuenta el hecho de que por lo general, lo parámetro del filtro dependen de má de un componente. Para cambio pequeño e puede aproximar: y y S y x x x (.55) Eto permite etimar el cambio fraccional del parámetro y / y y que e ocaionado por el cambio fraccional del componente x / x al multiplicar ambo lado por, e obtiene una relación entre cambio porcentuale. La función de enibilidad tiene la propiedade útile que iguen: -55

59 apitulo Dieño del Filtro Activo S y / y y / x S x S x (.56) x S n x n (.57).5. Análii de Senibilidad del filtro Activo La enibilidade del filtro activo que e eta analizando e obtienen de la ecuacione referida a y Q manera e obtienen lo iguiente reultado: ya que eto on lo parámetro coniderado para el filtro, de eta De acuerdo a la ecuación: e tiene que / / / /. De acuerdo a la.57 e tiene: S S S S y para y 4 e tiene: S S 4 Ahora repecto a Q: -56

60 apitulo Dieño del Filtro Activo Q Se tiene que: Q= que: / / / /, e aplica nuevamente la ecuación.57 y e tiene S Q S Q S Q S Q S Q Y para 4: S Q 4 De eta manera la enibilidade para el filtro activo on: S,,, S, (.58) 4 S Q Q Q Q S,, S S (.59) 4-57

61 apítulo 4 Simulación y eultado APÍTULO 4 SIMULAION Y ESULTADOS 4. Introducción. E de uma importancia comprobar que el dieño que e realiza realmente opere como e epera, en otro tiempo ería neceario contar con múltiple intrumento de laboratorio para demotrar u funcionamiento, pero gracia al gran avance computacional e cuenta con una potente herramienta de imulación de circuito llamada SPIE del acrónimo: Simulation Program for Integrated ircuit Emphai. Ete programa e una herramienta de imulación de circuito analógico y mixto que puede er uada para comprobar el dieño de circuito y para predecir u funcionamiento. Eto tiene epecial importancia en lo circuito integrado y por eta razón, SPIE e la herramienta que e utiliza en ete trabajo para demotrar el funcionamiento del circuito activo dieñado. 4. Paa banda Se realizo la imulación con Ppice para diferente valore de lo parámetro: H, Q, n del filtro activo, e eleccionaron alguna frecuencia aleatoria de toda la efectuada, con el objetivo de demotrar la coincidencia de lo reultado analítico con lo del imulador. 4-58

62 apítulo 4 Simulación y eultado En la iguiente tabla e preentan lo dato utilizado haciendo uo de la ecuacione implificada (obtenida en el capitulo anterior) para ditinta frecuencia. A u vez lo reultado de la imulación on preentado en la grafica, y como e puede obervar la frecuencia central e aproximada a la eperada. Parámetro de dieño alore alculado alore omerciale =Hz H = Q= =. F = K =.59 M 4 = 795 K = 6 K =.6 M 4 =8 K Tabla 4. Dieño paabanda de Hz.5 Grafica de repueta en frecuencia centrada en Hz Hz Hz Hz (:) Frequency Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabanda de Hz. 4-59

63 apítulo 4 Simulación y eultado Parámetro de dieño alore alculado alore omerciale =Hz H = 5 Q=8 =.47 F =.86 K = 7.9 K 4 = 5.4 K =. K = 7 K 4 = 5.6 K Tabla 4. Dieño paabanda de Hz Grafica de repueta en frecuencia, centrada en Hz Hz Hz.KHz (:) Frequency Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabanda de hz. 4-6

64 apítulo 4 Simulación y eultado Parámetro de dieño alore alculado alore omerciale = Hz H = 4 Q= =nf =5.5 K = 5. M 4 =. M =5 K = 5. M 4 =. M Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabanda de hz. 5. Grafica de epueta en Frecuencia, centrada a Hz Hz Hz Hz Hz.KHz.KHz KHz (:) Frequency Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabanda de hz. 4-6

65 apítulo 4 Simulación y eultado Parámetro de dieño alore alculado alore omerciale =KHz H = 5 Q= =nf =59.5K =.59M 4 = 8 K =6 K =.6 M 4 = K Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabanda de Khz. 6. Grafica de epueta en frecuencia, centrada a KHz Hz.KHz KHz (:) Frequency Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabanda de Khz. 4-6

66 apítulo 4 Simulación y eultado 4. Paabaja El filtro activo cuenta con una alida paabaja, por ello también e realizó un conjunto de imulacione que permitieran conocer la repueta de lo mimo y u deviación con repecto a lo reultado analítico; in embargo no e poible colocar a todo lo reultado, por lo que e ha optado por preentar alguna dieño para determinada frecuencia de corte y con ello poder ilutrar u comportamiento. En la iguiente figura, e preentan lo reultado de la imulación para la frecuencia de Hz, Hz, Hz y KHz. omo e puede obervaren la figura, lo reultado on muy imilare a lo calculado. Parámetro de dieño alore alculado alore omerciale = Hz = 59.5K = 6 K H = 5 Q =.7 = K = 6 K 4 =.8 K 4 = K =. F Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabaja de hz Hz.Hz Hz Hz Hz Hz.KHz (U:OUT) Frequency Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabaja de hz. 4-6

67 apítulo 4 Simulación y eultado Parámetro de dieño alore alculado alore omerciale = Hz H = Q =.7 =.47 F =.86 K =. K 4 = 8.6 K =. K =. K 4 = Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabaja de hz Hz.Hz Hz Hz Hz Hz.KHz.KHz KHz KHz KHz (U:OUT) Frequency Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabaja de hz. 4-64

68 apítulo 4 Simulación y eultado Parámetro de dieño alore alculado alore omerciale = Hz H = Q = =. F = 4.4 = = 4.4 = 4 = 4 K 4 = 4 Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabaja de hz hz.hz Hz Hz Hz Hz.KHz.KHz KHz KHz KHz (:) Frequency Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabaja de hz. 4-65

69 apítulo 4 Simulación y eultado Parámetro de dieño alore alculado alore omerciale =KHz H = Q =.7 = nf = 59.5K =.4K 4 = 5.9 K = 6 K = K 4 = 6 K Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabaja de Khz Hz.Hz Hz Hz Hz Hz.KHz.KHz KHz KHz KHz (U:OUT) Frequency Fig. 4. eultado de la imulación de filtro paabaja de Khz. 4-66

70 oncluione ONLUSIONES En el preente trabajo e dearrollo el dieño de un filtro activo, utilizando técnica conocida en el dieño de filtro activo. La parte má importante e concentro dede luego en el dieño y imulación del filtro activo. on el apoyo del imulador Ppice e pudo obtener la viualización de lo reultado de acuerdo a la condicione y epecificacione del dieño, aí como también el de poder predecir el comportamiento del filtro, evaluar reultado, detectar y corregir poible errore de dieño. on el objeto de validar el dieño obtenido, e realizo la imulación con Ppice para diferente valore de lo parámetro: H, Q y n del filtro activo, y depué de analizar la grafica de toda la imulacione realizada e pueden etablecer la iguiente concluione: Ete filtro preenta una enibilidad muy baja lo cual implica que e un filtro confiable. El filtro activo dieñado funciona perfectamente como paa banda con valore de Q mayore a la unidad. 67

71 oncluione En el cao de uarlo como paa baja e indipenable que el Q ea menor que la unidad para que la repueta de la frecuencia no preente diparo en la ganancia de voltaje (amortiguamiento) en frecuencia cercana a la frecuencia de corte, lo que no e deeable en el dieño. Finalmente, e importante mencionar que la implementación del filtro activo paa banda puede er realizada con mucha confiabilidad, ya que con todo lo dato obtenido del dieño y la imulación, e tiene la certeza que reponderá a la condicione de operación propueta. 68

72 iii