PLANEACION Y CONTROL DE PROYECTOS

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1 PLANEACION Y CONTROL DE PROYECTOS INTRODUCCION: E l advenimiento de la computadora digital al utilizarse como una herramienta administrativa permitió que el desarrollo de ciertas técnicas que facilitaron la planeación de grandes proyectos. Antes de la evaluación de técnicas de planeación sistemáticas, las cuales clasificaremos como técnicas de redes de trabajo, la planeación de grandes proyectos era obstaculizada por la complejidad de los grandes proyectos. Esto no significa que los proyectos no hayan sido terminados exitosamente, sino que, no había garantía de que la utilización de los recursos, tales como el tiempo, mano de obra, dinero y equipo, fuera lograda en un enfoque que se acercara a la optimización. Además, la combinación de todos los subcomponentes o trabajos de proyecto tendían a ser tratados como entidades separadas en la etapa de planeación, en lugar de un sistema total. La finalidad de este apunte es el de describir los enfoques de las redes de trabajo en la planeación de proyecto y evaluar sus beneficios y falacias. Como un ejemplo y método de la ruta crítica (C.P.M.) sirve para dar un rango de calendarización de proyectos en relación a sus costos directos. Combinando estos costos directos con los costos indirectos aplicados, indicarán desde el punto de vista de la planeación aquellos calendarios que completaran los objetivos del proyecto con un mínimo de costo total. El enfoque del C.P.M. es estrictamente determinístico, ya que no considera que los componentes o trabajos del proyecto no serán completados como estaba planeado, debido a factores imprevistos o inciertos. La técnica de evaluación y revisión de proyectos será presentada como un intento de reducir las restricciones determinísticas del C.P.M. Un gran número de problemas industriales y administrativos han sido resueltos exitosamente con la ayuda de técnicas y modelos cuantitativos

2 conocidos como redes. Tales problemas incluyen la construcción de presas; la determinación de la ruta mas corta de envío o la ruta mas económica entre dos lugares; la planeación y control de la construcción de sistemas militares de defensa; la determinación de políticas de flujo máximo y de expansión óptima para un sistema de tubería de gas; la implementación de un nuevo sistema de computación; y el diseño, introducción y comercialización de un nuevo producto. El PERT (Técnica de evaluación y revisión de proyectos) y el CPM (Método de camino crítico) son dos de las principales técnicas de redes en la administración de proyectos que actualmente se utilizan. El PERT ha sido utilizado para determinar la duración total de un proyecto, para determinar la fecha de iniciación requerida, así como también, la fecha de terminación de las tareas que conforman un proyecto y para identificar las tareas críticas que, si no fueran terminadas de acuerdo a lo programado, pudieran retrasar la terminación del proyecto. Utilizando un subconjunto del CPM se puede mostrar como el tiempo total de terminación de un proyecto puede ser reducido, dado que el administrador del proyecto asigna más recursos (económicos, materiales, humanos, etc.) a el proyecto. PERT : El PERT fue desarrollado a finales de los 50 s y fue utilizado afanosamente en la administración de proyectos militares de investigación y desarrollo. Su aplicación clave fue el proyecto de misiles POLARIS desarrollado por el departamento de defensa de los Estados Unidos. El PERT fue desarrollado específicamente para apoyar la planeación, programación y control de la multitud de tareas asociadas con el proyecto. El PERT también ha sido utilizado en la industria de la construcción y por compañías industriales en aplicaciones tales como la programación del mantenimiento de aviones, la instalación de activo fijo, distribución de planta, investigación y desarrollo de programas de planeación y administración. Una de las principales características del PERT, además de su habilidad para identificar los planes

3 requeridos y programas de las tareas, es que puede manejar la incertidumbre que existe en el tiempo de duración de algunas tareas. CPM: El CPM, el cual fue desarrollado independientemente del PERT, pero muy relacionado o parecido a él, básicamente considera el intercambio entre los costos y los tiempos de duración de las tareas del proyecto. Se enfoca en la reducción del tiempo de duración de las tareas o actividades al utilizar más recursos (lo que significa en la mayoría de los casos una aumento en los costos). Con el CPM el tiempo requerido para terminar algunas tareas del proyecto, se asume en conocido con certeza, así como también la cantidad de recursos a emplear. Debido a lo anterior el CPM no se interesa en la incertidumbre asociada a el tiempo de duración de las tareas como el PERT lo hace, pero si se interesa en el intercambio tiempo/costo. Debido a la diferencia en la estructura básica de las técnicas, el PERT fue previamente más aplicado en la investigación y desarrollo de proyectos, mientras el CPM fue usado en proyectos tales como la construcción. En la actualidad la distinción en el uso del CPM y del PERT ha desaparecido enormemente. La mayoría de las versiones computarizadas (Super Project, Project Manager, etc.) de las técnicas incluyen opciones para manejar la incertidumbre en el tiempo de las tareas, así como también el análisis del intercambio tiempo/costo y la mayoría de las bibliografías hacen referencia a las técnicas como PERT/CPM. EVALUACION DE LAS TECNICAS DE PLANEACION DE LAS REDES DE TRABAJO: Históricamente los procedimientos de análisis de redes de trabajo tienen su origen en la tradicional gráfica de GANNTT, durante la primera guerra mundial. La gráfica de GANNTT es todavía usada en la actualidad y es completamente útil para analizar la factibilidad de un calendario de costo-

4 óptimo CPM. Un ejemplo típico de la gráfica de GANTT es mostrada a continuación: P R O G R A M A TAREA A B C D E F G Los beneficios típicos de la Gráfica de GANTT son: 1. Todos los trabajos son gráficamente mostrados en una fácil y comprensible gráfica. 2. Teniendo una persona encargada del avance del proyecto, ésta irá sombreando el porcentaje de la barra que corresponda a el avance de la tarea realizada en cada período básico del proyecto. Desafortunadamente la convencional gráfica de GANNTTR no indica la o las causas por las cuales dos o mas tareas se empalman. 3. Cuando los recursos requeridos son limitados, la gráfica de GANNTT permite la evaluación inicial del uso planeado de los recursos. OBJETIVOS E INTERCAMBIOS: En Los proyectos existen por lo general tres objetivos distintos: costos, programas y funcionamiento. El costo del proyecto es igual a la suma de los costos directos y los costos indirectos asignados al proyecto. Estos costos cubren casi siembre la mano de obra. Los materiales y algunos servicios de apoyo. El segundo objetivo en la administración e proyectos es la preparación de programas. Casi siempre se establece la fecha de terminación al principio de un proyecto, así como también, de algunas actividades importantes. Además se debe controlar que los costos no se salgan del presupuesto fijado, también se debe de controlar el programa para que cumpla con las fechas

5 establecidas. Muy a menudo el programa y el presupuesto se encuentran en conflicto, ya que para lograr el buen desarrollo de uno, el otro se ve afectado y viceversa. Así, si se debe tomar la decisión de intercambio tiempo-costo. La administración debe determinar si el objetivo del programa de tiempo es lo suficientemente importante para justificar el aumento en los costos. El tercer objetivo en la administración de proyectos es el funcionamiento, es decir, las características de funcionamiento del producto o servicio que el proyecto produce. Al realizar cambios o tomar acciones correctivas para lograr los requerimientos de funcionamiento, se pueden causar cambios en los costos y programas. EJEMPLOS DE PROYECTOS: Construcción de edificios. Introducción de nuevos productos. Investigación y Desarrollo. Diseño de sistemas de computación. Instalación de equipo. Obtención de fondos. Enseñanza de un curso. Producción de una película. Diseño de una campaña publicitaria. Inicio de cierre de una planta. Manufactura de aviones, barcos y equipo de gran tamaño. Auditoría financiera. PLANEACION Y CONTROL DE PROYECTOS: Una secuencia general de las decisiones administrativas que se requieren en todos los proyectos es: planeación, programación y decisiones de control. La planeación se refiere a aquellas decisiones que se requieren al principio de un proyecto y mediante las cuales se establece su carácter general y su dirección. La planeación establece los objetivos principales del proyecto,

6 los recursos que se requieren, el tipo de organización que debe usarse y las personas clave que se encargarán de ponerlo en práctica y administrarlo. La etapa de programación específica el plan del proyecto con mayor detalle. Esta etapa empieza con la construcción de una lista detallada de las actividades. Luego se establece un programa detallado de tiempo para cada actividad utilizando las técnicas CPM o PERT. Una vez que el programa ha sido terminado se puede desarrollar un presupuesto por etapas que se coordina con las fechas de inicio y terminación de cada una de las actividades del proyecto. El control del proyecto se ejerce supervisando y evaluando cada actividad a medida que se ejecutan los trabajos. Las actividades deben de controlarse desde el punto de vista costo, tiempo y funcionamiento, según los planes del proyecto. Cuando existe una discrepancia significativa entre los resultados reales y los planes, debe tomarse una acción correctiva. Estas acciones correctivas pueden incluir la revisión de un plan, la reasignación de fondos, cambios en el personal y otros cambios en los recursos, como resultado de las acciones correctivas, debe lograrse que el plan sea otra vez factible y realista. ACTIVIDADES Y DECISIONES EN LA ADMINISTRACION DE PROYECTOS: A. PLANEACION Identificación del cliente del proyecto. Establecimiento del producto o servicio final. Fijación de los objetivos. Estimación de los recursos totales y del tiempo requerido. Decisión de como organizar el proyecto. Designación y nombramiento del personal clave. Definición de las principales tareas. Establecimiento de un presupuesto. Comentario [LBGG1]: B. PROGRAMACION

7 Desarrollo de una detallada estructura de trabajo. Estimación del tiempo requerido para cada tarea. Secuencia de las tareas. Desarrollo del tiempo de inicio y terminación de cada tarea. Desarrollo del presupuesto detallado de cada tarea. Asignación del personal de cada tarea. C. CONTROL Control de tiempo, costo y financiamiento. Comparación de lo real contra lo planeado. Determinación de la necesidad de acción correctiva. Comparación de lo real contra lo planeado. Determinación de la necesidad de acción correctiva. Evaluación de las distintas acciones correctivas. Puesta en práctica de la acción correctiva apropiada. Una red de trabajo es mostrada a continuación y en la cual las flechas representan trabajos o actividades. 1 A( 4 ) D ( 5 ) F ( 10 ) B ( 7 ) G ( 7 ) E ( 0 ) C ( 3 ) H ( 3 ) 2 Listado encima de cada línea (flecha) se encuentra la codificación designada seguida por el tiempo de duración. El camino más largo a través de la red de trabajo es llamada camino crítico y está representado por la línea doble. La línea punteada denota actividades con una duración de cero unidades de tiempo y denota únicamente precedencia. DEFINICIONES:

8 PROYECTO: Es un sistema de larga escala que comprime algunas tareas que tienen que ser coordinadas para permitir un logro exitoso en los objetivos fijados. TRABAJO: Uno de los muchos contenidos en las tareas que a su vez forman un proyecto. Estos trabajos son los que deben ser coordinados y programados. FLECHA: Una representación gráfica de un trabajo. Existirán al menos tantas líneas como trabajos, tareas o actividades existan. NODO: Puntos del tiempo entre los cuales las actividades pueden ser programadas. Estos pueden ser presentados por puntos o círculos y serán usados para conectar las flechas en la representación gráfica del proyecto. RED: Es la representación gráfica de tal proyecto, consistiendo en la relación Nodo-Flecha. RECURSOS: Toda cosa o elemento requerido para ayudar al exitoso término del proyecto. Por ejemplo: dinero, equipo, mano de obra y tiempo. ALGORITMO PARA DETERMINAR EL CAMINO CRITICO Y OTRA INFORMACION DE PROGRAMACION EN FORMA MECANICA: Esta técnica puede ser aplicada a mano o por computadora. La red es primeramente resuelta del inicio al final la cual es referida como reglas en avance. Estas reglas son las siguientes: 1.- El tiempo temprano del evento para el evento fuente (inicial) se considera igual al cero. 2.- Cada actividad se asume iniciar tan pronto como el evento del cual ella precede ha sido completado (terminado). El tiempo temprano de terminación para su actividad es igual al tiempo temprano de iniciación mas su tiempo de duración.

9 3.- El tiempo temprano del evento es igual al más largo de los tiempos tempranos de terminación de las actividades que se unen a este evento. Regrese al paso 2. Ahora la red es analizada en manera similar trabajando en retroceso desde la actividad final. Las reglas son las siguientes: 1.- El tiempo temprano del evento final es igualado a su tiempo más tardío permisible. 2.- El tiempo de terminación permisible para una actividad es igualado al tiempo último permisible de su sucesor. El tiempo último de iniciación para una actividad es su tiempo último de terminación menos su duración. 3.- El tiempo último permisible para un evento es el más pequeño de los tiempos últimos de iniciación para las actividades que inician o parten de un evento. Regrese al paso 2. El algoritmo puede ser estipulado en forma de ecuaciones usando la siguiente nomenclatura: t = Estimación simple del tiempo promedio de duración de una actividad. T E = Tiempo temprano de la ocurrencia de un evento. T U = Tiempo último permisible para la ocurrencia de un evento. T I = Tiempo temprano de iniciación para la actividad. T T = Tiempo temprano de terminación de una actividad. U I = Tiempo último permisible de iniciación para la actividad. U T = Tiempo último permisible de terminación para la actividad. REGLAS DE AVANCE: 1.- T E =O 2.- T I =T E (Para el evento predecesor); T T =T T +t 3.- T E = Max (T T1,T T2,...T Tn ) Para un evento con n actividades que se juntan a él. R EGRESO AL PASO 2.

10 1.- T U = T E (Para el nodo terminal o final). 2.- U T = T U (Para el evento sucesor) 3.- T U = Min (U 11, U 12,...U in ) Para un evento con n actividades que se originan en él. REGRESO AL PASO 2. El siguiente paso es el concerniente para determinar el camino crítico. Definiremos el término Holgura para la medida permisible de retraso o adelanto. Existen dos tipos de Holguras normalmente consideradas; Holgura Total y Holgura Libre. Holgura Total (HT) Es el tiempo que cualquier tarea puede ser retrasada antes de que ésta afecte el tiempo de terminación del proyecto. H T = U T - T T = U I - T I Holgura Libre (HL) Es el tiempo que cualquier tarea puede ser retrasada antes de que ésta afecte el tiempo temprano de iniciación de cualquiera de las tareas que la prosiguen. Para su cálculo se resta el tiempo último de terminación del tiempo temprano de iniciación de la tarea más próxima o siguiente. H = T xj - T xi - t ij = T xj - T ti El camino crítico puede ser identificado por aquel camino en que sus holguras totales sean iguales a cero. Ejemplo: HT=11 HL= J ( 3 ) HT=8 HL=8 HT=0 HL= A ( 2 ) B ( 4 ) C ( 3 ) F ( 8) HT=5 HL=0 HT=0 HL=0 HT=8 HL=0 HT=0 HL= D( 3 ) G( 5 ) E( 12 ) H( 3 ) 4 5 7

11 HT=0 HL=0 HT=0 HL=0 HT=5 HL=5 tiempo. El camino crítico es con una duración de 25 unidades de Nodos t Descripción T 1 T T U I U T H T H L de tareas. *1 2 2 A J B *2 4 3 D C * E *5 6 0 Ficticia H G *6 8 8 F Ficticia Las actividades con * indican ser críticas (A-D-E-F) con una duración de 25 unidades de tiempo. El camino crítico es el camino más largo a través de la red de trabajo desde el inicio hasta la esperada terminación del proyecto. TECNICA DE EVALUACION Y REVISION DE PROYECTOS (PERT) Uno de los inconvenientes del CPM es que tiene carácter determinístico. El PERT diseñado para proyectos de investigación y desarrollo, intenta eliminar algunas de las posibles objeciones del CPM, asumiendo que el tiempo de duración de cada trabajo o actividad pertenece o se apega a una distribución de probabilidad, en lugar de tener tiempo de duración constante.

12 El objetivo del PERT es obtener estimaciones de la media y de la varianza de la distribución de probabilidad del proyecto en total para cada una de las actividades. En realidad esta distribución es obtenida para el camino crítico, el cual asume ser representativo de las características de terminación del proyecto. Esta última consideración pudiera no ser válida dependiendo de la medida relativa y de la distribución de otros caminos en la red, contrastados con el camino crítico. Una vez que la distribución de probabilidad de realizar ciertos programas puede ser conocida. Esto da información que puede ser utilizada en la evaluación de la factibilidad del proyecto. La probabilidad de distribución de una actividad asume seguir una distribución BETA, que tiene las características de tener una moda con un número infinito de puntos finales. Dependiendo de los valores de los parámetros que describen la distribución esta puede ser o no simétrica. Posiblemente la razón principal para adoptar la distribución BETA es el hecho de que la media está basada en tres parámetros O óptimo, M medio y P pésimo. Los parámetros O, P. y M pueden ser definidos como sigue: O El tiempo mínimo en el cual una actividad puede ser razonablemente terminada (tiempo de ruptura en el CPM). P El tiempo máximo en el cual una actividad puede acontecer, asumiendo un problema de tipo legal. en el CPM). M Este tiempo es el más frecuentemente esperado (tiempo normal Aproximaciones de la distribución BETA 0 + 4M + P P - O Media = u = Desviación Estándar = σ =

13 Una vez que los valores de O, M, y P han sido estimados para todas las actividades, sus medidas y desviaciones estándar son calculadas, usando las aproximaciones BETA. De las medidas de las actividades, el o los caminos críticos son determinados en la forma del CPM. El Teorema del límite central es interpretado en la terminación de la distribución de probabilidad del camino crítico. Básicamente se asume que si consideramos la suma de un grupo de variables independientes, cada una con una media µ y una varianza σ 2, entonces la suma de estas variables tendrá una distribución que se asemeja a la NORMAL, con media µ y que es igual a µ 1 y varianza igual a σ 1. Cuando existen caminos críticos múltiples, la varianza será aquella que sea mayor de los diferentes caminos críticos. (El método usado para encontrar la distribución del tiempo de terminación es para encontrar el camino que tenga el valor esperado no menor que el de todos los otros caminos. Después de que esto es realizado, PERT asume que la duración del proyecto está normalmente distribuida con una media igual al valor esperado del camino más largo y desviación estándar igual a la desviación estándar del mismo camino). EJEMPLO La media y la varianza para una actividad particular y seran: O + 4 M + P ( p - O) ½ µ = σ = 6 6

14 Area bajo la curva normal Area con x < Miu Area con X> Miu La máxima varianza de todos los caminos críticos será la que representará la varianza del proyecto. Con los datos de la Distribución Normal es posible determinar las probabilidades asociadas con ciertos programas. Si la variable estándar Z dada en la fórmula Z=(x-µ)/σ es negativa, entonces el valor en las tablas de la Distribución Normal donde los valores son para Z positiva, se resta de 1. En conclusión diremos que el PERT es valedero para algunos de los efectos estocásticos prevalentes en proyectos de larga escala en los que existe la incertidumbre. A continuación se presenta un ejemplo: A(7) B(4.5) µ TT=14 µ TT= µ TT=14 µ TE=17.5 µ TT=0 µ TT=7 σ TT=109/36 σ TT=109/36 µ TE=0 µ TE=7 σ TT=109/36 σ TT=109/36 σ TT=0 σ TT=109/36 E(3.5) 1 σ TT=0 σ TT=109/ P(0) µ TT=7 C(5) µ TE=7

15 σ TT=109/36 σ TE=109/36 3 G(17.5) D(7) F(8.67) b) Encuentre el área bajo x = 17.5 P( x = µ ) = P( Z = ( ) / (109 / 36 ) 1/2 ) Z = ( ) / (109 / 36) 1/2 = 0 Buscando en las tablas de la Dist. Normal Z(0.5) = 0 Así, la probabilidad de terminar el proyecto dentro de 17.5 es de.5

16 c) Encuentre que programa habrá de elaborarse para tener un 95% de probabilidad de que el proyecto sea terminado (Cuanto tiempo debe durar este programa). En la tabla de la distribución normal z (.95 ) = 1.64 P( x < µ ) = P( Z > ( ) / (109 / 36 ) 1/2 ) Z = ( x ) / (109 / 36 ) ½ = 1.64 despejando x tenemos : (1.64) (10.45) x = = Así, la probabilidad de terminar el proyecto en 21 días es 95%. P R O B L E M A S 1.- Un pequeño proyecto de investigación esta definido por la red mostrada aquí. Encuentre el camino crítico Un buffet de ingenieros ha acordado hacer el diseño, fabricación y chequeo de un prototipo de transmisión para una gran compañía de automóviles. Ellos

17 han identificado las siguientes actividades con sus tiempos asociados y sus relaciones de precedencia. Construya la red que represente este proyecto y encuentre el camino crítico. ACTIVIDAD TIEMPO (SEMANAS) PREDECESORES INMEDIATOS 1.- Establecer las especificaciones del diseño Diseño mecánico Diseño eléctrico Revisión final del diseño 1 2,3 5.- Preparación del vehículo pruebe 0.5 1,2 6.- fabricar el prototipo Llevar acabo la prueba 3 5,6 8.- Preparar los planos detallados Preparar un reporte final Encuentre, por lo menos 4 errores o símbolos innecesarios en la red mostrada a continuación, Considere el servicio dado a un coche en una gasolinera como un proyecto. Construya una red apropiada suponiendo que hay dos dependientes disponibles. 5.- Haga una lista de las actividades que componen el proyecto del problema 1 y escriba las relaciones de precedencia. De esta lista, construya una red,

18 usando los nodos como actividades (RAN). Compare la red resultante con la del problema 1. Nótese que no se requieren actividades ficticias. Esto es una característica del método RAN. 6.- La reparación anual de una turbina de vapor de 50,000 caballos de fuerza puede ser representada por la siguiente lista de actividades. ACTIVIDAD DURACION PREDECESORES INMEDIATOS 1.- Apagar la turbina Cerrar las líneas de vapor Quitar la coraza Enfriar las líneas de vapor Desconectar las líneas de vapor Quitar los rodamientos viejos 4 1,4 7.- Quitar las válvulas 9 3,6 8.- Quitar la tubería 6 3,6 9.- Reparar las líneas de vapor Reponer las líneas de vapor 2 4, Reponer las válvulas Reponer la tubería Reponer los rodamientos 6 9, Lubricar 11 7, Reponer la coraza 15 12,13 A) Construya la red de este proyecto. B) Haga una tabla que muestre tiempos primeros y últimos de inicio y terminación, holgura total y holgura libre para cada actividad. C) Identifique el camino crítico. 7.- La instalación de una nueva computadora digital puede ser descrita por las siguientes actividades: ACTIVIDAD DURACION PREDECESORES INMEDIATOS 1.- Describir las especificaciones Requisición de fondos Construir el exterior del edificio Preparación de cotizaciones Evaluación de cotizaciones Construir el interior del edificio Escoger la computadora Escoger el equipo de soporte Alambrar el interior del edificio 2 3, Instalar la computadora Instalar el equipo de soporte Evaluar el sistema 2 10,11

19 Construya una red para este proyecto. Encuentre el camino crítico. Encuentre los tiempos primeros y últimos de iniciación y terminación y las holguras para cada una de las actividades y muéstrelos en una tabla. Haga una gráfica de Gantt incluyendo holguras. 8.- La lista de actividades y las relaciones de precedencia que describen un proyecto son dadas a continuación. Sin embargo, la red por RAF correcta no expresa la relación de precedencia correcta. Construya la red por RAF correcta. ACTIVIDAD PREDECESOR c d INMEDIATO a a - b - c a, b g d c, b e b b f e, d e f h g d h g, f 9.- Suponga que las duraciones actividades para el proyecto de instalación de una computadora del problema 7 fueran inciertas, pero que tuvieran a la mano estimaciones de los tiempos optimista, pesimista y mas probable como se muestra a continuación. Haga el diagrama de la red y encuentre el camino crítico para el proyecto. Construya un intervalo de confianza aproximado al 95% sobre la duración del proyecto. Cuál sería la probabilidad de terminar el proyecto, dos semanas antes de la duración media?. ACTIVIDAD OPTIMISTA PROBABLE PESIMISTA

20 Suponga que las duraciones de las actividades de reparación de una turbina de vapor descritas en el problema 6 no pueden ser determinadas exactamente. Los tiempos estimados optimista, pesimista y mas probable se muestra abajo. a) Construya la red y encuentre el camino crítico para el proyecto. b) Calcule un intervalo de confianza del 99% sobre el tiempo de terminación del proyecto. c) Encuentre el tiempo, digamos X, Tal de que la probabilidad del tiempo de terminación del proyecto se exceda en X sea menor que 0.1 aproximadamente. ACTIVIDAD OPTIMISTA PROBABLE PESIMISTA ACTIVIDAD OPTIMISTA PROBABLE PESIMISTA

21 11.- La red PERT para un pequeño proyecto se muestra a continuación junto con las duraciones estimadas de las actividades. Encuentre el camino crítico y calcule un intervalo de confianza aproximado del 95% para el tiempo de terminación del proyecto. Cuál es la probabilidad de que el proyecto tomara más de 25 períodos de tiempo? ACTIVIDAD TIEMPOS ESTIMADOS a ij M ij b ij (1,2) (1,3) (2,4) (2,6) (3,4) (3,5) (4,6) (5,7) (6,7) (7,8) De la red PERT mostrada a continuación, encuentre el camino crítico y calcule un intervalo de confianza aproximada de 95% sobre el tiempo de terminación del proyecto

22 ACTIVIDAD TIEMPOS ESTIMADOS a ij M ij b ij (1,2) (1,3) (1,4) (2,7) (3,6) (4,5) (4,9) (5,6) (6,7) (6,8) (7,10) (8,10) (9,11) (10,11) a) Prob( X 30) b) Prob( X > 36) c) Intervalo de confianza si α=3% d) Encuentre el tiempo X tal que la prob. De terminación se excede, en X menor que 0.1 e) Prob( Xy < 25) f) Prob( Xq 15)