Problemas de Matemáticas 2º Bachillerato OPTIMIZACIÓN

Transcripción

1 Problemas de Maemáicas º Bachillerao OPTIMIZACIÓN En ese documeno se eplica brevemene cómo se resuelven los problemas de opimización, y se ilusra mediane un ejemplo. Como sabéis, los problemas de opimización son una imporane aplicación de las derivadas. Cuando la relación enre una magniud y oras puede epresarse mediane una función maemáica, FF(,y,z) las derivadas permien calcular qué valores de las variables, y, z permien obener valores ópimos (máimos o mínimos) de la magniud F. En general, odos los problemas de opimización se resuelven mediane un par de ecuaciones, siguiendo los siguienes pasos: 1) En primer lugar hay que idenificar la función que nos piden opimizar (maimizar o minimizar), que generalmene dependerá de un par de variables, FF(,y); ) Una de las ecuaciones necesarias para resolver el problema es la condición de máimo o mínimo (f ()0), que hay que aplicarla a una función F que hay que opimizar; pero como la condición de máimo o mínimo hay que aplicarla derivando respeco a una sola variable, anes de derivarla enemos que epresarla en función de una sola variable FF(); ) La ora ecuación, necesaria para obener la función FF() será una condición, frecuenemene geomérica, enre las variables e y; esa segunda condición nos permie epresar una de las variables en función de la ora, yy(), y luego susiuirla en la función F(,y), con lo cual la función a opimizar pasa a depender de una sola variable, y así se le puede aplicar la condición de máimo o mínimo. Los siguienes problemas resuelos esán elegidos preenden ilusrar ese procedimieno: uno de ellos es sencillo y el oro es de mayor complejidad, eraídos de un libro de eo de º de Bachillerao.

2 PROBLEMA DE NIVEL BART: Considera un prisma reco de base recangular, con dos de los lados de ese recángulo de longiud doble que los oros dos. Encuenra las dimensiones que ha de ener ese prisma para que su área oal sea de 1 m y su volumen máimo. En primer lugar, hay que idenificar la función que vamos a opimizar: es el volumen del prisma, que debe ser máimo: V y z, pero depende de res variables. Como nos indican que la base del prisma mide doble en una dimensión que en ora, por ejemplo doble de largo que de ancho, enonces y. Si llamamos h a la alura, zh, enonces la función volumen depende de y de h, VV(,h) h h. h Así, enemos la función a opimizar en función de variables. Para que dependa sólo de una variable, debemos obener una relación enre y z que nos permia epresar la una en función de la ora. Usaremos el dao de área que da el problema: si el área oal deben ser 1 m, enemos que: Las bases superior e inferior miden, en oal 4 (m ); Las caras laerales miden hh, en oal 4h (m ); Y las caras delanera y rasera miden h, en oal h (m ). Por ano, la condición geomérica enre y h es: h + h 4 + 6h (en m ); 1 4 de aquí podemos despejar la alura h en función del ancho de la base: h. 6 Susiuyendo esa epresión de h en la función VV(,h), enemos: V V (, h) h

3 Como esa epresión para la función VV() ya depende sólo de una variable, le podemos aplicar la condición de máimo o mínimo (es decir, la primera derivada debe ser nula, V ()0) con lo que: 1 1 V ()0; ; 1 m. Ahora eóricamene deberíamos verificar que esa longiud corresponde a un volumen máimo, y no mínimo. Para ello se pueden seguir dos procedimienos: modo A) susiuir ese valor de en la segunda derivada de la función, y comprobar que V (1) < 0 (la condición de máimo es V () 0 y V (1) < 0, mienras que la de mínimo es V () 0 y V (1) > 0). Puede comprobarse que efecivamene V () 4 <0. Y modo B) comprobar que anes de ese puno la función V() es creciene (V ()>0 para <1) y después decreciene (V ()<0 para >1). Así, puede verificarse que: V '( 1 ) > 0 (o sea que la función V() es creciene anes de 1) y que V '() 4 < 0 (lo que indica que V() decrece después de 1), por ano el puno (1,8/) es un máimo, y no un mínimo. Siempre que se da un puno máimo o mínimo de una función, hay que darlo por sus dos coordenadas (,y), en ese caso (,V): V(1)8/ m, es el máimo valor que alcanza el volumen.

4 PROBLEMA DE NIVEL LISA: Halla el puno de la parábola y7, siuado en el primer cuadrane, al que el riángulo deerminado por la angene a la parábola en ese puno y los ejes de coordenadas enga área mínima. Obén el puno y el valor del área. En primer lugar, necesiamos planear la función que hay que opimizar, que es el área de un riángulo recángulo con los caeos apoyados en los ejes coordenados, y el vérice correspondiene al ángulo reco en el origen de coordenadas (ver figura). y El área del riángulo (rayado en rojo en la figura) es ABh/, donde Bbaseuno de los caeos, y halurael oro caeo. Esas longiudes se corresponden con los valores a y b de los punos de core de la reca con los ejes coordenados, (a,0) y (0,b). Pero las longiudes de los caeos dependerán de cuál sea el puno de angencia T de la curva. Para hallar la relación enre B, h y el puno de angencia, vamos a epresar la ecuación de la angene a parir de las coordenadas del puno de angencia T. Si llamamos al valor de abscisa del puno de angencia, las coordenadas del puno T serán (,7 ). Por oro lado, la pendiene m de la reca angene es el valor de la derivada de la curva en el puno T: y f ( ) 7 ; m f '( ) ; por ano la pendiene será m. De aquí que la ecuación puno-pendiene de la angene será: y (7 ) ( ) ; 7 + ; + y + ( 7 ) 0 y + Esa es la ecuación implícia o general de la reca angene (en función de la abscisa del puno de angencia); para obener las disancias de los cores con los ejes, se puede o bien susiuir alernaivamene la ó la y por 0 (modo A), o bien pasar la ecuación a forma canónica (modo B).

5 Modo A: Cores con los ejes mediane susiución: Core con OX (y0): Core con OY (0): 7 ; B 7 y 7 h (valor de la alura) (longiud de la base) Modo B: Cores con los ejes mediane la ecuación canónica o segmenaria de la reca: y y + y + 7 ; + 1 ; De aquí que la disancia del core con OX al origen sea core con OY sea: b a, y la disancia del Ahora, la función Área, que dependía de las dos variables B y h (o bien e y, o bien a y b), AA(B,h), pasará a depender de una sola variable, sólo que en vez de disponer de una de las variables en función de la ora, yy(), disponemos de ambas en función del parámero : BB(), hh(). Pero de odos modos, enemos el área en función del parámero AA(), o sea de una sola variable, para poder derivarla y aplicar la condición de máimo o mínimo, A ()0. La función Área es enonces: 7 + (7 + ) A( ) (7 + ) y bb() T(,7 ) aa() 4 6

6 La condición de mínimo queda así: 7 + (7 + ) A '( ) 0 ; ; (ecuación bicuadrada, que se resuelve mediane un cambio de variable); z 4, z ; + 18z 4 0 z ; 18 ± 6 z ; z1 9 1 ± z 7 R Como nos piden un puno del primer cuadrane, descaramos el valor negaivo de. Puede comprobarse que para + se alcanza un mínimo en la función A(), ya que el numerador de A () >0. Así pues el puno de la curva en el primer cuadrane donde la angene deermina el riángulo de área mínima con los ejes caresianos es T(,7 ) (,18), y la ecuación de la angene es: y ; 6 + y Los cores con los ejes son ( a,0) (6,0) y ( 0, b ) (0,6), y el área A 108 u.