TEMA 6. Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos

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1 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 88 Ángulos entre rectas y planos TEMA 6 Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos Dadas las rectas r y s de ecuaciones: r x y z ; a) Comprueba que se cortan y halla su punto de corte b) Determina el ángulo que forman r y s c) Halla la ecuación del plano que contiene a r y s a) Las ecuaciones paramétricas r y s son: + t r x y z t r y t ; t y Igualando las componentes de ambas rectas: + t + h + t + h t h t h t h t h Las rectas se cortan en el punto P(3,, ) y s + z y s y + z + h s y h z h b) Ángulo (r, s) ángulo ( v r, v s ) v r (,, ), v s (,, ) Aplicando el producto escalar: vr vs + + cos (r, s) cos( vr, vs ) vr v s + + ( ) + + ( ) Luego, ángulo (r, s) 4 arccos 9,47º 3 c) El plano queda determinado por el punto P(3,, ) y por los vectores v r y v s Su ecuación es: x 3 y 0 π ( y ) ( z + ) 0 π y + z 0 z + (Propuesto en Selectividad en 0, Murcia) Calcula el ángulo que forman la recta r y el plano π, siendo: x + y z r : y π : x y z 4 El ángulo que forma una recta con un plano es el complementario del que determinan los vectores v r, de dirección de la recta, con v, normal al plano (En la figura, r es la proyección de r sobre π) π wwwmatematicasjmmmcom

2 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 89 Esto es, ángulo (r, π) 90º ángulo v, v ) En consecuencia, sen (r, π) (, v ) ( π r vπ vr cos v π r v v Como v r (,, ) ; v + π (,, ) cos ( vπ, v r ) 6 6 ángulo que forman la recta y el plano es 30º π r α 60 Por tanto, el 3 Halla el ángulo que forma el plano π : x + y + z 0 con la recta de ecuaciones + y r : y + z vπ vr El seno del ángulo (r, π), sen (r, π) cos ( vπ, vr ), siendo v r el vector de dirección v v de la recta y v π el vector normal al plano El plano π : x + y + z 0 tiene como vector normal v π (,, ) t + y La recta r : r : y t v r (,, ) y + z t (,, ) (,, ) Luego: sen (r, π) ángulo(r, π) arcsen (/3) 9,47º y 4 Halla el ángulo que forma la recta r con el plano π 3 x z 3 x y Su valor es el complementario del ángulo formado por el vector de dirección de la recta y el vector característico del plano Por tanto, el seno del ángulo (r, π), vπ vr sen (r, π) cos ( vπ, vr ) vπ vr Para obtener v r se expresa la recta en sus ecuaciones paramétricas x + y r r y 0 x y z t Se tiene: v r (0, 0, ); π v (, 0, ) 3 (0, 0,) ( 3, 0, ) Luego: sen (r, π ) ángulo(r, π) 50º Se toma 30º, el más 3 + pequeño π r wwwmatematicasjmmmcom

3 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema Determina el ángulo que forman los planos: π : 3x y + z + 0 y π : x + y 5z 0 El ángulo (π, π ) es el mismo que el que forman sus vectores característicos Como v π (3,, ) y v π (,, 5), se tiene que vπ vπ cos(vπ, vπ ) v v π π 5 Por tanto, el ángulo (π, π ) arccos 75,88º 05 6 Halla el ángulo que forman los planos π : x y + z 0 y π : x + y + z 0 Los vectores característicos son: v π (,, ) y v π (,, ) El coseno del ángulo que forman es vπ vπ + cos( vπ, vπ ) ángulo 60º v v π π Paralelismo y perpendicularidad x y + z 5 7 Sea el punto P (,, 3) y la recta r : 3 a) Halla la ecuación del plano π que pasa por P y es perpendicular a la recta r b) Halla el punto de corte entre la recta r y el plano π a) El plano π viene determinado por el punto dado, P, y por el vector de dirección de la recta, pues el vector característico (normal) del plano es igual al de dirección de la recta: vπ v r Como P (,, 3) y v r (, 3, ), su ecuación es: π ( x ) + 3 ( y ) ( z 3) 0 π x + 3y z 5 0 b) El punto Q, de corte de la recta con el plano hallado, se obtiene resolviendo el sistema recta plano Para ello conviene obtener las ecuaciones de la recta en forma paramétrica y sustituirlas en la ecuación del plano: x + t r : y + 3t π ( + t ) + 3( + 3t) (5 t) 5 0 4t 4 0 t z 5 t Por tanto, Q (3,, 4) wwwmatematicasjmmmcom

4 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema (Propuesto en Selectividad en 0, Asturias) y 5 0 Se considera la recta r : x + z 0 a) Determina el plano π que contiene a r y pasa por el origen de coordenadas b) Halla la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por el punto (, 0, ) a) Si se expresa la recta en su forma paramétrica se tiene: x t y 5 0 r : r : y 5 + t x + z 0 z t El plano pedido viene determinado por el punto O y por los vectores OA (0, 5, ) y el de dirección de la recta, v r (,, ) t x 0 Su ecuación será: π : y t 5h π : y 5 0 π : x + y + 5z 0 t + h z b) El vector de dirección de la recta perpendicular a π será v π (,, 5); como debe pasar por el punto P(, 0, ) su ecuación es: x + λ s : y λ + 5λ + 4λ x z 9 Sea α 0 un número real, y las rectas de ecuaciones: r y ; s y λ α 3 λ Determina el valor de α para el que r y s son paralelas En ese caso, halla la ecuación general del plano que las contiene Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma dirección: sus vectores de dirección deben ser proporcionales Esto es: v r k v s En este caso: v r (,, α) y v s (4,, ) Para que (,, α) k (4,, ), k ; luego α ( ) El plano que contiene a ambas rectas queda determinado por un punto R r, y los vectores RS y v s, siendo S s Tomando R (0, 0, 0) y S (, 0, 3) se tiene que RS (, 0, 3); y el plano buscado será: + µ + 4λ x 4 π y λ π y 0 0 π 3 x 7 y z µ λ z 3 3 wwwmatematicasjmmmcom

5 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema y + z 0 + y + z 0 0 Dadas las rectas de ecuaciones: r : ; r : x y + z ax + bz 0 a) Qué relación debe existir entre a y b para que r y r sean paralelas? b) Y para que sean perpendiculares? Ambas cuestiones se resuelven comparando los vectores de dirección de las rectas, que pueden obtenerse multiplicando vectorialmente los vectores normales de los planos que las definen En este caso: v u u u3 r (,, ) (,, ) (, 0, ) v u u u3 r (,, ) (a, 0, b) ( b, a b, a) a 0 b a) Las rectas serán paralelas cuando sus vectores de dirección lo sean; esto implica que vr kv r kb Luego: (, 0, ) k (b, a b, a) 0 a b a b, y ambos distintos de 0 ka b) Las rectas serán perpendiculares cuando sus vectores de dirección lo sean Por tanto, v r v r 0 (, 0, ) (b, a b, a) 0 b + a 0 a b Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(, 3, ) y que sea paralela a los planos: π : x y + z + 0 y π : x + 3y z + 0 El vector de dirección de la recta buscada será v v π r : v v u u u3 π r (,, 5) 3 Su ecuación es: x t y 3 + t + 5t Halla la ecuación del un plano perpendicular a los planos π y π, del problema anterior, que pase por el punto Q(, 0, ) El vector normal del plano pedido es v v π r (,, 5) Por tanto, su ecuación es: π : x + y + 5z + d 0 Por contener al punto Q: d 0 d 9 El plano es: π : x + y + 5z wwwmatematicasjmmmcom

6 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema Dadas las rectas: + y 7 y z + r, s x y + z 4 3 a) Comprueba que se cortan perpendicularmente b) Halla la ecuación del plano que las contiene c) Halla la recta perpendicular común a r y s a) Las ecuaciones paramétricas de ambas rectas son: x 7 y 7 4t + y 7 r r y y r y t v r ( 4,, ) y + z 4 y / t + h y z + s x s y 3h v s (, 3, ) 3 + h Los vectores v r y v s son perpendiculares, ya que v r v s ( 4,, ) (, 3, ) Por tanto, las rectas son perpendiculares Para comprobar que se cortan basta con ver que el sistema que determinan tiene solución Este sistema es: 7 4t + h 9 6 t 3h, cuya solución es t y h 7 7 t + h El punto de corte se obtiene sustituyendo t en r o h en s P,, b) El plano pedido queda determinado, por ejemplo, por R(7, 0, ) r y por los vectores v r y v s Su ecuación es: x 7 4 y 3 0 π: 7 ( x 7) + 7y 4( z ) 0 π: x + y z 3 0 z c) La perpendicular común es la que pasa por P y lleva la dirección del vector característico del plano, v π (,, ) 3/ 3 + λ Su ecuación es: p y 8/ 7 + λ 5/ 7 λ wwwmatematicasjmmmcom

7 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema Dadas las rectas: + λ x µ r y λ ; s y + µ λ 0 a) Estudia la posición relativa de las rectas r y s b) Halla la ecuación de una recta que sea perpendicular simultáneamente a r y s a) Hay que estudiar la dependencia lineal de los vectores: v r (,, ), v s (,, 0) y RS (0,, 0) (, 0, 0) (,, 0) donde R es un punto de r y S un punto de s Como 0 4, los vectores son linealmente independientes En consecuencia, las 0 rectas r y s se cruzan b) La dirección de todas las retas perpendiculares a las dadas es la del vector v r v s v r v u u u3 s (,,) 0 t Una de las infinitas rectas perpendiculares es: p y t z t Observación: Del enunciado no se deduce que se pida la recta perpendicular común 5 Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas, a) Estudia la posición relativa de r y s b) Determina la recta que corta perpendicularmente a r y s c) Halla la distancia ente r y s y 0 a) Como el sistema r s 0 (pues no puede ser a la vez z 0 y z ), las rectas se cruzan y r y 0 0 s, formado por las dos rectas, es incompatible b) La perpendicular común es la intersección de los planos π r y π s El plano πr viene determinado por la recta r, a la que contiene, y por el vector vr v s El plano π s viene determinado por la recta s, a la que contiene, y por el vector vr v s Como v r v u u u3 s 0 0 ( 0, 0, ), dichos planos son: 0 0 wwwmatematicasjmmmcom

8 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 95 x t x 0 πr : y y π r : y ; q z 0 x 0 x 0 0 πs : y h y 0 0 π s : x 0 + p z Por tanto, la perpendicular común es: y y λ De otra forma: Se toman dos puntos genéricos, R y S, y se impone la condición de que el vector RS sea perpendicular a los vectores de dirección de ambas rectas, v r (, 0, 0) y v s (0,, 0) Puntos genéricos de r y s son, respectivamente, R(t,, 0) y S(0, h, ) RS ( t, h, ) Como RS debe ser perpendicular debe cumplirse, a la vez, que RS v r 0 y RS v s 0 Esto es: RS v r 0 ( t, h, ) (, 0, 0) 0 t 0 t 0 RS v s 0 ( t, h, ) (0,, 0) 0 h 0 h 0 Luego: R(0,, 0); S(0,, ); RS (0, 0, ) (0, 0, ) Por tanto, la recta R S es: y λ c) Como se conocen los puntos R y S, la distancia entre las rectas es la misma que la distancia entre los puntos R y S Esto es, d ( r, s) d( R, S) [ vr, vs, SR] Nota: Utilizando la fórmula d( r, s), siendo SR un vector que va de r a s: R r vr vs y S s (Aquí, R y S son puntos arbitrarios de r y s, respectivamente) + y z 4 x 6 Sean las rectas de ecuaciones r y s x + y 7 y 5 a) Comprueba que se cruzan en el espacio b) Halla un punto de r y otro de s tales que el vector con origen en uno y extremo en el otro sea perpendicular a ambas rectas Halla la recta perpendicular común a r y a s a) Las ecuaciones paramétricas de las rectas dadas son: + y z 4 r Restando E E: y 3 z x + z x + y 7 + t Haciendo z t se tiene: r y 3 t Un punto A r es A(, 3, 0); y v r (,, ) z t wwwmatematicasjmmmcom

9 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 96 x En la recta s haciendo z h s y 5 Un punto B s es B(, 5, 0); v s (0, 0, ) z h Como los vectores AB (, 8, 0), v r y v s son linealmente independientes, pues , se concluye que la rectas se cruzan b) Sean R y S puntos genéricos de r y s, respectivamente: R ( + t, 3 t, t); S (, 5, h) El vector RS ( t, 8 + t, h t) debe ser perpendicular a los vectores de dirección de ambas rectas, v r (,, ) y v s (0, 0, ) En consecuencia: RS v r 0 h 6t 0 0 RS v s 0 h t 0 Resolviendo el sistema se tiene: t h Los puntos R y S son: R(5,, ); S(, 5, ) RS ( 3, 6, 0) 5 3λ La recta, perpendicular común a r y s es: p y 6λ Observación: Puede comprobarse que el vector RS ( 3, 6, 0) es perpendicular a v r y a v s 7 Halla las ecuaciones de la recta perpendicular común a r y s y que corta a ambas, siendo: x y z 3 x y z + r, s 3 Puntos genéricos de r y s son, respectivamente, P (t, t, 3 + t), Q ( + 3h, h, h) De donde: PQ ( + 3h t, + h + t, 4 h t) Este vector debe ser perpendicular a los de dirección de r y s Multiplicando escalarmente ( PQ v r 0, PQ v s 0), se tiene: h + 9t 4 5 t y h h + t Con esto: P,, y PQ 0,, (0,, ) /4 La recta perpendicular común es: y 4 /4 + p 3 /4 + p wwwmatematicasjmmmcom

10 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 97 Proyecciones en el espacio 8 Halla la proyección de P(,, 0) sobre el plano π : 3x + y z : + 3t ) Se halla la recta perpendicular a π que contiene a P r : y + t t ) Se halla el corte entre r y π π : 3( + 3t ) + ( + t) ( t) t 9 / 4 Por tanto, el punto P ( 3/4, 3/4, 8/4) x y z 9 Halla la proyección ortogonal de de la recta r sobre el plano π x 3 y + z + 0 Obtén la solución de las dos formas posibles: ) Mediante el corte de dos planos; ) Proyectando dos puntos de r sobre el plano ) La recta proyectada, r, es la intersección del plano π con el plano π que contiene a r y es perpendicular a π Queda definido por el punto (,, ) r y los vectores v r (,, ) y v π (, 3, ) Su ecuación es: x + h + t x π y + h 3t y h + t z π 8x y 7z Luego, la recta r es: x 5λ 3y + z + 0 r (haciendo z λ) r y 4 + 3λ 8x y 7z z λ ) Proyectando los puntos A(,, ) y B(, 0, 0) de r sobre el plano π x + t + t Las rectas p A y p B, perpendiculares al plano son: p A y 3t y p B y t z + t z 3 t Cortan al plano en: A ( + t ) 3( 3t) + ( + t) + 0 t A (0, 4, 0) B ( + t ) 3( 3t) + (t) + 0 t /4 B ( 5/4, 33/4, /4) x 5λ Como A B ( 5/4, 3/4, /4) (5, 3, ) r y 4 + 3λ z λ wwwmatematicasjmmmcom

11 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 98 x 3 y + z 0 Halla la proyección del punto P(,, ) sobre la recta 3 La proyección de P sobre la recta r se obtiene hallando el corte de dicha recta con el plano π, perpendicular a ella que pasa por P Como v r (3,, ), el plano π será: 3 ( x ) + ( y + ) + ( z ) 0 π: 3 x + y + z 7 0 Sustituyendo las ecuaciones paramétricas de r: y 3 + 3t + t, en la ecuación z t del plano se obtiene P : 3 (3 + 3t ) + ( + t) + (t) t + 0 t ( /4) 39 / Por tanto, P : y /4 5 /4 P,, 4 4 z /4 Simetrías Halla las coordenadas del punto P simétrico de P(, 0, ) respecto de la recta x + y z + r 3 Si P es el simétrico de P respecto la recta, se cumplen dos cosas: ) El punto medio del segmento PP, R, debe ser de la recta ) El vector PR debe ser perpendicular al vector v r de dirección de la recta Esto es, debe cumplirse que v r PR 0 Un punto genérico de la recta es: R ( t, + t, + 3t) Por tanto: PR ( t, + t, + 3t) (, 0, ) ( 3 t, + t, 3t) Condición ): v r PR 0 (,, 3) ( 3 t, + t, 3t) 6 + 4t + + t + 9t 0 4t 8 t 4 / 7 Luego, R (/7, 0/7, 9/9) a + b c Condición ): Si P (a, b, c), el punto medio entre P y P es: R,, Como R (/7, 0/7, 9/9), se cumple que: a + b 0 a ; c 9 3 b ; c Luego, P,, wwwmatematicasjmmmcom

12 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 99 (Propuesto en Selectividad en 0, Islas Baleares) Dados el punto A (, 3, 0) y el plano π : x + y + z 0, determina las coordenadas del punto A, simétrico del punto A respecto del plano π Calcula la distancia de A al plano π Sea A el simétrico de A respecto de π Ambos puntos, A y A, estarán en la recta r, perpendicular a π por A x + λ Como v π (,, ), se deduce que r y 3 + λ z λ Puede tomarse A como un punto genérico de r: A ( + λ, 3 + λ, λ) La distancia de ambos puntos al plano debe ser la misma: d(a, π) d(a, π) La distancia de A a π es: d(a, π) 6, La distancia de A a π es: ( + λ) + (3 + λ) + λ 6 + 6λ d(a, π) 6 6 Como ambas distancias deben ser iguales, 6 + 6λ 6λ λ λ λ 6 6 λ Para λ 0, A (, 3, 0), que hay que descartar por tratarse del punto A dado Para λ, A (,, ), que es el punto buscado De otra forma: Sea A (x0, y 0, z 0 ) el simétrico de A respecto de π Ambos puntos, A y A estarán en la recta r, perpendicular a π por A Además, si M es el punto de corte de la recta y el plano, M debe ser el punto medio entre A y A x + λ Como v π (,, ), se deduce que r y 3 + λ z λ Corte de la recta r con el plano π: ( + λ) + (3 + λ) + λ 0 6λ λ Por tanto, M (0,, ) Punto medio de A y A : + x0 3 + y0 z,, 0 Como M (0,, ) + x0 3 + y0 z,, 0 + x y x 0 ; 0 z y 0 ; 0 z 0 Por tanto, A (,, ) wwwmatematicasjmmmcom

13 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 00 Distancias 3 Halla la distancia del punto P a la recta r en los siguientes casos: x + y z + a) P(, 0, ); r 3 x + λ + y 7 b) P(,, 3); r : y λ c) P(6, 0, 0) ; r, + λ y + z 4 La distancia de un punto P a una recta r viene dada por AP vr d( P, r), siendo A r v a) En este caso: r A (,, ), P (, 0, ), AP (3,, 0), v r (,, 3) Producto vectorial: AP u u u3 3 0 ( 6, 9, ) AP v ( 6) + ( 9) + ( ) 8 v r Módulo de v r : v r ( ) Por tanto, d ( P, r) 4 7 b) En este caso: A (,, ), P (,, 3), AP (0,, ), v r (,, ) El producto vectorial AP v r vale, AP v u u u r 0 (,, ) d ( P, r) r c) Para obtener v r puede expresarse la recta en forma paramétrica x 7 y 7 4t + y 7 r r y y r y t y + z 4 y / t Por tanto, v r ( 4,, ); A (7, 0, ), P (6, 0, 0) AP (9, 0, ), El producto vectorial vale: AP v u u u3 r 9 0 (4,7,8) AP v r El módulo de v r : v 69 r ( 4) + + ( ) d ( P, r) wwwmatematicasjmmmcom

14 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema Halla el punto de la recta Sea X r el punto pedido: X x λ r y 3 λ cuya distancia al punto P(, 0, ) sea 5 + λ ( λ, 3 λ,+ λ) Se desea que: d ( X, P) ( λ ) + (3 λ) + ( + λ) 5 6λ λ λ El punto es X (,, 3) y + z 0 5 Dados la recta r y el plano π x + y + z 0 y z 4 a) Comprueba que la recta es paralela al plano b) Halla la distancia de r a π a) La recta será paralela al plano si su vector de dirección v r es perpendicular al característico del plano, v π (,, ) Además, ningún punto de la recta puede ser del plano Se expresa r en forma paramétrica: x 8 3t y + z 0 r r y t v r ( 3,, ) y z t Como v r v π ( 3,, ) (,, ) Los vectores son perpendiculares; y la recta paralela al plano, ya que el punto P(8, 0, 4) r pero no a π b) La distancia de un punto a un plano viene dada por la expresión: d ( r, π) d( P (8, 0, 4) r, π : x + y + z 0) Halla la distancia entre la recta determinada por el punto S(, 0, 0) y el vector v (,, 0) y el plano π x y + z 0 La recta y el plano son paralelos pues el vector director de la recta, v (,, 0), y el vector característico del plano, v π (,, ), son perpendiculares, ya que: v v π (,, 0) (,, ) 0 Por tanto, la distancia entre el plano y la recta viene dada por la distancia de cualquier punto de la recta, por ejemplo S (, 0, 0) al plano Esta distancia es: d ( S, π) + ( ) + 3 wwwmatematicasjmmmcom

15 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 0 x y z 7 Halla los dos puntos de la recta r que están a distancia del plano π x + y + z t Las ecuaciones cartesianas de la recta son: r y + t z t Luego, un punto genérico de r es P ( + t, + t, t) Se desea que d(p, π) Esto es: ( + t) + ( + t) + ( t) 5 t + d ( P, π) ± ± 3 Para el denominador positivo: +3 t + 3 t P (3,, ) Para el denominador negativo: 3 t + 3 t P (0,, 4) 8 Halla la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones: 3 t 5 + h + k x + k a) r y t ; s y h b) r y k ; s y + 3k 4t 4 z 3 + k z 4 k Dependiendo de su posición relativa, la distancia mínima entre dos rectas r y s es: (si se cruzan) la existente entre el plano paralelo a s que pasa por r y el plano paralelo a r que pasa por s (Esa distancia coincide con el módulo del vector PQ, perpendicular a los de dirección de ambas rectas) (si son paralelas) la existente entre cualquier punto de s y la recta r (si se cortan) cero La distancia entre dos rectas (que se cruzan) viene dada por la expresión [ vr, vs, RS] d( r, s), siendo v r y v s los vectores de dirección respectivos, y RS un vector vr vs que va de r a s: R r y S s (Si las rectas se cortasen esta distancia valdría 0; si las rectas fuesen paralelas, cuestión que se detecta comparando sus vectores de dirección, esta fórmula no es válida) a) En este caso: v r (,, 4), v s (,, 0); RS ( 5, 0, 4) (3, 0, ) ( 8, 0, 7) Por tanto, [ v r, v 4 s, RS] wwwmatematicasjmmmcom

16 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 03 v r v s u u 4 0 u 8 Luego: d ( r, s) (4, 4, ) v r v 4 + ( 4) + ( ) 36 6 s b) Si se toma: R(,, 3) r; S(,, 4) s, se tiene que RS ( 3,, ) Por otra parte, v r (,, ) y v s (, 3, ) El producto mixto, [ vr, vs, RS] 3 0 las rectas se cortan 3 u u u3 Aquí no sería necesario calcular el producto vectorial, vr vs (, 5, 7) ; ni 3 0 el módulo, v r v s ; ni la distancia, que es 0: d( r, s) Halla la ecuación del plano π que es paralelo y equidistante a las rectas r y s de ecuaciones: 3 t 5 + h r y t ; s y h 4t 4 Observación: Estas son las rectas del apartado a) del problema anterior Si un plano es paralelo a una recta, su vector característico es perpendicular al de dirección de la recta Por tanto, si el plano es paralelo a las rectas r y s, su vector característico será v r v s, u u u3 que es perpendicular a ambos: vr vs 4 (4, 4, ) 0 Por tanto, la ecuación del plano será π : 4x 4y z + d 0 (Falta por determinar d) Como el plano debe equidistar de las rectas r y s, y como d ( r, s) 3 (ver el problema anterior), su distancia a cada recta debe ser 3/ Esto es, d ( r, π) 3/ d( s, π) Por ser r y π paralelos, la distancia de r a π es la misma que la distancia del punto R (3, 0, ) de r a π Por tanto, d 0 + d 3 d ( R, π) d ( 4) + ( ) 6 La ecuación del plano buscado será π : 4x 4y z d 3 Observación: También podría considerarse la posibilidad d( R, π) d 6 wwwmatematicasjmmmcom

17 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 04 No obstante, la solución válida es la primera, d 9 30 Halla la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones: x t 3x y 4 y z 3 a) r ; s x b) r y 3 t ; 7x z t a) Expresando las rectas en forma paramétrica se tiene: x t x + h r y 4 + 3t, s y + 3h 8 + 7t 3 + 4h x y z s 3 Por tanto: v r (, 3, 7), v s (, 3, 4) y RS (,, 3) (0, 4, 8) (, 6, ) Como los vectores son linealmente dependientes En consecuencia, las rectas r y s se cortan Por tanto, la distancia entre ellas es 0 x t + h b) Las rectas son paralelas: r y 3 t ; s y 3h t z h En este caso, d ( r, s) d( (0, 0, 0) r, s) Esta distancia puede calcularse, además de con la fórmula correspondiente, hallando el punto de corte del plano π, perpendicular a r (y a s) por O(0, 0, 0) r con la recta s; obteniéndose que d ( r, s) d( O, Q) La ecuación del plano π es: π x + 3 y z 0 ; corta a la recta s cuando ( + h ) + 3(3h) ( h) 0 h / 3 Luego Q,, 3 54 d + + Con esto, ( r, s) d( O, Q) Planos bisector y mediador 3 Halla el plano bisector de los planos π x + y + z y π x + y z 6 0 Si el punto P(x, y, z) pertenece al plano bisector π, debe cumplir que d ( P, π ) d( P, π ) Luego, x + y + z + 3 x + y z 6 x + y + z + 3 x + y z ± + + ( ) 6 ± 6 Simplificando se obtiene los dos planos bisectores: π : x + y + z ( x + y z 6) π : x y z 9 0 π : x + y + z + 3 x + y z 6 π : 3x + 3y 3 0 π : x + y 0 ( ) wwwmatematicasjmmmcom

18 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema Comprueba para los planos del ejercicio anterior: a) Que el plano π forma con cada uno de los dos iniciales, π y π, un ángulo que es la mitad que el que determinan los planos π y π b) Que los planos bisectores son perpendiculares a) El ángulo que forman los planos π y π v es el determinado por sus vectores característicos π (,, ) y v π (,, ) vπ vπ + Como cos(vπ, vπ ) ángulo (π, π ) arccos (/) 60º v v 6 6 π π El ángulo que forman los planos π y π, es el determinado por los vectores v π (,, ) y v π (,, 0): vπ vπ + 3 cos(vπ, vπ ) v v 6 3 π π 3 Como arccos 30º, efectivamente, es la mitad del que forman los planos π y π b) Los vectores característicos de los planos bisectores son: v π (,, ) y v π (,, 0) Como su producto escalar es 0: v π v π (,, ) (,, 0) 0, dichos planos son perpendiculares 33 Halla el plano mediador de los puntos P(,, 0) y Q(, 3, ) Si X (x, y, z) es un punto del plano buscado, cumplirá que: d ( X, P) d( X, Q) Esto es: d ( X, P) ( x ) + ( y + ) + z ( x + ) + ( y 3) + ( z ) d( X, Q) x x + + y + y + + z x + x + + y 6y z 4z + 4 x y z La ecuación del plano mediador es x y z Dados los puntos del espacio P(0, 0, 0) y Q(0,, ), halla la condición que debe cumplir un punto de coordenadas A(x, y, z) para que esté a la misma distancia de P y Q Las distancias entre los puntos valen: (, ) d A P x + y + z ; d ( A, Q) x + ( y ) + ( z ) La condición que debe cumplirse es que x + y + z x + ( y ) + ( z ) Elevando al cuadrado y simplificando: x + y + z x + ( y ) + ( z ) x + y + z x + y y + + z 4z + 4 y + 4z 5 0 Evidentemente es la ecuación de un plano: el plano mediatriz de los puntos P y Q 3 wwwmatematicasjmmmcom

19 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 06 Otros problemas 35 a) Halla la recta r que pasa por el punto P(,, ) y es perpendicular al plano π x + y + 3z b) Halla la ecuación de la recta s que pasa por los puntos A(, 0, 0) y B(, 3, 4) c) Estudia la posición relativa de r y s Si se cortan, calcula el punto de corte d) Calcula la distancia del punto A(, 0, 0) al plano π que pasa por el punto P(,, ) y es paralelo a π a) La recta r queda definida por P(,, ) y el vector v π (,, 3), normal al plano π + t Su ecuación es: r : y + t + 3t b) La recta s está determinada por el punto A(, 0, 0) y por el vector AB (, 3, 4) (, 0, 0) (, 3, 4) h Su ecuación es: s : y 3h 4h c) Para determinar la posición relativa de ambas rectas hay que estudiar la dependencia lineal de los vectores: v r (,, 3), v s (, 3, 4) y AP (,, ) (, 0, 0) (0,, ) 3 Como ( ) 0 los vectores son linealmente dependientes; lo que 0 indica que las rectas se cortan x + t x h Para hallar el punto de corte se resuelve el sistema: r : y + t y 3h : s + 3t z 4h + t h t + t 3h Punto de corte: C(3, 3, 4) + 3t 4h h d) El plano π está determinado por el vector normal a él, que es v π (,, 3), y por el punto P(,, ) Su ecuación es: π ( x ) + ( y + ) + 3( z + ) 0 π x + y + 3z La distancia de A a π es: d ( A, π ) wwwmatematicasjmmmcom

20 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 07 y Dado el punto P(0, 8, 3) y la recta s y z 0 a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a la recta s b) Calcula la ecuación de la recta r, perpendicular al plano hallado y que contiene a P a) El plano π, que contiene a P y a s, queda definido por el punto P y los vectores v s y PS, siendo S cualquier punto de s Las ecuaciones paramétricas de s son: y y 7 s s y z 0 y z 7 + h (si z h) s : y h v s (,, ) h Si S ( 7, 0, 0), PS ( 7, 0, 0) (0, 8, 3) ( 7, 8, 3) Luego, la ecuación del plano será: x h 7t x 7 π : y 8 + h 8t y π : x y z z 3 + h 3t z 3 3 b) La recta perpendicular a π lleva la dirección del vector normal al plano, v π (,, ); x λ como debe contener a P(0, 8, 3), su ecuación será: r y 8 λ 3 λ x + y z 37 Encuentra los puntos de la recta r : que equidisten de los planos 3 π 3x + 4y 0 y π 4x 3z 0 + t Como la recta tiene por ecuaciones, r y + 3t, t un punto genérico de ella es P ( + t + 3t t) Se desea que d(p, π ) d(p, π ) Por tanto: 3( + t) + 4( + 3t) 4( + t) 3(t) 8 d ( P, π) d( P, π ) t 5 t ± ± Si se considera el denominador +5 8t t 5 t 5/6 P,, Si se considera el denominador 5 8t t + 5 t /4 P,, wwwmatematicasjmmmcom

21 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema x y 38 Dadas las rectas de ecuaciones: r y 7x z 4 a) Estudia su posición relativa b) Si se cruzan, calcula la distancia mínima entre ellas y z 3 s x 3 4 a) Estudiando la dependencia lineal de los vectores v r, v s y RS, donde R r y S s, se determina la posición relativa de ambas rectas: si esos vectores son linealmente independientes, las rectas se cruzan; si son linealmente dependientes, están en el mismo plano Las ecuaciones paramétricas de las retas dadas son: x t x + h r y + 3t, s y + 3h 4 + 7t 3 + 4h Por tanto: v r (, 3, 7), v s (, 3, 4) y RS (,, 3) (0,, 4) (,, ) 3 7 Como los vectores son linealmente dependientes las rectas r y s se cruzan b) La distancia entre ambas rectas es igual a la de un punto cualquiera P de r al plano π que contiene a s y es paralelo a r, cuya ecuación es: x + h + t π y + 3h + 3t 3 + 4h + 7t x π y π 3 x y 4 0 z Por tanto, d ( r, s) d( P(0,, 4) r, π) ( ) a) Sea π el plano determinado por el punto P(,, ) y los vectores u (, 0, ) y v (,, 0) Calcula el ángulo que forma el plano π con la recta que pasa por los puntos O(0, 0, 0) y Q(,, ) b) Calcula el punto simétrico de O(0, 0, 0) respecto del plano x y + z 0 a) El vector normal del plano, que es ortogonal a los dos dados, se obtiene multiplicándolos vectorialmente: u v u u u3 0 (,,) 0 Por tanto, el plano pedido es (x ) (y ) + (z ) 0 π x y + z 0 wwwmatematicasjmmmcom

22 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 09 x t x t La recta que pasa por O y Q es: r y t r y t z t z t vπ vr El seno del ángulo (r, π ), sen (r, π ) cos( v π, vr ), siendo v r (,, ) el vector vπ vr de dirección de la recta y v π (,, ) el vector normal al plano Como ambos vectores son iguales, la recta es perpendicular al plano b) El punto pedido, O, estará en la recta r y a la misma distancia del plano que O El punto M, de corte de la recta y el plano, es el punto medio entre O y O M: t ( t) + t 0 t /3; Luego M (/3, /3, /3) Si O (a, b, c) M (a/, b/, c/) (/3, /3, /3) a 4/3, b 4/3, c 4/3 O (4/3, 4/3, 4/3) 40 (Propuesto en Selectividad en 006, Madrid) Sean las rectas: x + y z x y + z + r s 4 3 a) Halla la ecuación de la recta t que pasa por el origen y corta a las dos rectas anteriores b) Halla la recta perpendicular común a las retas r y s a) La recta pedida se obtiene por intersección de los planos πr, que contiene a r y pasa por el origen, y π s, que contiene a s y pasa por el origen Plano πr: Determinado por O(0, 0, 0) y por los vectores OA (,, 0) y v r (,, 4); el punto A(,, 0) pertenece a la recta r Su ecuación es: x π r : y 0 πr : 4x + y z 0 z 0 4 Plano π s : Determinado por O(0, 0, 0) y por los vectores OB (,, ) y, ) pertenece a la recta s Su ecuación es: x 3 π s : y 0 π s : x 8y + 5z 0 z 4x + y z 0 Por tanto, t : x 8y + 5z 0 b) Puntos genéricos de r y s son, respectivamente, R ( h, + h, 4h), S ( + 3p, + p, + p) v s (3,, ); el punto B(, wwwmatematicasjmmmcom

23 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 0 El vector SR ( 3 h 3p, 3 + h p, 4h p), que indica la dirección de todas las rectas que se apoyan en r y s, debe ser perpendicular a los de dirección de r y s: v (,, 4) y v (3,, ) r s Multiplicando escalarmente (SR v r 0, SR v s 0), se tiene: 4h + 8p h y p 8h p Con esto: R,,,,, S,, y RS,, ( 3, 5, 4) / 5 3t La recta perpendicular común será: y 47 / 5 + 5t z 6 / 5 + 4t 4 Considera la recta y el plano siguientes: x y + 5 z + 3 r : π : x + 4y + 4z a) Comprueba que la recta r y el plano π son paralelos b) Calcula la distancia entre el plano π y la recta r c) Calcula la ecuación implícita del plano π que es perpendicular a π y contiene a r a) El vector de dirección de la recta es: v r (, 5, 4) El vector característico del plano: v π (, 4, 4) Ambos vectores son perpendiculares, pues v r v π (, 5, 4) (, 4, 4) 0 Además, el punto P(, 5, 3) r no pertenece al plano, pues: + 4 ( 5) + 4 ( 3) 30 5 En consecuencia, la recta es paralela al plano b) La distancia de π a r es igual a la distancia del punto P de r al plano d( P, π) d ( P(, 5, 3), π : x + 4y + 4z 5 0) c) El plano pedido viene determinado por el punto P y los vectores v r y Su ecuación será: x + λ + µ x y 5 5λ + 4µ y x z λ + 4µ z v π wwwmatematicasjmmmcom

24 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 4 (Propuesto en Selectividad en 0, Castilla León) Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(,, 3) y Q(, 3, ); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R( 4, 7, 6) a) Calcula la ecuación de la recta r (0,5 puntos) b) Calcula la ecuación general del plano que contiene al cuadrado ( punto) c) Halla las coordenadas de uno de los otros vértices (,5 puntos) a) El vector director de la recta r es PQ (, 3, ) (,, 3) (,, ) x 4 t Luego, r y 7 + t 6 t b) Para determinar el plano se necesita otro vector: RP (,, 3) ( 4, 7, 6) (6, 6, 9) (,, 3) El plano será: 4 t + h x + 4 π : y 7 + t h π : y t + 3t z Þ π : ( x + 4) ( y 7) ( z + 6) 0 π : x y z c) Por ejemplo, P, que será el proyectado de P sobre r Dicho punto se obtiene mediante el corte de la recta con el plano π, que contiene a P y es perpendicular a la recta r Su vector característico es: vπ vr (,, ) Luego, π : ( x ) + ( y ) ( z 3) 0 π : x + y z El punto P se obtiene sustituyendo las ecuaciones de la recta r en la del plano π 4 t t 6 t t P 0,, ( ) ( ) ( ) 0 De otra forma: Otro vértice del cuadrado es el punto de la recta que está a distancia t ( ) PQ, el lado del cuadrado, del punto P Como el punto genérico de la recta es X ( 4 t, 7 + t, 6 t), se tendrá que d ( P, X r) ( 6 t) + ( 6 + t) + ( 9 t) d( P, Q) 3 t 4, como solución única (lo que confirma que se trata de un cuadrado), uno de los vértices en la recta es P 0,, ( ) 43 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos de ecuaciones: π 3x 4y y π x y + z Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos? Sea P un punto de ese lugar Debe cumplir que d ( P, π ) d( P, π ): 3x 4y + 5 x y + z + 9 3x 4y + 5 x y + z ( 4) ± + ( ) + 5 ± 3 Se tendrá: 3 x 4y + 5 x y + z + 9 Para +3: x + y + 5z () 5 3 wwwmatematicasjmmmcom

25 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 3x 4y + 5 x y + z + 9 Para 3: 9 x y + 5z () 5 3 Son los planos bisectores de los planos dados Los puntos del eje OY son de la forma (0, y, 0); esto es, x 0 y z 0 Como deben ser de los planos anteriores, se tendrá: () y y 5 Punto (0, 5, 0) () y y 30 Punto (, 30/, 0 ) 0 44 (Propuesto en Selectividad en 009, Navarra) Dado el punto R(,, ), encuentra los puntos P y Q de la recta x + y + z 4 0 r x + y + z 6 0 tales que PQR sea un triángulo equilátero La situación gráfica es la que se indica en la figura Para que el triángulo PQR sea equilátero, las distancias entre cada dos vértices deben ser iguales: d ( R, P) d( R, Q) d( P, Q) l Además, en todo triángulo equilátero, la relación entre la medida l 3l h del lado y de la altura es: h l l AR vr En este caso, h d( R, r), con A r vr Para calcular esa distancia conviene obtener las ecuaciones paramétricas de r: E E x x + y + z 4 0 x + y 4 z r r E E r y t x + y + z 6 0 x + y 6 z z t z t Por tanto: R (,, ), A (,, 0), AR (, 3, ), v r (0,, ) Luego, AR v u u u3 r 3 (,, ) 0 Como AR v 3 y v 3, se tendrá que d ( R, r) h r r h 3 De l l Luego, la d ( R, P) 3 3 P, t, t, entonces, como R(,, ), Si P es un punto genérico de r, ( ) d ( R, P) d ( R, P) + (3 t) + ( t ) t 0t + 0 t o t 3 Para t, P(, 0, ); y para t 3, Q(,, 3) Puede comprobarse que d ( P, Q) wwwmatematicasjmmmcom

26 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema Los puntos P(,, ) y Q(3, 3, 3) son dos vértices opuestos de un cuadrado que está contenido en un plano perpendicular al plano de ecuación x + y 0 a) Determina los otros dos vértices b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por los vértices obtenidos en a) c) Calcula el perímetro del cuadrado construido a) El plano π que contiene al cuadrado está definido por el punto P (o por el Q) y los vectores PQ (,, ) y v (,, 0), normal del plano dado x + t + h Su ecuación es π y t + h x y z 0 z + t (Obsérvese que se da la circunstancia de que PQ es perpendicular a v π ) El punto medio del segmento P Q, M(,, ), es donde se cortan las diagonales del cuadrado Por tanto se cumplirá que los vectores PM y MA sean perpendiculares y tengan el mismo módulo El vector PM (,, ); y su módulo vale 3 El vector MA debe ser perpendicular a PM, tener también módulo 3 y pertenecer al plano π Como v (,, 0) es perpendicular a PQ, está en el plano π y tiene módulo 3 MA (,, 0) Como OA OM + MA, las coordenadas de A serán: A (,, ) + (,, 0) +, +, Análogamente, las coordenadas de B son: B (,, ) (,, 0),,, entonces b) La recta definida por los puntos A y B es la que pasa por M con vector de dirección v (,, 0) Su ecuación será x + t r y + t z c) El perímetro del cuadrado es: 3 3 p 4 l 4 d(p, A) wwwmatematicasjmmmcom

27 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema Los puntos P (, 3, 3) y P 3 (0,, ) son vértices de un cuadrado Halla los otros dos x 3 y + z + vértices de ese cuadrado sabiendo que están en la recta r La situación debe ser la que se muestra en el siguiente dibujo Para que el problema tenga solución, la dirección del vector P P 3 debe ser perpendicular al vector de dirección de la recta y, además, la distancia de cada uno de los puntos a la recta debe ser la misma (esto último equivale a que el punto medio de P P 3 es de la recta) Se tiene: P P 3 (0,, ) (, 3, 3) (, 4, 4); v r (,, ) Como P P 3 v r (, 4, 4) (,, ) , los vectores son perpendiculares El punto medio de P P 3 es M,, (,, ) x 3 t Las ecuaciones paramétricas de r son: y + t Como puede verse, para t, se obtiene + t el punto M(,, ) Por tanto, se verifican las dos premisas necesarias Ahora puede observarse: ) La distancia d(p, P 3 ) es la diagonal, d, del cuadrado d ) El lado, l, de un cuadrado es igual a l (Por Pitágoras: d l + l ) 3) Por tanto, los vértices P y P 4 serán los puntos de la recta que se encuentren a distancia l de P (o de P 3 ) La diagonal vale: d d(p, P 3 ) ( ) ( 4) 6 El lado l 3 Los vértices P y P 4 son las soluciones de la ecuación: d P (, 3,3), X r, X (3 t, + t, + t) 3 ( ) ( t ) + ( + t) + ( 4 + t) 3 t t 0 t 0 o t P 3,, y P 4 (, 0, 3) Luego: ( ) wwwmatematicasjmmmcom