The problem of the lack of stability in spatial econometric models.

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1 The problem of the lack of stability in spatial economeic models. Jesús Mur(*), Fernando López (**) and Ana Angulo(*) (*) Department of Economic Analysis University of Zaragoza Gran Vía, -4. (50005). Zaragoza. Spain. (**)Department of Quantitative Methods and Computing University of Cartagena. Paseo Alfonso X, Cartagena. Spain. Absact El objetivo principal de nueso papel es el de avanzar en el análisis de la heterogeneidad existente en un modelo economéico de naturaleza espacial. Evidentemente, la propuesta no es novedosa, por cuanto ya existe mucho abajo acumulado sobre este mismo tópico, y con excelentes resultados, en la literatura especializada. El aspecto singular de nueso planteamiento es que mantenemos una lectura amplia del término heterogeneidad, el cual asociamos a problemas de estabilidad en la parte regular de la ecuación (singularmente, a los parámeos de posición), a comportamientos inesperados en el término aleatorio o a la falta de homogeneidad en los mecanismos de dependencia espacial existentes en la especificación. En particular, desarrollamos diferentes conastes de especificación, cenados todos ellos en el problema de la heterogeneidad, mediante los cuales se aborda este tópico desde diferentes perspectivas. Keywords: Spatial dependence; Spatial nstability; eterogeneity, eteroscedasticy. JEL Classification: C; C50; R5 Acknowledgements: This work has been carried out with the financial support of project SEJ /ECON of the Ministerio de Ciencia y Tecnología del Reino de España.

2 .- noduction Uno de los principales motivos que ha impulsado nueso abajo en este papel ha sido el de elaborar un marco en el que poder atar simultáneamente con los tópicos de heterogeneidad y de dependencia espacial. Ambos forman parte de la naturaleza básica de este tipo de datos, aunque tiendan a confundirse con relativa facilidad. Por ejemplo, un atípico del tipo L, a diamond in the rough, puede ser realmente eso, un valor atípico en una disibución estocástica, pero también puede ser el resultado lógico de un proceso de autocorrelación negativa. A su vez, el primer caso puede atarse de una anomalía estadística sin mayor significación, o ser la consecuencia de una ruptura esuctural localizada en el espacio. Cada posibilidad coloca la discusión en un contexto diferente y reclama un atamiento también diferente. Sin embargo, los síntoma se enemezclan de modo que, como indica Anselin (990, p.04), often, the misleading indication of heterogeneity is due to spatial autocorrelation and, on the conary, there are frequent cases in which spatial dependence arises due to inadequately modelled spatial heterogeneity (Pace and Lesage, 004, p.3). Desde nueso punto de vista, las dificultades en el manejo de estas dos cuestiones (heterogeneidad y dependencia espacial) se agudizan porque, habitualmente, se atan de forma aislada lo cual aumenta el riesgo de confusión. El de Anselin (988b) es uno de los primeros abajos en los que se propone combinar ambos tópicos, dando lugar a la conocida bateria de conastes de autocorrelación y heterocedasticidad; en Anselin (990) se insiste en la misma línea adaptando el test de Chow a modelos con dependencia espacial. Mas adelante, Brunsdon et al. (998b) and Pace and Lesage (004) develop specifications where the mechanisms of spatial association are specific for each point in space. The first paper may be seen as a natural extension of the GWR approach (Brunsdon et al., 998a; we can also include in this line the papers of Leung et al., 000 and 003, and of Páez et al, 00a and 00b), whereas the second is more related to the proposal known as locally linear weighted regression, LWR, (McMillen, 996, McMillen and McDonald, 997).

3 Recientemente, Mur et al (007a and b) atan de acercar todavía más ambos tópicos desarrollando una serie de conastes específicos de inestabilidad en el coeficiente de autocorrelación espacial. Finalmente, nueso abajo vuelve a insistir en la misma dirección de combinar heterogeneidad y dependencia espacial, aunque atamos de adoptar una perspectiva un poco más amplia que los anteriores. En la discusión que continúa vamos a utilizar el tópico de heterogeneidad como hilo conductor de la exposición, aunque las referencias a los procesos de dependencia ansversal serán constantes. En la sección segunda nos planteamos diferentes mecanismos de heterogeneidad en una sola dirección, que generalizamos en la tercera para contemplar casos en los que la heterogeneidad se manifiesta en varias direcciones. Finalizamos el abajo con una sección de conclusiones y perspectivas de desarrollo futuro..- eterogeneity in only one direction. La interpretación del termino heterogeneidad que vamos a utilizar en el abajo es el de falta de estabilidad en el parámeo o conjunto de parámeos de interés. Obviamente, dado que estamos desarrollando un enfoque de corte ansversal, esta inestabilidad se manifiesta sobre el espacio de modo que habrá una serie de parámeos que, hipotéticamente, evolucionan en esa dimensión. Por simplificar, asumimos que la forma funcional, las variables relevantes y los restantes elementos definitorios del modelo se mantienen estables. Bajo estas premisas los casos que vamos a contemplar a continuación son los de falta de estabilidad en los parámeos de posición del modelo, en la medida de dispersión de los errores y en los mecanismos de dependencia ansversal..- nestabilidad en los parámeos de posición del modelo Este problema es sobradamente conocido en la literatura economéica, tanto en la general como en la especializada en cuestiones espaciales, y se resume en el test de Chow con sus múltiples variantes. El abajo ya citado de Anselin (990) se preocupa en adaptar este conaste al caso de un modelo de corte ansversal con esuctura de dependencia espacial. El resultado es un conaste tipo LR en el que es

4 3 necesario definir previamente la forma que adopta la ruptura (número de regímenes existente, integrantes de cada régimen, etc.), y que funciona razonablemente bien. Oa sugerencia interesante en esta línea es la del método de expansión de parámeos de Casetti (97) y Casetti y Poon (995), por el que se generaliza el planteamiento discreto adicional basado en la inoducción de variables dummy. En cierto sentido, este método ata de endogeneizar la ruptura mediante las denominadas variables contextuales, que es necesario identificar a priori. Si se dispone de esta última información (qué variables son y cómo actúan), el conaste de Chow y su extensión LR propia del caso espacial son un caso particular del método de expansión de parámeos. Por el conario, si no hay información sobre las variables a las que responden los parámeos, la discusión debería evolucionar hacia planteamientos LWR ó GWR: los parámeos son inestables en el espacio pero cambian de acuerdo a alguna sistemática, por débil que ésta sea, concretada en el concepto de hipersuperficie de parámeos (Fotheringham et al., 999). Con estos antecedentes, el planteamiento que formulamos a continuación es híbrido; de hecho, tomamos elementos de todos ellos. En concreto, vamos a asumir inicialmente un modelo estático en el que sospechamos que existe una ruptura esuctural en los parámeos de posición: y Xm+ε ~N(0, ε ) y x 0 0 xi m mi y 0 x 0 xi m mi y ;X ; xi ;m ; mi y 0 0 x x m m N Nx N ik N ik NxNk kx Nkx kx i,,..., N () El supuesto que queremos desarrollar es que esa ruptura es de tipo continuo y se produce de acuerdo a cierto paón, relativamente bien identificado. Esto último significa que vamos a contextualizar la ruptura de acuerdo a un indicador, o a un conjunto de indicadores, de forma similar a como se plantea en el método de

5 4 expansión de parámeos. El aspecto peculiar de nuesa propuesta es que no cerramos la forma funcional de las ecuaciones de expansión; por el conario, mantenemos un planteamiento genérico como el siguiente: z i zi; zi; ; zip mij β jhj[ z iμ] μ i μ ; μ; ; μ p La idea es que el vector de parámeos cambia en cada punto del espacio, de acuerdo a cierta sistemática resumida en la colección de funciones hj[-], una para cada parámeo de posición del modelo. El argumento de esta función se compone de una serie de variables, las zj, y de parámeos asociados al cambio, los μj. Para simplificar la exposición, vamos a asumir que en todas las funciones de expansión asociadas a parámeos de interés, los β, intervienen las mismas variables y los mismos parámeos (esta resicción se puede relajar sin mayores consecuencias). En estas condiciones, el número de parámeos del modelo asciende a k+p+: θ[β, μ, ]. Sin embargo, nueso problema tiene más que ver con el conaste de la ruptura que con el de su estimación. Para avanzar en esa dirección adoptaremos un enfoque similar al del conaste de Breusch-Pagan (Breusch and Pagan, 979), lo que nos evita enar en detalles sobre la forma de la función h(-). Con respecto a esta función únicamente necesitamos asumir los siguientes supuestos: h j(0) ; h j (0) and h j (0), siendo h j ( ) y h j ( ) la primera y segunda derivada de la función hj[-] evaluada en el origen. habitual: Asumiendo normalidad, la función de verosimilitud tiene la composición () N/ ( ) ( )( yxm )( yxm π ) L(y; θ ) e N N l(y; θ ) log L(y; θ ) ln π ln y xm y xm ( ) ( ) ( ) (3) cuyo gradiente adquiere una esuctura fuertemente no lineal:

6 5 m m l x ( y xm) mβ β μ β m m ( ) mμ mβ β mμ μ L l g x y xm ; θ μ l l N uu + 4 mn mn β μ (4) Las maices de primeras derivadas m β and m μ son de órdenes (Nkxk) y (Nkxp) y, obviamente, solo se podrán desarrollar cuando se inoduzca una especificación concreta para las funciones hj. El problema que nos preocupa ahora, como se ha dicho, es el de conastar si existe una ruptura esuctural (de tipo continuo y relacionada con las variables zj) en el vector de parámeos de posición β. En tal caso, la hipótesis nula es que el vector μ es cero por lo que la especificación de las funciones hj resulta irrelevante. De hecho, bajo la hipótesis nula: 0 : μ 0 (5) :No A 0 el modelo de () deberá estimarse por MCO. La obtención de un estadístico de conaste tipo LM es relativamente simple: siendo x ˆ ZYu ˆ ˆ ZYˆM YZ ˆ ZYu ˆ LM Chow χ (p) (6) ˆ as M x X(XX) X, û los residuos MCO: û yxβ, ˆ y Ŷ y Z las maices: Yˆ diag yˆ ; yˆ ; yˆ ;...; yˆ 3 N z z z3 zp xβ ˆ z z z3 zp 0 x ˆ β 0 0 Z z3 z3 z33 z3p 0 0 x ˆ 3β 0 zn zn zn3 znp x ˆ N β (7) de órdenes (NxN) y (Nxp) respectivamente. La extensión del conaste LM de (6) a los casos SLM ó SEM no parece compleja, como tendremos ocasión de comprobar más adelante.

7 6.- nestabilidad en la medida de dispersión de los errores En este caso estamos hablando de heterocedasticidad. Se ata de un tópico bien conocido sobre el que existen muchos y muy interesantes resultados, tanto en la literatura de aplicación como en la metodológica (Godfrey, 988). En el abajo de Anselin (988b) se muesa una marcada preferencia por el conaste de Breusch- Pagan, dado que está basado en el principio del Multiplicador de Lagrange. Uno de los aactivos de esta opción es que tiende a simplificar la resolución del conaste, dado que nos remite al modelo de la hipótesis nula (en general, homocedasticidad). Además, el estadístico resultante puede coordinarse eficazmente con los restantes Multiplicadores de Lagrange, en una esategia de chequeo de la especificación más general. Por ejemplo, como se demuesa en Anselin (988b), es relativamente directo conastar homocedasticidad en un modelo SARAR : y ρ W y+ xβ+ε Ay xβ+ε ελw u u ε+ Bε u~n(0, Ω) Ωii h ziα ij 0;i j Ω h(0) (8) siendo W y W las maices de contactos (no necesariamente diferentes) que intervienen en el proceso SARAR; ρ y λ son los parámeos de dependencia asociados a la variable endógena y al ruido, respectivamente. La hipótesis nula y el estadístico de conaste para el caso simple en el que sólamente interviene una variable en la función heterocedástica, son: Con esta notación nos referimos a un modelo espacial que incluye una esuctura autoregresiva tanto en la ecuación principal como en la de los errores.

8 7 0 : α 0 :No A 0 LM BP xf ET/SARAR SARAR N ηi i zinz BPSARAR SE η i N i zi s/z N i zi f N i zi( ραv( ρ ) + λαv( λ ) + ραλαcov( ρ; λ) ) (9) siendo ηi los residuos de la estimación del modelo SARAR bajo el supuesto de homocedasticidad. El conaste LMET/SARAR corrige a la baja el estadístico de Breusch- Pagan bruto que se obtendría al aplicar este último conaste sobre los residuos del modelo SARAR. El factor de descuento, f, depende de los resultados de la estimación ML del modelo de la hipótesis nula. En concreto, V(ρ), V(λ) y Cov(ρ,λ) se refieren a la varianza o covarianza de los estimadores ML asociados, mienas que por ρα e λα denotamos los correspondientes elementos de la maiz de información del modelo (Mur et al, 007b). Con ligeras variaciones, estos mismos resultados se extienden para el caso SARMA: la única diferencia es que habrá que estimar un MA en la ecuación de los errores, con parámeo asociado λ. La situación se repite en modelos SLM y SEM. La diferencia con el resultado de (9), aparte del modelo de referencia, esiba en la definición del factor de descuento que media ene el estadístico de Breusch-Pagan correspondiente a cada caso (BPSLM and BPSEM respectively) y el Multiplicador final (LMET/SLM and LMET/SEM): SLM Case SEM Case f f N i zi N i ziραv( ρ) ρα N i z i N i ziλαv( λ) λα (0)

9 8 Oo resultado interesante, ya puesto de manifiesto en el abajo de Anselin (988b), es el de la aditividad de los Multiplicadores marginales (de heterocedasticidad y de dependencia espacial) en el Multiplicador del conaste final cuando la hipótesis nula conjunta es ausencia de efectos espaciales en el modelo: 0 : λρα 0 :No A 0 LM ET+SARMA SARAR + BP SARAR () Si en (8) inoducimos un modelo SARMA, el Multiplicador de () deberá ajustarse en la misma dirección, de modo que: LM SARMA + BP. En las dos últimas expresiones, los ET+SARMA SARMA estadísticos SARAR y SARMA se refieran al conaste conjunto de ausencia de elementos de dinámica espacial, tanto en la ecuación principal del modelo como en la de los errores (Anselin, 988a). Por último, únicamente queremos indicar que toda esta discusión se puede replicar en términos del conaste de Koenker-Basset (Koenker and Basset, 98), robusto a fallos en el supuesto de normalidad para la perturbación..3- nestabilidad en los mecanismos de dependencia ansversal Mur et al. (007a) se plantean si las fuertes diferencias que se observan ene las regiones europeas, en todo tipo de aspectos, pueden afectar también a la capacidad de estas regiones para relacionarse con su entorno inmediato. La respuesta que ellos mismos se dan, inspirada en el abajo de Parent y Riou (005), es afirmativa. Las razones que pueden invocarse son numerosas, aunque basta con aludir a las consecuencias de una disibución sobre el continente muy desigual de las infraesucturas de comunicaciones (por ejemplo, the density of motorways and dual carriageways per square kilomee is 5 times greater in the Western regions than in those of the East ). En términos economéicos, el problema específico que subyace en esa observación es el de la posible falta de estabilidad en el parámeo de interacción espacial. En el mismo abajo de Mur et al. (007a) se desarrolla un conaste de homogeneidad en ese parámeo que, en línea con oas sugerencias ya

10 9 existentes (Rietveld and Wintershoven, 998, Lacombe, 004, or Ertur et al., 006), mantiene un sistema discreto de regímenes; esto es, existe un número limitado de rupturas que afectan, en cada caso, a grupos bien definidos de regiones. En el presente abajo vamos a partir de ese planteamiento con la intención de generalizarlo. El problema que proponemos, en el caso de un SLM, se concreta en: y ρ Wy+ xβ+ε ~N(0, ε ) diag{ h ( ziα );i,,..., N} h(0) () La hipótesis es que existe un nivel de dependencia básico para todo el espacio, asociado al parámeo ρ. Si este parámeo es cero, la conclusión obvia es que no existe dependencia ansversal en la especificación y la discusión finaliza en ese punto. Solo si el parámeo ρ es diferente de cero tiene sentido plantearse la cuestión de que esas relaciones de dependencia puedan no ser uniformes sobre el espacio. Para dar forma a la alternativa, en la especificación de () se propone que la intensidad de las dependencias evoluciona, siguiendo la disibución de cierta variable z (vamos a suponer que en el vector z interviene una única variable, aunque la discusión se generaliza al caso de p variables). La función h[-] que interviene en la maiz no tiene porqué ser necesariamente conocida, aunque debería mantenerse estable sobre el espacio. De cualquier forma, la pieza fundamental de información en esa especificación es el indicador de heterogeneidad, la variable z, que interviene como argumento en la función h[-], y cuya propia variabilidad genera inestabilidad en las medidas de dependencia espacial. Está claro que, también en este caso, estamos desarrollando un enfoque que podríamos denominar a lo Breusch-Pagan. Los parámeos de interés son k+3: θ[ρ, β, α, ] y el enfoque que proponemos es el habitual de máxima-verosimilitud. De esta forma, asumiendo normalidad, podemos escribir la función de log-verosimilitud muesal: ( Ay x β) ( Ayxβ) N N l(y; θ ) ln ( π) ln + ln A (3)

11 0 siendo A -ρw. El vector gradiente presenta una esuctura no lineal: l ( Ayx β) x β y x Wy ( A β ) l A W + ρ ( ) l Ayx β ZWy ρ A ZW +ρ α l N ( Ayx β) ( Ayxβ) + 4 (4) con: ( α) ( zα) h z 0 0 z h ( z α) 0 z ( zα) ; Z 0 0 z3 0 (5) z N h ( z N α) 0 0 ( z N α) Las dos últimas maices son de tipo diagonal, de orden (NxN), y proceden de la diferencial de la maiz : Z. Como en casos anteriores, si aportamos α información sobre las características de la ruptura (qué variable se corresponde con el indicador z y cómo es la función h), el modelo de () podrá estimarse, por ejemplo, utilizando métodos numéricos. Sin embargo, el aspecto que queremos discutir es si es necesario plantearse ese ejercicio; es decir, si el parámeo ρ es estable sobre el espacio. La hipótesis nula vinculada a ese supuesto está clara: 0 : α 0 (6) :No A 0 El Multiplicador de Lagrange permite resolver el conaste utilizando los resultados de la estimación ML del modelo SLM, bajo el supuesto de homogeneidad en el parámeo de autocorrelación. La expresión del estadístico es la siguiente:

12 y ε ZW A ZW LM SLM Break * * * (7) V( θ) En esa expresión, ε es el vector de residuos ML del modelo mienas que los términos del denominador proceden de la maiz de información del modelo de (), siempre abajando bajo la hipótesis nula de (6). En concreto: * * * * αα; αρ α αβ ; β W W ZW ZW W W A Z A x xβ αα A ( A + Z A ) + x x β β αρ + A WZWA A ZWA W α ZWA βx x βα A WZ V( θ) ρρ ρ ρβ ρ 0 ρβ 0 ββ (8) En la última expresión, θ es el vector de parámeos del SLM, bajo el supuesto de homogeneidad; θ[ρ,β, ] y V(θ) su maiz de varianzas y covarianzas (Anselin, 988a, para los detalles). Esta misma discusión se puede replicar, con ligeras variantes, para el caso SEM. La especificación de referencia es: y xβ+ u u ρ Wu+ε ~N(0, ε ) diag{ h ( zi );i,,..., N} α h(0) (9) resultan ser: La función de log-verosimilitud, en la que B-ρW, y el vector gradiente

13 ( y xβ) BB( yxβ) N N l(y; θ ) ln ( π) ln + ln B l ( y x β) BB x β l ( y x ) ( y x ) β BW β B W + ρ l ( y x ) ( y x ) β BZW β ρ B ZW +ρ α l N ( yx β) BB ( yxβ) + 4 (0) Al igual que en el caso anterior, el conaste de estabilidad en el parámeo ρ nos indicará qué sistema de ecuaciones debemos resolver: si el de (0), para lo que necesitamos información precisa sobre las causas de la inestabilidad en ρ, o el correspondiente al de un SEM homogéneo. La hipótesis nula y el estadístico de conaste son similares a los obtenidos para el SLM: 0 : α 0 () :No A 0 u ε ZW B ZW SEM LM Break * * * () V( θ) siendo u los residuos muesales del modelo, u yxβ, y ε los residuos muesales filados por la maiz B: εb u. El resto de elementos son los siguientes: * * * * αα αρ α αβ ; ; ( αα + ) B ZW ZWB B ZW αρ α βα B 0 WB WZW B ρρ ρ 0 V( θ) ρ ββ (3)

14 3 El vector θ está compuesto por los parámeos asociados al SEM homogéneo, θ[ρ,β, ], mienas que V(θ) es la maiz de varianzas y covarianzas asociada (nuevamente, ver Anselin, 988a, para los detalles). 3.- eterogeneity in several directions. Los casos que contemplamos en esta sección son una extensión de los anteriores tanto en cuanto ahora vamos a permitir que la heteregoneidad se manifieste, simultáneamente, en varios de los elementos que intervienen en la especificación. En definitiva, el supuesto es que, si existen factores que generan heterogeneidad, es razonable que su impacto se acabe extendiendo, en mayor o menor medida, a los diferentes elementos del modelo sean estos parámeos de posición, de dispersión o de interacción. Como criterio general, vamos a mantener el mismo enfoque tipo Breusch- Pagan que ya hemos empleado, dado que nos permite conectar el problema de inestabilidad con una batería de indicadores externos. Al igual que en casos anteriores, en los mecanismos de heterogeneidad intervienen una serie de funciones que ansmiten los impulsos del foco de inestabilidad. No es necesario especificar completamente tales funciones para resolver el conaste correspondiente, aunque sí el que hayamos identificado los indicadores. nicialmente vamos a suponer que tanto las funciones como los indicadores que intervienen en cada manifestación del problema de inestabilidad son diferentes (esto es, hay una forma funcional y un indicador específico que actúa en el problema de heterocedasticidad, diferentes a los que intervienen en el problema de inestabilidad en los parámeos de dependencia espacial). Sin embargo, no habría mayores inconvenientes en que se atase del mismo indicador y la misma función; obviamente, los resultados se simplificarían. 3.- nestabilidad en el parámeo de dispersión y en los de interacción. El punto de partida, es el de un modelo en el que se han detectado relaciones de dependencia ansversal. Ahora nos planteamos si esa relación es estable sobre el espacio y si, además, existen problemas de heterocedasticidad. En la discusión que sigue, distinguiremos el caso de un modelo SLM o SEM.

15 4 El marco de referencia para el primer caso es el siguiente: ( z α) y ρ Wy+ xβ+ε ~N(0, ); ε Ω Ω D ( n δ) h d h ( zα) d( nδ) 0 0 ; D 0 0 h ( znα ) 0 0 d( nnδ) (4) La hipótesis que subyace en esta especificación es que la intensidad de las dependencias evoluciona en respuesta a los valores de la variable z. La función h[-] que interviene en la maiz diagonal no es necesariamente conocida, aunque se supone estable sobre el espacio. Lo mismo ocurre con la varianza de la perturbación, heterocedástica de acuerdo a la variable n y a la función d[-]. El número de parámeos que intervienen en la especificación es (k+4) dando forma al vector θ[ρ, β, α, δ, ]. Si asumimos normalidad, la función de logverosimilitud se obtiene de la forma usual: N N l(y; θ ) ln ( π) ln ln ln ( y x ) D + A A β ( y xβ) D A (5) El vector gradiente es fuertemente no lineal: l ( Ay x β ) D x β l ( y x ) A β y D W A W + ρ l ( Ayx β) ZWy ρ A +ρ D ZW (6) α ( y x ) l A β ( y x ) D D ND A β D D N + δ l N ( y x ) A β D ( Ayxβ) + 4 siendo:

16 5 ( iα) ( ziα) ( iδ) ( niδ) h z diag ;i,,..., N Z diag i;i,,..., N d n D diag ;i,,..., N N diag i;i,,..., N [ z ] [ n ] (7) Es evidente que, para el caso general, la resolución del algoritmo ML puede llegar a ser bastante compleja; en cualquier caso, necesitaremos recurrir a métodos numéricos y contar con una buena capacidad de cálculo. Por ello, puede resultar muy recomedable la resolución previa de un conaste de estabilidad que contemple ambos factores. La hipótesis nula es obvia: 0 : αδ 0 (8) :No A 0 El estadístico de conaste, en su versión LM, no tiene una esuctura demasiado aactiva: SLM Break+ET LM q q (9) donde q es un vector de orden x e una maiz cuadrada x, cuya composición es la siguiente: y ε ZW ρ A ZW q ε Nε N (30) El vector ε contiene los residuos ML del SLM homogéneo y homocedástico de la hipótesis nula, ε A yxβ. Por oo lado, la maiz depende de los elementos de la maiz de información del modelo de (4) evaluada, igualmente, en la hipótesis nula:

17 6 ρρ ρ ρβ ρ 0 V( θ ) ρβ 0 ββ x x ( β β αα ) W W ρ WZ A Z A A A WZ ZWA ρ αα αδ N δδ αδ δδ αδ ρ NZWA ρα t x x r β β ( ) +ρ A WZWA A ZW A ρ αρ α 0 α ZWA δρ δ 0 ρδ NWA N δ La discusión del caso SEM es similar al anterior. La especificación inicial es: (3) y xβ+ u u ρ Wu+ε (3) ~N(0, ); ε Ω Ω D donde y D son la mismas maices que aparecen en (4). La hipótesis nula de (8) y el Multiplicador de Lagrange asociado mantiene la esuctura del indicado en (9), redefiniendo previamente los elementos tanto del vector q como de la maiz. En concreto: u ε ZW ρ B ZW q ε Nε N siendo ε el vector de residuos muesales filados del modelo SEM, el cual se ha estimado bajo la hipótesis nula de homocedasticidad y estabilidad, ( ) ε B yxβ B u. Además: (33)

18 7 ρρ ρ 0 ρ 0 V( θ) 0 0 ββ αα ρ B ZW B ZW + ZWB αα αδ N δδ αδ δδ αδ ρnzwb 4 ρα B ZWB ρ 0 α ZWB αρ α δρ 0 δ ρδ NWB N δ 3.- nestabilidad en los parámeos de posición y de dispersión. (34) En este apartado vamos a contemplar el caso de una posible ruptura que afecta simultaneamente a los parámeos de posición y a la varianza de la perturbación del modelo. Como en situaciones anteriores, suponemos que los mecanismos de ruptura pueden vincularse a ciertos indicadores seleccionados previamente. Estos indicadores pueden estar actuando en ambos problemas a la vez o bien puede atarse de variables de ruptura diferentes en cada caso. De cualquier forma, la situación de partida es la de un modelo en el que no se han apreciado síntomas de dependencia espacial de ningún tipo, aunque existen sospechas de heterocedasticidad en combinación con una aparente inestabilidad en los parámeos de posición:

19 8 N Nx y Xm+ε ε~n(0, Ω) y x 0 0 xi m mi y 0 x 0 xi m mi y ;X ; xi ;m ; mi y 0 0 x x m m N ik N ik NxNk kx Nkx kx (35) Ω Ω ii ij h ni α mij β jd 0;i j [ z μ] j i z i zi; zi; ; zip μ i μ ; μ; ; μ p Como hemos avanzado, vamos a suponer que los vectores ni y zi están compuestos por una única variable que, además, es la misma; esto es, en el problema está actuando un único factor de inestabilidad, la variable z (la discusión para el caso general se desarrolla en términos similares). El método que desarrollamos es el ya hemos venido empleando e insiste en el enfoque máximo-verosímil con una resolución del conaste a lo Breusch-Pagan. En primer lugar, necesitamos la función de log-verosimilitud del modelo: ( yxm ) ( yxm) N N l(y; θ ) ln ( π) ln + ln (36) con: ( zα ) h h ( z α) h ( z N α) El vector gradiente tiene una esuctura no lineal compleja:

20 9 l x ( ) mβ yxm β l x ( ) mμ yxm μ ( y xm ) ( y xm) l N + 4 l ( y xm ) ( y xm) Z Z +ρ α m m h ( z iα) diag ;i,,..., N β μ ( ziα) m m mβ β ; mμ μ Z diag { zi;i,,..., N } mn mn β μ (37) La hipótesis nula de homocedasticidad y estabilidad en los parámeos de posición nos coloca en un modelo sencillo, como es el estático sin elementos espaciales de ningún tipo: 0 : αμ 0 (38) :No A 0 El estadístico de conaste resulta ser la simple suma de los correspondientes a los problemas de heterocedasticidad y de inestabilidad en parámeos, pero tomados por separado: LM Chow+ET LM Chow + BP (39) ZYu ˆ ˆ ZYˆ M ˆ ˆ xyz ZYuˆ siendo LM Chow el mismo estadístico ˆ unidireccional de (6), y BP el estadístico del conaste de Breusch-Pagan en su versión adicional; es decir, un medio de la suma explicada de la regresión de los cuadrados de los residuos MCO del modelo yxβ+u, tipificados, sobre el indicador de inestabilidad seleccionado para la varianza: la variable z.

21 nestabilidad en los parámeos de posición y de interacción espacial. Ahora retornamos al caso en el cual se han detectado relaciones de dependencia ansversal significativas en la especificación, ya sean de tipo sustantivo en un SLM o residual en un SEM, que se han inoducido en el modelo. Sin embargo, existen dudas razonables sobre la estabilidad de esos mecanismos de dependencia así como de los parámeos de posición del modelo. Si se han detectado relaciones de tipo sustantivo, la especificación de referencia será un SLM heterogéneo como : ( zα ) y ρ W y+ Xm+ε Ay Xm+ε ~N(0, ε ) h m mi 0 h ( z α) 0 0 m m i ;m ; mi mij β jd j z iμ 0 0 h mn mik ( z Nα ) Nkx kx [ ] (40) La especificación de la función de log-verosimilitud no crea mayores dificultades: N N l(y; θ ) ln ( π) ln + ln A ( Ay xm )( A y xm) (4) aunque la esuctura del gradiente es realmente compleja: Nos volvemos a situar en el caso más simple de que el indicador de inestabilidad es el mismo para ambos problemas, la variable z.

22 l ( ) mβx Ay xm β l ( ) mμx Ay xm μ l ( Ay xm ) Wy A W + ρ l ( Ay xm ) ZWy ρ A ZW +ρ α l N ( yxm )( yxm A A ) + 4 (4) Las maices que intervienen en esa expresión son conocidas; en particular: m m h ( z iα) diag ;i,,..., N β μ ( ziα) m m ; mβ mμ β μ Z diag { zi;i,,..., N } mn mn β μ La hipótesis nula que queremos discutir se concreta en (43) 0 : αμ 0 (44) :No A 0 Dado que se ha especificado de forma condicionada a la existencia de una esuctura de dependencia ansversal tipo SLM, para resolver (44) necesitamos la estimación, bajo la hipótesis nula, de este modelo cuyos residuos son: εy-ρˆ Wy-x βˆ A y-xβˆ. En tales condiciones, la expresión del estadístico de conaste es: SLM Break+Chow LM q q (45) donde q es un vector de orden x e una maiz cuadrada x, cuya composición es la siguiente: ε ZYˆ q y ε ZW ρ A ZW (46)

23 La maiz Ŷ, a pesar de actuar en un SLM, es la misma maiz diagonal que ha intervenido en oas ocasiones: Y ˆ diag { xiˆ β ;i,,..., N }, donde el vector ˆβ proviene de la estimación ML de ese mismo vector en el modelo SLM de la hipótesis nula. La maiz se corresponde con la maiz de varianzas y covarianzas de las resicciones que estamos contemplando. En particular, la maiz es la maiz de varianzas y covarianzas de los estimadores ML del modelo SLM, V( θ ), tal como se indica en (3). Los oos elementos tienen una composición más pesada: ρ ˆ β + β β μμ Z ˆ Y Z μμ αμ αμ ZYZWA x αμ αα αα ρ ˆ μρ ZYWA xβ { x A ZWA ZA A WZ WA x } ZY ˆ x ρ + βx xβ μβ μρ 0 μβ αρ A WA ZW A WZWA αρ α αβ α ρ ZWA x αβ ρ ZWA xβ (47) La réplica de la discusión anterior para el caso SEM no aporta novedades significativas. En analogía con la anterior, la especificación de referencia es: ( zα ) y xm+ u u ρ Wu+ε Bu ε ~N(0, ε ) h m mi 0 h ( z α) 0 0 m m i ;m ; mi mij β jd j z iμ 0 0 h mn mik ( z Nα ) Nkx kx [ ] (48) cuya función de log-verosimilutud es: l(y; θ ) N ln ( π) N ln + ln B ( y xm ) B B ( y xm) (49) El gradiente mantiene la no linealidad característica:

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