Problemas de Gravitación

Transcripción

1 obleas de Gaitación.- Euoa es un satélite de Júite que tada '55 días en ecoe su óbita, de '7 0 de adio edio, en tono a dicho laneta. Oto satélite de Júite, Ganíedes tiene un eiodo obital de 7'5 días. Calcula el adio edio de la óbita. Datos: E '55 días, G 7'5 días, E '7 0 E G La tecea ley de Kele o ley de los eiodos dice: 7' 5 ( '7 0 Desejando la incógnita: G '55 G E E E G ' El adio edio de la óbita de Ganíedes es ayo que el de Euoa oque su eiodo obital es ayo..- El adio edio de la óbita de Júite es 5'0 eces el teeste. Calcula la duación del año en Júite. Datos: J 5'0, año J Se esuele con la tecea ley de Kele: J J (5'0 Desejando: J 5 '0 40 ' 9 '7 años.- Calcula el eiodo de eolución de Mate sabiendo que la distancia edia de Mate al Sol es de illones de k, la distancia edia de la iea al Sol de 49' illones de k y el eiodo de eolución de la iea de 5' días. M M M ; M ; M ; M 5' M 49' 7'días 4.- El eiodo de taslación de un laneta es eces ayo que el eiodo de taslación de la iea alededo del Sol. Halla la distancia del Sol a ese laneta si la distancia iea Sol es de k. ; ( 44 ; ( ; 7' 0 k 5 ( En el exteio del Sistea Sola se detecta un nueo laneta enano cuya distancia al Sol es el doble del adio de la obita de Netuno. Suoniendo que ecoe una óbita cicula, cuánto tieo tadaá en da una uelta al Sol? Dato: Netuno 5' 0 9 s. laneta laneta laneta laneta Netuno Netuno netuno Netuno (5' 0 Netuno Netuno 9 Netuno Netuno laneta Netuno '5 0 0 s Netuno

2 .- Si el adio de la obita cicula de un laneta es cuato eces ayo que el de oto En qué elación están su eiodos y sus elocidades edias? Datos: 4. 4 ; 4 4 s π La elocidad t π π 4 π π π π π 7.- Si la distancia de Mecuio al Sol en el eihelio es de 4'0 0 k y en el afelio de 9' 0 k: a Deteina la longitud del seieje ayo de la óbita de Mecuio. b Calcula la elocidad en el afelio si en el eihelio es de 59 k/s. Datos: 4 0 k, 9' 0, 59 k/s a La longitud del eje ayo: ' 0 5' k 5' La longitud del seieje ayo 57'9 0 k b Coo la fueza gaitatoia es una fueza cental, su oento M 0 y, o tanto, su oento angula L es constante: L Coo la asa de Mecuio, es constante ( ( ( senα senα L ( ( anto en el eihelio coo en el afelio: α 90º y sen 90º 9 '74 0 '9 k/s 9' 0 9' Si G '7 0 - N /kg, la 0 4 kg y el 70 k, deteina: a Magnitud con que la iea atae a una ieda de 00 g. b Magnitud con la que la ieda atae a la iea. c El alo de la aceleación que adquiee la ieda. d celeación de la iea. e Fueza con la que la iea ataeá a ota ieda de 0 kg y aceleación que adquiee. 4 0' 0 a F G,7 0 0'9N F 70 0 ( b Igual eo de sentido contaio F 0'9 c El alo de la aceleación que adquiee la ieda: a 9' / s g 0' F 0'9 5 d celeación de la iea: a ' 0 / s Es iecetible F 9 e F G '7 0 9N a 9' / s ( La aceleación es indeendiente de la asa Unidad didáctica 5: Gaitación ag.

3 9.- Dibuja un esquea de las fuezas que actúan sobe un cueo de 000 kg, situado en el unto edio ente la iea y la Luna y calcula el alo de la fueza esultante. La distancia desde el cento de la iea hasta el de la Luna es '4 0, la asa de la iea es 5'9 0 4 kg y la de la Luna es 7'5 0 kg Datos: 000 kg, M , M L 7'5 0 kg, '4 0 Hay que alica el inciio de sueosición. Sobe el cueo actúan dos fuezas: la que ejece la iea sobe el cueo diigida hacia la iea y la que ejece la Luna sobe el cueo que está diigida hacia la Luna. F '7 0 5'9 0 (' '7 0 7'5 0 0' N FL (' ' N Las fuezas tienen la isa diección eo sentido contaio la esultante: F F F L 0' - 0' 0'9 N El sentido es hacia la iea ya que F > F L 0.- Deteina la asa de Mate sabiendo que uno de sus dos satélites, Fobos, descibe una obita cicula de 9,7 0 de adio alededo del laneta de 7,5 hoas. 4 π 4π ( 9'7 0 Mate '47 0 kg 4 G '7 0 ('7 0 G eesenta la fueza con la que se ataen dos asas de kg al situalas a una distancia de una de la ota. En este caso se ataen con '7 0 - N..- eneos cuato atículas iguales de kg de asa en los étices de un cuadado de de lado. Deteina el ódulo de la fueza gaitatoia que exeienta debido a la esencia de las otas tes. Módulos: 0 F G '7 0 '7 0 N 4 0 F4 G '7 0 '7 0 N 0 + F G '7 0 ' 0 N F F 4 F '7 0-0 cos 0º i + '7 0-0 sen 0º j '7 0-0 i '7 0-0 cos 70º i + '7 0-0 sen 70º j -'7 0-0 j 9'4 0 cos( 45 i + F sen( 45 j ' 0-0 0'707 i +' 0-0 (-0'707 j i 9'4 0 j F F F '7 0-0 i -'7 0-0 j + 9'4 0 i 9'4 0 j ' 0-0 i -' 0-0 j F + F + F ( ' 0 + ( ' 0 5' 0 N Unidad didáctica 5: Gaitación ag.

4 .- Calcula la fueza gaitatoia que las asas y ejecen sobe la asa si están situadas en un cuadado de de lado coo el de la figua. Datos: 5 kg, kg, kg Se sitúa el sistea de efeencia en la osición de la asa. El alo de y + 4'4 5 F G '7 0 '7.0 - N 4'4 F G '7 0 5'9.0 - N 4'4 F F cos 5º i + F sen 5º j '7 0 0'707 i + '7 0 0'707 j ' 0 i + ' 0 j N F cos 45º i + F sen 45º j 5'9 0 0'707 i + 5'9 0 0'707 j 4' 0 i + 4' 0 j N F F F + F ( ' 0 i + ' 0 j +( 4' 0 i + 4' 0 j ' 0 i + ' 0 j N.- En dos de los étices de un tiángulo equiláteo de de lado existen cueos de 5 kg de asa. Calcula la fueza que abos cueos ejecen sobe oto cueo de 0 kg de asa que se encuenta en el tece étice? 5 0 F G '7 0 9' 0 - N 5 0 F G '7 0 9' 0 - N F cos 40º i + F sen 40º j 9' 0 - (-0'5 i + 9' 0 - (-0' j F F -4' 0 - i '0 0 - j N F cos (-0º i + F sen (-0º j 9' 0-0'5 i + 9' 0 - (-0' j F F 4' 0 - i '0 0 - j N F F + F -4' 0 - i '0 0 - j + 4' 0 - i '0 0 - j - ' j N 4.- Una esona esa en la iea 500 N. Cuál seá su eso a una distancia de dos adios teestes o encia de la sueficie de la iea? El eso del cueo es la fueza gaitatoia con que la iea lo atae. FG G En la sueficie: 500 G Dos adios teestes o encia de la sueficie: G G ( Coaando con la exesión anteio: 55' N 9 Unidad didáctica 5: Gaitación ag.

5 5.- El satélite Meteosat gia alededo de la iea en una óbita cicula a una altua de 00 k. Calcula la elocidad a la que obita y el eiodo. Es un satélite geoestacionaio? Datos: kg, 400 k. La distancia a la que se encuenta el satélite seá: k a 4 '7 0 5' '99 /s b El eiodo,, es el tieo eleado o el satélite en descibi una óbita coleta. Coo la óbita es una cicunfeencia, su longitud:. π.. π π π '0 s : 00 '9 h 744'99 c No es geoestacionaio oque el eiodo no es de 4 h..- Dos satélites de igual asa obitan en tono a un laneta de asa ucho ayo siguiendo óbitas ciculaes colanaias de adio y y ecoiendo abos las óbitas en sentido contaio. Deduce y calcula: a La elación ente sus eiodos. b La elación ente sus oentos angulaes (ódulo diección y sentido. a Se uede alica la tecea ley de Kele: ( Conclusión: El satélite tiene un eiodo ayo que el del satélite. b El oento angula: L senα En una óbita cicula el ángulo ente y es de 90º y el sen 90º. o lo que: L La elocidad obital: L L L G M L L G M y donde M es la asa del laneta. Sustituyendo: L G M G M Conclusión: el oento angula del satélite es ayo que el del satélite, eo su unto de alicación es el iso (el laneta M, así coo su diección (eendicula al lano de sus óbitas eo sus sentidos son ouestos oque gian en sentido contaio. 7.- Calcula la aceleación de caída libe de un cueo en la sueficie de la iea. Datos: G '7 0 - N /kg ; 0 4 kg, 70 k a aa altuas equeñas se uede desecia h: ( + h a ( '7 0 0 a ' /s Unidad didáctica 5: Gaitación ag. 4

6 .- Calcula el alo de la constante que aaece en la tecea ley de Kele aa el sistea Sola y aa el sistea iea-luna. Datos: G '7 0 - N /kg ; 5'9 0 4 kg, S ' kg La tecea ley de Kele: k El alo de la constante, k, que aaece: 4 k π. 4 π aa el Sistea Sola: k 0 '7 0 ' π aa el sistea iea -Luna: k 4 '7 0 5'9 0 ' N - - kg 9'9 0-4 N - - kg 9.- a Cuál es la aceleación de la gaedad en la sueficie de un laneta esféico cuyo adio es la itad del de la iea y osee la isa densidad edia? b Cuál seá el eiodo de la óbita cicula de un satélite situado a una altua de 400 k esecto a la sueficie del laneta? 70 k. g 9' s - a d d Coo d d : V 4 π 4 π 4 π 4 π Silificando: g g G G G Coo g G g 4'9 /s 4 π b eiodo, π obital satélite π satélite laneta laneta 0'5 0'5 '7 0 '5 0 satélite ' '59 0 g G g 9' ('7 0 G '7 0 5'9 0 4 kg 7'45 0 kg Sustituyendo: satélite ('59 0 π π '7 0 7'45 0 laneta 00 s Unidad didáctica 5: Gaitación ag. 5

7 obleas de Selectiidad.- (Junio 005 a azone cuáles son la asa y el eso en la Luna de una esona de 70 kg. b Calcule la altua que ecoe en s una atícula que se abandona, sin elocidad inicial, en un unto óxio a la sueficie de la Luna y exlique las aiaciones de enegía cinética, otencial y ecánica en ese deslazaiento. Datos: G '7 0 N kg ; M L 7' 0 kg; L '7 0 a La asa es una agnitud caacteística del cueo y eesenta su inecia al oiiento. Vale 70 kg en la iea, en la Luna o flotando en el esacio sideal. Sin ebago, el eso si deende del luga en que se localice el cueo ya que es una fueza de atacción gaitatoia. o tanto, en la Luna el eso seá distinto al eso en la iea. odeos obtenelo, a ati de los datos, y eleando la ley de gaitación uniesal: '7 0 7' 0 70 FL N ('7 0 b Si hablaos de un unto óxio a la sueficie luna, se uede considea que, en todo el tayecto, la aceleación de la gaedad es constante: L '7 0 7' 0 g G '7 N/ '7 /s ('7 0 L En la caída se da un MU, y se uede calcula el esacio ecoido con la exesión: Δy I Δt + ½ g Δt 0 5 '7 7'5 Esecialente en la Luna, donde ni siquiea existe ozaiento con el aie, la única fueza que actúa en la caída es la gaedad. Coo se tata de una fueza conseatia, eso suone que la enegía ecánica total se conseaá. Dicho de oto odo, en la caída el cueo gana enegía cinética en la isa edida que iede otencial. Coo: ΔE ΔEc + ΔE 0 ΔEc - ΔE g Δy -½.- (Junio 007 Suonga que la asa de la iea se dulicaa. a Calcule azonadaente el nueo eiodo obital de la Luna suoniendo que su adio obital eanece constante. b Si, adeás de dulicase la asa teeste, se dulicaa su adio, cuál seía el alo de g en la sueficie teeste? G '7 0 N kg ; M 0 4 kg; 70 k, L '74 0 Dado que la asa de la iea se dulica la atacción gaitatoia auentaá o lo que la Luna debeá oese con ayo elocidad aa antene el adio de gio. La fueza centíeta que antiene a la Luna en su óbita es la fueza gaitatoia: L G L, desejando : (elocidad obital de la Luna G Si la asa se dulica:. Unidad didáctica 5: Gaitación ag.

8 El eiodo es el tieo que tada la Luna en hace un gio coleto alededo de la iea y se calcula: π π π y π π El nueo eiodo luna seía eces ás equeño que el eal. Coo el eiodo luna es de unos días, asaía a se de 9' días b La gaedad teeste iene dada o: g G Si se dulican asa y adio siultáneaente: g g G G 9 ' 4'9 /s ( 4.- (Junio 00 Un satélite del sistea de osicionaiento GS, de 00 kg, se encuenta en una, óbita cicula de adio. a Calcule la aiación que ha exeientado el eso del satélite esecto del que tenía en la sueficie teeste. b Deteine la elocidad obital del satélite y azone si la óbita descita es geoestacionaia. G '7 0 N kg ; M 0 4 kg; 400 k a El eso es la fueza con la iea atae al satélite y deende según la ley de la gaitación uniesal, de la osición del iso: S El eso en la sueficie de la iea seá: F S S F El eso en una osición. seá: F ( 9 9 El eso en la osición indicada seá 9 eces ás equeño. b La fueza centíeta que antiene al satélite en su óbita es la fueza gaitatoia: S S (, desejando : '7 0 '0 0 ' /s π atiendo de las exesiones de la elocidad angula: ω y ω π π π '4 0 El eiodo de eolución: 400 s 7' h No se tata de un satélite geoestacionaio ya que algo ás de tes ueltas a la iea cada día. Unidad didáctica 5: Gaitación ag. 7

9 4.- (Junio 0 a Exlique qué es la elocidad obital y deduzca su exesión aa un satélite que desciba una óbita cicula alededo de la iea. b Dos satélites y de distinta asa ( > desciben óbitas ciculaes de idéntico adio alededo de la iea. azone la elación que guadan sus esectias elocidades y sus enegías otenciales. Si un objeto, de asa, descibe una óbita cicula alededo de oto, de asa, la elocidad obital es la elocidad que debe llea el objeto aa antenese en óbita alededo del objeto. aa calcula esta elocidad: La fueza centíeta es oocionada o la fueza de atacción ente los dos cueos: F c F g G, desejando : (elocidad obital del laneta Esta exesión indica que la elocidad obital del objeto no deende de su asa sino de la asa del objeto alededo del cual obita y del adio de la óbita. b Coo se e o la fóula anteio, la elocidad no deende de la asa del satélite, o lo que, si desciben óbitas del iso adio deben llea la isa elocidad. En cuanto a la enegía otencial se uede calcula con la exesión: E G Coo el adio de la óbita es el iso, la enegía otencial deendeá de la asa. El satélite tiene ayo asa que el, o lo que la enegía otencial de es ayo ya que el signo de la fóula es negatio. iea Unidad didáctica 5: Gaitación ag.