Funciones. Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez AFAMaC Residencial Sept. 4 de 2010

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1 Funciones Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez AFAMaC Residencial Sept. 4 de 010

2 Introducción Es frecuente que se describa una cantidad en términos de otra; por ejemplo: 1. El crecimiento de planta se asocia con la cantidad de luz que recibe.. Demanda de un producto se pude asociar con su precio. 3. El área de un cuadrado depende del largo de uno de sus lados.

3 Suponga que es hora de llenar el tanque de su automóvil. En la estación de gasolina, la regular se vende a $.49 por galón. Notemos que el precio final que paga esta determinado o asociado por el número de galones que compra. Número de galones bombeados Precio por número de galones 0 0($.49)=$0 1 1($.49)=$.49 ($.49)=$ ($.49)=$7.47

4 En este ejemplo, el precio total depende de la gasolina bombeada. Por esta razón, el precio se denomina la variable dependiente y el número de galones se llama la variable independiente. Podemos representar las cantidades relacionadas por un par ordenado. (variable dependiente, variable independiente)

5 Relación Una relación es un conjunto de parejas ordenadas. Ejemplos 1. {(3,1), (0,-1), (-5,4), (,)}. {(3,1), (0,-1), (3,), (,-1)}

6 Función Definición 1 Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. A se conoce como el dominio de la función. El rango, recorrido o campo de valores es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) conforme x varía en todo el dominio. rango B

7 Definición Una función f es un conjunto de pares ordenados con la propiedad de que no dos pares ordenados tienen el mismo primer elemento, de lo contrario es llamada una relación. El conjunto de todos los primeros elementos en la función es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los segundos elementos es llamado el rango o recorrido.

8 Podemos pensar en una función como una máquina de refrescos o de dulces que tiene valores de entrada y valores de salida. Botón Refresco 1 CoKe 7-Up 3 CoKe 4 Agua 5 Diet CoKe 6 Diet 7-UP

9 Ejemplos Determinar si los siguientes conjuntos representan una función. 1. {(3,1), (0,-1), (-3,4), (1,)}. {(3,0), (0,-1), (-3,), (3,)} 3. {(3,0), (0,-1), (-3,), (4,)}

10 Ejemplos Función

11 Formas de expresión de una función 1. Verbalmente Para cada persona corresponde una edad.. Numéricamente - Por tablas o una lista de pares ordenados X y -1 0 ½ Gráficamente Algebraicamente - Por una ecuación en dos variables y = 3x+

12 Notación de función Cuando usamos una ecuación para representar una función, nos referimos a ésta de la siguiente manera: Valor de entrada Variable independiente Valor de salida Ecuación Variable dependiente x f(x) f(x)=3x+ Recordemos que f es el nombre de la función y f(x) es el valor de la función en x.

13 Evaluar funciones Para evaluar una función en un número a, sustituimos el número a en la variable. Ejemplos 1. Si f(x) = 5 - x, hallar f(-1), f(0), f(3), f(a).. Si f(x) = 4 + 3x, hallar el cociente de diferencia f ( + h) f ( ), h 0 h

14 Ejercicios Sean: f ( x) = x 3. f x = x + 3 x + 16 ( ) ( ) = 3. f x 5 x hallar: f (6), g( ), h(3), f (0) + g(4) h( 3), f ( a), f ( a + b)

15 Ejercicio Para: f ( x) = x 3x + 1 hallar: ( + ) ( ) f x h f x h, h 0

16 Dominio de una función El dominio de una función es el conjunto de todas los valores de x que hacen que la ecuación este bien definida. Ejemplo: Hallar el dominio para cada una de las siguientes funciones: x f ( x) f ( x) x x x 3 1. =. = f x = x + 4. f x = 5 x ( ) ( )

17 Ejercicio Hallar el dominio para cada una de las siguientes funciones: ( ) 1. f x = x 3 x + 1. f ( x) 1 = x + 5 ( ) 3. f x = x

18 La gráfica de una función Es el conjunto de parejas ordenadas (x,f(x)) tal que x está en el dominio de f. (x,f(x)) f(1) f() f(x) Rango y=f(x) 0 1 x 0 Dominio

19 Ejemplo Hallar el dominio y el rango de la función utilizando la gráfica

20 Ejercicio Hallar el dominio y el rango de la función utilizando la gráfica

21 Para hacer la gráfica de una función como f(x) = 5-4x, lo hacemos igual que si hiciéramos la gráfica de la ecuación y = 5-4x. Buscamos los pares ordenados (x, f(x)), se localizan los puntos en el plano y se conectan. Además es bien útil saber buscar los interceptos, estos son los valores donde la gráfica corta los ejes coordenados. 1. Intercepto en x: se busca igualando y a cero. Intercepto en y: se busca igualando x a cero

22 Ejemplo: 1. Hallar los interceptos de la gráfica de f(x) = 5-4x.. Dibujar la gráfica de f(x) = 5-4x. 3. Observar dominio y rango f(x) = 5-4x.

23 Prueba de la recta vertical Una manera de saber si una relación es una función es analizando la gráfica de la relación. Si cualquier recta vertical pasa por más de un punto de la gráfica, la relación no es función.

24 Ejemplo Determinar si las siguientes gráficas son las gráficas de funciones

25 Diferentes Tipos de Funciones

26 Función Lineal Una función lineal es definida por la ecuación que se puede escribir de la forma f(x) = mx + b ó y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y (0,b) el intercepto en y. Observación: Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda).

27 Gráficas de funciones lineales La gráfica de una función lineal f es llamada una recta, no es vertical ni horizontal. f(x) f(x) x x m > 0 m < 0 Dominio: Reales Rango: Reales

28 Aplicaciones de la función lineal 1. Un poster es 10 pulgadas más largo que su ancho. Encuentre una función que modela el perímetro P en términos de su ancho w.

29 . Una mujer de 5 pies de altura esta de pie cerca de un farol de 1 pies de altura, como se muestra en la figura. Exprese la longitud L de su sombra como una función de la distancia d de la mujer a la base del farol.

30 Ejercicio El largo de una cancha rectangular de tenis en Winbledon es pies más largo que su ancho w. Exprese el perímetro P de la cancha como función de su ancho w.

31 Función cuadrática Una función cuadrática es definida por la ecuación f x = ax + bx + c a ( ) de la forma, donde a, b y c son reales. 0

32 Gráficas de funciones cuadráticas Dada una función cuadrática f x ax bx c a ( ) = + +, 0 podemos resumir las siguientes propiedades:

33 y x=h y x=h k Vértice (h,k) Vértice (h,k) Max f(x) k Min f(x) h x h a>0 a<0 x La gráfica de f es una parábola. Vértice (h,k) Eje de simetría: x=h f(h)=k es el mínimo si a > 0 f(h)=k es el máximo si a < 0 Dominio: Reales Rango: ( k] [ k ), si a < 0 ó, si a > 0

34 Vértice El vértice (h, k) se busca directamente de la ecuación estándar f x ax bx c a ( ) = + +, 0 b b h = y k = f ( ) a a

35 Ejemplo Dibujar la gráfica de f ( x) = x 4x 5

36 Ejercicio Dibujar la gráfica de f ( x) = x + x + 8

37 Función cúbica La función cúbica es definida por la f x = x ( ) 3 ecuación de la forma. Gráfica

38 Función raíz cuadrada La función raíz cuadrada es definida por la f x = x ( ) ecuación de la forma. Observación: A diferencia de las anteriores el dominio es diferente de los números reales.

39 Gráfica de la función raíz cuadrada { x x } Dominio: 0 5 { x x } Rango: 0

40 Ejemplos Dibujar la gráfica de las siguientes funciones: 3 1. f ( x) = x + 1. f ( x ) = x + ( ) 3 3. f ( x) = x 3 4. f ( x) = x 1

41 Ejercicios Dibujar la gráfica de las siguientes funciones: 3 1. f ( x) = x 1. f ( x ) = x ( ) 3 3. f ( x) = 1 x 4. f ( x) = 3 x

42 FIN

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